B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI s PHẠM HÀ NỘI • HỌC • • • ===8dBŨIcs=== PHẠM THỊ PHƯỢNG GIÁ TRỊ CỦA HÀM ZETA RIEMANN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HÀO HÀ NỘI, 2015 Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.s N g u y ễn V ăn H ào, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, giảng viên dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng nẫm 2015 T ác g iả P hạm T hị Phượng Lời cam đoan Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn T S N g u y ễn V ăn H Tôi xin cam đoan luận văn “G iá t r ị c ủ a h m z e ta R ie m a n n ” không trùng với luận văn khác Nếu sai xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hầ Nội, tháng năm 2015 T ác giả P hạm Thị Phượng M ục lục M đầu K iến th ứ c ch u ẩ n b ị 1.1 Số phức mặt phẳng p h ứ c 1.1.1 Xây dựng tập hợp số p h ứ c 1.1.2 Một số khái niệm topo mặt phẳng phức 1.1.3 Hàm chỉnh h ìn h 1.1.4 Chuỗi lũy t h a 1.1.5 Tích phân p h ứ c 12 1.1.6 Không điểm, cực đ i ể m 22 1.1.7 Thặng dư hàm biến p h ứ c 26 1.2 Hàm g am m a 31 M ộ t số vấn đề g iá t r ị c ủ a h m z e ta R ie m a n n 37 2.1 Hàm zeta R ie m a n n 37 2.1.1 Khái niệm hàm zeta Riemann 2.1.2 Một số công thức biểu diễn khác hàm zeta 37 R iem a n n 38 2.1.3 Thác triển hàm zeta R iem ann 40 iii 2.2 2.3 Vấn đề giá trị hàm zeta Riemann điểm nguyên dương c h ẵ n 46 2.2.1 Biểu diễn gốc số B ern o u lli 46 2.2.2 Biểu diễn số Bernoulli từ hàm giải t í c h 48 2.2.3 Đa thức B ernoulli 51 2.2.4 Một số tính chất đa thức B e rn o u lli 51 2.2.5 Kết Euler 52 2.2.6 Mối quan hệ ((h) B k 53 Giá trị hàm zeta Riemann điểm nguyên dương 55 iv Mở đầu L ý ch ọ n đ ề tà i Hàm zeta Riemann hàm quan trọng có sức hút lớn giới Toán học Nhà toán học L Euler người giới thiệu hàm này, định nghĩa chuỗi n= Chuỗi hội tụ s số phức với Re(s) > Năm 1734, Euler khám phá kiện đáng kinh ngạc, ông tuyên bố xác định tấ t giá trị C(2), C(4), C(6)> •••• Thêm nữa, ông khám phá mối liên hệ đẹp đẽ số nguyên tố với hàm C(s)- Tuy nhiên, giới Toán học đương thời chưa đánh giá cao kiện Mãi đến năm 1859, qua thác triển hàm lên toàn m ặt phẳng phức c trừ s = nhà toán học Riemann, nhà Toán học thực thấy tầm quan trọng vấn đề Thậm chí tới tận ngày nay, việc nghiên cứu hàm zeta Riemann chứa đựng nhiều huyền bí Điều này, ta nói đến việc không điểm tầm thường hàm —2, —4, —6, phân bố không điểm khác mức độ mang tính đoán Đây bảy giả thuyết Riemann, mà đến chưa giải Ngoài vấn đề đây, người ta quan tâm đến việc tính giá trị hàm zeta Riemann, có số phương pháp tính giá trị hàm C(2n) Chẳng hạn, ta kể đến phương pháp khai triển chuỗi Fourier, dùng tích vô hạn, dùng số phương trình hàm, dùng thặng dư hàm biến phức