7 MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong khoảng hai thập kỉ gần đây, tính điều khiển (bao gồm tính điều khiển xác, tính điều khiển 0, tính điều khiển xấp xỉ) nghiên cứu nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng tuyến tính nửa tuyến tính Bởi phương pháp Hilbert HUM (Hilbert Uniqueness Method) đề xuất J.-L Lions (xem [48, 49, 50]), tính điều khiển toán tuyến tính qui tính quan sát toán liên hợp tương ứng Để thiết lập tính quan sát toán liên hợp tương ứng thông qua bất đẳng thức quan sát, công cụ hiệu lực ước lượng kiểu Carleman toàn cục Còn tính điều khiển toán nửa tuyến tính chứng minh cách sử dụng tính điều khiển toán tuyến tính hóa tương ứng phương pháp điểm bất động đề xuất lần Zuazua [68, 69] cho phương trình truyền sóng nửa tuyến tính Một lớp phương trình đạo hàm riêng nghiên cứu nhiều lớp phương trình tiến hóa kiểu parabolic, chứa đựng phương trình truyền nhiệt cổ điển, nhiều lớp phương trình parabolic xuất hóa học, sinh học học chất lỏng Nghiên cứu tính điều khiển phương trình parabolic thu hút quan tâm nhiều nhà toán học khoảng hai thập niên gần Sau nghiên cứu tiên phong Fursikov Imanuvinov [37, 43], Lebeau Robbiano [46] công cụ ước lượng Carleman, có nhiều tiến việc tìm hiểu tính chất điều khiển phương trình parabolic không suy biến với hệ số biến thiên Các kết mở rộng cho toán parabolic nửa tuyến tính [29, 31, 32, 33, 34, 70, 71] Các kết đạt dựa công cụ bất đẳng thức Carleman cho nghiệm toán liên hợp tương ứng Các bất đẳng thức Carleman thiết lập yêu cầu phần phương trình toán tử elliptic đều, miền bị chặn không vị kì dị Bên cạnh đó, tính điều khiển phương trình parabolic miền không bị chặn nghiên cứu [18, 38, 55] Có thể nói ngày lí thuyết điều khiển phương trình parabolic hoàn thiện trường hợp tuyến tính nửa tuyến tính Trong khoảng thập kỉ trở lại đây, tính điều khiển phương trình parabolic suy biến, vị kì dị, nghiên cứu nhiều nhà toán học Những nghiên cứu thúc đẩy nhiều toán vật lí khác mô hình tầng lớp biên [17], mô hình di truyền quần thể cá, mô hình khí hậu Bydyko-Sellers, Tuy nhiên, hầu hết kết đạt chủ yếu trường hợp chiều (xem [2, 19, 20, 23, 24, 35, 36, 52, 53, 62] tài liệu trích dẫn đó), có kết điều khiển trường hợp nhiều chiều, chủ yếu trường hợp hai chiều phương trình parabolic chứa toán tử div(A(x)∇u) với A(x) ma trận vuông cấp hai đối xứng [25], phương trình parabolic chứa toán tử Grushin [12], phương trình Kolmogorov [11, 45], lớp phương trình suy biến nhiều chiều với số hạng đối lưu [65, 66, 67] Ngoài ra, kết tính điều khiển phương trình suy biến/kì dị nửa tuyến tính Đây vấn đề thời thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học nước Chúng chọn vấn đề làm đề tài nghiên cứu luận án tiến sĩ TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Như đề cập đến phần Lí chọn đề tài, việc nghiên cứu tính điều khiển phương trình parabolic suy biến vị kì dị trường hợp nhiều chiều trường hợp nửa tuyến tính vấn đề thời Dưới đây, điểm qua số kết tiêu biểu theo hướng nghiên cứu này: Một lớp phương trình suy biến nhiều chiều nghiên cứu mạnh vài năm gần lớp phương trình chứa toán tử Grushin Gs u = ∆x u + |x|2s ∆y u, s ≥ Toán tử đưa Grushin [41] Chú ý G0 = ∆ toán tử Laplace, Gs s > 0, không elliptic miền có giao với mặt x = Đây ví dụ điển hình cho lớp toán tử hypoelliptic, không elliptic Sự tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình hệ parabolic nửa tuyến tính chứa toán tử nghiên cứu gần trường hợp ôtônôm không ôtônôm (xem, chẳng hạn, [4, 5, 7]) Tính điều khiển phương trình parabolic chứa toán tử Grushin nghiên cứu trường hợp hai chiều Beauchard, Cannarsa Guglielmi [12] Xem thêm kết gần [14] Tuy nhiên, tính điều khiển lớp phương trình trường hợp nhiều chiều nhiều vấn đề mở Một lớp phương trình parabolic quan tâm