5 MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Thuật ngữ hệ vi phân đa trị dùng để toán với bao hàm thức vi phân phương trình vi phân (đạo hàm riêng) mà tính nghiệm bị phá vỡ Các hệ vi phân đa trị không mô hình tổng quát phương trình vi phân mà xuất phát từ nhiều toán quan trọng, kể đến toán điều khiển phản hồi đa trị, toán quy hóa phương trình vi phân với phần phi tuyến không liên tục, bất đẳng thức vi biến phân Nghiên cứu dáng điệu nghiệm bao hàm thức tiến hóa phạm vi luận án bao gồm câu hỏi tính ổn định (hoặc ổn định yếu) nghiệm, tồn tập hút hệ động lực sinh tập nghiệm lớp nghiệm đặc biệt (nghiệm đối tuần hoàn, nghiệm phân rã) Các bao hàm thức tiến hóa không gian hữu hạn chiều nghiên cứu từ sớm Các kết tính giải cấu trúc tập nghiệm trình bày cách hệ thống sách chuyên khảo [9, 32] Tiếp theo đó, bao hàm thức tiến hóa không gian Banach tổng quát ứng dụng trở thành chủ đề nghiên cứu có tính thời thập kỷ qua Các sách chuyên khảo theo hướng kể đến [42, 72] Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm vấn đề trung tâm lí thuyết định tính phương trình vi tích phân Công cụ để nghiên cứu dáng điệu nghiệm hệ vi phân (đạo hàm riêng) đa dạng tùy theo đặc trưng hệ Đối với phương trình vi phân thường, lí thuyết ổn định Lyapunov công cụ hữu hiệu để giải vấn đề Ngoài ra, số phương pháp khác phương pháp so sánh (xem [58]), phương pháp điểm bất động (xem [19]) sử dụng Trong đó, để nghiên cứu dáng điệu nghiệm phương trình đạo hàm riêng, người ta thường sử dụng lí thuyết tập hút toàn cục (xem [27]) Các kết với lược đồ nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ vi phân thường phương trình đạo hàm riêng phát triển cho bao hàm thức vi phân Do tính chất không nghiệm toán Cauchy ứng với bao hàm thức tiến hóa, lí thuyết ổn định Lyapunov không khả dụng việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm dừng Đối với bao hàm thức tiến hóa không gian hữu hạn chiều, khái niệm ổn định yếu đề xuất Filippov năm 1988 (xem [36]) phương pháp hàm Lyapunov cải tiến để chứng minh tính ổn định yếu cho bao hàm thức tiến hóa trình bày [2] Đối với bao hàm thức tiến hóa không gian vô hạn chiều, cách tiếp cận thường sử dụng lí thuyết tập hút Trong vài thập kỷ trở lại đây, lí thuyết tập hút toàn cục phát triển mạnh mẽ thu nhiều kết có tính hệ thống (xem tài liệu chuyên khảo [65]) Đối với hệ vi phân đa trị, lí thuyết tập hút tương đối hoàn thiện với nhiều lược đồ nghiên cứu Trong đáng ý lí thuyết tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị giới thiệu Melnik Valero năm 1998 (xem [52]) với lí thuyết nửa dòng suy rộng Ball [11, 12] Những đánh giá, so sánh hai phương pháp Caraballo phân tích [22] Ngoài có lí thuyết hút quỹ đạo phát triển Chepyzov Vishik năm 1997 (xem [28]), công cụ hữu hiệu để nghiên cứu dáng điệu nghiệm hệ đạo hàm riêng mà tính