Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ——————— ——————— BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Trần Văn Bằng Hà Nội-05-10-2013 Mục lục Số thực dãy số thực 1.1 Trường số thực 1.1.1 Các tiên đề số thực 10 1.1.2 Các ký hiệu thuật ngữ 13 1.1.3 Giá trị tuyệt đối 14 1.1.4 Tập số thực mở rộng 14 1.2 Dãy số thực 16 1.2.1 Định nghĩa ví dụ 16 1.2.2 Các tính chất dãy hội tụ 16 1.2.3 Các phép toán dãy hội tụ 18 1.2.4 Tiến qua giới hạn bất đẳng thức 19 1.2.5 Các nguyên lý 19 MỤC LỤC 1.2.6 Sự hội tụ dãy đơn điệu 22 1.2.7 Giới hạn riêng, giới hạn giới hạn 24 1.2.8 Giới hạn vô 25 1.2.9 Bài tập 26 Hàm số biến số thực 31 2.1 Định nghĩa hàm số biến số thực 31 2.2 Đồ thị hàm biến số thực 32 2.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn, hàm số đơn điệu 32 2.4 Hàm số hợp 34 2.5 Hàm số ngược 34 2.6 Các hàm số sơ cấp 35 2.7 Hàm số sơ cấp 39 Giới hạn liên tục hàm số biến số 41 3.1 Định nghĩa giới hạn hàm số 41 3.2 Các tính chất giới hạn 42 3.3 Giới hạn phía 47 MỤC LỤC 3.4 Vô bé vô lớn 48 3.4.1 Định nghĩa 48 3.4.2 Tính chất 49 3.4.3 So sánh vô bé 49 3.4.4 Ứng dụng VCB tương đương để khử dạng vô định 50 3.5 Sự liên tục hàm biến số 50 3.5.1 Định nghĩa 50 3.5.2 Hàm số liên tục phía 51 3.5.3 Các loại điểm gián đoạn 52 3.5.4 Hàm số liên tục 53 3.5.5 Các phép toán hàm liên tục Hàm số hợp hai hàm số liên tục 55 3.6 Các tính chất hàm số liên tục đoạn 56 3.7 Bài tập 56 Đạo hàm vi phân hàm biến 57 4.1 Đạo hàm 57 4.2 Vi phân 60 4.3 Đạo hàm phía 61 MỤC LỤC 4.4 Đạo hàm vi phân cấp cao Các định lý giá trị trung bình 62 65 5.1 Các định lý giá trị trung bình 65 5.2 Công thức Taylor 69 5.3 Quy tắc L’Hospital 72 5.4 Khảo sát hàm số y = f (x) 73 5.5 Hệ tọa độ cực 76 5.6 Khảo sát đường cong cho phương trình tham số 79 5.7 Bài tập 81 Nguyên hàm tích phân bất định 87 6.1 Khái niệm nguyên hàm tích phân bất định 87 6.1.1 Một số khái niệm ví dụ 87 6.1.2 Tính chất tích phân bất định 88 6.1.3 Bảng nguyên hàm 90 6.2 Các phương pháp tính tích phân bất định 91 6.2.1 Phương pháp đổi biến số 91 6.2.2 Phương pháp tích phân phần 93 MỤC LỤC 6.3 Tích phân số lớp hàm đặc biệt 94 6.3.1 Tích phân hàm hữu tỷ 94 6.3.2 Tích phân hàm vô tỷ 97 6.3.3 Tích phân hàm lượng giác 102 Tích phân xác định 105 7.1 Định nghĩa tích phân xác định 105 7.2 Các điều kiện khả tích 106 7.2.1 Điều kiện cần 106 7.2.2 Tổng Darboux 