khác lớp phương trình parabolic chứa toán tử Laplace với vị kì dị: Aµ = −∆ − µ/|x|2 Các kết tính đặt toán dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình parabolic chứa tử Aµ nghiên cứu nhiều nhà toán học (xem [8, 9, 16, 64] tài liệu trích dẫn đó) Trong đó, tính điều khiển phương trình parabolic chứa toán tử nhận công trình Vancostenoble-Zuazua [63] Ervedoza [30] cho trường hợp 10 kì dị bên miền, Cazacu [26] cho trường hợp kì dị biên Gần đây, trường hợp hai chiều, tính điều khiển xấp xỉ cho phương trình parabolic chứa toán tử Grushin với vị kì dị µ/|x|2 nghiên cứu Morancey [56] nhờ tính chất thác triển toán tử tương ứng Hơn nữa, [21], tác giả chứng minh tính điều khiển thời gian đủ lớn cho phương trình parabolic chứa toán tử Grushin với vị kì dị µ/|x|2 s = miền không gian (0, 1) × (0, 1), tức là, với suy biến kì dị biên Như đề cập [21, 56], tính điều khiển vấn đề hoàn toàn mở có suy biến vị kì dị bên miền Xét toán tử parabolic suy biến vị kì trường hợp chiều: P u = ut − (xα ux )x − λ u, x ∈ (0, 1), α ≥ 0, xβ (1) với điều kiện biên tương ứng tùy thuộc vào α Toán tử có nhiều điều thú vị Trong trường hợp α = β = 2, ta vị kì dị dạng nghịch đảo bình phương mà xuất vật lí phân tử, học lượng tử phi tương đối, vũ trụ học lượng tử hay lí thuyết cháy nổ (xem [10, 58] tài liệu trích dẫn đó) Thế vị sinh nhiều tượng thú vị nghiên cứu Baras Goldstein [9] rằng: Nghiệm dương tồn toàn cục (với λ ∈ R) β < trái lại nghiệm bùng nổ hoàn toàn (với giá trị λ) β > Do đó, số mũ β = số mũ tới hạn Điều cho thấy trường hợp vị λ/|x|2 thực thú vị Khi số mũ tới hạn, tức β = 2, giá trị tham số λ định dáng điệu nghiệm phương trình Thật vậy, [9] nghiệm dương tồn toàn cục λ ≤ 1/4 nghiệm bùng nổ hoàn toàn λ > 1/4 Giá trị tới hạn 1/4 tham số λ giá trị tối ưu bất đẳng thức Hardy ∫ ∫ 1 u2 dx với u ∈ H01 (0, 1) ux dx ≥ x 0 (2) Trong trường hợp toán tử (1) kì dị (β = 0), tính điều khiển α ∈ [0, 2), (khi α ≥ 2, tính không điều khiển chứng minh 11 [22]), chứng minh [24] mà công cụ thiết lập ước lượng Carleman dựa bất đẳng thức Hardy sau ∫ ∫ (1 − α)2 u2 α x ux dx ≥ dx, với u ∈ C0∞ (0, 1) 2−α 0 x (3) Như nói trên, trường hợp α = 0, từ bất đẳng thức (2), số mũ tới hạn vị kì dị λ/xβ β = Mặt khác, từ (3) cho thấy số mũ tới hạn vị λ/xβ β = − α α ̸= Điều dẫn đến xét toán tử P phải có giả thiết β ≤ − α Không tính tổng quát, ta giả sử β > β ≤ 0, vị không kì dị kết tính điều khiển có từ [24] Như trường hợp α = 0, giá trị tới hạn tham số λ β = − α cho số tối ưu (3), tức λ(α) = (1 − α)2 /4 Do vậy, toán tử P nghiên cứu với giả thiết λ ≤ λ(α) trường hợp tới hạn β = − α, không cần điều kiện λ trường hợp tới hạn, tức β < − α Các kết tính điều khiển lớp phương trình parabolic chiều tuyến tính/nửa tuyến tính suy biến không vị kì dị nghiên cứu [2, 19, 20, 23, 24, 52, 53] Trong trường hợp suy biến vị kì dị (toán tử cho (1)), tính điều khiển Vancostenoble [62] nghiên cứu cho trường hợp tuyến tính Tính điều khiển trường hợp nửa tuyến tính hoàn toàn mở Từ phân tích trên, thấy bên cạnh kết đạt được, tính điều khiển phương trình tiến hóa kiểu parabolic suy biến vị kì dị nhiều vấn đề mở Nói riêng, vấn đề mở mà quan tâm nghiên cứu luận án bao gồm: • Tính điều khiển phương trình parabolic suy biến chứa toán tử Grushin trường hợp nhiều chiều • Tính điều khiển phương trình parabolic suy biến chứa toán tử Grushin với vị kì dị kiểu Hardy µ/|x|2 trường hợp nhiều chiều • Tính điều khiển phương trình parabolic chiều suy biến với 12 vị kì dị trường hợp nửa tuyến tính Khi nghiên cứu tính điều khiển phương trình parabolic tuyến tính tính điều khiển xác thường không đạt hiệu ứng trơn nghiệm so với kiện ban đầu Hơn tính điều khiển kéo theo tính điều khiển xấp xỉ hệ Do luận án tập trung vào việc nghiên cứu tính điều khiển lớp phương trình Ngoài ra, xét toán