Tuy nhiên, việc tính giá trị hàm zeta Riemann với số mũ lẻ C(2ft + 1) vấn đề nhà Toán học quan tâm chưa có kết đẹp giá trị C(2n) Năm 1979, Apéry [1], chứng minh giá trị C(2) C(3) số vô tỷ Gần năm 2001, Zudilin [8] giá trị C(3), C(5), C(7), C(9), C (ll) số vô tỷ Với mong muốn tìm hiểu sâu giá trị hàm zeta Riemann số nguyên dương lẻ, nên chọn đề tài “G iá t r ị c ủ a h àm z e ta R ie m a n n ” M ụ c đ ích n g h iê n cứu Tìm hiểu số vấn đề hàm zeta Riemann Giới thiệu phương pháp tính giá trị hàm zeta Riemann số nguyên dương lẻ N h iệm v ụ n g h iê n cứu Nghiên cứu giá trị hàm zeta Riemann số nguyên dương lẻ Đ ối tư ợ n g p h m vi n g h iê n cứu Trình bày số kết nghiên cứu hàm zeta Riemann số kỹ thuật tính tổng hàm P h n g p h p n g h iê n cứu Sưu tầm, phân tích, tổng hợp tài liệu Đ ó n g góp c ủ a đề tà i Trình bày số phương pháp tính giá trị hàm zeta Riemann Đặc biệt, việc tính giá trị hàm số nguyên dương lẻ Chương K iến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 số phức mặt phẳng phức X ây d ự n g tậ p hợp số p h ứ c Số phức số có dạng = X + iy, với ĩ , Ị / ẽ I với ỉ đơn vị ảo mà i2 = —1 Ta gọi X phần thực y phần ảo, ký hiệu X = Rez; y = ĩmz Tập hợp số phức kí hiệu c đồng với mặt phẳng M2 phép tương ứng c z = X + ỉy R2 (x, y) Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox trục thực, Oy trục ảo Phép cộng phép nhân số phức thực cách thông thường phép toán tập hợp số thực với lưu ý ỉ2 = —1 Ta có Z ị + Z = {xi + x 2) + i{yx + y2y, Z1 Z2 =(xi + iyi){x2 + iy2) =XiX2 + i x xy2 + iyiX2 + i2y m = {XịX2 - 2/12/2) + i{x 1Ỉ/2 + ỉ№ ) Với số phức z = X + «y, ta xác định modul số phức z giá trị \z\ = \ / X1 + y2 Số phức liên hợp số phức z = X + iy ký hiệu xác định z = X — iy Không khó khăn, ta kiểm tra mối liên hệ z |2 UI2’ * với z Ỷ Số phức khác biểu diễn dạng cực z = r.eiớ; với r > 0,0 Ta gọi đĩa mở tâm z0 bán kính r tập hợp Đr(z0) = {z € С : \z - z0\ < r} ; đĩa đóng tâm z0 bán kính r tập hợp D r(z0) = {z G С : \z —z0\ < r} Biên đĩa đóng mở đường tròn D r{z0) = {z G С : \z —ZQ\ < r} Đĩa mở có tâm zữ = bán kính r = gọi đĩa đơn vị, ký hiệu Đ r(z0) = {z G С : \z - ZQ\ < r} Cho tập íĩ С С, điểm zữ E íĩ gọi điểm íĩ tồn r > cho Dr(z0) с íì Phần íì kí hiệu intíĩ gồm tấ t điểm íỉ Tập íỉ tập mở điểm điểm Tập íì gọi tập đóng phần bù c \ í ĩ mở Điểm z £ С gọi điểm giới hạn tập íĩ tồn dãy điểm zn £ íĩ cho zn Ф z lim zn = z Chúng ta kiểm tra ĩl— >00 So sánh hệ số đa thức Sk{n) với nhân tử Ị k + l k+ ta nhận Sk{n) = k + Bon*+1 + í + ì V / Si'»* + ••• + ị k + ì B kn \k ) Từ đó, ta nhận mối quan hệ truy hồi hệ số B k sau Bo = i; Bq + 2Bị = 0; Bq + 3Bị + 3-Ỡ2 = 0) Bq + AĐi + 6B + 4.03 = 0; Một cách tổng quát, ta có ^ íỊ k + \ Ị Bj — 