Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu phân tích chi tiết hướng giải một số hệ phương trình không mẫu mựcGiúp các em học sinh lớp 10 và ôn thi trung học phổ thông quốc gia tự tin khi đi giải hệ phương trình. Nó cũng là tài liệu giúp các GV trong quá trình giảng dạy
Một số kỹ thuật phương pháp biến đổi tương đương để giải hệ phương trình tác giả phân loại sau: Loại 1: Nhân chéo đưa phương trình hệ (việc nhân chéo thường đưa phương trình đẳng cấp) VD1 : Giải hệ phương trình: ( − ) = (1) ( + ) = 10 (2) HD: Chúng ta nhận thấy vế trái phương trình (1) (2) chứa số hạng bậc vế phải chứa số hạng bậc nhân chéo hai phương trình rút gọn, ta phương trình đồng bậc (đẳng cấp) Từ suy nghĩ ta có cách giải hệ phương trình sau: Nhân chéo hai phương trình hệ ta được: ( − ⟺3 ) 10 = ( − 17 + 20 + ) = (3) TH1: = 0, thay vào hệ ta suy TH2: ≠ 0, chia hai vế phương trình (3) cho ⎡ ⟺ ⎢⎢ ⎢ ⎣ = − 17 ta được: + 20 = ⎡ = ⎢ ⎢ = −2 (loại vì , cùng dấu) =4 ⎢ ⟺⎢ √15 = = ⎢ 3 ⎢ ⎢ = − √15 (loại vì , cùng dấu) ⎣ Trong trường hợp thay vào phương trình (1) phương trình (2) giải phương trình thử lại ta nghiệm hệ sau: (0; 0); (−2; −1); (2; 1); 15 15 √135 √135 ; − ;− 2 √135 2√135 ; Tuy nhiên hệ phương trình nhân chéo mà phải thực qua vài phép biến đổi để đưa số hạng đồng bậc vế phương trình Đôi việc đơn giản chuyển vế - đổi dấu VD2 : Giải hệ phương trình: + −1= −4 = − (1) (2) HD: Đưa số hạng đồng bậc vế phương trình ta + − = (1) + = + (2) Đến nhân chéo hai phương trình đưa phương trình đồng bậc ( −4 +3 )=0 Giải tương tự VD1 thử lại vào hệ ta nghiệm hệ sau (0; 1); (1; 0); (1; 1); ; √25 √25 VD3 : Giải hệ phương trình: −8 = + (1) − = 3( + 1) (2) HD: Ta biến đổi đưa hệ phương trình dạng: − = + (1) −3 = (2) Nhân chéo hai phương trình hệ đưa phương trình đồng bậc 3( − )=( −3 )(4 + ) Giải phương trình thử lại vào hệ ĐS: (3; 1); (−3; −1); −4 ; ; ;− VD4 : Giải hệ phương trình: −4 + = (1) + = + (2) HD: Nhân chéo hai phương trình đưa phương trình đồng bậc −8 + 12 =0 Giải phương trình thử lại vào hệ ĐS: (0; 0); (1; 0); 1; ; ; VD5 : Giải hệ phương trình: +4 − − 16 = (1) = + (2) HD: Ta biến đổi đưa hệ phương trình dạng: − −5 = 16 − (1) = (2) Nhân chéo hai phương trình hệ đưa phương trình đồng bậc (7 − )(3 + ) = Giải phương trình thử lại vào hệ ĐS: (0; 2); (0; −2); (1; −3); (−1; 3) KL: Đối với loại học sinh cần tinh ý khéo léo thực bước biến đổi cho gọn gàng đặc biệt cần nhớ: Một thiết sau nhân chéo phải đưa phương trình đẳng cấp; hai phương pháp đưa phương trình hệ quả, học sinh cần kiểm tra lại cách thay nghiệm vào hệ ban đầu Loại 2: Phương pháp Rút Thế Trong hệ có phương trình mà ta rút ẩn theo ẩn sau đưa phương trình lại trở thành phương trình với biến Đây phương pháp truyền thống mà có lẽ thường xuyên nghĩ tới gặp hệ phương trình VD1: Giải hệ phương trình: ( + 1)( + + 1) = − + (1) + + = (2) Trong VD để ý phương