Trờng THPT Thờng Xuân Nguyễn văn Sơn A Lý chọn đề tài Thực trạng vấn đề nghiên cứu Trong chơng trình Toán học phổ thông Mạch toán phơng trình, bất phơng trình đóng vai trò quan trọng thiếu, xuyên suốt năm học Các toán phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình giờng nh thiếu kỳ thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh Đại Học Cao Đẳng Đã có nhiều phơng pháp giải phơng trình, bất phơng trình nh việc khảo sát tính chất phơng trình Song giải số toán không mẫu mực kỳ thi học sinh giỏi thi tuyển sinh Đại học, học sinh gặp khó khăn sử dụng phơng pháp đại số thờng gặp phơng trình, bất phơng trình đề thi học sinh giỏi thờng có hai vế hàm số có tính chất hoàn toàn khác mà việc giải cách biến đổi đại số không đến đợc kết Trong kỳ thi số lợng phơng trình, bất phơng trình đợc giải cách sử dụng định lý đảo tam thức bậc hai tơng đối nhiều Hiện theo chơng trình chuẩn định lý đảo tam thức bậc hai không đợc đề cập Việc không đa bất phơng trình lợng giác, định lý đảo tam thức bậc hai vào chơng trình Toán phổ thông phải bỏ lợng lớn dạng toán phơng trình bất phơng trình Vấn đề đặt toán có phơng pháp giải khác không? Khi việc áp dụng tính đơn điệu hàm số để giải toán giải pháp hữu hiệu đến kết đẹp nhanh chóng cách thiên khảo sát định tính phơng trình, bất phơng trình nên đạt đợc kết cuối Trong sách giáo khoa có số ví dụ giải phơng trình, bất phơng trình cách ứng dụng đơn điệu hàm số Song vị dụ thờng đơn lẻ, học sinh khó tập hợp để thành phơng pháp hoàn chỉnh Kết quả, hậu vấn đề Để khắc phục khó khăn trình giảng dạy đồng thời hoàn Sáng kiến kinh nghiệm năm 2008 Trờng THPT Thờng Xuân Nguyễn văn Sơn thiện phơng pháp giải giúp cho giáo viên có học sinh có thêm tài liệu phục vụ việc ôn luyện học sinh giỏi nh luyện thi Đại học Cao đẳng, mạnh dạn đa đề tài: ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải toán có liên quan đến phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình Vì nội dung đề tài tơng đối rộng, lợng ví dụ minh họa tập đề nghị lớn Nên phần tập đề nghị lời giải cụ thể mà có phần gợi ý cách giải đáp án Nếu đề tài giải pháp hữu ích cho đồng nghiệp, áp dụng mong đồng nghiệp hoàn thiện bổ sung Mục đích đề tài Đề tài tập trung giải vấn đề lớn cách sử dụng biến thiên hàm số: ứng dụng phơng trình +Các toán liên quan đến nghiệm phơng trình + Phơng pháp giải phơng trình ứng dụng đối vối bất phơng trình +Tìm điều kiện để bất phơng trình có nghiệm D + Tìm điều kiện để bất phơng trình thỏa mãn D + Phơng pháp giải bất phơng trình ứng dụng hệ phơng trình +Phơng pháp giải hệ phơng trình: f ( x ) = f ( y ) g( x, y ) = f ( x ) = y + Phơng pháp giải hệ phơng trình: f ( y ) = z f ( z) = x + Phơng pháp giải hệ phơng trình: f ( x1 ) = g( x2 ) f ( x2 ) = g( x3 ) f ( xn ) = g( x1 ) Sáng kiến kinh nghiệm năm 2008 Trờng THPT Thờng Xuân Nguyễn văn Sơn B nội dung đề tài I ng dng i vi phng trỡnh Cỏc bi toỏn liờn quan n nghim ca phng trỡnh Bi toỏn Tỡm iu kin phng trỡnh f(x) = k (1) cú nghim S nghim ca (1) l s honh giao im ca th hm s y = f(x) v ng thng y = k nh lý 1.1.Hm s y = f(x) liờn tc trờn D v m = f ( x), M = max f ( x ) , ú xD xD phng trỡnh f(x) = k cú nghim v ch m k M Vớ d 1.1 Xỏc nh m phng trỡnh (PT) sau cú nghim: m( + x x + 2) = x + + x x (1.1) ( tuyn sinh i hc B nm 2004) Li gii TX: D=[-1;1] t t = + x x vỡ + x x t t = x t t = x = Suy giỏ tr ca t l [0; 2] t = x = PT tr thnh : m= t + t + t+2 (1.1a) (1.1) cú nghim (1.1a) cú nghim Xột hm s f (t ) = t + t + liờn tc trờn [0; 2] t+2 (1.1a) cú nghim v ch m in f (t ) m max f (t ) [0; ] Vỡ f '(t ) = [0; ] t 4t vi mi x [0; 2] hm s nghch bin trờn [0; 2] (t + 2)2 Do ú, f (t ) = f ( 2) = ; max f (t ) = f (0) = [0; ] [0; ] Vy, giỏ tr cn tỡm ca m l: m Vớ d 1.2 Cho PT: sin4x + (1- sinx)4 = m (1.2) Vi nhng giỏ tr no ca m thỡ PT ó cho cú nghim? ( hc sinh gii lp 12 Thanh húa nm 2001) Li gii Xột hm s f ( x ) = t + (1 t )4 vi t Sáng kiến kinh nghiệm năm 2008 Trờng THPT Thờng Xuân Nguyễn văn Sơn Tacú: f '( x ) = 4t - 4(1 t )3 f '( x ) = 4t - + 12t 12t + 4t = t = Lp bng bin thiờn ta cú: t -1 f ẵ - f 17 + 1/8 T ú, PT cú nghim thỡ m 17 Bi tng t: 1.Tỡm m PT sau cú nghim thc: x + m x + = x ( thi i hc A nm 2007) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m PT x x + x x = m cú nghim Tỡm m PT sau cú nghim: log5(5x + 1).log25(5x+1 + 5) = 2m +1 Xỏc nh m PT sau cú nghim : x + x + + x x + = m ( thi HSG tnh Ngh An 2005) Chng minh rng vi mi giỏ tr dng ca tham s m, PT sau luụn cú hai nghim phõn bit: x + x = m( x 2) ( thi i hc B nm 2007) Gi ý, ỏp ỏn: Vi x nờn PT tng ng vi t t = x x + 24 =m x +1 x +1 x 1 xột hm s f(t) = -3t2 + 2t vi t 1 m x +1 Xột hm s f ( x) = x x + x x log5(5x + 1).log25(5x+1 + 5) = 2m +1 log5(5x + 1)(1+log5(5x + 1) )= 4m +2 Xột hm s f(t) = t + t2 -1 < m < Nhn thy PT cú nghim x = Chng minh PT cũn cú nghim khong (2; +) Bi toỏn Bi toỏn liờn quan n s nghim ca phng trỡnh Sáng kiến kinh nghiệm năm 2008 Trờng THPT Thờng Xuân nh lý 1.2 Nguyễn văn Sơn Nu hm s y = f(x) luụn ng bin hoc nghch bin trờn D thỡ phng trỡnh f(x) = k cú khụng quỏ nghim trờn D H qu Nu hm s y= f(x) luụn ng bin hoc nghch bin trờn D thỡ f(x) = f(y) v ch x = y nh lý 1.3 Hm s y = f(x) luụn ng bin (hoc nghch bin )trờn D, hm s y = g(x) luụn nghch bin (hoc ng bin )trờn D, thỡ PT f(x) = g(x) cú khụng quỏ nghim trờn D nh lý 1.4 Hm s y =f(x) cú o hm n cp n trờn D v PT f(n)(x)= cú khụng quỏ k nghim trờn D thỡ PT f(n-1)(x)=0 cú khụng quỏ k+1 nghim trờn D nh lý 1.5 f(x) l hm s liờn tc trờn [a;b] v f(a).f(b) < thỡ PT f(x)=0 cú nghim