I HC QUC GIA THNH PH H CH MINH TRNG I HC KHOA HC T NHIấN Li cm n Ngụ Ngc Minh NG DNG QU TRèNH BN MARKOV VO Mễ HèNH RI RO TRONG BO HIM Chuyờn ngnh: Lí THUYT XC SUT V THNG Kấ TON HC Mó s: 60 46 15 LUN VN THC S TON HC HNG DN KHOA HC: TS Tễ ANH DNG TP H Chớ Minh - 2009 u tiờn, tụi xin chõn thnh cm n Ban Giỏm Hiu, Phũng o to sau i hc, Khoa Toỏn - Tin hc, trng i hc Khoa hc T nhiờn Thnh ph H Chớ Minh, B mụn Xỏc sut - Thng kờ cựng tt c Quý Thy Cụ ó tn tỡnh ging dy, giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc v thc hin lun ny Tụi xin c by t lũng bit n sõu sc n ngi thy ca mỡnh: TS Tụ Anh Dng, i hc Khoa Hc T Nhiờn TP HCM Tụi cm n thy v nhng li khuyờn, gi ý v s h tr tn tỡnh, chu ỏo ca thy quỏ trỡnh hc v giỳp tụi hon thnh lun ny ng thi, tụi cng xin c gi li cm n n PGS TS Nguyn Bỏc Vn, TS Dng Tụn m Cỏc thy ó trang b cho tụi kin thc, giỳp tụi hiu rừ hn v xỏc sut, thng kờ v nh hng sõu sc n ng hc tp, nghiờn cu khoa hc ca mỡnh TP HCM - Ngy 20 thỏng 06 nm 2009 Tỏc gi Ngụ Ngc Minh Li m u Hu ht cỏc nc phỏt trin, d phũng ban u l mt lng nh c nh c quy nh bi chớnh ph v ph thuc vo s luõn chuyn ca cụng ty bo him Tht vy, iu ú giỳp bo v khỏch hng trỏnh tỡnh trng khụng may l cụng ty phi tr mt lng ln tin bi thng mt khong thi gian ngn lm cụng ty mt kh nng chi tr (ri ro) Vn qun lý ri ro bo him l mt cỏc quan trng nht Vic cú mt mụ hỡnh toỏn hc giỳp qun lớ ri ro l rt cn thit cho cỏc cụng ty bo him Jarrow Land v Turnbull ch rng cú th gii quyt c ri ro ti chớnh v bo him bng cụng c xớch Markov Sau ú nhiu bi bỏo ó ch rng xớch Markov cú th ny sinh nhiu Cng t thi im ny ngi ta ngh n vic ng dng bỏn Markov vo ri ro ti chớnh v bo him Nguyờn nhõn l i vi xớch Markov thi gian chuyn i gia cỏc trng thỏi l ri rc õy l lý ti bỏn Markov c dựng tt hn xớch Markov Trong lun ny tụi s trỡnh by ng dng ca quỏ trỡnh bỏn Markov vo qun lý ri ro bo him Mc lc Li cm n Li m u Mc lc Thuyt tỏi to 1.1 Mc ớch 1.2 nh ngha chớnh 1.3 S phõn loi ca cỏc quỏ trỡnh tỏi to 1.4 Phng trỡnh tỏi to 1.5 S dng phộp bin i Laplace 1.5.1 Phộp bin i Laplace 1.5.2 Phộp bin i Laplace Stieltjes (L-S) 1.5.3 Mt ng dng i vi hm tỏi to 1.6 ng dng ca ng thc Wald 1.6.1 ng thc Wald 1.6.2 Chn di ca hm tỏi to R 1.7 Dỏng iu tim cn ca quỏ trỡnh N(t) 1.8 Cỏc thi im hi quy 1.8.1 nh ngha 1.8.2 Hm phõn phi ca s ln hi quy 1.8.3 Dỏng iu tim cn 1.9 Quỏ trỡnh tỏi to trỡ hoón v quỏ trỡnh tỏi to dng 1.10 Dng s 1.10.1 Phng phỏp cu phng tng quỏt 1.10.2 Mt vi cụng thc c bit 1.10.3 Vớ d thc t v tai nn ụ tụ 