trình thấy biểu thức +1 xuất nhiều ta nghĩ tới việc rút biểu thức phương trình (2) Với lối tư ta giải toán sau: HD: Dễ thấy Với = nghiệm hệ phương trình ≠ từ (2) ⟹ +1= thay vào (1) nhân khai triển ta phương trình bậc với biến Dùng giản đồ Hoocne ta = ( ) = = −2 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; ) (1; −1), (−2; − ) VD2: Giải hệ phương trình: − 2√2 − − − = (1) √2 = − + (2) HD: Từ pt(2) ⇒ =2− Thế vào pt(1) ⇒ √2 − − = − √2 − Đến phương trình vô tỷ mà thường xuyên giải chương trình lớp 10 Tác giả để học sinh tự giải ĐS: (1; 2), ( ; − ) Việc Rút – lúc đơn giản rút biến theo biến mà đỉnh cao tinh ý để rút biểu thức mà tác giả trình bày ví dụ VD3: Giải hệ phương trình: + = (1) ( + )(1 + ) = 32 (2) HD: Từ pt(1) ⇒ ( + ) = + 2(1 + = 2(1 + )(1 + ⟺ 1+ ⟺ =1⇒ ) =2 =2 + =2 ) vào pt(2) ta Từ suy , nghiệm phương trình −2 +1 = Đến ta tìm nghiệm hệ (1;1) Đôi việc rút trở lên cồng kềnh (VD4), dễ làm nản chí mà bỏ nghĩ cách khác Khổ nỗi cách khác chưa nghĩ ra, đâm lao phải theo lao VD4: Giải hệ phương trình: +3 +2 = − 13 (1) = + 11 (2) HD: dễ thấy = không nghiệm phương trình Từ pt(2) ⇒ = vào pt(1) ta được: ( − 3)( + 7)(3 − 7) =0 −1 Tất nhiên để kết tác giả có trình biến đổi dài Đến việc tìm nghiệm hệ dễ dàng ĐS: (−4; 3); ; −7 ; (−2; ) Dưới số VD khác phương pháp này: VD5: Giải hệ phương trình: HD: Từ pt(2) ⇒ 2 + = + (1) + = + (2) = vào pt(1) ta được: − ĐS: ;− ( + 2)(4 ; −2; − ;( √ + 18 − 54) = ; 3); ( √ ; 3) VD6: Giải hệ phương trình: HD: Từ pt(2) ⇒ + + = (1) − + = (2) = ( = −1 không là nghiệm của hệ) vào pt(1) ta được: ( + 2)(2 ĐS: (−2; −1); (1; 2); ( − √ + √ ); √ − + 1) = ); ( − √ ); √ √ ) VD7: Giải hệ phương trình: ( + + 1)( + + 1) = (1) (1 − )(1 − ) = (2) HD: Từ pt(2) ⇒ =1− = ( = 1 không là nghiệm của hệ) vào pt(1) tiếp tục làm ví dụ ta nghiệm hệ (−2; −1); (−1; −2) VD8: Giải hệ phương trình: + )+ = (1) ⎧ 4( + ( + ) ⎨ + = (2) ⎩ + HD: Tìm điều kiện hệ từ pt(2) ⇒ ĐS: (1; 0); − ; √ ; √ ; ;( = − vào pt(1) √ ; √ ) VD9: Giải hệ phương trình: + − (1) +1+1 =7 + + = 13 − + 12 (2) HD: Hệ phương trình cho tương đương với: Dễ thấy (7 − ) ( +1= + (3) − 13)( + 1) + + + = (4) = 7 không là nghiệm của hệ Đến ta nghĩ tới việc rút từ pt(3)⇒ ĐS: 1; − +1= vào pt(4) ; (3; 0) VD10: Giải hệ phương trình: +2 +2 + = + (1) = + (2) HD: Hệ phương trình cho tương đương với: ( + ) = + − +6 +6 = ĐS: −4; Loại 3: Một phương trình hệ mà ta phân tích đa thức thành nhân tử Đối với loại ta thường nhẩm nghiệm đặc biệt Câu hỏi lớn mà nhiều học sinh đặt với dạng toán làm mà biết nhân tử để phân tích? Theo ý kiến chủ quan tác giả phương pháp chung để nhận nhân tử mà việc nhận nhân tử phải do: - Kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử - Có thể sử dụng máy tính Casio để dự đoán Bản thân tác giả không khuyến khích cách sử dụng máy tính Casio để dự đoán mà mong muốn học sinh dựa vào phép biến đổi tương