107 7.2.3 Các tính chất tổng Darboux 108 7.2.4 Điều kiện cần đủ tính khả tích 109 7.3 Tính chất tích phân xác định 111 7.4 Các lớp hàm khả tích 119 7.5 Mối liên hệ nguyên hàm tích phân xác định 123 7.5.1 Hàm theo cận 123 7.5.2 Công thức Newton-Leibnitz 125 7.6 Các phương pháp tính tích phân xác định 126 MỤC LỤC 7.6.1 Phương pháp đổi biến số 126 7.6.2 Phương pháp tích phân phần 129 7.7 Ứng dụng tích phân xác định 130 7.7.1 Tính diện tích hình phẳng 130 7.7.2 Tính độ dài cung 132 7.7.3 Thể tích vật thể tròn xoay 134 7.7.4 Diện tích mặt tròn xoay 136 7.7.5 Một vài ứng dụng vật lý 138 7.8 Tích phân suy rộng 140 7.8.1 Tích phân suy rộng loại (cận vô tận) 140 7.8.2 Tích phân suy rộng loại hàm số không âm 145 7.8.3 Định lý Dirichlet định lý Abel 148 7.8.4 Tích phân hội tụ tuyệt đối 152 7.8.5 Tích phân suy rộng loại (tích phân hàm không bị chặn) 155 Chuỗi số 161 8.1 Chuỗi số 161 8.1.1 Khái niệm chuỗi số 161 MỤC LỤC 8.1.2 Một vài tính chất đơn giản 165 8.1.3 Phần dư chuỗi hội tụ 167 8.2 Chuỗi số dương 168 8.2.1 Các dấu hiệu so sánh 169 8.3 Sự hội tụ chuỗi với số hạng có dấu thay đổi 175 8.3.1 Chuỗi đan dấu 175 8.3.2 Các định lý Dirichlet Abel 176 8.3.3 Chuỗi hội tụ tuyệt đối bán hội tụ 177 8.4 Bài tập 179 8.4.1 Chuỗi số 179 8.4.2 Chuỗi số dương 182 MỤC LỤC Chương Số thực dãy số thực 1.1 Trường số thực Trong học phần nghiên cứu hàm số biến số (biến số thực, hàm giá trị thực) nên thiết phải hiểu trường số thực Thế số thực gì? Đây câu hỏi khó Việc xây dựng số thực vấn đề toán học Ngày nay, số thực thường xây dựng theo phương pháp sau: Phương pháp nhát cắt Dedekind (xem [4] [6]); Phương pháp dãy Cauchy (xem [8]); Phương pháp tiên đề (xem [12]) 174 Bài giảng Toán cao cấp sử ak+1 = α k→∞ ak lim Khi đó: a) Nếu α < chuỗi cho hội tụ b) Nếu α > chuỗi cho phân kỳ Ví dụ 8.12 a) Khảo sát hội tụ chuỗi số Ta thấy chuỗi số dương, có limk→∞ < nên hội tụ b) Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ k=1 k! ∞ k=1 k 2k ak+1 k+1 = limk→∞ = ak 2k x k k , (x > 0) Ta thấy chuỗi số dương, có ak+1 = lim k→∞ k→∞ ak lim x 1+ k k = x e Do vậy, chuỗi cho hội tụ ≤ x < e phân kỳ x > e ak+1 = chưa ak thể kết luận hội tụ hay phân kỳ chuỗi Tuy nhiên ak+1 từ số k0 trở mà ≥ ta có ak ≥ ak0 > 0, ∀k ≥ k0 , ak nên dãy số ak không tiến tới k → ∞ Do chuỗi ∞ k=1 ak phân Chú ý: Khi áp dụng dấu hiệu D’Alembert, limk→∞ kỳ Tương tự, áp dụng dấu hiệu Cauchy, limk→∞ √ k ak = Trần Văn Bằng-Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 175 chưa thể kết luận hội tụ hay phân kỳ chuỗi Tuy nhiên √ từ số k0 trở mà k ak ≥ chuỗi phân kỳ Chẳng hạn, Ví dụ 8.12 b), x = e ta có limk→∞ Nhưng dãy + k k ak+1 = ak dãy tăng đến e k → ∞ nên ak+1 = lim k→∞ ak e 1+ k k > 1, ∀k = 1, 2, · · · chuỗi cho phân kỳ x = e 8.3 Sự hội tụ chuỗi với số hạng có dấu thay đổi 8.3.1 Chuỗi đan dấu Định nghĩa 8.2 Một chuỗi số có dạng ∞ k−1 ak k=1 (−1) số ak dấu, gọi chuỗi đan dấu Để đơn giản, ta giả thiết ak > 0, ∀k Định lý 8.11 [Dấu hiệu Leibniz] Nếu dãy số {ak } dãy đơn điệu giảm limk→∞ ak = chuỗi đan dấu ∞ k−1 ak k=1 (−1) có đánh giá số hạng dư thứ n |Rn | ≤ an+1 hội tụ.Hơn ta 176 Bài giảng Toán cao cấp k−1 (−1)k−1 ∞ (−1) k=1 có Ví dụ 8.13 Các chuỗi đan dấu k k + 2k ak đơn điệu giảm, hội tụ nên theo Định lý Leibniz, chúng ∞ k=1 chuỗi hội tụ 8.3.2 Các định lý Dirichlet Abel Xét chuỗi số có dạng ∞ k=1 ak bk Định lý 8.12 (Dấu hiệu Dirichlet) Giả sử a) Chuỗi ∞ k=1 ak có dãy tổng riêng bị chặn, tức tồn số M > cho: |Sn | = |a1 + a2 + · · · + an | ≤ M, ∀n b) {bk } dãy đơn điệu giảm limk→∞ bk = Khi đó, chuỗi ∞ k=1 ak bk hội tụ Định lý 8.13 (Dấu hiệu Abel) Giả sử a) Chuỗi ∞ k=1 ak hội tụ b) {bk } dãy đơn điệu bị chặn Khi đó, chuỗi ∞ k=1 ak bk hội tụ Ví dụ 8.14 Khảo sát hội tụ chuỗi số 2kπ) ∞ k=1 cos kx , kα (α > 0, x = Trần Văn Bằng-Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội Đặt ak = cos kx, bk = +) Chuỗi ∞ k=1 ak n cos kx = Sn = Do |Sn | ≤ Ta có: kα có tổng riêng n sin k=1 177 x 2 cos kx sin k=1 x x sin(2n+1) = −sin x2 , (x = 2kπ x 2 sin x sin +) Dãy {bk } dãy đơn điệu giảm, có giới hạn Vậy theo Dấu hiệu Dirichlet, chuỗi ban đầu hội tụ 8.3.3 Chuỗi hội tụ tuyệt đối bán hội tụ Xét chuỗi số ∞ k=1 ak ∞ k=1 |ak | chuỗi số dương tương ứng Định lý 8.14 Nếu chuỗi số dương ∞ k=1 |ak | hội tụ chuỗi ∞ k=1 ak hội tụ Định nghĩa 8.3 Nếu chuỗi ∞ k=1 |ak | hội tụ, chuỗi gọi chuỗi hội tụ tuyệt đối Nếu chuỗi dương tương ứng ∞ k=1 |ak | ∞ k=1 ak phân kỳ, chuỗi ∞ k=1 ak hội tụ chuỗi số ∞ k=1 ak gọi bán hội tụ (hay hội tụ có điều kiện) (−1)k−1 Ví dụ 8.15 a) Chuỗi chuỗi hội tụ (theo dấu hiệu k Leibniz), chuỗi số dương tương ứng với chuỗi điều hòa, ∞ k=1 phân kỳ Vậy chuỗi bán hội tụ 178 Bài giảng Toán cao cấp b) Chuỗi ∞ k=1 sin kx có k2 sin