0; A; > j=0 V ) Các số Bj biểu diễn mối quan hệ đẹp đẽ gọi số Bernoulli 2.2.2 B iểu d iễ n số B e rn o u lli t h m giải tíc h Một điều bất ngờ, trình hình thành phát triển giải tích phức, người ta tìm cách biểu diễn khác hoàn 48 hảo việc xác định số Bernoulli Khai triển chuỗi luỹ thừa hàm 00 TD 27ĩiz g27riz _ ^ = X) T f( 2íriz)J; j=0 17 hệ số Bj (số Bernoulli) thoả mãn hệ thức ( 71+1 \ 1; ( n+1 \ 3o + V ° / / V í n+1 \ \ b x+ •••+ V " / số Bernoulli với số lẻ, trừ số Bị = — , T hật vậy, sử dụng khai triển hàm ez 27ĩỉz e2 viz _ l 27 27ĩiz (27TĨz)2 (2ĩriz)3 ĩiz ~TT+ 2! 2tĩiz ^ (27XỈzỴ + 3! + "' r=i Từ đó, nhận đồng thức E f(2*izý = ™ (27TĨzỴ B j A 3=0 2tĩìz “1 r = l rĩ ■ Do ( ! M ( (27ã,z)r r! ! = 27TÌ2 Thực phép nhân hai chuỗi ta nhận 27ĩiz = B (27ĩiz) + (2ttiz)2 ( Bq Bị B2 \ ,3 + ( 3LÕĨ + 2Ĩ1Ĩ + ĨL2Ĩ ) (27ĩiz^ 49 r\ Bq Bị B -6 \ + I ^ Ỉ + ^ = T + ^ Ỉ + T l (27ĩ i z ý + k4!.0! 3!.l! 2!.2! l!.3!, Đồng hai vế đẳng thức ta nhận kết Tiếp theo, sử dụng đẳng thức 2ĩĩiz 2ĩĩiz thay khai triển hàm 2ĩĩiz = —27ĩiz\ phần có B + ^ỵ(2ĩĩiz) + ^ - ( ?ĩ i z f + ^ -{ T ĩiz f + ■■■ = -27ĩiz + B + ^ ỵ ( - ĩr iz ) + ^ ( - ttỉz)2 + ^ - ( - riz)3 + ■■■ Thực việc giản ước số hạng xếp theo luỹ thừa tăng (27ĩỉz) nhận B ĩ {2'KỈz) + ^ -( tĩìz ) + ^ t t ( t ì z ) + 3! 5! = — tĩìz Đồng hai vế đẳng thức ta nhận Bi — B — B — B — — Sử dụng hệ thức n+1\ Br ‘l r i n I tính hệ số khai triển „ Bq0 — ,1: 1Bị — -2: B — — 6'1 50 ì \ B n = 0; 2.2.3 Đ a th ứ c B e rn o u lli Đa thức Bernoulli xác định qua số Bernoulli sau Bk(x) = Ề ( * j khai triển hàm giải tích 00 zez ^ B ez — = s' k= k{x) k k\ -]zk\ với \z\ < 2tt (2.10) Không khó khăn lắm, ta chứng minh đa thức Bernoulli có mối quan hệ truy hồi đẹp đẽ sau Bỵ{x + 1) - B k(x) = k x k~1; k > 1; B k(0) = B k( l ) ; k > Từ định nghĩa số Bernoulli đa thức Bernoulli (2.10) ta nhận đồng thức Bk = -Bjfc(o); với k > Từ đồng thức này, ta thấy tổng Sk{n) công thức (2.9) biểu diễn qua số hạng đa thức Bernoulli sau o ( \ _ Bk+i{n ) — B k + B k+i(n ) — B k+1 ( ) B k+i(n ) — B k+i ( l ) bk(n) = - - = = ky Jk + k+1 k+1 2.2.4 M ộ t số tín h c h ấ t c ủ a đ a th ứ c B e rn o u lli Từ định nghĩa, ta dễ dàng nhận số tính chất đa thức Bernoulli 51 (■i) B 0(x) = 1; (a) ~ B k{x) = k B k-i{x)\ k > 1; ax (in) / Bỵ(x)dx = 0; k > Từ số kết số Bernoulli đa thức Bernoulli, ta giới thiệu kết Euler việc tính tổng hàm zeta Riemann điểm nguyên chẵn 2.2.5 K ế t q u ả c ủ a E u le r Sau số năm nghiên cứu trao đổi với nhà toán học đương thời, năm 1734 Leonhard Euler công bố kết bất ngờ việc đưa công thức tính giá trị hàm C(2^)- mặt ta giới thiệu trình bày kết Euler sau Với ễ C mà \z\ < lĩ ta có 71=1 k=0 71= 52 00 ( 00 \ -2k = _ ^ n=l \fe=l / Ngoài ra, sử