đương để nhìn nhân tử từ tự rút kinh nghiệm phân tích cho thân Trước tới ví dụ khó tham khảo ví dụ đơn giản sau: VD1: Giải hệ phương trình: HD: điều kiện ≤ 2, (1 − ) + = (1) + = (2) ≤2 Ở ta dễ dàng nhận thấy pt(1) phân tích thành (1 − )( ⇔ Từ thay − 4) = = = 2 (loại vì ≤ 2) = −2(loại vì ≤ 2) = vào pt(2) ta nghiệm hệ: (1; 1); (−1; 1) VD2: Giải hệ phương trình: + ( − 2008) HD: Điều kiện ≥ 1, + = −2 (1) − √ − = − (2) ≥0⟹ + >0 Phương trình (1) đưa ( + )( − − 1) = ⟺ Thay vào phương trình (2) ta =2⟹ =2 +1 = VD3: Giải hệ phương trình: +1 +3 HD: Điều kiện +1 = (1) = (2) ≠ Ta có phương trình (1) ⟺ ( ⟺ ( − )(1 − TH1: = + 1) = ( + 1) = )=0⟺ =1 thay vào PT(2) ta = ±1 từ suy y = ±1 ⟹ = ±1 TH2: =1⟺ = thay vào PT(2) ta = ± √3 ⟹ =± √ Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm (1; 1), (−1; −1), −√3; − √ , √3; √ Thực tế ví dụ dễ dàng phân tích phương trình thành tích nhân tử Tuy nhiên nhân tử phức tạp ta cần thêm kỹ nhỏ sau để phán đoán nhân tử cần phân tích VD4: Giải hệ phương trình: + + − ( + ) = (1) + = (2) HD: Để ý thấy phương trình (2) ta biến đổi thêm ta tập trung vào phương trình (1) Ta thử đơn giản sau: Cho =0⟹ =2 Cho =0⟹ =2 Đến ta nhận thấy tử + Cho + = dự đoán phương trình có nhân − Để chắn ta tiếp tục =1⟹ −2 +1=0⟹ =1⟹ + =2 Từ phân tích ta giải toán sau: Phương trình (1) phân tích thành ( + − 2)(1 − + −2 = ⟺ ⟺ 1− = )=0 = − = ( ≠ 0) Thay trường hợp vào pt(2) ta nghiệm hệ (1; 1); (−1; −1) Chú ý cách làm dự đoán chủ quan nên đúng, sai, nhiên trường hợp nhìn nhân tử cách biến đổi thông thường ta nên thử phương án VD5: Giải hệ phương trình: HD: Điều kiện −6 − ≥ , +9 + + −4 = (1) = (2) ≥− ⟹ ≥| | Làm tương tự ví dụ phương trình (1) ta Cho =0⟹ =0 Cho =0⟹ =0 Từ kết ta dự đoán = , =− , = rõ ràng để có 1dự đoán tốt nên thử thêm vài trường hợp (Có thể kết hợp sử dụng máy Casio để tính toán nhanh hơn) Cho =1⟹ = =1 Cho =1⟹ = =1 Đến ta tìm cách phân tích làm xuất nhân tử − − phương trình (1) Thật vậy: Phương trình (1) ⇔ ( − ) ( − ) = Bài toán giải ĐS: (2; 2), (32 − 8√15; − 2√15) VD6: Giải hệ phương trình: = (1) + = − (2) + + + HD: Điều kiện + > Tiếp tục sử dụng phương pháp phán đoán hai ví dụ ta hoàn toàn xử lý tốt toán sau: Từ phương trình (1) ⟺ ( + ) − 2( + ) ⟺ ( + )[( + ) − 1] − ⟺( + ⟺ ( + −( + )=0 +2 − 1) = − 1)[( + ) + ( + ) − ]=0 + = (3) ( + ) + ( + ) − = (4) Từ (2) (3) ta dễ dàng tìm nghiệm hệ (1; 0); (−2; 3) Từ (2) (4): ( + ) +( + )−2 = ⟺ + = − ⟺ +( − ) = ⟺ = − + + + + = + = + =0 − = (loại) Vậy hệ phương trình có nghiệm: (1; 0); (−2; 3) VD7: Giải hệ phương trình: ( + 4) + ( + )(2 + HD: Điều kiện − 2) − − = −1 (1) = + 2√2 (2) ≤ √ , ≤ + 2√2 Nhận thấy phương trình (2) biến đổi thêm ta tập trung vào phương trình (1): Cho =0⟹ = + √2 = − √2 Cho =0⟹ = + √2 = − √2 Có điều đặc biệt phương trình (1) ta cảm thấy mơ hồ ta tiếp tục thử với nghiệm = phương trình cho ta + √2 − √2 ; với 10 = phương