Xây dựng trường số phức C Xây dựng trường số phức C Xét R 2 = { (a,b) | a, b R} với 2 phép toán + và x được định nghĩa như sau: (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) (a,b) (c,d) = (ac-bd, ad +bc) Chứng minh (R 2 , +, .)-Trường. 1. (R 2 , +) - Nhóm Aben. 2. (R 2 \{(0,0)} , .) - Nhóm nhân giao hoán có đơn vị. 3. Phép nhân phân phối với phép cộng: (R (R 2 2 , +) - Nhãm Aben. , +) - Nhãm Aben. ThËt vËy: ∀ (a,b) ; (c,d) ; (e,f) ∈ R 2 ta cã: (a,b) + ((c,d)+(e,f)) = (a+c)+(c+e, d+f) = (a+(c+e), b+(d+f))= ((a+c)+e, (b+d)+f) =((a, b)+(c, d)) +(e+f) (a,b) + (c,d) =(a+c, b+d)=(c+a, d+b)= (c, d) + (a, b) (0, 0) ∈ R 2 ta cã (0, 0) + (a, b) = (0+a, 0+b)= (a, b) => (0, 0) phÇn tö trung lËp. Víi mçi (a, b) ∈ R 2 ta cã (-a, -b) ∈ R 2 (a, b) +(-a, - b) = (a - a, b - b) = (0, 0) => (-a, -b) phÇn tö ®èi cña (a, b). (R (R 2 2 \{(0,0)} , .) - Nhãm nh©n cã ®¬n vÞ. \{(0,0)} , .) - Nhãm nh©n cã ®¬n vÞ. ThËt vËy: ∀ (a,b) ; (c,d) ; (e,f) ∈ R 2 ta cã: (a,b) ((c,d) (e,f)) = (a+b)(ce - df, cf + de) = (a(ce - df) - b(cf + de), a(cf + de) + b(ce - df)) = (ace - adf - bcf + bde, acf + ade + bce - bdf) = ((ac - bd)e -(ad + bc)f, (ac - bd)f + (ad + bc)e) = (ac - bd, ad + bc) (e, f) = ((a, b) (c, d)) (e, f). (a, b) (c, d) = (ac - bd, ad + bc) = (ca - db, da + cb) = (c, d)(a, b). Phần tử đơn vị và phần tử đối Phần tử đơn vị và phần tử đối (1, 0) R 2 ta có (1, 0) (a, b) = (1a - 0 b, 1b + 0 a)= (a, b) => (1, 0) phần tử đơn vị. Với mỗi (a, b) R 2 , (a, b) # (0, 0) ta có (a', b') R 2 và (a, b) (a', b') = (aa'-bb', ab' + a'b) = (1, 0) => aa' - bb' =1 (1) và ab' + a'b =0 (2) a # 0 từ (2) => b' = - a'b/b thay vào (1) ta được a' = a/(a 2 +b 2 ) và b' = -b/ (a 2 +b 2 ) => (a/(a 2 +b 2 ), -b/(a 2 +b 2 ) là phần tử đối của (a, b). PhÐp nh©n ph©n phèi víi phÐp céng PhÐp nh©n ph©n phèi víi phÐp céng (a,b) ((c,d) + (e,f)) = (a,b) ((c + e), (d + f)) = (a(c+e)-b(d+f), a(d+f)+b(c+e) =(ac+ae-bd-bf, ad+af +bc+be) = (ac -bd +ae -bf), ad+be+ af +bc) =(ac -bd, ad +bc) + (ae-bf, af+be) =(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f) (R (R 2 2 , +, .) lµ 1 tr­êng , +, .) lµ 1 tr­êng   Ta thÊy: (a,b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) ký hiÖu (a, 0) = a ; (b, 0)=b ; (0,1)=i =>(a,b) = a + bi vµ ta cã (a,b)+(c,d)=(a+bi)+(c+di)=(a+c) + (b+d)i (0,1)(0,1) =(0-1, 0-0) = (-1,0) =i 2 (a,b)(c,d)=(a+bi)(c+di)=(ac-bd) + (ad+bc)i Ta ký hiÖu tr­êng R 2 = C vµ gäi tr­êng sè phøc. C trường số phức C trường số phức z = a + bi C là 1số phức ; a phần thực, b phần ảo của số phức. Một số phức phần thực bằng 0, phần ảo # 0 gọi là số phức thuần ảo. Cộng 2 số phức: cộng phần thức với nhau và cộng phần ảo với nhau. Nhân 2 số phức ta nhân bình thường và thay i 2 = -1. 2 số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thức bằng nhau và phần ảo bằng nhau. Với a R => a = a + 0i C => R C Trường số thực là trường con của trường số phức. Trong C phương trình x 2 + 1 = 0 có 2 nghiệm +i và - i ; C = R 2 trường số phức lấp đầy mặt phẳng. Biểu diễn hình học của số phức Biểu diễn hình học của số phức Trong mp lấy hệ toạ độ Đề các xOy, mỗi véc tơ cho ta một cặp (a,b) gọi là toạ độ của Gọi E ={ } ta có song ánh OM uuuur OM uuuur OM uuuur : OM ( ) f E C f OM a bi = + uuuur uuuuur a , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) OM a bi OP c di f OM OP a c b d i a bi c di f OM f OP f OM OP a c b d i a bi c di f OM f OP = + = + + = + + + = + + + = + = + = + + = uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur BiÓu diÔn h×nh häc cña sè phøc BiÓu diÔn h×nh häc cña sè phøc . VËy tæng, hiÖu 2 vÐc t¬ z, w lµ tæng, hiÖu 2 sè phøc , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) OM a bi OP c di f OM OP a c b d i a bi c di f OM f OP f OM OP a c b d i a bi c di f OM f OP = + = + + = + + + = + + + = + − = − + − = + − + = − uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur Z-w z+w -w O w z x y Mô-đun và acgumen của số phức Mô-đun và acgumen của số phức Cho số phức z=a+bi, trên mp trong hệ trục toạ độ Đề các, z xác định bởi độ dài r và góc giữa véc tơ z và chiều dương trục hoành. . 2 2 , r a b a rCos b rSin = + = = ( sin )z a bi r cos i = + = + Ta có dạng biểu diễn lượng giác của số phức r > 0 gọi là mô-đun kí hiệu |z|=r Góc sai khác 2k gọi là acgumen của số phức kí hiệu = argz y x b r O a z ( sin ) '( ' sin ') ', ' 2 , k Z r cos i r cos i r r k + = + = = + . các xOy, mỗi véc tơ cho ta một cặp (a,b) gọi là toạ độ của Gọi E ={ } ta có song ánh OM uuuur OM uuuur OM uuuur : OM ( ) f E C f OM a bi = + uuuur uuuuur