kx ≤ , k2 k2 ∀k = 1, 2, · · · hội tụ nên chuỗi số dương tương ứng với chuỗi ban k2 đầu hội tụ Do chuỗi xét hội tụ tuyệt đối mà chuỗi ∞ k=1 ∞ k=1 |ak | Chú ý: Nếu chuỗi phân kỳ Tuy nhiên chuỗi phân kỳ chưa chuỗi ∞ k=1 |ak | ∞ k=1 ak phân kỳ theo dấu hiệu Cauchy theo dấu hiệu D’Alembert chuỗi ∞ k=1 ak phân kỳ, ak không tiến tới k → ∞ Ví dụ 8.16 Khảo sát hội tụ chuỗi số Ta có ak = k! x ∞ , k! k=1 kk (|x| = e) x kk |ak+1 | = lim k→∞ |ak | k→∞ lim |x| 1+ k k = |x| e Do đó, theo tiêu chuẩn D’Alembert, |x| < e chuỗi ban đầu hội tụ tuyệt đối, |x| > e chuỗi số dương tương ứng với chuỗi ban đầu phân kỳ, chuỗi ban đầu phân kỳ Sự khác biệt hội tụ tuyệt đối chuỗi bán hội tụ thể định lý Dirichlet định lý Riemann sau đây: Trần Văn Bằng-Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội Định lý 8.15 (Dirichlet) Giả sử chuỗi ∞ k=1 ak 179 hội tụ tuyệt đối có tổng S, σ : N∗ → N∗ song ánh Khi chuỗi ∞ k=1 aσ(k) hội tụ tuyệt đối có tổng S Nói cách khác: việc thay đối thứ tự số hạng chuỗi hội tụ tuyệt đối không làm thay đổi tính hội tụ tổng chuỗi Định lý 8.16 (Riemann) Giả sử chuỗi ∞ k=1 ak bán hội tụ Khi ta hoán vị số hạng chuỗi cách thích hợp để nhận chuỗi có tổng số chuỗi phân kỳ 8.4 Bài tập 8.4.1 Chuỗi số Bài 8.35 Tìm tổng riêng thứ n chuỗi số sau đây, từ tìm tổng chuỗi hội tụ + 2 2 + + + · · · + n−1 + · · · 27 9 9 + + + · · · + + ··· 100 1002 1003 100n − 1 1 + − + · · · + (−1)n−1 n−1 + · · · − + − + · · · + (−1)n−1 2n−1 + · · · 180 Bài giảng Toán cao cấp 1 1 + + + ··· + + ··· 2.3 3.4 4.5 (n + 1)(n + 2) Bài 8.36 Viết số số hạng đầu chuỗi số sau tìm tổng chuỗi ∞ k=0 (−1)k 4k ∞ k=2 4k ∞ k=1 4k ∞ k=0 + 2k 3k ∞ k=0 (−1)k + 2k 5k Bài 8.37 Biểu diễn số thập phân sau dạng tỉ số hai số nguyên 0, 23 = 0, 232323 0, 234 = 0, 234234234 0, ¯7 = 0, 7777 1, 24123 = 1, 24123123 3, 142857 = 3, 142857142857 Trần Văn Bằng-Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 181 Bài 8.38 Tính tổng chuỗi số sau đây: ∞ n=1 (2n − 1)(2n + 1) ∞ n=1 n(n + 1)(n + 2) 2n + + 1)2 √ √ ∞ √ n + − n + + n) ( n=1 ∞ n=1 ∞ n=1 n2 (n n (2n − 1)2 (2n + 1)2 Bài 8.39 Các chuỗi sau có thỏa mãn điều kiện cần để chuỗi hội tụ hay không? + + + + 11 ∞ n=1 n sin n 1 nn+ n (n + n1 )n √ ∞ sin π n2 + n n=1 ∞ n=1 ∞ n=1 2n − 2n + n+1 Bài 8.40 Dùng điều kiện cần đủ Cauchy xét hội tụ chuỗi sau 182 Bài giảng Toán cao cấp ∞ n=1 ∞ n=1 ∞ n=1 n cos