trình cho ta nghiệm + √2 − √2 Vậy khả phương trình có nghiệm = + √2 ; = − √2 Đến sử dụng định lý đảo dấu tam thức bậc ta dự đoán phương trình có nhân tử + − Vậy ta rút cách giải sau: Pt(1) ⟺ +4 ⟺( ⟺ +2 +2 ( − +2 −2 −2 − ) + (2 + − 1) + ( +4 − −2 )−( + − 1) − ( +1= + − 1) = + − 1) = ⟺( + − 1)( + − 1) = ⟺ ⎡ = + √2 (loại) ⎢ = − √2 (thỏa mãn) +2 −1=0 ⟺⎢ +2 −1=0 ⎢ = + √2 (thỏa mãn) ⎣ = − √2 (thỏa mãn) Mỗi trường hợp thay vào phương trình (2) ta nghiệm hệ 0; + √2 ; √2; − √2 ; − √2; − √2 ; − √2; 10√2 − ; − √2; − 10√2 − VD: + √2 = ( + ) + √ −1+ = + + 21 VD Nếu phương trình hệ có thức phải nghĩ tới phép nhân liên hợp Chúng ta xem vài ví dụ đây: VD8: Giải hệ phương trình: −1+ −3+ − (1) √ + √ + + √ + = + + + = 44 (2) HD: Điều kiện √ − ≥ 0, ≥ Từ phương trình (1) ta có: −5 + √ +2− −3 + √ +4− 11 −1 =0 Dễ thấy cặp ( , ) = (0,5) nghiệm phương trình Ở nhóm thực phép nhân liên hợp ta được: − +5 √ + ⟺( − −5 − +5 √ +2+ + 5) ⟺ − + √ + −5 + −3 + − +5 √ +4+ √ +2+ −3 + −1 =0 √ +4+ −1 =0 +5=0 Kết hợp với phương trình (2) giải hệ ta nghiệm ( , ) = (1,6) VD9: Giải hệ phương trình: − − + + = √ + + (1) − + = − (2) HD: Điều kiện ≥ 0, ≥− ,2 − − ≥ 0, + ≥ Từ phương trình (1) ta có: ( − −1− Dễ thấy cặp ( , ) = +2 )+( +1−√ ) = ( , ) = 0, − ,− nghiệm phương trình Ở nhóm thực phép nhân liên hợp ta được: −3 −1 − ⟺ ( − − 1) ⟺ Từ pt(3) → +2 −3 −1 +1+√ − −1+ +2 − =0 +1+√ =0 − − = (3) 1 = (4) − −1+ +2 +1+√ = +1 Thế vào pt(2): Từ pt(4) −1+ + (25 + 28) = → → +1+√ = ⟺( − Làm tương tự ta =0→ − −1−√ )+( = =1 −1+ + − + 1) = + vào pt(2) VD10: Giải hệ phương trình: 12 +2 ( − 1) = +5 −2 + 10 (1) − 6√2 + + 18 = (2) HD: pt(1) phân tích thành (2 − )(2 + Suy + 5) = = thay vào pt(2): ( − 2) + (√2 + − 3) = ĐS: (2; 4) VD11: Giải hệ phương trình: − −2 HD: Điều kiện: + − > 0; ( −2 + 2) = (1) = (2) ≠ Phương trình (1) phân tích thành ( Suy − 2)(1 + = thay vào phương trình (2): − − √ ĐS: √2; ; √2; √ √ ; −√2; ; −√2; √ ) = =0 VD12: Giải hệ phương trình: +3 + + HD: Điều kiện: , Dễ thấy = − =2 + √ (1) = (2) ≥ 0, + ≥ 0, − ≥ = nghiệm hệ Bình phương vế phương trình (1) phân tích thành: ( − ) Suy = + + (2 + ) ( + )(2 − ) + =0 thay vào phương trình (2) ĐS: (1; 1) Loại 4: Một phương trình hệ coi ẩn tham số ẩn biến Chúng ta thường nghĩ tới phương án việc làm đưa phương trình bậc mà ta giải cách tính ∆ VD1: Giải hệ phương trình: 13 = (5 + 4)(4 − ) (1) − − + 16 − + 16 = (2) − 2(2 + 4) − HD: Đưa PT (2) dạng: + 16 + 16 = 0 (∗) Như phương trình (∗) phương trình bậc với biến , ta coi tham số Phương trình (∗ ) có ∆ = Từ giải hệ ta nghiệm (0; 4), (4; 0), − ; Điểm mấu chốt để sử dụng phương pháp ∆ phải phân tích dạng ∆= với biểu thức đó, không việc tìm nghiệm lẻ khó khăn để tiếp VD2: Giải hệ phương trình: + + + − = (1) − +2 + − + + = (2) HD: Coi PT (2) phương trình bậc với biến với tham số Phương trình (2) có ∆ = 9( + 1) Giải hệ nghiệm (−2; 1), ; Đối với