nghiệm không bảo đảm Tiếp sau lí thuyết tập hút lùi, tập hút cho hệ động lực đa trị xây dựng để làm việc với hệ vi phân không ô-tô-nôm (xem [23, 24, 53]) Đặc biệt, năm 2014-2015, cải tiến đáng kể cho lí thuyết tập hút công bố công trình [30, 41] Những kết tập trung vào việc giảm nhẹ điều kiện tính liên tục đưa tiêu chuẩn compact tiệm cận cho nửa nhóm/nửa trình dựa độ đo không compact Tuy nhiên tiêu chuẩn áp dụng cho hệ vi phân hàm gặp phải nhiều khó khăn mặt kỹ thuật không gian pha tương ứng có cấu trúc phức tạp Trong luận án này, sử dụng lược đồ Melnik Valero, nghiên cứu tồn tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị sinh lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính u′ (t) ∈ Au(t) + F (u(t), ut ), u(s) = φ(s), t ≥ 0, s ∈ [−h, 0], (1) (2) u hàm nhận giá trị không gian Banach X, ut hàm trễ, tức ut (s) = u(t + s) với s ∈ [−h, 0], F hàm đa trị xác định tập X × C([−h, 0]; X) A : D(A) ⊂ X → X toán tử tuyến tính thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida xác định không trù mật, tức D(A) ̸= X Như đề cập [71], nhiều toán nửa tuyến tính, thành phần phi tuyến nhận giá trị nằm D(A) Khi ta cần phải nghiên cứu trường hợp mà toán tử A không xác định trù mật Ta tìm thấy [31] mô hình cụ thể với toán tử A xác định không trù mật Với giả thiết toán tử A xác định không trù mật thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida, có số nghiên cứu tính giải tính ổn định nghiệm toán dạng (1)-(2) Cụ thể, kết cho trường hợp F hàm đơn trị có [1, 4, 35, 71] Trong trường hợp bao hàm thức, kể đến kết [26, 59] Các kết tồn tập hút toàn cục cho lớp toán (1)-(2) chưa biết đến nhiều Trong trường hợp F hàm đơn trị, điều kiện tồn tập hút toàn cục nghiên cứu [76] (với trễ hữu hạn) [18] (với trễ vô hạn) Trong nghiên cứu này, tác giả đặt hai điều kiện sau • nửa nhóm sinh phần tuyến tính D(A) compact; • hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện Lipschitz Khi nghiên cứu lớp toán này, cố gắng giảm nhẹ hai điều kiện kể trường hợp trễ hữu hạn Cụ thể, S ′ (·) không compact, giả thiết F thỏa mãn điều kiện quy biểu diễn độ đo không compact, điều kiện thỏa mãn F = F1 + F2 với F1 hàm đơn trị có tính chất Lipschitz F2 đa trị compact Trong vài thập kỷ trở lại đây, phương trình/bao hàm thức tiến hóa bậc phân số thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu ứng dụng chúng việc mô tả tượng khoa học, kỹ thuật Các phương trình vi phân bậc phân số dùng để mô tả toán nhiều lĩnh vực, ví dụ toán lưu biến học, mạng điện, điện hóa học Chi tiết hơn, ta xem tài liệu chuyên khảo Miller Ross [54], Podlubny [64], Kilbas cộng [44] Gần đây, tính ứng dụng đạo hàm bậc phân số mô hình hóa đồng thời với phát triển giải tích bậc phân số, nhiều hệ vi phân bậc nguyên mở rộng thành mô hình bậc phân số Theo hướng phát triển này, ta kể tới kết tiêu biểu [57, 83, 84] Trong luận án, bên cạnh lớp bao hàm thức tiến hóa bậc nhất, nghiên cứu lớp bao hàm thức tiến hóa bậc phân số α ∈ (0, 1) với mục tiêu tìm điều kiện chấp nhận cho tính ổn định nghiệm dừng Tuy nhiên với phương trình/bao hàm thức tiến hóa bậc phân số, cách tiếp cận lí thuyết tập hút lại không khả dụng nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm toán tử nghiệm tính chất kiểu nửa nhóm Hơn nữa, với bao hàm thức tiến hóa bậc phân số, khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov áp dụng Do đó, đưa khái niệm Ổn định tiệm cận yếu nghiệm tầm thường nghiên cứu dáng điệu tiệm cận lớp bao hàm thức vi phân bậc phân số có xung, với điều kiện không cục trễ hữu hạn dạng C D0α u(t) ∈ Au(t) + F (t, u(t), ut ), t > 0, t ̸= tk , k ∈ Λ, (3) ∆u(tk ) = Ik (u(tk )), (4) u(s) + g(u)(s) = φ(s), s ∈ [−h, 0], (5) C D0α , α ∈ (0, 1), đạo hàm bậc phân số theo nghĩa Caputo, A toán tử tuyến tính đóng X sinh nửa nhóm liên tục mạnh W (·), F : − R+ × X × C([−h, 0]; X) → P(X) ánh xạ đa trị, ∆u(tk ) = u(t+ k ) − u(tk ), k ∈ Λ ⊂ N, Ik g hàm liên tục, ut hàm trễ theo thời gian t, tức ut (s) = u(t + s), s ∈ [−h, 0] Hệ (3)-(5) dạng tổng quát hóa toán Cauchy có xung (mô tả (4)) điều kiện ban đầu không cục (điều kiện (5)) Trong mô hình thực tế, điều kiện không cục cho mô tả tốt so với điều kiện ban đầu cổ điển, ví dụ, điều kiện u(s) + M ∑ ci u(τi + s) = φ(s), s ∈ [−h, 0], i=1 cho phép ta thêm đo đạc thời điểm khác thời điểm ban đầu Kết ý nghĩa vật lí cho toán không cục xem [20] Các phương trình vi phân với điều kiện ban đầu không cục nghiên cứu nhiều tác giả, điển hình kết [26, 47, 48] Mặt khác, điều kiện xung (4) sử dụng để mô tả hệ động lực có thay đổi trạng thái đột ngột số thời điểm, thường gặp vật lí, sinh học, kĩ thuật, Các kết phương trình vi phân có xung tìm thấy tài liệu [14, 46] Gần đây, số trường hợp riêng toán (3)-(5) dạng bao hàm thức nghiên cứu rộng rãi Về tồn tính chất tập nghiệm, kể tới số kết tiêu biểu công trình [25, 81, 82], đó, tính giải toán xét khoảng compact cấu trúc 10 tập nghiệm dạng Rδ xem xét Lớp toán điều khiển ứng với bao hàm thức vi phân bậc phân số nghiên cứu số báo gần [66, 80] Tuy nhiên, câu hỏi quan trọng lớp toán (3)-(5), tính ổn định nghiệm chưa nghiên cứu Để nghiên cứu tính ổn định nghiệm cho lớp toán này, đưa khái niệm ổn định tiệm cận yếu nghiệm tầm thường: Ký hiệu Σ(φ) tập nghiệm toán (3)-(5) ứng với điều kiện ban đầu φ cho ∈ Σ(0) Nghiệm tầm thường toán (3)-(5) gọi ổn định tiệm cận yếu thỏa mãn hai điều kiện 1) ổn định: với ϵ > 0, tồn δ > cho ∥φ∥h < δ ∥ut ∥h < ϵ với u ∈ Σ(φ) t > 0, ∥ · ∥h ký hiệu chuẩn sup C([−h, 0]; X); 2) hút yếu: với φ ∈ B, tồn u ∈ Σ(φ) thỏa mãn ∥ut ∥h → t → +∞ Chúng nghiên cứu tính ổn định tiệm cận yếu nghiệm tầm thường cho hệ (3)-(5) cách sử dụng lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ nén không gian hàm phù hợp Trong nghiên cứu định tính hệ vi tích phân, với lí thuyết ổn định, việc tìm lớp nghiệm đặc biệt, ví dụ nghiệm tuần hoàn, đối tuần hoàn hướng nghiên cứu thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Nghiệm đối tuần hoàn hệ vi phân sử dụng nhiều trình vật lí (có thể xem [13, 16, 45]) Một số kết tồn nghiệm đối tuần hoàn cho lớp phương trình tiến hóa tuyến tính nửa tuyến tính thiết lập, bắt nguồn từ nghiên cứu Okochi (xem [60], [61], [62]) Theo hướng này, ta có kể tới kết tiêu biểu Haraux ([38]), Liu ([49]), Wang ([79]) Năm 2012, cách tiếp cận lí thuyết nửa nhóm, Liu [50] chứng minh tồn nghiệm yếu đối tuần hoàn cho lớp toán 11 nửa tuyến tính dạng u′ (t) = Au(t) + f (t, u(t)), t ∈ R, u(t + T ) = −u(t), t ∈ R, đó, A toán tử sinh C0 −nửa nhóm có tính chất hyperbolic Từ kết này, nhiều kết tương tự cho toán dạng trừu tượng không gian Banach chứng minh theo cách tiếp cận lí thuyết nửa nhóm Điển hình kể tới kết [29, 51, 56] Tuy nhiên, kết tương tự cho bao hàm thức tiến hóa biết đến Sự tồn nghiệm đối tuần hoàn cho lớp bao hàm thức tiến hóa theo cách tiếp cận lí thuyết nửa nhóm vấn đề thời sự, có ý nghĩa khoa học hứa hẹn nhiều ứng dụng toán thực tế Đồng thời, nghiệm có tính chất đối tuần hoàn kiểu dáng điệu đặc biệt nghiệm Do đó, luận án này, sử dụng cách tiếp cận lí thuyết nửa nhóm hàm Lyapunov-Perron đa trị, nghiên cứu tồn nghiệm đối tuần hoàn cho lớp bao hàm thức vi phân có dạng đa diện u′ (t) ∈ Au(t) + F (t, u(t)), u(t + T ) = −u(t), t ∈ R, t ∈ R, (6) (7) đó, F (t, u(t)) = conv{f1 (t, u(t)), , fn (t, u(t))}, conv ký hiệu bao lồi đóng; A toán tử Hille-Yosida có miền xác định D(A) không trù mật cho A sinh nửa nhóm hyperbolic D(A) Như ta biết, toán điều khiển phản hồi, biến điều khiển thường lấy miền có dạng đa diện Ngoài hệ vi phân với F có dạng đa diện cho phép mô tả tính "không chắn" ngoại lực, vậy, toán (6)-(7) toán có ý nghĩa khoa học ứng dụng 12 Mục đích – Đối tượng – Phạm vi nghiên cứu luận án Mục đích luận án nghiên cứu tính giải dáng điệu tiệm cận nghiệm số lớp hệ vi phân đa trị không gian vô hạn chiều theo cách tiếp cận lí thuyết ổn định lí thuyết tập hút Đối tượng nghiên cứu cụ thể luận án hai lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính bậc bậc phân số α ∈ (0, 1) Phạm vi nghiên cứu luận án bao gồm nội dung sau: • Nội dung 1: Nghiên cứu tính giải tồn tập hút toàn cục cho lớp bao hàm thức vi phân mà phần tuyến tính sinh nửa nhóm tích phân • Nội dung 2: Nghiên cứu tồn lớp nghiệm đối tuần hoàn cho bao hàm thức vi phân kiểu đa diện mà phần tuyến tính sinh nửa nhóm tích phân • Nội dung 3: Nghiên cứu tính giải nửa trục tính ổn định yếu cho lớp bao hàm thức vi phân bậc phân số có xung, với điều kiện không cục trễ hữu hạn Đặc biệt trường hợp đơn trị, nghiên cứu tính nghiệm phân rã Các kết nghiên cứu