dụng dạng khai triển khác hàm sau cos z eiz + e~iz 2iz 2iz z c o t z = z —— = i z ^ — 7- = iz + iz• -—' / _ ỵ — “I” ^ sin é*2 —é- ** e2i,ỉ — k J k= n,^ (2iz) „ B ịK A:! B k số Bernoulli So sánh hệ số lũy thừa z k hai công thức trên, ta thu biểu diễn tiếng sau (W n t+l (2ĩr)2* n = (- 1) 2(2*)! Từ công thức này, ta nhận giá trị hàm zeta Riemann số nguyên chẵn 7r 7T4 7T6 7T C(2) = ^;C(4) = ^;C(6) = ^-;C(8) = 2.2.6 945 ' 9450 , - M ối q u a n hệ g iữ a C(k ) Bỵ Để giới thiệu mối quan hệ hai giá trị trên, trước cách thay cách hình thức giá trị s = 0; —1; —2; vào công thức (2.1) dĩ nhiên bỏ qua tính phân kỳ hàm ((s) ta nhận + + + =C(0) = - ị ; + + + = C ( - ) = - ^ ; l + 22 + 32 + = C(-2) = 0; 53 ịk + 2k + 3k + _ = = _ Ị^ ± ! k+ Về mối quan hệ hàm ((k) số B k số nhà Toán học nghiên cứu đến đây, giới thiệu số kết thiết lập [10] Bằng việc thay biến nguyên dương n biến thực X hàm tương ứng xét khả tích đoạn [0,1] nên ta có x(x — 1) n(n — 1) l + + (n - l ) x(x — l)(2a: — 1) f x(x — l)(2x — 1) „ / dx 0 = C(-2); s*(ra) = l fc+ + (n - l ) fc s k(x) I s k(x)dx = 54 = C(-fc)- 2.3 Giá trị hàm zeta Riemann điểm nguyên dương Một khám phá đánh giá ngoạn mục hàm zeta Riemann việc tính giá trị C(2n + 1) chứng minh R Apéry vào năm 1978 £(3) số vô tỷ Ta giới thiệu cách khái quát kết sau (chi tiết ta tham khảo [1]) Để nhận đươc kết này, Apéry đưa công thức biểu diễn khác giá trị £(3) dạng chuỗi hữu tỷ hội tụ với tốc độ đủ nhanh sau (2 11) Sử dụng kết lý thuyết số “N ế u m ộ t chuỗi số h ữ u tỷ hội t ụ đ ủ n h a n h , th ì tổ n g c ủ a chuỗi số vô tỷ ” Chuỗi vế phải công thức biểu diễn (2.11) thỏa mãn giả thiết định lý Từ đó, Apéry đạt kết việc khẳng định C(3) số vô tỷ Dạng tương tự với công thức Euler tìm trước hai giá trị sau 55 ул1_36ул (-1)* ^ А:4 “ 17 ^ / 9, \ ' fc=i fc=i / 2/с Ị Tuy nhiên, chưa có công thức biểu diễnnhư cho giá trị khác ((n );n = 5,6, 7, để khẳng định tính vô tỷ chúng Theo hướng nghiên cứu Apéry để khẳng định tính vô tỷ giá trị này, Van der Poorten quan tâm đến khó khăn định (xem [6] ) Trong thời gian gần đây, số kết trọng yếu liên quan đến vấn đề thu Tanguy Rivoal số nhà Toán học khác Chúng ta giới thiệu số kết Đ ịn h lý 2.3.1 (Rivoal 2000 [13]) Có vô hạn giá trị vô tỷ hàm zeta Riemann số nguyên dương lẻ Hơn nữa, N(n) = Ф số vô tỷ số C(3), C(5), •••, с(2гг + 1), N ( n ) > 2(log + 2) log 71 với n đủ lớn, с nhận giá trị Đ ịn h lý 2.3.2 (Rivoal 2002 [12]) chín số C(5), C(7), C(21) số vô tỷ Đ ịn h lý 2.3.3 (Rivoal 2002 [17]) bốn số C(5), C(7), C(9), C(ll) ỉà số vô tỷ Việc tìm công thức biểu diễn đẹp đẽ giá trị C(2n) giá trị C(2n + 1) quan tâm nhiều nhà toán học đương thời Mục đích luận văn 56 việc giới thiệu số biểu diễn giá