toán cần tinh tế chí coi biểu thức biến, VD vậy: VD3: Giải hệ phương trình: − √4 + − = (1) (27 + 63 + 43 + 7)( + 1) = 16 + 24 + (2) HD: Điều kiện: Từ pt(1): − ≥ − √4 + − (4 + 3) = ta coi phương trình bậc với biến √4 + ta tính ∆ = từ ta có √4 + = √4 + = −2 Từ phân tích ta hoàn toàn giải hệ phương trình VD4: Giải hệ phương trình: 14 (4 − 1) +1=2 − 5−2 + + (1) − = (2) HD: Coi PT (1) phương trình bậc với biến √ + với tham số Từ giải hệ ta nghiệm (0; 1) VD5: Giải hệ phương trình: + − + +4 =2 + (1) + + 11( − ) = 28 (2) HD: Hệ phương trình cho tương đương với: + − + −2 = (1) +4 + + 11( − ) = 4.7 (2) Thế từ pt(1) vào pt(2): ( + 4) − ( Nếu Nếu +8 + 11) + + 11 = (∗) = −4 thay vào hệ …(Vô lý) ≠ −4 pt(∗) phương trình bậc theo biến ∆ =( với − 11) từ tới đáp số: (3; 1), ( √49; √7), Loại 5: Phương pháp cộng đại số 5.1 Thông thường phép cộng đại số mà hay gặp cộng trừ tương ứng vế với vế hai phương trình hệ phân tích thành đẳng thức phân tích thành tích VD1: Giải hệ phương trình: 1 ⎧ − = 2( − ⎨1+ = ( +3 ⎩ HD: ĐK: ≠ 0, ⎧ ) (1) ) (3 + ) (2) ≠ Lấy pt (1) ± pt(2) ta được: =2 −2 + ⎨1=3 ⎩ +3 + 10 15 +3 + 10 − +2 ↔ 2=5 1=5 + + + 10 + 10 2+1=( + ) ↔ 2−1 =( − ) ĐS : √ ; √ VD2: Giải hệ phương trình: ⎧ (3 − ) = (1) + 42 ⎨ 3+ √ = (2) ⎩ + 42 HD: ĐK: > 0, > Hệ phương trình cho tương đương với: = (3) + 42 = (4) + 42 √ ⎧3− ⎪ ⎨ ⎪3+ ⎩ Lấy pt (3) ± pt(4) ta được: √2 ⎧ + = ⎪√ ⎨ √2 − = ⎪ + 42 ⎩√ Lấy phương trình nhân vế với vế ĐS : √ ; − = 15 ↔ ( − )( + 28 ) = + 42 √ VD3 : Giải hệ phương trình: + −4 +4 −4 = (1) = (2) HD : Lấy pt (1) – pt(2) ta được: −2 +4 (1 − ) = −1 ⟺ ( 16 − 1) − ( − 1) = ĐS : (0; 1); (0; −1); (1; 1); (−1; −1); √ ;− √ ; − √ ; √ VD4: Giải hệ phương trình: − −2 + − + + HD : Lấy pt (1) + pt(2) ta được: ( = (1) = (2) +1−2 )= ĐS : (0; 0); (1; 2) VD5: Giải hệ phương trình: + = (1) + = (2) HD : Lấy pt (1) trừ tương ứng pt (2) làm xuất nhân tử chung (x-y) ( hệ phương trình đối xứng loại ) ĐS : ( ; ) = (0; 0) VD6: Giải hệ phương trình: 12 ⎧ (1 − )√ = (1) +3 ⎨ + 12 = (2) ⎩ +3 HD : ĐK: > 0, > Hệ phương trình cho tương đương với: 12 ⎧1− = (3) ⎪ +3 √ ⎨ + 12 = (4) ⎪ +3 ⎩ Lấy pt (3) ± pt(4) ta được: ⎧ + = (1) ⎪√ ⎨ − + = 24 (2) ⎪ +3 ⎩ √ Lấy phương trình nhân vế với vế − = 12 ↔ ( + )( − ) = +3 17 ĐS : + 2√3; 12 + 6√3 5.2 Trong trường hợp khó ta phải nhân số vào phương trình có bậc thấp cộng (trừ) tương ứng với phương trình lại để đưa dạng sau: ( + ) =( + ) , = , (dấu hiệu: hệ không chứa tích biến) ( − ) ( ; )= ( + (dấu hiệu: nhẩm nghiệm ) + ( + )+ = = ) (dấu hiệu:bậc cao 2, có chứa tích xy) … Thường để ý tới đẳng thức để biết cần nhân vào phương trình Điều tác giả trình bày hướng dẫn ví dụ sau: VD1: Giải hệ phương trình: HD: Lấy pt(1)+ 6.pt(2) − +2 = 63 (1) + − = (2) ⇒ (2 − 1) = ( + 2) ⟺2 −1= +2⟺ =2 −3 Thay kết tìm vào phương trình (1) ta dễ dàng tìm = = − từ tìm nghiệm hệ Đối với học sinh giỏi việc nhận phải nhân