thuc (a;b) * Nờu : Chỳng ta thng gp cỏc bi toỏn yờu cu xỏc nh s nghim ca PT hoc xỏc nh iu kin PT cú k nghim Cú nhng PT cú hu hn s nghim, vic gii c th PT l khú khn Khi ú ta cú th nhm cỏc nghim ú v chng minh rng PT ú khụng cũn nghim no na Xỏc nh giỏ tr ca a PT ax2 + = cosx Vớ d 1.3 cú ỳng mt nghim x (0; ) (1.3) ( HSG lp 12 tnh Hi Dng nm 2005) Li gii PT cú nghim theo yờu cu thỡ a x sin cosx-1 PT ó cho tng ng vi a = 2a = x x sin t t.cost sin t cost(t-tant) Xột hm s f ( x) = , t (0; ) ta cú f '( x) = f '(t ) = f l hm s ng bin trờn xỏc nh Theo h qu ca nh lý 1.2 ta cú u = v - 3x = 2x + x = l nghim nht ca PT Dng Gii PT f(x) = k trờn D Sáng kiến kinh nghiệm năm 2008 Trờng THPT Thờng Xuân Nguyễn văn Sơn - Trong ú f(x) l mt hm s khụng n iu (i du ln) trờn D Phng phỏp - Lp bng bin thiờn ca hm s y = f(x) trờn D - T bng bin thiờn ta kt lun nghim ca PT Vớ d 1.9 Gii phng trỡnh: e tan x + cosx=2 vi x ( ; ) (1.9) 2 Li gii.Xột hm s f ( x) = e tan x + cosx , ta cú: Bng bin thiờn: tan x f '( x) = t anx 2e cos x e tan x s inx=sinx( ) cos x cos3 x Vỡ 2e tan x cos3 x > nờn du ca f(x) l du x 2 f ca sinx vi x ( ; ) Ta cú f ( x) f (0) = 2 Vy phng trỡnh ó cho cú nghim x = * Trong quỏ trỡnh gii bi (1.9) hc sinh thng mc phi sai lm sau: 2 Ta thy (1.9) e tan x + cosx = e tan x = cosx (*) n õy cỏc em ỏnh giỏ tan x = rng v trỏi luụn ; v phi luụn nờn t (1.11) suy cosx = x = k Theo bi ta cú nghim ca phng trỡnh l x = * Tuy rng nghim theo cỏch gii ny trựng vi ỏp ỏn trờn Nhng nu hc sinh thc hin theo cỏch ny vi bi toỏn khỏc s mc hai sai lm + Nu nghim ca phng trỡnh lm cho hai v ca (*) khỏc thỡ theo cỏch ny hc sinh s kt lun khụng cú nghim + Nu ngoi nghim lm cho hai v ca (*) bng khụng phng trỡnh cũn nghim khỏc thỡ cỏch gii s lm mt nghim Dng - Gii phng trỡnh: f(x) = g(x) - Trong ú y = f(x) v y = g(x) l cỏc hm s khỏc tớnh n iu Phng phỏp: - Chng minh hai hm s y = f(x) v y =g(x) khỏc tớnh n iu - Tỡm mt giỏ tr l nghim ca phng trỡnh v kt lun ú l nghim nht Vớ d 1.10 Gii phng trỡnh: x + = x + x3 (1.10) Sáng kiến kinh nghiệm năm 2008 Trờng THPT Thờng Xuân Li gii K: x f '( x) = 3 (1 x) Nguyễn văn Sơn (1.9) x x3 = x f ( x) = g ( x) 15 x 2 x3 < Vy f l hm s nghch bin Mt khỏc g(x) = x l hm s ng bin Theo nh lý 1.3 ta cú (1.10) cú nhiu nht l mt nghim Ta cng cú f(1) = g(1) = - nờn phng trỡnh ó cho cú nghim nht x = -3 Bi tng t: Gii cỏc phng trỡnh sau: x + + x + 7x + = log3 ( x + + x + = x + + x x2 + x + ) = x + 3x + 2 2x + 4x + 5 cos3x + 4sin3x 3sinx = x + = 2x x ( HSG tnh TT.Hu 2002) cos3x + asinx.cosx + sin3x = Cho PT: a/ Gii PT a = b/ Vi giỏ tr no ca a thỡ PT cú nghim Gi ý, ỏp s: Theo dng ta c x = 2 t u = x + 1, v = x PT cú nghim x = 1; x = t u = x + x + 3, v = x + 3x + PT cú nghim x = -1; x = - Theo dng ta cú x = Do cosx = khụng