Đại học Quốc gia TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Khoa: Khoa Học Ứng Dụng Bộ môn: Toán Ứng Dụng Chương 5:PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1.Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp tổng quát có dạng F(x, y, y’) = hay y’ = f(x,y) Ở đây: x biến độc lập, y(x) hàm chưa biết y’(x) đạo hàm • Nghiệm phương trình vi phân cấp hàm y=y(x) xác định thỏa phương trình ít khoảng (a,b) 2.Bài toán Cauchy Bài toán Cauchy toán tìm nghiệm phương trình vi phân cấp y’=f(x,y) thỏa điều kiện ban đầu y(xo) = yo • Nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp họ hàm y=φ(x,c) cho mọi toán Cauchy có nghiệm được rút từ họ • Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát cho số c giá trị cụ thể được gọi nghiệm riêng • Nghiệm phương trình vi phân cấp nghiệm không nhận được từ nghiệm tổng quát cho dù c lấy giá trị được gọi nghiệm kỳ dị MATLAP : y=dsolve('Dy = -a*y’) y=dsolve('Dy = -a*y’,’x’) VD: Xét phương trình vi phân cấp y' = − y dy y' = = − y dx Ta có: dy ⇒ = dx 1− y ⇒∫ (*) ( ĐK :y ≠ ± 1) dy = x + c ⇒ arcsin y = x + c 1− y Đây tích phân tổng quát ⇒ y = sin( x + c) Đây nghiệm tổng quát Trường hợp: y=±1 thỏa phương trình (*) nên nghiệm phương trình vi phân chúng không nhận được từ nghiệm tổng quát nên nghiệm kỳ dị VD: Xét toán Cauchy Ta có: dy y y' = = dx x y y' = x thỏa y(1) = dy dx ⇒ = y x dy dx ⇒∫ =∫ ⇒ ln y = ln x + ln| c | y x ⇒ y = c x Từ điều kiện đầu y(1)=2 ta giải được c=2 Vậy nghiệm toán thỏa điều kiện đầu y(1)=2 y=2.x Các loại phương trình vi phân cấp 3.1 Phương trình tách biến a Dạng: g(y)dy = f(x)dx b Cách giải: Bằng cách lấy tích phân ta được nghiệm tổng quát phương trình là: ∫ g ( y)dy = ∫ f ( x)dx + C VD: Giải phương trình vi phân xdx + ydy = Ta có: ∫ xdx + ∫ ydy = c y x ⇒ + =c 2 ⇒ x + y = 2c = C 2 nghiệm phương trình c Một số phương trình vi phân cấp đưa dạng tách biến ∗ Phương trình dạng: y’=f(y) • Nếu f(y) ≠ phương trình đưa dạng tách biến: dy = dx f ( y) • Nếu f(y) = có nghiệm y=b y=b nghiệm riêng phương trình 10 Cách tìm hàm Vì dU (x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy nên Từ Từ U ( x, y ) ∂U = P , ∂U = Q ∂x ∂y ∂U = P ⇒ U ( x, y ) = P ( x, y )dx + c( y ) ∫ ∂x ∂U = Q ⇒ ∂ ( P( x, y )dx) + c' ( y ) = Q( x, y ) ∂y ∂y ∫ Ta tính được c' ( y ) , từ suy c( y ) cuối ta tìm được hàm U ( x, y ) 34 Cách tìm hàm U ( x, y ) • Chọn ( x0 , y0 )tùy ý miền liên tục hàm P,Q đạo hàm riêng cấp chúng.Khi ấy: U ( x, y) = x ∫ P( x, y)dx + ∫ Q( x , y)dy x0 U ( x, y) = y x y0 y P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy ∫ ∫ x0 y0 35 VD1: Giải phương trình vi phân: ( x + y + 1)dx + ( x − y + 3)dy = ∂P = ∂Q = nên phương trình vi ∂y ∂x Vì phân tòan phần Do đó: ∃U ( x, y ) : dU = P ( x, y )dx + Q( x, y )dy  ∂U = P = x + y +  ∂x ⇒ ∂U  ∂y = Q = x − y + (1) ( 2) 36 Từ (1) ⇒ U (x, y) = ∫ (x + y + 1)dx + c( y) x ⇒ U ( x, y ) = + xy + x + c( y ) (3) ∂U (2), (3) ⇒ = x + c '( y ) = x − y + ∂y ⇒ c' ( y ) = − y + y ⇒ c( y) = − + 3y x2 y3 U ( x, y) = + xy + x − + 3y 3 Vậy: 37 Cách khác:chọn x0 = 0, y0 = ta có x y 0 U ( x, y) = ∫ ( x + y + 1) dx + ∫ (0 − y2 + 3) dy = x y = + xy + x − + 3y 3 x y Nghiệm toán là: + xy + x − + 3y = c 3 VD2: Giải phương trình vi phân ( x + y − 1)dx + (e + x)dy = ∂P = ∂Q = nên PT vi phân tòan phần ∂y ∂x y Vì 38 Do : ∃U ( x, y ) : dU = P ( x, y )dx + Q( x, y )dy (1)  ∂U = P = x + y −  ∂x ⇒  ∂U y ( 2)  ∂y = Q = e + x Từ (1) ⇒ U ( x, y ) = ∫ ( x + y − 1) dx + c ( y ) x2 ⇒ U ( x, y ) = + xy − x + c( y ) (3) ∂U y (2), (3) ⇒ = x + c '( y ) = x + e ∂y 39 ⇒ c '( y) = e ⇒ c( y) = e y y x Vậy U ( x, y) = + xy − x + e y Cách khác:chọn x0 = 0, y0 = ta có x y 0 U ( x, y) = ∫ ( x + y − 1) dx + ∫ (e + 0) dy = y x2 = + xy − x + e y − Vậy nghiệm phương trình y x ⇒ + xy − x + e = c 40 c) Thừa số tích phân Xét phương trình P( x, y )dx + Q( x, y )dy = (1) không phương trình vi phân toàn phần có hàm H ( x, y ) cho H ( x, y ) P( x, y )dx + H ( x, y )Q ( x, y )dy = (2) phương trình vi phân toàn phần Lúc này: Hàm H ( x, y ) được gọi thừa số tích phân H ( x, y ) nghiệm phương trình: ∂ ( H Q) ∂ ( H P ) = ∂x ∂y (3) 41 Nói chung phương pháp tổng quát để tìm thừa số tích phân Ta xét trường hợp đơn giản nhất: ∂Q ∂P − ∂x ∂y •Nếu = f (x ) Q ∫ đó: H ( x, y ) = H ( x) = e ∂Q ∂P − ∂x ∂y = g ( y) P g ( y ) dy ∫ đó: H ( x, y ) = H ( y ) = e − f ( x ) dx •Nếu 42 VD1 Giải phương trình vi phân (x − sin y)dx + x sin ydy = ∂P = −2 sin y cos y ; ∂Q = sin y ∂y ∂x Ta có: Vậy không phải phương trình vi phân toàn phần Nhận xét: ∂Q ∂P − ∂x ∂y = Q x Do thừa số tích phân H ( x) = e ∫ − dy x =e −2ln x = x 43 2 ⇒ ( x − sin y ) dx + 12 ⋅ x sin ydy = x x phương trình vi phân toàn phần Giải phương trình ta được nghiệm tổng quát là: sin y x+ =c x VD2: Giải phương trình vi phân ( y2 cos x + 1)dx + ( y sin x − x)dy = y Ta có: ∂P = y cos x ; ∂Q = y cos x − ∂y ∂x y 44 Vậy không phải phương trình vi phân toàn phần Nhận xét: ∂Q ∂P − ∂x ∂y =− P y Do thừa số tích phân H ( y) = e − ∫ dy y =e − ln y = y ⇒ ( y cos x + 1)dx + ( y sin x − x ) dy = y y y phương trình vi phân toàn phần Giải phương trình ta được nghiệm tổng quát là: y sin x + x = c y 45 VD 3:Tìm thừa số tích phân có dạng h= h(y) phương trình sau: y ydx + (2 x − ye )dy = ∂ (h.Q) ∂ (h.P ) = ∂x ∂y ⇔ [ h( y).(2 x − ye y )]x / = [ h( y) y] y / ⇔ h( y).2 = h/ ( y) y + h( y) h/ ( y) ⇔ = ⇔ ln| h( y)|= ln| y | + ln| C |⇔ h( y) = Cy h( y) y h(1) = ⇒ C = ⇒ h( y) = y 46 VD 4: x y dx + x(1 + y )dy = Giải phương trình vi phân α h ( x, y ) = x y biết có thừa số tích phân dạng β ∂ ( h.Q) ∂ ( h.P ) ∂ ( xα +1y β (1 + y )) ∂ ( xα + y β +3 ) a) = ⇔ = ∂x ∂y ∂x ∂y ⇔ (α + 1) xα y β (1 + y ) = ( β + 3) xα + y β + ⇔ α = −1, β = −3 −2 x y −3 b)U ( x , y ) = ∫ xdx + ∫ y (1 + y )dy = + + ln | y | + −2 x y −2 x y U ( x, y ) = + + ln | y |= C −2 47 VD 5:Tìm thừa số tích phân có dạng H(x,y)=h(x+y²) phương trình vi phân (3 y − x)dx + y ( y − x)dy = Ta có: H ( x, y ) = h(t ), t = x + y ∂ ( H Q) ∂ ( H P ) ∂ ∂ = ⇔ [h(t ).(2 y − xy )] = [h(t ).(3y − x )] ∂x ∂y ∂x ∂y ⇔ h '(t ).(2 y − xy ) + h(t ).( −6 y ) = h '(t ).2 y (3y − x ) + h(t ).6 y h '(t ) −3 −3 ⇔ h '(t ).(4 y + xy ) = −h(t ).12 y ⇔ = = h(t ) x + y t C C ⇔ ln | h(t ) |= −3ln | t | + ln | C |⇔ h(t) = ⇔ H = t ( x + y )3 48 [...]... trình y '+ P ( x) y = 0 (2) được gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 thuần nhất tương ứng của phương trình tuyến tính cấp 1 không thuần nhất (1) ( Q( x) ≠ 0 ) 22 b.Cách giải: C1.Phương pháp biến thi n hằng số Lagrange: B1.Ta giải phương trình thuần nhất tương ứng (2): dy y '+ P( x) y = 0 (2) ⇔ = − P( x) y dx − ∫ P ( x ) dx dy ⇔∫ = − ∫ P ( x)dx ⇔ y = C.e y B2.Ta giải phương trình không thuần