vào phương trình (2) để ghép đẳng thức bậc dễ dàng Nếu chưa thể nhìn hoàn toàn suy luận theo cách sau: Giả sử số ta cần nhân vào phương trình (2), ta có: − = 63 +2 +2 − = Sau cộng tương ứng hai vế hai phương trình hệ, ta được: 18 ⟺8 +2 − +2 − − = + − +2 −2 = 63 + + 63 + (3) Đến với tư tưởng ghép đẳng thức bậc mong muốn phương trình (3) trở thành: (2 − ) = ( − ) 12 = =− Đồng hệ số với phương trình (3) ta được: đến ta −3 = − … dễ dàng tìm = 6; = 1; = −2 ĐS (2; 1), (− ; 4) Dưới số ví dụ áp dụng tương tự VD2: Giải hệ phương trình: + = 56 (1) + = + (2) HD: Lấy pt(1)-6.pt(2) ⇒ ( − 2) = (4 − ) , ĐS VD3: ; ,( ; ) Giải hệ phương trình: + = 91 (1) + = 16 + (2) HD: Lấy pt(1)-3.pt(2) ⇒ ( − 4) = (3 − ) , ĐS (3; 4), (4; 3) VD4: Giải hệ phương trình: − = 35 (1) + = −9 + (2) HD: Lấy pt(1)-3.pt(2) ⇒ ( − 2) = ( + 3) , ĐS: (2; −3), (3; −2) VD5: Giải hệ phương trình: − = 240 (1) − = 3( − ) − 4( − ) (2) HD: Lấy pt(1) - 8.pt(2) ⇒ ( − 2) = ( − 4) , ĐS: (−4; −2), (4; 2) 19 VD6: Giải hệ phương trình: +3 +6 = (1) = (2) HD: Lấy 4.pt(1) + pt(2) ta được: (2 + ) = 27 √ ĐS : (1; 1); ; √ ; √ ; √ Trong trường hợp khó ta nhân vào phương trình có bậc thấp sau sử dụng thêm kỹ thuật đồng hệ số để đưa phương trình sau cộng đại số phương trình mà ta mong muốn VD7: Giải hệ phương trình: + + 280 = (1) + + + 10 + 26 = (2) HD: Đối với hệ phương trình ta việc cộng đại số theo tư tưởng ghép đẳng thức giống ví dụ khó khăn chí không làm Do phương trình thứ hệ có chứa bậc cao nên ta nhân vào phương trình thứ hai cộng với phương trình thứ ta được: +2 + 280 + +5 +2 + 10 + 26 = (3) Mặt khác ta nhẩm nghiệm hệ ( ; ) = (1; −5) từ ta tìm số , , , cho phương trình (3) phân tích thành: ⟺a + ( + 5)( + + 280 + +( +5 ) + + + 56) = + +5 + (56 + ) = Đến ta đồng hệ số với phương trình (3) ta được: = 6; = 2; = 6; = 20; = 12 Vậy ta giải toán sau: Nhân vào phương trình (2) cộng với phương trình (1) ta đưa về: ( + 5)(6 + 12 + + 20 + 56) = ⟺ ( + 5)[6( + 1) + 2( + 5) ] = 20 ⟺ = −5 ⟺ 6( + 1) + 2( + 5) = −5 = −1; = −5 Ta dễ dàng giải nghiệm hệ: (−1; −5); (1; −5) VD8: Giải hệ phương trình: (tương tự VD7) +3 −8 = −392 (1) + = 16 − 34 (2) HD: Lấy pt(1) + 6.pt(2) ⇒ ( + 2)[2( + 1) + 6( − 4) ] = 0, ĐS (−2; 8), (−2; −8) VD9: Giải hệ phương trình: + = (1) + 15 − 57 = −3 − (2) HD: Lấy pt(1)+ pt(2) (1 + ) +3 + (15 + ) − 57 − = + Đến ta mong muốn tìm (1 + ) +3 Đồng hệ số ta Như vậy: = 2; cho: = (15 + ) + = (15 + ) + 2(15 + ) − 119 = ĐS: (2; 1), ( ; ) VD10: Giải hệ phương trình: + + + = (1) + + + = (2) HD: Lấy pt(1)+ pt(2) + ( + 2) + ( + 2) Đến ta mong muốn tìm + ( + 2) Đồng hệ số ta + 3( + )+ =0 cho: + ( + 2) = Như vậy: ( + ) + 3( + ) + = 21 = ( + ) ĐS: −3 − 2√2; + √2 ; −3 + 2√2; − √2 ; −3 + √5; −3 − √5; √ √ ; C.Kết luận Kết đạt Sáng kiến đạt số kết sau : Hệ thống số phương pháp biến đổi tương đương việc giải hệ phương trình, đặc biệt hệ phương trình không