1 14 14 16 17 18 18 19 20 23 23 24 26 30 35 35 37 39 Xớch Markov 2.1 Tớnh Markov 2.1.1 nh ngha tớnh Markov 2.1.2 Cỏc vớ d 2.2 nh ngha xớch Markov 2.3 Phõn loi trng thỏi xớch Markov 2.3.1 Cỏc trng thỏi tun hon v khụng tun hon 2.3.2 Cỏc trng thỏi c lng v khụng c lng c Tớnh ti gin 45 45 45 46 47 50 50 50 MC LC 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.3.3 Trng thỏi nht thi v hi quy S ln chim gi Tớnh xỏc sut hp thu Dỏng iu tim cn Cỏc vớ d Mt trng hp bo him xó hi (Janssen (1966)) Phng phỏp s gii bi toỏn tim cn 2.9.1 Thut toỏn cho nghiờn cu xớch Markov tim cn 2.9.2 Mu d liu ti gin thc t bo him xe 2.9.3 Cỏc vớ d rỳt gn c v khụng rỳt gn c, dng kt ni chớnh 51 54 55 56 60 63 65 65 68 tc 72 Quỏ trỡnh tỏi to Markov, bỏn Markov v bc ngu nhiờn Markov 3.1 Quỏ trỡnh (J-X) dng 3.2 Xớch bỏn Markov v xớch bỏn Markov m rng 3.3 Cỏc tớnh cht chớnh 3.4 Vớ d v quỏ trỡnh yờu cu bi thng bo him 3.5 Quỏ trỡnh tỏi to Markov, quỏ trỡnh bỏn-Markov v quỏ trỡnh m liờn kt 3.6 Cỏc hm tỏi to Markov 3.7 Phng trỡnh tỏi to Markov 3.8 Dỏng iu tim cn ca MRP 3.8.1 Dỏng iu tim cn ca hm tỏi to Markov 3.9 Dỏng iu tim cn ca SMP 3.9.1 Trng hp ti gin 3.9.2 Trng hp khụng ti gin 3.10 MRP trỡ hoón v MRP dng 3.11 Trng hp nghiờn cu v bo him xó hi 3.11.1 Mụ hỡnh bỏn Markov 3.11.2 Vớ d s 3.12 Quỏ trỡnh (J-X) 3.13 Cỏc hm ca quỏ trỡnh (J-X) 3.14 Cỏc bc ngu nhiờn c in v lý thuyt ri ro 3.14.1 Cỏc kớ hiu c bn bc ngu nhiờn 3.14.2 S phõn loi cỏc bc ngu nhiờn 3.15 Cỏc bc ngu nhiờn bỏn Markov 3.16 Phõn phi cn trờn ỳng cho cỏc bc ngu nhiờn bỏn Markov 82 82 83 83 86 87 88 91 92 92 92 92 94 95 98 98 99 100 101 103 103 104 106 107 Cỏc Mụ Hỡnh Ri Ro Trong Bo Him 4.1 Mụ hỡnh ngu nhiờn c in cho lý thuyt ri ro 4.2 Mụ hỡnh ri ro E.S Anderson hay G/G 4.2.1 Mụ hỡnh 4.2.2 Phớ bo him 4.2.3 Ba quỏ trỡnh c bn 4.2.4 Xỏc sut phỏ sn 4.3 Mụ hỡnh ri ro Cramer Lundberg hay P/G 4.3.1 Mụ hỡnh 4.3.2 Xỏc sut phỏ sn 4.3.3 Qun lớ ri ro bng xỏc sut phỏ sn 4.3.4 c lng Cramer 109 109 110 110 110 112 113 115 115 115 120 121 v xỏc sut phỏ sn MC LC 4.4 Cỏc mụ hỡnh khuych tỏn cho lý thuyt ri ro v xỏc sut phỏ sn 4.4.1 Mụ hỡnh ri ro khuych tỏn n gin 4.4.2 Mụ hỡnh ri ro ALM 4.5 Mụ hỡnh ri ro Bỏn Markov 4.5.1 Mụ hỡnh ri ro bỏn Markov (hay SMRM) 4.5.2 Mụ hỡnh ri ro bỏn Markov tng quỏt (hay GSMRM) 4.5.3 Quỏ trỡnh m s yờu cu bi thng 4.5.4 Quỏ trỡnh tin bo him tớch ly 4.5.5 Quỏ trỡnh tin úng bo him 4.5.6 Quỏ trỡnh ri ro v ri ro ca d tr 4.5.7 Mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov dng 4.6 Xỏc sut phỏ sn ca mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov tng quỏt 4.6.1 Xỏc sut phỏ sn v khụng phỏ sn 4.6.2 S thay i mc phớ bo him 4.6.3 Gii phỏp tng quỏt cho tim cn xỏc sut ri ro 123 123 124 125 125 125 128 130 131 131 132 132 132 133 134 Kt lun 137 Ti liu tham kho 138 1.2 nh ngha chớnh T quan im toỏn t, mt c trng quan trng ca h c xột ti thi im t l tng s cỏc thay th xy khong [0, t] Lu ý rng ta khụng xột thnh phn u tiờn Nu N(t) l bin ngu nhiờn ta va nh ngha, vi n ta cú: N(t) > n Tn t Chng Thuyt tỏi to 1.1 (1.3) Quỏ trỡnh ngu nhiờn (N(t), t 0), c th hin hỡnh 1.1 Mụmen cp mt ca N(t) s cho s lng trung bỡnh ca s thay th (0, t] c bit nu ti thi im 0, ngi qun lý cú kh nng thc hin ton b s thay th, s lng thay th trung bỡnh s l kỡ vng E(N(t)) D nhiờn, nh qun lý phi d tr thờm ngn chn s gia tng ngu nhiờn Vn ny s c gii quyt mc 1.7 Lnh vc nghiờn cu xỏc sut ca cỏc quỏ trỡnh ny c gi l thuyt tỏi to Nú c s dng cho xỏc sut ng dng, mt nhng ch quan trng gii quyt mt s cuc sng Mc ớch t (Xn , n 1) l mt dóy bin ngu nhiờn khụng õm, c lp v cú cựng phõn phi c xỏc nh trờn khụng gian xỏc sut (, , P ) Ta xột v tin cy nh sau: ti thi im 0, h c xột bt u vi mt thnh phn mi v sau ú nú b hng ti thi im ngu nhiờn T1 Ti thi im ny, mt thnh phn mi khỏc lp tc c thay th cho thnh phn u tiờn h, sau ú nú cng b hng ti thi im c v c tip tc quỏ trỡnh nh vy Tt c cỏc thnh phn ny u cựng loi Ta gi (Tn , n 0) l cỏc thi im thay th liờn tip, ta cú T0 = (1.1) Tui th ca cỏc thnh phn liờn tip c a vo h cho bi Xn = Tn Tn1 , n (1.2) 1.2 nh ngha chớnh nh ngha 1.1 Dóy ngu nhiờn (Tn , n 0), ú T0 = 0, Tn = X1 + + Xn , n1 (1.4) (1.5) c gi l dóy tỏi to hoc quỏ trỡnh tỏi to Cỏc bin ngu nhiờn Tn , n c gi l thi im tỏi to v bin ngu nhiờn Xn , n c gi l khong thi gian gia hai ln chuyn i Vớ d 1.1 Ta xột h thng hng i ca mt dch v, quỏ trỡnh khỏch hng n v quỏ trỡnh s ln phc v c ỏp dng bi lut FIFO, ngha l khỏch hng no ti trc s c phc v trc Trong nhiu mụ hỡnh ca lý thuyt hng i, quỏ trỡnh n c tha nhn l mt quỏ trỡnh tỏi to Trong trng hp ny, bin ngu nhiờn Tn l thi gian n ca khỏch hng th n, ú khỏch hng s thỡ s c phc v ti thi im v bin ngu nhiờn Xn mụ t khong thi gian n gia khỏch hng th (n 1) v th n Quỏ trỡnh n cng c xột lý thuyt ri ro Ta xột mt cụng ty bo him bt u ti thi im vi s ban u u(u 0) Khỏch hng úng phớ bo him v cụng ty bo him phi tr tin bi thng khỏch hng xy tai nn Trong trng hp ny, bin ngu nhiờn Tn mụ t yờu cu bi thng bo him th n v cụng ty s bt