điều khiển có giá bên miền Bài toán điều khiển biên lớp phương trình parabolic suy biến/kì dị vấn đề phức tạp có vài kết gần [15, 40] Chúng lựa chọn vấn đề làm nội dung nghiên cứu luận án tiến sĩ: "Tính điều khiển số lớp phương trình parabolic" MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU • Mục đích luận án: Nghiên cứu tính điều khiển phương trình parabolic chứa toán tử Grushin trường hợp nhiều chiều, phương trình parabolic chứa toán tử Grushin vị kì dị trường hợp nhiều chiều, phương trình parabolic chiều nửa tuyến tính suy biến vị kì dị • Đối tượng nghiên cứu: Bài toán điều khiển lớp phương trình parabolic chứa toán tử Grushin vị kì dị trường hợp nhiều chiều lớp phương trình parabolic chiều nửa tuyến tính suy biến vị kì dị • Phạm vi nghiên cứu: ◦ Nội dung 1: Bài toán điều khiển phương trình parabolic chứa toán tử Grushin miền nhiều chiều 13 ◦ Nội dung 2: Bài toán điều khiển phương trình parabolic chứa toán tử Grushin với vị kì dị kiểu Hardy miền nhiều chiều ◦ Nội dung 3: Bài toán điều khiển lớp phương trình parabolic chiều nửa tuyến tính suy biến với vị kì dị PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU • Để nghiên cứu tính điều khiển toán tuyến tính, sử dụng phương pháp Hilbert (HUM): Tính điều khiển toán tuyến tính đưa tính quan sát toán liên hợp tương ứng Sử dụng khai triển Fourier đẳng thức Bessel-Parseval, vấn đề đưa tính quan sát theo tần số hệ số Fourier Bất đẳng thức quan sát thiết lập nhờ bất đẳng thức Carleman tương ứng đánh giá phù hợp tốc độ tán xạ • Để nghiên cứu tính điều khiển toán nửa tuyến tính, sử dụng phương pháp điểm bất động đề xuất Zuazua: Kết hợp tính điều khiển toán tuyến tính hóa tương ứng định lí điểm bất động phù hợp (trong luận án sử dụng định lí Schauder) KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN Luận án đạt kết sau đây: • Đối với toán điều khiển cho phương trình parabolic chứa toán tử Grushin trường hợp nhiều chiều: Chứng minh tính điều khiển thời điểm T > s ∈ (0, 1) (suy biến yếu) Khi s = (suy biến mạnh) ta chứng minh tính điều khiển thời gian điều khiển đủ lớn tính không điều khiển thời gian 14 điều khiển nhỏ Chứng minh tính không điều khiển s > (suy biến mạnh) • Chứng minh tính điều khiển thời gian điều khiển đủ lớn phương trình parabolic chứa toán tử Grushin s = với vị kì dị µ/|x|2 trường hợp nhiều chiều • Chứng minh tính điều khiển lớp phương trình parabolic chiều nửa tuyến tính suy biến vị kì dị Các kết luận án mới, có ý nghĩa khoa học, góp phần vào việc hoàn thiện lí thuyết điều khiển lớp phương trình parabolic suy biến không có/có vị kì dị Các kết đạt được công bố 03 báo tạp chí khoa học quốc tế uy tín (trong danh mục ISI) báo cáo tại: • Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ VIII, Nha Trang, 08/2013; • Hội thảo quốc tế "On Equilibrium and Fixed Point Problems Theory and Algorithms", Viện NCCC Toán, Hà Nội, 25-26/08/2014; • Hội thảo quốc tế "Some Selected Problems in Optimization and Control Theory", Viện NCCC Toán, Hà Nội, 04-07/02/2015; • Hội thảo Tối ưu Tính toán khoa học lần thứ XIII, Ba Vì, 23-25/04/2015; • Xêmina Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội; • Xêmina Phòng Phương trình vi phân, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam; • Xêmina Bộ môn Toán ứng dụng Tính toán khoa học, Khoa ToánCơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội 15 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục công trình công bố danh mục Tài liệu tham khảo, luận án gồm chương: Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kết tính điều khiển phương trình parabolic chứa toán tử Grushin trường hợp hình hộp nhiều chiều Chương trình bày tính điều khiển thời gian đủ lớn phương trình parabolic chứa toán tử Grushin s = với vị kì dị kiểu Hardy bên miền trường hợp nhiều