trị C(2n) trên, giới thiệu kết gần giá trị hàm zeta Riemann số nguyên dương lẻ Cũng phải nhấn mạnh biểu diễn nằm dạng tích phân Trước hết, cần đến số kết sau B ổ đ ề 2.3.1 Ta có công thức lượng giác sin sin + sin(2ớ) + + sin(nớ) = sin Chứng minh Ta có (cosớ + cos2ớ 4- + cosnớ) + ỉ(sinớ + sin2ớ 4- + sin nỡ) = (cos + ỉ sin 9) + (cos 29 + ỉ sin 29) + + (cos nỡ + ỉ sin nỡ) = (cos + ỉ sin 6) 4- (cos + ỉ sin ớ)2 + + (cos + ỉ sin 6)n [(1 —cos nQ) —i sin nỡ] [(1 —cos 9) + i sin 9] (cos + ỉ sin 9) —2 cos 57 Từ đó, ta nhận công thức bổ đề □ Tiếp theo giới thiệu hai công thức tiếng xây dựng [5] Việc chứng minh công thức dựa tính chất đa thức Bernoulli giới thiệu phần việc lấy tích phân phần liên tiếp B ổ đ ề 2.3.2 Ký hiệu Bk(x) đa thức Bernoulli Khi đó, ta có công thức sau (i) trường hợp chẵn f* = - / Ẽ2k^ cos(27ựi x )d x 'i (2-12) sM ^ j x ) d x - t (2.13) với j , k = 1,2, ; (ii) trường hợp lẻ ( _-|\fc—1( 27ri^"^ f = - {2k + 1)! - J B2t+l^ với j = 1, ,3 , к = ,1, 2, C ác g iá t r ị c ủ a ( ( n ) d n g tíc h p h â n Từ công thức (2.12) (2.13) ta thu giá trị hàm zeta Riemann biểu diễn dạng tích phân sau n C(2k) = lim n —> ОС J 3= 71 ( l (2тг)2к \ = lim У 7wpr. / B 2k{x) cos(2ĩrjx)d,X 7100 ^ ' \*k) J i=1 1p n ( - ) к- 1(2тг)2к — lim lim у/ I/ tíọ.hAx) B 2h{x)ccos(2ĩTjx)dz os[Z7nx]ax (2 n-> n - >00 с * k)\ / j =1 / -| —1 / ọ \2fc /• и ^— lim / Б 2*(ж) У ] cos(2 txjx)dx п-юо J *—' j =1 ( - l ) fe_1(27r)2fc ff sin[(2 n+ 1)7Tæ] -nlim / -B2fc(æ)—>00 2(2A:)! n-*c» JJ sin(7ra:) (zA:)! 2(2fc)! 2fc' C(2fc + 1) = lim Ề - è r n— >00 ( - l ) fe_1(27r)2fc+1 /■ / cos(7ra:) cos(7ra: — COS [(2n + 1)7гж] lim / -®2fc+l(z) Д и + ц я ) -— = -/0 / N dx —>oo J J (2к7 +I 1М 1)! - nn^oo 2sin(7rx) ( _ l ) fc- 1(27r)2fc+1 2(2k + 1)! J B 2k+i(x)cot(ĩĩx)dx 59 Kết luận Luận văn trình bày 02 chương với nội dung sau Chương thứ giành cho việc giới thiệu số kiến thức hàm biến phức: Xây dựng tập hợp số phức; khái niệm hàm chỉnh hình; lý thuyết tích phân Cauchy; thặng dư hàm biến phức Ngoài ra, giới thiệu hàm gamma số tính chất liên quan đến giá trị hàm zeta Riemann Chương thứ hai phần luận văn Trước hết, trình bày số vấn đề hàm zeta Riemann số tính chất quan trọng hàm Mục tiêu giới thiệu số kết gần việc tính giá trị hàm zeta Riemann điểm nguyên dương lẻ lớn Tuy nhiên, biểu diễn giá trị biểu thị dạng tích phân 60 Tài liệu tham khảo * [1] R A p é r y , Irrationalité de ( ( 2) et C(3), Astérisque 61 (1979), 11 - 13 [2] B C B e r n d t , Elementary evaluation of C(2h ), Mathematics magazine 48 (1975), 148 - 154 [3] D C v ijo v î C a n d J K l i n o w s k i, Intergral representations of Riemann zeta function for odd - interger arguments, Journal of Computational and Applied