tha nờn nhõn hai v ca phng trỡnh cho cos3x ta c: * + 4tg x sin x = + 4tg x 3tgx = tg x 3tgx + = (1) cos x cos x * t: tgx = t, PT (1) tr thnh: f(t) = t3 3t + = (2) (xem vớ d 1.7) x = + k, x = + k, x = + k vi tgi = ti, i = 1,2,3 t1 = cos , t = cos , t = cos 9 10 Sáng kiến kinh nghiệm năm 2008 Trờng THPT Thờng Xuân x = + k2 a/ ,k Z x = ar cos + k2 Nguyễn văn Sơn b/ PT luụn cú nghim vi mi a II ng dng i vi bt phng trỡnh Tỡm iu kin bt phng trỡnh cú nghim Bi toỏn Tỡm iu kin bt phng trỡnh (BPT) f(x) > (f(x) ) cú nghim trờn D nh lý 2.1 Bt phng trỡnh f(x) > (f(x) < ) cú nghim trờn D v ch f ( x) < ) max f ( x ) > (min xD xD f ( x)) tn ti ) (Vi gi thit f(x) l s liờn tc trờn D v max f ( x) (min xD xD Vớ d 2.1 Tỡm m BPT sau cú nghim (2.1) x + x < m Li gii TX : x Xột hm s f ( x) = x + x vi ( x ) f ( x) < m 1 (*), f '( x) = + >0 vi mi x[-2; 3] x + 2 x x [-2;3] (2.1) Vy, f ( x) = f (2) = (2.1) cú nghim f ( x) < m m > [-2;3] [-2;3] Vớ d 2.2 Tỡm m BPT sau cú nghim: mx x m + (2.2) Li gii: K x (2.2) m x +1 x x +1 Xét hàm số f(x)= , với x , x f'(x)= x x x 3( x 1)2 x f(t) ta cú f(t) + 72 - + +1 , với x>3 f '( x ) = x x = x = Bt phng trỡnh cú nghim max f ( x ) m m [3;+ ) +1 Bi tõp tng t Tỡm m BPT: m( x x + + 1) + x (2 x ) cú nghim thuc [0, 1+ 3] ( d b i hc A 2007) 11 Sáng kiến kinh nghiệm năm 2008 Trờng THPT Thờng Xuân Nguyễn văn Sơn Tỡm m BPT: 2cos x + 3sin x m.3sin x cú nghim 2 ( tuyn sinh i hc quc gia H Ni 1999) Gi ý, ỏp s: m m Tỡm iu kin bt phng trỡnh tha vi mi x thuc D Bi toỏn 2: Tỡm iu kin BPT f(x)>(hoc f(x) ( hoc f(x) (hoc max f ( x ) < ) (Vi gi thit f ( x ) (hoc max f ( x )) tn ti D D D Cho BPT: x + 3mx Vớ d 2.3 D x3 (2.3) Xỏc nh cỏc giỏ tr ca m BPT vi mi x Li gii: K x (2.3) 3m x + x x4 Xột hm s f ( x ) = x + x = x2 + 4 x x x Ta cú: f '( x ) = x + > vi mi x nờn x x f(x) l hm s ng bin trờn [1; +) Suy = f (1) = [1;+ ) f ( x ) 3m m Vy, (2.3) ỳng vi mi x [1;+ ) Bi tng t: Tỡm m BPT: (1 + x )(3 x ) > m + (2 x x + 3) ỳng vi mi x [- ;3] Tỡm m BPT x x (m 1) x + m ỳng vi mi x x Tỡm giỏ tr ln nht ca m BPT sau nghim ỳng vi mi x m(| s inx | + | cosx | +1) | sin x | + | s inx | + | cosx | +2 Tỡm m BPT : sin x mcosx-3 nghim ỳng vi mi x [0; ] Tỡm m BPT tha vi mi x [0; ] : 2cos3x + (m 1)cos2x + 10cosx + m -1 12 Sáng kiến kinh nghiệm năm 2008 Trờng THPT Thờng Xuân Nguyễn văn Sơn Cho hm s y = x + x m , tỡm m y vi mi x thuc xỏc nh ( thi HSG tnh Thanh húa 2008) Gi ý, ỏp s: m < - m m = m 2 m m Gii bt phng trỡnh: nh lý 2.3: Nu hm s y = f(x) luụn ng bin (hoc nghch bin) trờn D v f(x) > f(y) x > y (hoc x < y) Gii bt phng trỡnh f(x) > (hoc f(x) ) vi f l hm Bi toỏn 3.1: n iu Vớ d 2.4 Gii BPT sau: x + x + x + 16 > + x (2.4) (Tuyn 30 nm TT Toỏn hc v tui tr) Li gii iu kin: x (*) Xột hm s f ( x ) = x + x + x + 16 x