chiều Chương trình bày tính điều khiển lớp phương trình parabolic chiều nửa tuyến tính suy biến với vị kì dị 16 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, trình bày số kiến thức chuẩn bị, bao gồm: Một số không gian hàm, lí thuyết điều khiển cho hệ tuyến tính không gian vô hạn chiều, số bất đẳng thức thường dùng số kết thường dùng 1.1 MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM 1.1.1 Một số không gian hàm Cho Ω tập mở RN với biên ∂Ω Trong luận án này, có sử dụng không gian hàm quen thuộc sau (xem, chẳng hạn [1]): • Lp (Ω), ≤ p < +∞, không gian Banach bao gồm tất hàm khả tích Lebesgue bậc p Ω với chuẩn (∫ )1/p ∥u∥Lp (Ω) := |u|p dx Ω Chú ý Lp (Ω) không gian Banach phản xạ < p < +∞; Không gian L2 (Ω) không gian Hilbert với tích vô hướng ∫ (u, v) = u.vdx, Ω chuẩn ∥ · ∥L2 (Ω) = (u, u)1/2 • L∞ (Ω) không gian Banach bao gồm tất hàm đo bị chặn hầu khắp Ω với chuẩn ∥u∥∞ := esssup|u(x)| Ω 106 ∥uv ∥2L2 (0,T ;H + ∥uv ∥2C([0,T ];L2 (0,1)) ( ) 2 ≤ exp(C(η, α, λ, β)(1 + T )(1 + L)) ∥u0 ∥L2 (0,1) + ∥h∥L2 (ω×(0,T )) (4.56) α,0 (0,1)) Thay (4.55) vào (4.56) ta có số dương C(η, α, λ, β) không phụ thuộc T, L u0 : ∥uv ∥2L2 (0,T ;H (0,1)) + ∥uv ∥2C([0,T ];L2 (0,1)) α,0 ) ( 2k−1 + + L + T L + L ) ∥u0 ∥2L2 (0,1) ≤ exp C(η, α, λ, β)(1 + T + T T Vậy ∥τ (v)∥2X ≤ R2 với v ∈ BX , ( ( )) 2 2k−1 ∥u0 ∥2L2 (0,1) với R = exp C(η, α, λ, β) + T + T + + L + TL + L T Vậy ta có (i) Ta ý τ (v) ∈ H (0, T ; L2 (0, 1)) ∩ L2 (0, T ; D(A)) (xem Định lí 4.1) Do ta có (ii) tính compact phép nhúng H (0, T ; L2 (0, 1)) ∩ L2 (0, T ; D(A)) → C([0, T ]; L2 (0, 1)) ∩ L2 (0, T ; Hα,0 (0, 1)) Phép nhúng compact sử dụng cho chứng minh (iii) Thật vậy, với vk ∈ X cho vk → v X, k → ∞, ta chứng minh uvk → uv X, k → ∞ Ở uvk uv nghiệm (4.53) liên kết với vk , hvk v, hv tương ứng Ta có τ (vk ) = uvk nghiệm (4.53) tương ứng với điều khiển hvk mà cho uvk (T ) = 0, tức  λ    uvt k − (xα uvxk )x − β uvk + cvk (x, t)uvk = 1ω hvk , (x, t) ∈ QT ,   x  uvk (0, t) = uvk (1, t) = t ∈ (0, T ),      uvk (x, 0) = u0 , uvk (x, T ) = x ∈ (0, 1) (4.57) 107 Khi đó, từ (4.8) (4.55) ta có (lấy dãy cần thiết): uvk ⇀ uv H (0, T ; L2 (0, 1)) ∩ L2 (0, T ; D(A)) ∩ C([0, T ]; Hα,0 (0, 1)), hvk ⇀ h L2 (ω × (0, T )) (4.58) Do phép nhúng sau compact H (0, T ; L2 (0, 1)) ∩ L2 (0, T ; D(A)) → C([0, T ]; L2 (0, 1)) ∩ L2 (0, T ; Hα,0 (0, 1)), suy uvk → uv C([0, T ]; L2 (0, 1)) (4.59) Mà v k → v C([0, T ]; L2 (0, 1)), nên với tính liên tục cvk (4.59) ta có cvk (x, t)uvk (x, t) → cv (x, t)uv (x, t), hầu khắp (x, t) ∈ QT (4.60) Do {cvk uvk } bị chặn L2 (QT ), nên cvk uvk ⇀ κ L2 (QT ) (4.61) Từ (4.60) (4.61) ta suy κ(x, t) = cv (x, t)uv (x, t), hầu khắp (x, t) ∈ QT Vậy cvk uvk ⇀ cv uv L2 (QT ) (4.62) Từ (4.58), (4.62) ta lấy giới hạn (4.57) để kết luận (uv , hv ) thỏa mãn (4.53) uv (·, T ) = Vậy uv = τ (v) Do τ liên tục Vậy giả thiết định lí Schauder thỏa mãn τ Định lí chứng minh Bây ta chứng minh kết chương 108 Định lí 4.5 Giả sử T > u0 ∈ L2 (0, 1) cho trước Với giả thiết (4.3) (4.2), toán (4.1) điều khiển 0, tức tồn h ∈ L2 (ω × (0, T )) cho toán (4.1) có nghiệm u thỏa mãn u(·, T ) = Hơn nữa, hàm điều khiển thỏa mãn ∫ T ∫ ∫ h dxdt ≤ C T ω u20 dx, (4.63) với C T có dạng Định lí 4.4 Chứng minh Bước đầu tiên, ta xét toán  λ    vt − (xα vx )x − β v + f (x, t, v) = 0, (x, t) ∈ QT /2 ,   x  v(0, t) = v(1, t) = 0, t ∈ (0, T /2),      v(x, 0) = u0 , x ∈ (0, 1) (4.64) Bởi Định lí 4.1, toán (4.64) có nghiệm v ∈ L2 (0, T /2; Hα,0 (0, 1)), đó, (0, 1) tồn thời điểm t0 ∈ (0, T /2) cho v(t0 , ·) =: u1 ∈ Hα,0 Bước tiếp theo, ta xét toán  λ    wt − (xα wx )x − β w + f (x, t, w) = 1ω h1 , (x, t) ∈ (0, 1) × (t0 , T ),   x  (4.65) w(0, t) = w(1, t) = 0, t ∈ (t0 , T ),      w(x, t0 ) = u1 , x ∈ (0, 1) Bởi Định lí 4.4, toán (4.65) điều khiển 0, tức là, tồn điều khiển h1 ∈ L2 (ω × (t0 , T )) cho w(·, T ) = 0, ∫ T ∫ ∫ h21 dxdt t0 ω ≤ C T −t0 u21 dx, với số dương C T −t0 có dạng C T thay T T − t0 Bây ta xác định u h     v(t) 0 với t ∈ [0, t0 ], u := h :=   w(t) với t ∈ [t0 , T ], h1 với t ∈ [0, t0 ], với t ∈ [t0 , T ] 109 Khi u nghiệm (4.1) thỏa mãn u(x, T ) = với x ∈ (0, 1), h thỏa mãn (4.63) Chú ý cuối chương Kết chương mở rộng kết tính điều khiển lớp phương trình parabolic chiều suy biến với vị kì dị Vancostenoble [62] từ trường hợp tuyến tính sang trường hợp nửa tuyến tính KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương này, nghiên cứu lớp phương trình parabolic chiều nửa tuyến tính suy biến vị kì dị trường hợp tới hạn Kết đạt chứng minh tính điều khiển cách sử dụng ước lượng Carleman [62] để chứng minh tính điều khiển toán tuyến tính hóa sau dùng định lí điểm bất động Schauder để nhận tính điều khiển toán nửa tuyến tính 110 KẾT LUẬN KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Trong luận án này, nghiên cứu tính điều khiển lớp phương trình parabolic chứa toán tử Grushin không có/có vị kì dị trường hợp nhiều chiều lớp phương trình parabolic chiều nửa tuyến tính suy biến vị kì dị Các kết đạt là: • Đối với toán điều khiển phương trình parabolic chứa toán tử Grushin trường hợp hình hộp nhiều chiều: Chứng minh tính điều khiển thời điểm T > s ∈ (0, 1) (suy biến yếu) Khi s = (suy biến mạnh) ta chứng minh tính điều khiển thời gian điều khiển đủ lớn tính không điều khiển thời gian điều khiển nhỏ Chứng minh tính không điều khiển s > (suy biến mạnh) • Chứng minh tính điều khiển thời gian điều khiển đủ lớn phương trình parabolic chứa toán tử Grushin s = với vị kì dị µ/|x|2 trường hợp nhiều chiều • Chứng minh tính điều khiển lớp phương trình parabolic chiều nửa tuyến tính suy biến vị kì dị KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO Bên cạnh kết đạt luận án, số vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu như: 111 • Nghiên cứu tính điều khiển phương trình parabolic chứa toán tử Grushin với vị kì dị s ∈ (0, 1) • Nghiên cứu tính điều khiển lớp phương trình parabolic chiều nửa tuyến tính suy biến vị kì dị trường hợp tới hạn • Nghiên cứu tính điều khiển phương trình parabolic suy biến/kì dị điều khiển nằm biên (bài toán điều khiển biên) Đây vấn đề khó, trường hợp chiều 112 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN C T Anh and V M Toi (2013), Null controllability of a parabolic equation involving the Grushin operator in some multi-dimensional domains, Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, Vol 93, 181-196 (ISI) C T Anh and V M Toi (2015), Null controllability for semilinear degenerate/singular parabolic equations, Fixed Point Theory, Vol 16, 15-30 (ISI) C T Anh and V M Toi (2016), Null controllability in large time of a parabolic equation involving the Grushin operator with an inverse-square potential, Nonlinear Differential Equations and Applications, Vol 23, no 2, 23:20 (ISI) 113 Tài liệu tham khảo [1] R.A Adams and J.F Founier (2003), Sobolev Spaces, 2nd edition, Elsevier [2] F Alabau-Boussouira, P Cannarsa and G Fragnelli (2006), Carleman estimates for weakly degenerate parabolic operators with applications to null controllability, J Evol Equ 6, 161-204 [3] L D’Ambrosio (2003), Hardy inequalities related to Grushin type operators, Proc Amer Math Soc 132, 725-734 [4] C.T Anh (2010), Pullback attractor for a non-autonomous parabolic equation involving Grushin operators, Electron J Diff Equa 11, 1-14 [5] C.T Anh, P.Q Hung, T.D Ke and T.T Phong (2008), Global attractor for a semilinear parabolic equation involving Grushin operator, Electron J Differ Equ 32, 1-11 [6] C.T Anh and V.M Toi (2015), Null controllability in large time for a parabolic equation involving the Grushin operator with an inverse-square