Mathematics 142 (2002) 435 - 439 [4] K D ilc h er , L S k u l a , and I S S la v u tsk ii , Bernoulli Num­ bers Bibliography (1713-1990), Queen’s Paper in Pure and Ap­ plied Mathematics, 87 Queen’s University, Kingston, ON, 1991 iv+175 pp [5] R D wilewicz and J M in â c , An introduction to relations be­ tween the values of ((s) in terms of holomorphic functions of two variables, Proceedings of the Hayama Symposium on Several Complex Variables, Japan, Dec 2000 Pages 28 - 38 (2001) [6] R D wilewicz and J M in â c , The Hurwitz zeta function a a convergent series, Rocky Mountain J Math 36 (2006), 1191 1219 61 [7] G E v e r e s t , C R o t t g e r a n d T W a r d , The continouing story of zeta, The math Intelligencer 31 (2009), 13 - 17 [8] X G o u r d o n a n d P S e b a h , The Riemann Zeta-funtion C(s) : Generalities, Numbers, constants and computation, 2004 [9] K I r e l a n d a n d M R o s e n , A Classical Introduction to Modem Number Theory, Astérisque 61 (1979), 11 - 13 [10] J M lNÂ C , A remark on the values of the Riemann zeta function, Exposition Math 12 (1994), no 5, 459 - 462 [11] M R M u r t y a n d M R e e c e , A simple derivation of (( — K) = — K Funct Approx Comment Math 28 (2000), 141 - 154 [12] T RlVOAL, C(5), C(7), Irrationalité d ’au moins un des neuf nombres C(21), Acta Arith 103 (2002), no 2, 157 - 167 [13] T RlVOAL, La fonction zeta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs, C R Acad Sci Paris Sé I Math, 331 (2000), 267-270 [14] T RlVOAL, Propriétés diophantinnes des valeurs de la fonction zeeta de Riemann aux entiers impairs, Thèse de Doctorat, Univ de Caen, Caen 2001 [15] E C T i t c h m a r s h , The Theory of the Riemann Zeta Function, Claredon Press, Oxford 1986 62 [...]... phức và khái niệm khả vi thực của một hàm hai biến có sự khác biệt đáng kể Như ta đã thấy hàm f ( z ) = Z không khả vi phức, nhưng dưới dạng biến thực hàm đó tương ứng ánh xạ F : (x , y ) —»■ ( x , —y) khả vi theo nghĩa của hàm hai biến thực Đạo hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến tính được cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận 2 x 2 các đạo hàm riêng của các hàm tọa độ Mối quan hệ giữa hai... Laurentz của hàm / trong lân cận R < \z\ có dạng 00 f ( z) = Cnzn- 27 Lấy tích phân từng phần trên 7^ ta được □ H ệ q u ả 1.1.4 Tại điểm khử được zữ Gc thặng dư của hàm bằng 0 Khi không biết khai triển Laurentz của hàm / tại một cực điểm zữ nào đó, ta cũng có thể tính thặng dư của hàm tại điểm đó theo phương pháp của định lý sau Đ ịn h lý 1.1.13 Ta có các khẳng định (ỉ) nếu z0 là cực điểm cấp một của hàm. .. hội tụ của nó Đạo hàm của chuỗi lũy thừa là một chuỗi lũy thừa thu được bằng cách