x 2n (3n − 1)3n sin nx − sin(n + 1)x n Bài 8.41 * Bằng cách tính tổng riêng cho biết chuỗi ∞ n=1 un có hội tụ hay không? Tính tổng chuỗi (nếu hội tụ) un = (−1)n+1 2n + n(n + 1) n2 + n + n un = n + n2 + un = arctg un = ln − un = 8.4.2 , n≥2 n2 n+1 −√x e dx n Chuỗi số dương Bài 8.42 Khảo sát hội tụ chuỗi số sau: un = (n + 1)(n + 2) n2 (n2 + 3) ∞ n=1 un trường hợp Trần Văn Bằng-Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 2 un = ln + tg 183 n2 n(n + 2) n2 + 3lnn √ un = n2 + n − n un = 2n + n un = n + 3n + un = − cos √ n Bài 8.43 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ n=1 un trường hợp sau: 1 un = √ (e n − 1) n kn un = k (k > 0) n √ n2 + n tg , n ≥ un = ln n − n n2 an un = (a > 0, b > 0) n + bn 1 un = ln √ − ln sin √ n n Bài 8.44 Xét hội tụ chuỗi số dương sau ∞ n=1 n(n + 1) 184 Bài giảng Toán cao cấp 2 ∞ n=1 ∞ n=2 , (α > 0) (lnn)α ∞ n=2 (lnn)lnn ∞ n=3 (lnlnn)lnn ∞ n=3 (lnn)lnlnn n(n2 + 1) Bài 8.45 Khảo sát hội tụ chuỗi sau ∞ n=2 n.lnn ∞ n=3 n.lnn.ln(lnn) ∞ n=3 , σ > n.lnn.(lnlnn)1+σ Bài 8.46 Xét hội tụ chuỗi số sau 2n + 100 3n2 + n ∞ n n=1 (−1) 2 ∞ n sin n n=1 (−1) n 1 1 1 1 + + − − − + + + − (−1)n ∞ √ n=2 n + (−1)n Trần Văn Bằng-Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội Bài 8.47 Cho hai chuỗi số dương ∞ k=1 ak , 185 ∞ k=1 bk Giả sử hai chuỗi cho hai chuỗi số dương hội tụ, chứng minh chuỗi ∞ k=1 ak , ∞ k=1 bk , ∞ k=1 ak bk hội tụ Giả sử hai chuỗi cho hai chuỗi bất kỳ, chứng minh chuỗi ∞ k=1 ak , ∞ k=1 bk hội tụ chuỗi ∞ k=1 ak bk hội tụ tuyệt đối Bài 8.48 Chứng minh rằng, hai chuỗi ak ≤ ck ≤ bk , ∀k chuỗi ∞ k=1 ak , ∞ k=1 bk ∞ k=1 ck ∞ k=1 ak , ∞ k=1 bk hội tụ hội tụ Còn hai chuỗi phân kỳ kết luận chuỗi ∞ k=1 ck ? 186 Bài giảng Toán cao cấp Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2003), Toán cao cấp, Tập 2, NXBGD [2] Nguyễn Thừa Hợp (2007), Giải tích, Tập 1, NXB ĐHQGHN [3] Nguyễn Thừa Hợp (2007), Giải tích, Tập 2, NXB ĐHQGHN [4] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn (2001), Giáo trình Giải tích, Tập 1, NXB ĐHQGHN [5] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn (2001), Giáo trình Giải tích, Tập 2, NXB ĐHQGHN [6] G M Fichtengon (1977), Cơ sở Giải tích toán học, Tập 1, NXB ĐH&THCN [7] G M Fichtengon (1977), Cơ sở Giải tích toán học, Tập 2, NXB ĐH&THCN 188 Bài giảng Toán cao cấp [8] Nguyễn Xuân Liêm (2004), Giải