potential localized on boundary, submitted [7] C.T Anh and V.M Toi (2012), Attractors for a semilinear parabolic system involving the Grushin operator, J Abstr Diff Equa Appl 3, 1-16 [8] C.T Anh and T.T.H Yen (2011), Finite-dimensional pullback attractors for parabolic equations with Hardy type potentials, Ann Pol Math 102, 161-186 114 [9] P Baras and J Goldstein (1984), The heat equation with a singular potential, Trans Amer Math Soc 284, 121-139 [10] J Bebernes and D Eberly (1989), Mathematical Problems from Combustion Theory, Math Sci Vol 83, Springer-Verlag, New York [11] K Beauchard (2014), Null controllability of Kolmogorov-type equations, Math Control Signals Systems 26, 145-176 [12] K Beauchard, P Cannarsa and R Guglielmi (2014), Null controllability of Grushin-type operators in dimension two, J Eur Math Soc 16, 67-101 [13] K Beauchard, P Cannarsa and M Yamamoto (2014), Inverse source problem and null controllability for multidimensional parabolic operators of Grushin type, Inverse Problems 30 (2), 025006, 26 pp [14] K Beauchard, L Miller and M Morancey (2015), 2D Grushin-type equations: minimal time and null controllable data, J Differential Equations 259, 5813-5845 [15] U Biccari (2015), Boundary controllability for a one-dimensional heat equation with two singular inverse-square potentials, arXiv:1509.05178 [16] H Brezis and J.L Vázquez (1997), Blowup solutions of some nonlinear elliptic problems, Rev Mat Univ Complut Madrid 10, 443-469 [17] J.-M Buchot and J.-P Raymond (2002), A linearized model for boundary layer equations, in Optimal Control of Complex Structures (Oberwolfach, 2000), Internat Ser Numer Math 139, Birkhauser, Basel, 31-42 [18] V.R Cabanillas, S.B De Menezes and E Zuazua (2001), Null controllability in unbounded domains for the semilinear heat equation with nonlinearities involving gradient terms, J Optim Theory Appl 110, 245-264 115 [19] P Cannarsa, G Fragnelli and J Vancostenoble (2005), Linear degenerate parabolic equations in bounded domains: controllability and observability, Proceedings of 22nd IFIP TC Conference on System Modeling and Optimization (Turin, Italy, July 18-22), edited by Dontchev, Marti, Furuta and Pandolfi [20] P Cannarsa, G Fragnelli and J Vancostenoble (2006), Regional controllability of semilinear degenerate parabolic equations in bounded domains, J Math Anal Appl 320, 804-818 [21] P Cannarsa and R Guglielmi (2014), Null controllability in large time for the parabolic Grushin operator with singular potential, Geometric Control Theory and Sub-Riemannian Geometry, Springer INdAM Series Volume 5, 87-102 [22] P Cannarsa, P Martinez and J Vancostenoble (2004), Persistent regional controllability for a class of degenerate parabolic equations, Comm Pure Appl Anal 3, 607-635 [23] P Cannarsa, P Martinez and J Vancostenoble (2005), Null controllability of degenerate heat equations, Adv Differential Equations 10, 153-190 [24] P Cannarsa, P Martinez and J Vancostenoble (2008), Carleman estimates for a class of degenerate parabolic operators, SIAM J Control Optim 47, 1-19 [25] P Cannarsa, P Martinez and J Vancostenoble (2016), Global Carleman Estimates for Degenerate Parabolic Operators with Applications, Memoirs of AMS, 239, (1133) [26] C Cazacu (2014), Controllability of the heat equation with an inversesquare potential localized on the boundary, SIAM J Control Optim 52, 2055-2089 116 [27] J.