lấy đạo hàm của từng số hạng của nó Một hàm f ( z ) xác định một tập con mở ri được gọi là giải tích (hoặc có khãi triển chuỗi lũy thừã) tại điểm Zq G íì nếu tồn tại chuỗi lũy 00 thừa J 2 a n( z - z0)n tâm tại z0 với bán kính hội tụ dương sao cho n=0 00 f ( z ) = ^ 2 aniz - z0Г ; 71=0 11 với mọi z trong lân cận của điểm... ỉn h h ìn h Cho hàm phức f ( z ) xác định trên tập mở Q Hàm f ( z ) được gọi là C —khả vi tại điểm z0 € íỉ nếu tồn tại giới hạn của biểu thức f ( z 0 + h) - f ( z 0) h (1.1) khi h —»0, ở đ ó O ^ / i ẽ C với z0 + h G ri Giới hạn trên được ký hiệu bởi ĩ ' (^o) và gọi là đạo hàm phức của hàm f ( z ) tại điểm z0 Như vậy, ta có f ' ( z 0) = lim f ( z 0 + h) - f { z 0) h 6 Hàm / được gọi là hàm chỉnh hình... cho thấy rằng không điểm của hàm chỉnh hình không tầm thường là cô lập Nói cách khác, nếu / là chỉnh hình trong D và f(zo) = 0 với zữ G D nào đó thì tồn tại một lân cận mở u của z0 sao cho f ( z ) Ỷ 0 v 0 Lúc này, ta nói z0 là cực điểm của 1 f ( z ) xác định trong một lân cận thủng của zữ, nếu hàm chỉnh ỉ \z)... đầy của z0 và bị triệt tiêu tại z0 24 Như một hệ quả của định lý 1.1.9, chúng ta có Đ ịn h lý 1.1.10 Nếu f ( z ) có một cực điểm tại z0 € D, thì trong một lăn cận của điểm đó tồn tại hàm chỉnh hình h(z) không triệt tiêu và số nguyên dương к duy nhất sao cho / w = -/ Ш -\k J v ' [Z - Zq) SỐ nguyên dương к trong định lý 1 1.10 được gọi là bậc (hoặc bội ) của cực điểm và nó mô tả tốc độ tăng của hàm khi... dưới dạng mũ phức piz C0S2 = piz _ p ~ iz — 2 và Sin^ = -— 2 00 Đ ịn h lý 1.1.3 Chuỗi lũy thừa f ( z ) = Ỵ2 anZn xác định một hàm n=0 chỉnh hình trong đĩa hội tụ của nó Đạo hàm của f ( z ) cũng là một chuỗi lũy thừa thu được bằng cách đạo hàm từng số hạng của chuỗi với hàm f ( z ) , tức là 00 f '(z) = ^ n a nz n~l n= 0 Hơn nữa, f'(z ) có cùng bán kính hội tụ với f ( z ) 9 Chứnq minh Bởi vì lim... zữ € nếu tồn tại đĩa mở nào đó Dr(z0) С íỉ sao cho / là C —khả vi tại mọi điểm thuộc đĩa đó Hàm / gọi là chỉnh hình trên nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của Q Nếu M là tập đóng của c , ta nói / là chỉnh hình trên M nếu / là chỉnh hình trên một tập mở nào đó chứa M Hàm / chỉnh hình trên С được gọi là hàm nguyên Hàm f ( z ) = z là chỉnh hình trên tập con mở bất kỳ trong с và f ' ( z ) = 1 T hật vậy, ta...được rằng một tập Гì là đóng nếu nó chứa mọi điểm giới hạn của nó Bao đóng của tập гì là hợp của ri và các điểm giới hạn của nó, được ký hiệu là ri Biên của ri được kí hiệu và xác định bởi ỡfì = íẠ intíỉ Tập Q là bị chặn nếu tồn tại số M > 0 sao cho \z\ < M ; với mọi z £ ri Nếu tập Qlà bị chặn, thì ta xác định đường kính của nóbởi số diam (rỉ) = sup { \ x — y\ : X, y G ri} Tập Q được gọi