mẫu mực Từ giúp học sinh có định hướng tốt giải hệ phương trình Mặc dù sáng kiến tác giả áp dụng năm lớp có đa số học sinh trung bình, tác giả nhận thấy tính tích cực nhiều Các em không bối rối giải hệ phương trình có định hướng tốt tập mà tác giả đưa Bài học kinh nghiệm Qua thực tế giảng dạy thấy vấn đề dù khó mà giáo viên quan tâm truyền thụ cho học sinh lòng say mê nhiệt tình hút em vào đường nghiên cứu Với hệ phương trình không mẫu mực thường có nhiều cách giải khác nhau, giảng dạy giáo viên cần phát huy tính sáng tạo học sinh Giáo viên nên hướng dẫn em hướng đến cách giải linh hoạt tùy vào đặc tính riêng hệ Luôn chủ động giúp đỡ học sinh có phương án mà em nghĩ Nếu mức độ tư học sinh hạn chế giảng dạy nội dung giáo viên cần bình tĩnh, bước dẫn em phân tích đặc điểm riêng hệ phương trình Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm 22 Với sáng kiến kinh nghiệm hy vọng góp thêm tài liệu cho quý Thầy, Cô bạn đồng nghiệp ; giúp em học sinh có thêm kinh nghiệm cho loại toán này, từ tự tin gặp dạng Đề xuất kiến nghị khả áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm triển khai chuyên đề để bồi dưỡng học sinh giỏi ; dùng để giảng dạy cho em học sinh ôn tập thi vào cấp 3,học sinh lớp 10 học sinh ôn thi kì thi THPT Quốc gia nhằm giúp em học sinh vượt qua trở ngại tâm lí từ trước tới cho loại toán Tác giả mong muốn sáng kiến kinh nghiệm công nhận sử dụng rộng rãi địa bàn tỉnh Hưng Yên Lời cam đoan tác giả Đây sáng kiến kinh nghiệm trực tiếp thực hiện, không chép nội dung người khác Họ tên, chữ ký tác giả Đỗ Trung Hiếu 23 Tài liệu tham khảo Tạp chí Toán học Tuổi trẻ Một số chuyên trang toán học mạng internet Đề thi đại học qua năm 24 [...]... −2 Từ những phân tích trên ta hoàn toàn có thể giải được hệ phương trình VD4: Giải hệ phương trình: 14 (4 − 1) 2 +1=2 − 5−2 + 2 + 1 (1) − 1 = 0 (2) HD: Coi PT (1) là phương trình bậc 2 với biến √ + 1 với là tham số Từ đó giải hệ ta được nghiệm (0; 1) VD5: Giải hệ phương trình: + − + +4 =2 + 7 (1) + + 11( − ) = 28 (2) HD: Hệ phương trình đã cho tương đương với: + − + −2 = 7 ... ( + 2) Đồng nhất hệ số ta được + 3( + )+ =0 sao cho: + ( + 2) = 2 Như vậy: ( + 2 ) + 3( + 2 ) + 2 = 0 21 = ( + ) ĐS: −3 − 2√2; 1 + √2 ; −3 + 2√2; 1 − √2 ; −3 + √5; −3 − √5; √ √ ; C.Kết luận 1 Kết quả đạt được Sáng kiến này đã đạt được một số kết quả sau : Hệ thống một số phương pháp biến đổi tương đương trong việc giải hệ phương trình, đặc biệt là các hệ phương trình không mẫu mực Từ đó giúp học... đưa phương trình sau khi cộng đại số về phương trình mà ta mong muốn VD7: Giải hệ phương trình: 6 5 + 2 + 280 = 0 (1) + 5 + 2 + 10 + 26 = 0 (2) HD: Đối với hệ phương trình này ta việc cộng đại số theo tư tưởng ghép hằng đẳng thức giống như trong các ví dụ trên là rất khó khăn và thậm chí là không làm được Do phương trình thứ nhất của hệ có chứa bậc cao nhất