-M Coron (2007), Control and Nonlinearity, AMS, Providence, RI [28] E B Davies (1995), Spectral Theory and Differential Operators, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 42, Cambridge University Press, Cambridge [29] A Doubova, E Fernández-Cara and E Zuazua (2002), On the controllability of parabolic systems with a nonlinear term involving the state and the gradient, SIAM J Control Optim 42, 798-819 [30] S Ervedoza (2008), Control and stabilization properties for a singular heat equation with an inverse-square potential, Comm Partial Differential Equations 33, 1996-2019 [31] C Fabre, J.P Puel and E Zuazua (1995), Approximate controllability of the semilinear heat equation, Proc Royal Soc Edinburgh 125A, 31-61 [32] E Fernández-Cara (1997), Null controllability of the semilinear heat equation, ESAIM: Control Optim Calc Var 2, 87-103 [33] E Fernández-Cara and S Guerrero (2006), Global Carleman inequalities for parabolic systems and applications to controllability, SIAM J Control Optim 45, 1399-1446 (electronic) [34] E Fernández-Cara and E Zuazua (2000), Null and approximate controllability for weakly blowing up semilinear heat equations Ann Inst H Poincaré Anal Non Linéaire 17, 583-616 [35] M Fotouhi and L Salimi (2012), Null controllability of degenerate/singular parabolic equations, J Dyn Control Syst 18, 573-602 [36] G Fragnelli (2016), Interior degenerate/singular parabolic equations in nondivergence form: well-posedness and Carleman estimates, J Differential Equations 260, 1314-1371 117 [37] A.V Fursikov and O.Yu Imanuvilov (1996), Controllability of Evolution Equations, Lecture Notes Series, Seoul 34 Seoul: Seoul National Univ., 163 p [38] M González-Burgos and L de Teresa (2007), Some results on controllability for linear and nonlinear heat equations in unbounded domains, Adv Differ Equ 12, 1201-1240 [39] S Guerrero (2012), An Introduction to the Theory of Control of Partial Differential Equations, Lecture Notes [40] M Gueye (2014), Exact boundary controllability of 1-D parabolic and hyperbolic degenerate equations, SIAM J Control Optim 52, 2037-2054 [41] V.V Grushin (1971), A certain class of elliptic pseudo differential operators that are degenerated on a submanifold, Mat Sb., 84 (1971), 163-195; English transl in : Math USSR Sbornik, 13, 155-183 [42] G.H Hardy, J.E Littlewood and G Pólya (1952), Inequalities, 2nd ed., Cambridge, at the University Press [43] O Yu Imanuvilov (1995), Controllability of parabolic equations, Sb Math 186, 109-132 (in Russian) [44] A Kogoj and E Lanconelli (2012), On semilinear ∆λ -Laplace equation, Nonlinear Anal 75, 4637-4649 [45] J Le Rousseau and I Moyano (2016), Null-controllability of the Kolmogorov equation in the whole phase space, J Differential Equations 260, 3193-3233 [46] G Lebeau and L Robbiano (1995), Contrôle exact de l’équation de la chaleur, Comm Partial Differential Equations 20, 335-356 118 [47] J.-L Lions (1969), Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux Limites Non Linéaires, Dunod, Paris, [48] J.-L Lions (1988), Exact controllability, stabilizability and perturbations for distributed systems, SIAM Rev 30, 1-68 [49] J.-L Lions (1988), Contrôlabilité Exacte, Perturbations et Stabilisation de ´ Systèmes Distribues, Tome 1, Rech Math Appl 8, Masson, Paris [50] J.-L Lions (1988), Contrôlabilité Exacte, Perturbations et Stabilisation de ´ Systèmes Distribues, Tome 2, Rech Math Appl 9, Masson, Paris [51] L H Loomis and S Sternberg (1990), Advanced Calculus, Paperback edition of the 1990 revised edition [MR1140004 (92i:00002)] of the 1968 original World Scientific Publishing Co Pte Ltd., Hackensack, NJ, 2014 xii+580 pp ISBN: 978-981-4583-93-0 [52] P Martinez, J.