cú f '( x ) = 3x + 3x + 3 2 x + x + x + 16 + x > vi mi x (-2; 4) Vy f l hm s ng bin trờn khong (-2 ; 4) Mt khỏc f(1) = , ú (2.4) f(x) > f(1) x > Kt hp vi (*) ta cú nghim ca BPT l: < x Vớ d 2.5 Gii BPT : 3 x + Li gii: iu kin: 0, y > (1) ex x = ey y (3) Xột hm s f(t) = et t, cú f(t) = et > vi t > Do ú, f(t) l hm s ng bin t > x T (3) suy ra: x = y Thay vo (2) ta cú: log2 + log x = 10 log2 x + 2(2 + lo x ) = 10 log2x = x =2 Vy h ó cho cú nghim nht (2; 2) ln(1 + x ) ln(1 + y ) = x y x 12 xy + 20 y = Vớ d 3.3 Gii h phng trỡnh: Li gii K x > -1; y > -1 (3) ln(1+x) - x = ln(1+y) y Xột hm s f(t) = ln(1 + t) t vi t > -1 f '(t ) = (3) (4) t = 1+ t 1+1 Ta thy f(t) = t = nờn hm s ng bin khong (-1; 0) v nghch bin khong (0; +) Khi ú ta cú hai trng hp: + (3) x = y + (3) x, y thuc hai phớa ca 0, hay x.y < Nu x.y < thỡ v trỏi ca (4) luụn dng, vỡ vy h khụng cú nghim Nu x = y thay vo (4) ta c x = y = l nghim ca h ó cho Chỳ ý: Trong quỏ trỡnh gii cỏc bi toỏn cú dng nh vớ d 3.3 hc sinh d mc phi sai lm sau: Hc sinh thng hiu x, y thuc v hai phớa so vi t0ngha l t0 s cỏch u x v y T ú a nhn xột |x-t0|=|y-t0| Dng (H phng trỡnh hoỏn v vũng quanh) f ( x ) = y Gii h phng trỡnh: f ( y ) = z vi f l hm s n iu trờn xỏc nh D f ( z) = x Phng phỏp: + Chng minh hm f l hm s n iu + Gi s x0 = max{x0;y0;z0}(xột f l hm n iu tng) ú: f ( x ) f ( y0 ) y0 z0 f ( y0 ) f ( z0 ) z0 x iu ny l mõu thun nờn x0=y0=z0 16 Sáng kiến kinh nghiệm năm 2008 Trờng THPT Thờng Xuân Nguyễn văn Sơn x + x + ln( x x + 1) = y Vớ d 3.4 Gii h phng trỡnh: y + 3y + ln( y y + 1) = z z + 3z + ln( z2 z + 1) = x Li gii: Gi (x0;y0;z0) l nghim ca h phng trỡnh Xột hm s f (t ) = t + 3t + ln(t t + 1) ta cú f '(t ) = 3t + + 2t x x +1 >0 Vy f l hm s ng bin Gi s x0 = max{x0;y0;z0} ú: f ( x ) f ( y0 ) y0 z0 f ( y0 ) f ( z0 ) z0 x iu ny l mõu thun Suy ra: x0 = y0 = z0 Vỡ phng trỡnh x + x + ln( x x + 1) = cú nghim nht x = 1(xem cỏch gii phn I) nờn h ó cho cú nghim nht x=y=z =1 *)Tng quỏt dng thnh h sau: Dng 3: f ( x1 ) = g( x2 ) f ( x ) = g( x3 ) Gii h phng trỡnh: f ( xn ) = g( x1 ) (I) Vi f v g l cỏc hm s n iu trờn D * Phng phỏp gii: Ta xột hai trng hp: 1/ Hai hm s f v g cựng tớnh n iu trờn D 2/ Hai hm s f v g l khỏc tớnh n iu trờn D nh lý3.1 Nu (x1; x2;xn) l nghim ca h (I) ú: 1/ Nu hm s f v g cựng ng bin ( hoc nghch bin ) trờn D thỡ x1=x2==xn 2/ Nu f v g l khỏc tớnh n iu trờn D thỡ: + x1 = x2 ==xn nu n l x = x = =x n-1 + nu n chn x2 = x4 = = x n y = y + x2 Vớ d 3.5 Gii h phng trỡnh x2 + x = y2 (i hc B-2003) 17 Sáng kiến kinh nghiệm năm 2008 Trờng THPT Thờng Xuân Nguyễn văn Sơn Li gii: k x,y Ta cú nhn xột x < hoc y < khụng phi l nghim ca h y + x = t2 + y H ó cho tng ng vi h , xột hm s v g(t ) = 3t f (t ) = t x +2 y = x vi t > D thy f, g l hai hm s ng bin Gi (x;y) l nghim ca h v gi s xy f(x)f(y) g(y) g(x) y x Vy x = y Thay vo h phng trỡnh ta cú x = y = l nghim nht ca h Bi tng t: Gii cỏc h phng trỡnh sau: tgx tgy = y x y + = x y + s inx - siny = 3x - 3y x + y = x , y > ln x ln y = x y x +1 x + y y = 36 x = y y (TSH Khi A 2003) x y = x + x + x x + = y1 + x x = y y 6 log2008 x = y x y 3 x + y = x + y2 xy x y y + = y z z + = z x x + = y + y y + = x1 + x + y = x + y xy x + y + = x y (HSG Tha Thiờn Hu 2007 vũng 2) = ln( x + 2) ln( y + 2) x x + log (6 y ) = x 10 y y + log3 (6 z) = y z z + log (6 x ) = z (HSG Quc gia bng A-2006) Gi ý, ỏp s: x = y = x = y = 10 18 Sáng kiến kinh nghiệm năm 2008 Trờng THPT Thờng Xuân Nguyễn văn Sơn x = y = log 12 (1;1),( + + ; ),( ;) 2 x = y = x = y = 9 ; (4;4); (3 2;3 2 ) x = y = 10 x = y = 10 C KT LUN Kt qu ca ti nghiờn cu Nh ó trỡnh by trờn ti ny l h thng lý thuyt v bi hỡnh thnh v hon thin mt phng phỏp gii cỏc bi toỏn liờn quan n phng trỡnh, bt phng trỡnh, h phng trỡnh Ni dung ti ó gii quyt c nhng khú khn c t phn A Ni dung ca ti nhm mc ớch bi dng hc sinh khỏ gii Trong quỏ trỡnh thc nghim ti ti trng THPT Thng Xuõn hai nhúm hc sinh: Lp 12A2 vi 12 hc sinh khụng ỏp dng phng phỏp; Lp 12A4 vi 13 hc sinh c ỏp dng phng phỏp Kt qu hc sinh lp 12A4 t n kt qu nhanh hn v chớnh xỏc hn gii cỏc dng phng trỡnh, bt phng trỡnh cú cỏc thi hc sinh gii v thi i hc S liu so sỏnh tin hnh kim tra trờn hai nhúm hc sinh vi 10 bi toỏn (5 bi mc hc sinh gii; bi mc hc sinh khỏ) vũng 120 phỳt c th thin bng sau: Loi Gii Lp Khỏ T.bỡnh Y u 12A2 16,7% 50% 33,3% 0% 12A4 61,5% 30,8% 0,7% 0% Kin ngh, xut 19 Sáng kiến kinh nghiệm năm 2008 Trờng THPT Thờng Xuân Nguyễn văn Sơn Vỡ ti l s hon thin c bn ca phng phỏp, ni dung ca ti gn gi v phc v trc tip cho quỏ trỡnh dy v hc toỏn trng THPT Vỡ vy, tụi mnh dn xut ph bin ti ny cho tt c cỏc ng nghip v ỏp dng quỏ trỡnh dy hc ng thi thụng qua quỏ trỡnh ng dng b sung hon thin hn na ni dung ca ti, ti thc s l ti liu y v cn thit quỏ trỡnh bi dng Toỏn cho hc sinh trng THPT Thng Xuõn, thỏng nm 2008 TI Cể THAM KHO TI LIU T CC NGUN: [1] Tuyn 30 nm Toỏn hc v tui tr, NXB Giỏo dc [2] Cỏc thi hc sinh gii lp 12 cỏc nm ca cỏc tnh: Thanh húa, Ngh An, Hi Dng, Nam nh, Tha Thiờn Hu [3] Tp Toỏn hc v Tui tr, NXB Giỏo dc [4] Din n toỏn hc Vit Nam VM, www.toanthpt.net [5] Cỏc thi tuyn sinh i hc Cao ng - o0o - 20 Sáng kiến kinh nghiệm năm 2008 [...]... [-2;3] (2.1) Vy, min f ( x) = f (2) = 5 (2.1) cú nghim min f ( x) < m m > 5 [-2;3] [-2;3] Vớ d 2.2 Tỡm m BPT sau cú nghim: mx x 3 m + 1 (2.2) Li gii: K x 3 (2.2) m x 3 +1 x 1 x 3 +1 Xét hàm số f(x)= , với x 3 , x 1 f'(x)= 5 x 2 x 3 2 x 3( x 1)2 x f(t) ta cú f(t) 3 + 1 2 72 3 0 - + 3 +1 4 0 , với x>3 f '( x ) = 0 5 x 2 x 3 = 0 x = 7 2 3 Bt phng trỡnh cú nghim max f ( x ) m m