thu mô hình tổng quát sau áp dụng cho hệ vi phân thường có trễ hệ vi phân đạo hàm riêng miền bị chặn không bị chặn Phương pháp nghiên cứu • Để nghiên cứu tính giải lớp toán phi tuyến, sử dụng lí thuyết nửa nhóm [63], phương pháp ước lượng theo độ đo không compact định lí điểm bất động cho ánh xạ đa trị nén [42, 17, 26], kết hợp với công cụ giải tích đa trị, giải tích bậc phân số Trong 13 trường hợp chứng minh tồn nghiệm đối tuần hoàn, sử dụng phương pháp hàm Lyapunov-Perron đa trị • Để nghiên cứu tồn tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị, sử dụng lược đồ Melnik Valero [52] • Để nghiên cứu tính ổn định bao hàm thức vi phân bậc phân số, sử dụng định lí điểm bất động cho ánh xạ nén Cấu trúc kết luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục công trình công bố Tài liệu tham khảo, luận án chia làm bốn chương: • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại kết lí thuyết nửa nhóm, lí thuyết độ đo không compact (MNC) ánh xạ nén, kiến thức giải tích bậc phân số lí thuyết tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị • Chương 2: Dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp bao hàm thức vi phân hàm nửa tuyến tính Trong chương này, chứng minh tính giải tồn tập hút toàn cục cho lớp bao hàm thức vi phân với trễ hữu hạn mà phần tuyến tính sinh nửa nhóm tích phân Kết mở rộng kết biết từ mô hình đơn trị sang mô hình đa trị nhờ sử dụng kỹ thuật đánh giá độ đo không compact • Chương 3: Nghiệm đối tuần hoàn bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính Trong chương này, sử dụng phương pháp hàm Lyapunov-Perron lí thuyết nửa nhóm chứng minh tồn lớp nghiệm đối tuần hoàn bao hàm thức vi phân dạng đa diện, mà phần tuyến tính sinh nửa nhóm tích phân 14 • Chương 4: Tính ổn định yếu hệ vi phân bậc phân số nửa tuyến tính Trong chương này, nghiên cứu lớp bao hàm thức vi phân bậc phân số, có xung, với trễ hữu hạn điều kiện không cục Với lớp toán này, chứng minh tính giải nửa trục, đưa khái niệm ổn định tiệm cận yếu chứng minh tính ổn định tiệm cận yếu cho nghiệm dừng toán Đặc biệt, trường hợp hàm phi tuyến đơn trị, chứng minh tồn nghiệm phân rã Ý nghĩa kết luận án Các kết thu luận án góp phần làm phong phú thêm hướng nghiên cứu ổn định nghiệm cho hệ vi phân đa trị không gian Banach tổng quát, áp dụng cho nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng phi tuyến hệ vi phân thường có trễ Các kết luận án công bố 02 báo tạp chí khoa học chuyên ngành (liệt kê mục "Danh mục công trình khoa học tác giả liên quan đến luận án"), 02 hoàn thành dạng tiền ấn phẩm Các nội dung luận án báo cáo tại: 1) Đại hội Toán học toàn quốc, Nha Trang, 2013; 2) Xêmina Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội; 3) Xêmina Tối ưu điều khiển, Viện Toán học, Viện hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam 4) Xêmina Lí luyết định tính phương trình vi phân, Bộ môn Toán bản, Viện Toán ứng dụng Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội 5) Xêmina phòng Phương trình vi phân, Viện Toán học, Viện hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam 103 Bây giờ, ta xét E3 (t), với t > T1 + h ta có ( ∫ T1 +h ∫ t ) E3 (t) = + (t − s)α−1 ||Pα (t − s)|| k(s) (||u(s)|| + ||us ||h )ds T1 +h ∫ T1 +h ≤ 2R ∫ (t − s)α−1 ||Pα (t − s)|| k(s)ds t (t − s)α−1 ||Pα (t − s)|| k(s)ds + 2ϵ T1 +h Vì vậy, ∫ T1 +h E3 (t) ≤ 2Rϵ ∫ (t − s)α−1 k(s)ds t (t − s)α−1 ||Pα (t − s)|| k(s)ds + 2ϵ T1 +h với t > T2 + T1 + h Khi đó, áp dụng bất đẳng thức H¨older, ta có ( ∫ T1 +h )1/p′ ( ∫ T1 +h )1/p (α−1)p′ p E3 (t) ≤ 2Rϵ (t − s) (k(s)) ds ds 0 ∫ t + 2ϵ (t − s)α−1 ||Pα (t − s)|| k(s)ds ( T1 +h ) ≤ 2RCα (t) ||k||Lp (R+ ) + ϵ với t > T2 + T1 + h, p′ = { Cα (t) = (4.44) p , p−1 [ ]}1/p (α−1)p′ +1 (α−1)p′ +1 t − (t − T1 − h) , (α − 1)p′ + ′ đến đây, ta sử dụng tính chất ∫ t (t − s)α−1 ||Pα (t − s)|| k(s)ds < T1 +h từ (4.39) Kết hợp (4.42), (4.43) (4.44) cho ta ||F(u)(t)|| ≤ Cϵ với t > max{T2 + T1 + h, T2 + tN0 }, ) ( ∑ µk + MA R + 2RCα (t) ||k||Lp (R+ ) + C = (1 + η)R + k≤N0 ≤ (1 + η)R + (∑ k∈Λ ) µk + MA R + 2RCα (t) ||k||Lp (R+ ) + 104 ′ ,p < , ta thấy < (α − 1)p′ + < Từ α 1−α ′ [ ( ′ ′ ′ T1 + h )(α−1)p +1 ] t(α−1)p +1 − (t − T1 − h)(α−1)p +1 = t(α−1)p +1 − − t Với Cα (t), từ p > ′ ∼ [(α − 1)p′ + 1](T1 + h)t(α−1)p t → ∞ Do Cα (t) bị chặn, C bị chặn Từ suy F(PC ) ⊂ PC Nhiệm vụ lại chứng minh F ánh xạ co Thật vậy, với u, v ∈ PC , ta có ||F(u)(t) − F (v)(t)|| ≤ ||Sα (t)|| ||g(u) − g(v)||h ∑ + ||Sα (t − tk )|| ||Ik (u(tk )) − Ik (v(tk ))|| 0[...]... Lploc (), 1 p < , l khụng gian cỏc hm kh tớch Lebesgue a phng bc p trờn Lploc () := {f : f Lp (K) vi mi tp compact K } Gi s (E; ã E ) l mt khụng gian Banach Trong lun ỏn ny chỳng tụi s dng cỏc khụng gian hm ph thuc thi gian sau: C([a, b]; E) l khụng gian bao gm tt c cỏc hm u : [a, b] E liờn tc t [a, b] vo E vi chun uC([a,b];E) = sup u(t)E t[0,T ] 16 Lp (a, b; E) l khụng gian bao gm tt c cỏc hm... úng vi mi t + ; 2) G tỏn x im, tc l tn ti K > 0 sao cho vi w E, u(t) G(t, w), thỡ u(t)E K vi t t0 (wE ); 3) G l tim cn trờn na compact, tc l nu B l mt tp úng trong E sao cho vi T (B) > 0, T+(B) (B) b chn, thỡ mi dóy n G(tn , B) vi tn l tin compact trong E Nu G l b chn chung cuc, thỡ nú cha mt tp hỳt ton cc compact A trong E Hn na, nu G l mt na dũng ngt, thỡ A l bt bin, tc l A = G(t, A) vi mi... > 0 theo chun trong L(E); (b) na nhúm kh vi nu vi mi x E thỡ ỏnh x t S(t)x kh vi ti mi t > 0; (c) na nhúm compact nu S(t) l toỏn t compact vi mi t > 0 Ta bit rng nu na nhúm {S(t)}t0 l kh vi hoc compact thỡ nú liờn tc theo chun (xem [34]) nh ngha 1.5 Xột = {z C : | arg z| < }, vi 0 < < H {S(z)}z {0} L(E) c gi l na nhúm gii tớch nu 2 (i) S(0) = I; (ii) S(z + z ) = S(z)S(z ), vi mi z, z ;... (xem trong [43]) nu {S(t)}t0 l mt na nhúm tớch phõn sinh bi mt toỏn t Hille-Yosida A, thỡ vi mi v c nh, toỏn t Sv : R+ X vi Sv (t) = S(t)v l kh vi, v o hm ca nú l toỏn t Sv : R+ D(A) 22 vi Sv (t) = S (t)v Hn na, h cỏc toỏn t {S (t)}t0 l mt C0 -na nhúm trờn D(A) sinh bi thnh phn A0 ca A, c nh ngha bi D(A0 ) = {v D(A) : Av D(A)}, vi v D(A0 ) A0 v = Av, d trờn khụng gian X = C([0, 1]) (khụng gian. .. o khụng compact (MNC) trong E nu (co ) = () vi mi B(E), trong ú co l bao li úng ca o c gi l: i) n iu nu 0 , 1 B(E), 0 1 kộo theo (0 ) (1 ); ii) khụng suy bin nu ({a} ) = () vi mi a E, B(E); iii) bt bin vi nhiu compact nu (K ) = () vi mi tp compact tng i K E v B(E); iv) na cng tớnh i s nu (0 + 1 ) (0 ) + (1 ) vi mi 0 , 1 B(E); v) chớnh quy nu () = 0 tng ng vi tớnh compact tng i ca... CHUN B 1.1 CC KHễNG GIAN HM Trong lun ỏn ny chỳng tụi s dng cỏc khụng gian hm sau (xem [6]) Gi s l mt tp con o c, b chn trong Rn Lp (), 1 p < , l khụng gian bao gm tt c cỏc hm kh tớch Lebesgue bc p trờn Chun trờn Lp () c nh ngha nh sau: ( )1/p uLp () := |u|p dx Chỳ ý rng Lp () l khụng gian Banach phn x khi 1 < p < + L () l khụng gian bao gm tt c cỏc hm o c v b chn hu khp trờn vi chun uL () :=... gii tớch a tr nh ngha 1.13 Cho Y l mt khụng gian metric, ỏnh x a tr F : Y P(E) c gi l: (i) na liờn tc trờn nu F 1 (V ) = {y Y : F(y) V = } l mt tp úng trong Y vi mi tp úng V E; (ii) na liờn tc trờn yu nu F 1 (V ) l tp úng trong Y vi mi tp úng yu V E; (iii) úng nu th F = {(y, z) : z F (y)} l mt tp úng trong Y ì E; (iv) compact nu nh F(Y ) l tin compact trong E; (v) ta compact nu hn ch ca nú trờn... hm bc phõn s khỏc nhau, nhng hai nh ngha theo kiu Riemann-Liouville v Caputo l c s dng rng rói nht Vi u C N ([0, T ]; E), ta cú tớnh cht C D0 I0 u(t) = u(t), I0 C D0 u(t) = u(t) N 1 k=0 1.6.2 u(k) (0) k t k! Cụng thc nghim cho bi toỏn vi phng trỡnh vi phõn bc phõn s Gi s (X, ã ) l mt khụng gian Banach Xột bi toỏn Cauchy vi phng trỡnh vi phõn bc phõn s cú xung C D0 u(t) = Au(t) + f (t), t = tk ,... : cú -li hu hn} Ngoi cỏc tớnh cht ó nờu trong nh ngha trờn, o Hausdorff cú thờm cỏc tớnh cht sau: tớnh na thun nht: (t) |t|() vi mi B(E) v t R; tớnh Lipschitz: |(0 ) (1 )| dH (0 , 1 ), vi mi 0 , 1 B(E) v dH l khong cỏch Hausdorff gia hai tp hp; 25 nu E l mt khụng gian Banach tỏch c thỡ () = lim sup d(x, Em ), m x trong ú {Em } l mt dóy cỏc khụng gian con hu hn chiu ca E m Em Em+1 , m... 0 () = sup{(D) : D ()}, trong ú () l h tt c cỏc tp con khụng quỏ m c ca (xem [3]) Ta cú 1 () 0 () (), 2 vi mi tp b chn E Khi ú, ta cú tớnh cht tớnh cht sau: Mnh 1.3 Xột l o Hausdorff trong E v E l mt tp b chn Khi ú, vi mi > 0, tn ti mt dóy {xn } sao cho () 2({xn }) + nh ngha 1.12 Nu J = (a, b) v L1 (J; E) tha món iu kin: vi mi f , f (t) (t) hu khp t J, vi L1 (J) := L1 (J; R),