tích, Giáo trình lý thuyết tập, Tập 1, NXBGD [9] Nguyễn Xuân Liêm (2004), Giải tích, Giáo trình lý thuyết tập, Tập 2, NXBGD [10] Y Y Liasko, A C Boiatruc, IA G Gai, G P Golovac (1979), Giải tích toán học, ví dụ tập, Phần I, Tập I, NXB ĐH&THCN [11] Y Y Liasko, A C Boiatruc, IA G Gai, G P Golovac (1979), Giải tích toán học, ví dụ tập, Phần I, Tập II, NXB ĐH&THCN [12] Nguyễn Duy Tiến (2004), Bài giảng Giải tích, Tập I, NXB ĐHQGHN [...]... 0, 1, 2, ) Bài 1.7 Dùng nguyên lý hội tụ Cauchy để xét tính hội tụ của các dãy sau: (a) xn = a0 + a1 q + + an q n , |an | ≤ M (n = 1, 2, ), |q| < 1; 1 1 1 + + + ; 22 32 n2 sin α sin 2 sin nα (c) xn = + + + 2 22 2n (b) xn = 1 + Bài 1.8 Dùng nguyên lý hội tụ Cauchy để chứng minh tính phân kỳ của các dãy sau: 1 1 1 (a) xn = 1 + √ + √ + + √ ; n 2 3 28 Bài giảng Toán cao cấp 2 1 1 1 + + + ; ln 2 ln... 0; n→∞ 2n nα (c) lim n = 0 (a > 1); n→∞ a (a) lim (b) lim n→∞ n→∞ 1 (g) lim √ = 0; n→∞ n n! loga n = 0 (a > 0, a = 1) n→∞ n (h) lim Bài 1.5 Tìm các giới hạn sau: 1 + a + a2 + + an (|a| < 1, |b| < 1); (a) lim n→∞ 1 + b + b2 + + bn 1 3 5 2n − 1 (b) lim + 2 + 3 + + ; n→∞ 2 2 2 2n √ √ √ √ n (c) lim 2 4 2 8 2 2 2 ; n→∞ ( 2) n + 3n (d) lim ; n→∞ ( 2) n+1 + 3n+1 (e) lim n→∞ 1− 1 22 1− 1 32 1 − 1 ; n2 Trần... 3 (n = 2, 3, ) 4 Chứng minh rằng dãy (xn ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó Bài 1.15 Khảo sát sự hội tụ của các dãy và tính giới hạn của chúng, với: (a) 3xn − 5xn−1 + 2xn 2 = 0 x1 = 3, x2 = 2; (b) 2xn − xn−1 − xn 2 = 0 x1 = 2, x2 = 5 Bài 1.16 Cho dãy số (xn ) xác định như sau x0 = 1, xn = xn−1 + 1 xn−1 (n = 1, 2, 3, ) Chứng minh rằng lim xn = +∞ n→∞ 30 Bài giảng Toán cao cấp 2 Chương 2 Hàm số... 1 7 , , , , , , , n , , 2 2 4 4 8 8 2 2n Bài 1. 12 Cho dãy số (xn ) (n = 1, 2, ) được xác định bằng công thức x1 = a, x2 = b, xn = xn−1 + xn 2 (n = 3, 4, ) 2 Tìm lim xn n→∞ Bài 1.13 Giả sử dãy số (xn ) (n = 1, 2, ) được xác định bằng công thức x0 > 0, xn+1 = 1 1 xn + 2 xn (n = 0, 1, 2, ) Trần Văn Bằng-Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 2 29 Chứng minh rằng lim xn = 1 n→∞ Bài 1.14 Cho dãy số (xn )... Bằng-Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 2 1− (f) lim n→∞ 1 3 1− 1 1 − 6 1 27 ; n(n+1) 2 23 − 1 33 − 1 n3 − 1 (g) lim 3 3 3 n→∞ 2 + 1 3 +1 n +1 Bài 1.6 Dùng định lý về sự tồn tại giới hạn của dãy đơn điệu bị chặn hãy chứng minh sự hội tụ của các dãy sau: (a) xn = (b) x1 = 1+ √ 1 2 2, x2 = 1+ 2+ 1 1 1 + n 4 2 √ 2, , xn = , (n = 1, 2, ); 2+ 2 + + √ 2; n căn (c) xn = p0 + p1 pn + + n (n = 1, 2, ) 10... Xét dãy số sau un = 1 + 1 1 1 + + + 1! 