-P Raymond and J Vancostenoble (2003), Regional null controllability for a linearized Crocco type equation, SIAM J Control Optim 42 (2) [53] P Martinez and J Vancostenoble (2006), Carleman estimates for onedimensional degenerate heat equations, J Evol Equ 6, 325-362 [54] V.G Maz’ja (1985), Sobolev Spaces, Springer Series in Soviet Mathematics Springer-Verlag, Berlin, Translated from the Russian by T O Shaposhnikova [55] L Miller (2005), On the null-controllability of the heat equation in unbounded domains, Bull Sci Math 129, 175-185 [56] M Morancey (2015), Approximate controllability for a 2D Grushin equation with potential having an internal singularity, Ann Inst Fourier (Grenoble), 65 no 4, pp.1525-1556 119 [57] M Pivato (2010), Linear Partial Differential Equation and Fourier Theory, Cambrige University Press, Cambridge [58] M Reed and B Simon (1979), Methods of Modern Mathematical Physics, Vol II New York: Academic Press [59] J.C Robinson (2001), Infinite-Dimensional Dynamical Systems, Cambridge University Press, Cambridge [60] J Schauder (1930), Der Fixpunktsatz in Funktionalr¨ aumen, Studia Math 2, 171-180 [61] N.T.C Thuy and N.M Tri (2002), Existence and nonexistence results for boundary value problems for semilinear elliptic degenerate operator, Russ J Math Phys 9, 366-371 [62] J Vancostenoble (2011), Improved Hardy-Poincaré inequality and shap Carleman estimates for degenerate/singular parabolic problems, Disc Cont Dyna Syst Ser S, Vol 4, 761-790 [63] J Vancostenoble and E Zuazua (2008), Null controllability of heat equations with singular inverse-square potentials, J Funct Anal 254, 18641902 [64] J.L Vazquez and E Zuazua (2000), The Hardy inequality and the asymptotic behaviour of the heat equation with an inverse-square potential, J Funct Anal 173, 103-153 [65] C Wang (2010), Approximate controllability of a class of semilinear systems with boundary degeneracy, J Evol Equ 10, 163-193 [66] C Wang and R Du (2013), Approximate controllability of a class of semilinear degenerate systems with convection term, J Differential Equations 254, 3665-3689 120 [67] C Wang and R Du (2014), Carleman estimates and null controllability for a class of degenerate parabolic equations with convection terms, SIAM J Control Optim 52, 1457-1480 [68] E Zuazua, Exact boundary controllability for the semilinear wave equation (1991), Nonlinear partial differential equations and their applications Collège de France Seminar, Vol X (Paris, 1987-1988), 357–391, Pitman Res Notes Math Ser., 220, Longman Sci Tech., Harlow [69] E Zuazua (1993), Exact controllability for semilinear wave equations in one space dimension, Ann Inst H Poincaré Anal Non Linéaire 10, 109-129 [70] E Zuazua (1997), Finite dimensional null controllability for the semilinear heat equation, J Math Pures et Appl 76, 570-594 [71] E Zuazua (1999), Approximate controllability for semilinear heat equations with globally Lipschitz nonlinearities, Control Cybern 28, 665-683 [...]... o thỡ iu khin c v 0 Nhn xột 1.2 Nu (1.1) l parabolic u thỡ Tớnh iu khin c chớnh xỏc ca h (1.1) khụng t c vỡ hiu ng trn ca nghim (nghim trn hn iu kin ban u) Tớnh iu khin c chớnh xỏc n qu o ca (1.1) tng ng vi tớnh iu khin c v 0 ca h (1.1) Tớnh iu khin c v 0 ca h (1.1) suy ra tớnh iu khin c xp x ca (1.1) 20 Do ú trong lớ thuyt iu khin c i vi cỏc phng trỡnh parabolic tuyn tớnh, ngi ta c bit quan tõm... cos N 1 , xN = sin 1 sin 2 ã ã ã sin N 2 sin N 1 , vi 0, i [0, ] i = 1, , N 2 v N 1 [0, 2] (1.8) 26 Chng 2 TNH IU KHIN C V 0 CA PHNG TRèNH PARABOLIC CHA TON T GRUSHIN Trong chng ny, chỳng tụi nghiờn cu tớnh iu khin c v 0 ca phng trỡnh parabolic cha toỏn t Grushin trong trng hp hỡnh hp nhiu chiu u tiờn, chỳng tụi t bi toỏn v phỏt biu kt qu chớnh ca chng Sau ú, chỳng tụi i chng minh cỏc... minh trong phn cui ca chng Ni dung ca chng ny da trờn bi bỏo [1] trong Danh mc cụng trỡnh ó cụng b 2.1 T BI TON V PHT BIU KT QU CHNH Trong chng ny chỳng tụi nghiờn cu tớnh iu khin c v 0 ca phng trỡnh parabolic tuyn tớnh cha toỏn t Grushin sau: ut x u |x|2s y u = v(x, y, t)1 , u = 0, u(x, y, 0) = u (x, y), 0 (x, y, t) ì (0, T ), (x, y, t) ì (0, T ), (x, y) , (2.1) 27 ú := 1 ì (0,