nên ta sẽ nhân vào phương trình thứ... trong hệ có thể coi 1 ẩn là tham số ẩn kia là biến Chúng ta thường nghĩ tới phương án này nếu việc làm trên đưa về 1 phương trình bậc 2 mà ta có thể giải bằng cách tính ∆ VD1: Giải hệ phương trình: 13 = (5 + 4)(4 − ) (1) − 5 − 4 + 16 − 8 + 16 = 0 (2) − 2(2 + 4) − 5 HD: Đưa PT (2) về dạng: + 16 + 16 = 0 (∗) Như vậy phương trình (∗) là một phương trình bậc 2 với biến , ta coi là tham số Phương trình. .. 11 = 0 (∗) = −4 thay vào hệ …(Vô lý) ≠ −4 thì pt(∗) là phương trình bậc 2 theo biến ∆ =( với − 11) từ đó đi tới đáp số: (3; 1), ( √49; √7), 5 Loại 5: Phương pháp cộng đại số 5.1 Thông thường phép cộng đại số mà chúng ta hay gặp là cộng hoặc trừ tương ứng vế với vế của hai phương trình trong hệ rồi phân tích thành hằng đẳng thức hoặc phân tích thành tích VD1: Giải hệ phương trình: 1 1 ⎧ − = 2( − 2 ⎨1+... là một số ví dụ áp dụng tương tự VD2: Giải hệ phương trình: + = 56 (1) + 2 = 2 + 8 (2) HD: Lấy pt(1)-6.pt(2) ⇒ ( − 2) = (4 − ) , ĐS VD3: ; ,( ; ) Giải hệ phương trình: + = 91 (1) 4 + 3 = 16 + 9 (2) HD: Lấy pt(1)-3.pt(2) ⇒ ( − 4) = (3 − ) , ĐS (3; 4), (4; 3) VD4: Giải hệ phương trình: − = 35 (1) 3 + 2 = −9 + 4 (2) HD: Lấy pt(1)-3.pt(2) ⇒ ( − 2) = ( + 3) , ĐS: (2; −3), (3; −2) VD5: Giải. .. = 9 Từ đó giải hệ ta được 3 nghiệm (0; 4), (4; 0), − ; 0 Điểm mấu chốt để sử dụng được phương pháp này là ∆ phải phân tích được về dạng ∆= với là một biểu thức nào đó, còn không thì việc tìm ra nghiệm sẽ rất lẻ và sẽ rất khó khăn để đi tiếp VD2: Giải hệ phương trình: + + + − 4 = 0 (1) − +2 + − 5 + + 2 = 0 (2) HD: Coi PT (2) là phương trình bậc 2 với biến với là tham số Phương trình (2)... phương trình (2): 2 − 4 − √ ĐS: √2; ; √2; √ √ ; −√2; ; −√2; √ ) = 0 =0 VD12: Giải hệ phương trình: +3 + + HD: Điều kiện: , Dễ thấy = 2 − =2 + √ (1) = 2 (2) ≥ 0, + 3 ≥ 0, 2 − ≥ 0 = 0 không phải nghiệm của hệ Bình phương 2 vế của phương trình (1) rồi phân tích được thành: ( − ) Suy ra = + + 2 (2 + 3 ) ( + 3 )(2 − ) + 2 =0 rồi thay vào phương trình (2) ĐS: (1; 1) 4 Loại 4: Một phương trình. .. kiện √ − ≥ 0, ≥ 5 Từ phương trình (1) ta có: −5 + √ +2− −3 + √ +4− 11 −1 =0 Dễ thấy cặp ( , ) = (0,5) không phải là nghiệm của phương trình Ở mỗi nhóm thực hiện phép nhân liên hợp ta được: − +5 √ + ⟺( − −5 − +5 √ +2+ 1 + 5) ⟺ − + √ + −5 + −3 + − +5 √ +4+ 1 √ +2+ −3 + −1 =0 1 √ +4+ −1 =0 +5=0 Kết hợp với phương trình (2) giải hệ ta được nghiệm là ( , ) = (1,6) VD9: Giải hệ phương trình: 2 − − 1 + 3 +... Giải hệ phương trình: − = 240 (1) − 2 = 3( − 4 ) − 4( − 8 ) (2) HD: Lấy pt(1) - 8.pt(2) ⇒ ( − 2) = ( − 4) , ĐS: (−4; −2), (4; 2) 19 VD6: Giải hệ phương trình: 2 +3 +6 = 5 (1) = 7 (2) HD: Lấy 4.pt(1) + pt(2) ta được: (2 + ) = 27 √ ĐS : (1; 1); ; √ ; √ ; √ Trong các trường hợp khó hơn ta sẽ nhân vào phương trình có bậc thấp hơn sau đó sử dụng thêm kỹ thuật đồng nhất hệ số để có thể đưa phương