CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm Bảng đạo hàm hàm −1 x ′ x x ′ x ′ / a = a ln a ⇒ e = e / ( arccos x ) = − x a ′ / x = a.x a −1 ′ 1 10 / ( arctan x ) = ′ ′ / ( log a x ) = ⇒ ( ln x ) = + x2 x ln a x −1 ′ 11 / ( arccot x ) = / ( sin x ) ′ = cos x + x2 / ( cos x ) ′ = − sin x 12 / ( shx ) ′ = chx ′ ′ = shx / ( tan x ) = = + tan x 13 / chx ( ) cos x ′ 14 / ( thx ) = 2 ′ / ( cot x ) = − = −(1 + cot x) ch x sin x ′ 15 / ( cthx ) = − sh x / ( arcsin x ) ′ = − x2 ( ) ( ) ( ) Đạo hàm Các quy tắc tính đạo hàm ( f ± g ) ′ = f ′ ± g′  f ′ f g′ − g ′f g÷= ′ g   ( f g ) = f g′ + g ′f Đạo hàm hàm hợp Tức h = f og ⇒ h′ = f ′.g ′ y = g ( x), h( x) = f ( y ) ⇒ h′( x) = f ′( y ).g ′( x) Ví dụ: Tính đạo hàm hàm : a) f(x) = tan (x3+x) b) g(x) = esinx 3x + a ) f ′( x) = ( x + x)′ = cos ( x + x) cos ( x3 + x) b) g ′( x ) = esin x (sin x)′ = cos x.esin x Đạo hàm Đạo hàm hàm hợp ( ) ( ) ′ ′ 1/ a f ( x ) = a f ( x ) ln a f ′( x ) ⇒ e f ( x ) = e f ( x ) f ′( x ) / ( ln f ( x) ) ′ = ( / f ( x) a ) ′ f ′( x) f ( x) = a f ( x) a −1 f ′( x) / ( sin f ( x ) ) ′ = cos f ( x ) f ′( x) / ( cos f ( x) ) ′ = − sin f ( x) f ′( x ) / ( tan f ( x) ) ′ = f ′( x ) cos ( f ( x)) − f ′( x) ′ / ( cot f ( x) ) = sin f ( x) / ( arcsin f ( x) ) ′ = / ( arccos f ( x) ) ′ = f ′( x) − f ( x) − f ′( x) − f ( x) f ′( x) + f ( x) − f ′( x) ′ 11 / ( arccot f ( x) ) = + f ( x) 10 / ( arctan f ( x) ) ′ = Đạo hàm Đạo hàm hàm hợp ( ) / au ′ ( ) = a u ln a.u ' ⇒ eu ′ / ( ln u ) = u ' u ( ) / ua ′ = a.u a −1.u ' / ( sin u ) ′ = cos u.u ' / ( cos u ) ′ = − sin u.u ' / ( tan u ) ′ = u ' cos u −1 ′ / ( cot an u ) = u ' sin u ′ = eu u ' / ( arcsin u ) ′ = / ( arccos u ) ′ = 1− u2 −1 u ' u ' 1− u2 ′ 10 / ( arctan u ) = u ' 1+ u −1 ′ 11 / ( arccot u ) = u ' 1+ u Đạo hàm 2 x Ví dụ: Tính đạo hàm hàm y = cos  sin ÷ 3  x x  u = cos  sin ÷⇒ y = u , v = sin ⇒ u = cos v 3  x x t = ⇒ v = sin t ⇒ v ' = cos t.t ' = (cos ) 3 x x  u = cos v ⇒ u ' = − sin v.v ' = − sin  sin ÷ cos 3 3  x x x   y′ = 2u.u ' = −2cos  sin ÷.sin  sin ÷ cos 3 3 3   −1 x x = cos sin(2sin ) 3 Đạo hàm Ví dụ: Tính đạo hàm y = arctan( e Đặt: Suy ra: u=e x +1 x +1 − 1) − ⇒ y = arctan u y' = u ' = 1+ u e x +1 = + (e x +1 − 1) Đạo hàm Đạo hàm hàm số dạng y=u(x)v(x): Chú ý: u=e ln u v( x) v ( x ) ln u ( x ) u ( x ) = e Cách 1:Ta viết lại dạng u thành v Suy : ( u ( x) ) = ( e v( x) =e ( u ( x) v( x) ) ′ ′ v ( x ) ln u ( x ) = u ( x) v ( x ) ln u ( x ) ) ′  u′( x)   v′( x)ln u ( x) + v( x) ÷ u ( x )   v( x)  u′( x )   v′( x ) ln u ( x ) + v ( x ) u ( x ) ÷   Cách 2: Lấy logarit vế Đạo hàm Đạo hàm hàm số dạng y=u(x)v(x): Cách 3:Ta xét α f = u ( x) ,α = v( x) ( α ⇒ f ' = u ( x) ( ⇒ g'= a Suy : ) ′ v( x) ( α −1 = α u ( x) ) ′ g=a =a v( x) ) u '( x) = v( x) ( u( x) v( x) v ( x ) −1 ) u '( x) , a = u ( x) ln a.v '( x) = u ( x) v( x) ln u ( x).v '( x) v ( x ) −1 v( x) ′ y = f '+ g ' = v ( x )u ( x ) u′( x) + u ( x) ln u ( x).v′( x) Đạo hàm Ví dụ: Tính đạo hàm y = xx Cách 1:Ta viết lại dạng u thành v ( ⇒ y' = e x ln x ) ′ =e x ln x x ′ ( x ln x ) = x ( ln x + 1) Cách 2: Lấy ln vế hàm cho Lấy đạo hàm vế: Vậy: y=e x ln x ln y = x ln x y′ = ( x ln x ) ′ = ln x + y ⇒ y ' = x ( ln x + 1) x 10 Khảo sát hàm y=f(x) Tìm khỏang lồi lõm, điểm uốn Tính đạo hàm cấp giải phương trình y” = Nếu y”>0 (a,b) hàm lõm (a,b) Nếu y”[...]... lập bảng biến thi n x −∞ 2 3 0 +∞ Vậy hàm có 1 cực tiểu y’ - 0 + yct=y(3) y 34 CT 0 Khảo sát hàm y=f(x) 4 Tìm khỏang lồi lõm, điểm uốn Tính đạo hàm cấp 2 và giải phương trình y” = 0 Nếu y”>0 trong (a,b) thì hàm lõm trong (a,b) Nếu y”