2! n! Ta thấy dãy này là một dãy tăng và bị chặn trên bởi 3 Thật vậy, hiển nhiên dãy (un ) tăng và un < 1 + 1 + 1 1 1 + 2 + + n−1 < 3 2 2 2 24 Bài giảng Toán cao cấp 2 Do đó, dãy này có giới hạn hữu hạn Ta ký hiệu e = lim n→∞ 1+ 1 1 1 + + + 1! 2! n! Rõ ràng 2 < e ≤ 3 Có thể chứng minh e là số vô tỷ và e xấp xỉ bằng 2. 7183 Trong nhiều tài liệu kết quả sau đây... đoạn con có tính chất đó Ta có b1 − a1 = 2 Ta lại chia [a1 , b1 ] thành hai đoạn bằng nhau và gọi [a2 , b2 ] là đoạn con b−a chứa vô số số hạng của dãy Ta có b2 − a2 = 2 2 Cứ tiếp tục như thế ta xây dựng được một dãy đoạn lồng nhau [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ ⊃ [ak , bk ] ⊃ với bk − ak = b−a → 0 (k → ∞), 2k Trần Văn Bằng-Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 2 21 mỗi đoạn này chứa vô số số hạng của dãy... + + + − (n = 1, 2, ) 2 3 4 5 6 3n − 2 3n − 1 3n (b) xn = Bài 1.9 Nếu lim xn yn = 0 thì có thể suy ra hoặc lim xn = 0 hoặc n→∞ n→∞ lim yn = 0 được không? n→∞ Bài 1.10 Tìm các giới hạn trên và giới hạn dưới của các dãy sau: (a) xn = (−1)n−1 2 + 3 n (n = 1, 2, ); n−1 2nπ cos (n = 1, 2, ); n+1 3 n nπ (c) xn = sin2 (n = 1, 2, ) n+1 4 (b) xn = Bài 1.11 Tìm các giới hạn riêng của dãy số: 1 2n − 1 1 1 1 3 1... f (x1 ) ≥ f (x2 ); giảm nghiêm ngặt trên J nếu x1 , x2 ∈ J, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) Một hàm số thuộc một trong bốn loại trên được gọi là hàm số đơn điệu trên J 34 Bài giảng Toán cao cấp 2 2.4 Hàm số hợp Cho X ⊂ R, Y ⊂ R, Z ⊂ R, các hàm số g : X → Y và f : Y → Z Hàm số h := f ◦ g : X → Z định nghĩa bởi h(x) := f (g(x)) , x ∈ X được gọi là hàm số hợp của hàm số f và hàm số g Ví dụ 2. 2 Cho X = Y =... hạn và lim vn = a n→∞ Chứng minh Xem [4, p 43] 1 .2. 5 Các nguyên lý cơ bản Định lý 1.10 (Nguyên lý Cantor) Cho dãy các đoạn [an , bn ](n = 1, 2, ) 20 Bài giảng Toán cao cấp 2 lồng nhau và thắt lại, tức là [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ ⊃ [an , bn ] ⊃ và ∞ lim (bn − an ) = 0 Khi đó tồn tại duy nhất một phần tử α ∈ n→∞ [an , bn ] n=1 Chứng minh Đặt A := {a1 , a2 , } Khi đó tập A bị chặn trên bởi bk bất kỳ Do