u xem xột chi tr tin bi thng vi yờu cu u tiờn c gi l yờu cu bi thng 0, bin ngu nhiờn Xn l khong thi gian n gia s bi thng th (n 1) v th n Trong lý thuyt m, ta xột cỏc mu n ti thi im Tn , n vi T0 = 0, bin ngu nhiờn Xn tha cỏc iu kin ca thi im n gia ln chuyn i liờn tc nh ngha 1.2 Vi mi dóy tỏi to, ta cú th kt hp cỏc quỏ trỡnh ngu nhiờn sau cú thi gian liờn tc vi cỏc giỏ tr N : ú Hỡnh 1.1: th ca N (t) (1.6) (N(t), t 0) N(t) > n Tn t, n N0 Quỏ trỡnh ny c gi l quỏ trỡnh m kt hp hoc quỏ trỡnh m tỏi to N(t) mụ t tng s tỏi to (0, t] 1.3 S phõn loi ca cỏc quỏ trỡnh tỏi to nh ngha 1.3 Hm tỏi to c nh ngha (1.7) H(t) = E(N(t)) ú kỡ vng c quy nh l hu hn 1.3 Trong mt vi trng hp, nú hu ớch xột tỏi to ban u v nh ngha bin ngu nhiờn N (t) vo thi im t l tng s tỏi to [0, t] Rừ rng, vi mi t 0: N (t) = N(t) + (1.17) ú: S phõn loi ca cỏc quỏ trỡnh tỏi to Ta gi s rng cỏc bin ngu nhiờn c nh ngha trờn R cú hm phõn phi F nh vy: (1.8) F (0) < E(N (t)) = H(t) + (1.18) R(t) = E(N (t)) (1.19) t Theo h thc 1.18, 1.16 v 1.13 ta cú: Nu ta s cú trng hp thụng thng ca cỏc bin ngu nhiờn thc T h thc 1.5, ta cú: P (N(t) > n 1) = F (n) (t), l tớch chp n ln ca hm F vi chớnh nú T ú vi n n1 R(t) = U0 (t) + H(t) (1.10) (1.11) p dng h thc 1.10 ta cú: P (N(t) = n) = F (n) (t) F (n+1) (t), n (1.12) F (0) c nh ngha l phõn phi Heaviside vi giỏ tr ti thi im ban u F (0) = U0 , (1.13) h thc 1.12 ỳng cho n = 0, ú P (N(t) = 0) = F (t) (1.14) p dng b Stein, kt qu quan trng sau c chng minh Mnh 1.4 Nu F (0) < 1, vi mi t thỡ N(t) cú mụ men bc bt kỡ c bit, mnh ny cú ngha l hm tỏi to hu hn vi mi t hu hn Do ú, ta cú th vit : E(N(t)) = n=1 n F (n) (t) F (n+1) = F (t) F (2) (t) + 2F (2) (t) 2F (3) (t) + ã ã ã (1.15) = F (t) + F (2) (t) + F (3) (t) + ã ã ã vỡ th s dng h thc 1.7: F (n) (t) n=1 (1.21) S phõn loi ca quỏ trỡnh tỏi to da trờn ba khỏi nim: hi quy, nht thi v tun hon nh ngha 1.5 i) Mt quỏ trỡnh tỏi to (Tn ,n 1) l hi quy nu Xn < vi mi n, ngc li nú c gi l nht thi ii) Mt quỏ trỡnh tỏi to (Tn ,n 1) l tun hon vi chu kỡ nu cỏc giỏ tr cú th cú ca cỏc bin ngu nhiờn Xn , n cú dng hp m c {0, , 2, }, v l s ln nht Ngc li, nu khụng cú no dng thỡ quỏ trỡnh tỏi to l khụng tun hon Kt qu trc tip ca nh ngha ny l c trng ca mt kiu quỏ trỡnh tỏi to vi s tr giỳp ca hm phõn phi F Mnh 1.6 Mt quỏ trỡnh tỏi to ca hm phõn phi F l i) Hi quy v ch F () = ii) Nht thi v ch F () < iii) Tun hon vi chu kỡ ( > 0) v ch nu F l hng s nm ngoi khong [n,(n + 1)), n N v tt c cỏc bc nhy ca nú xy ti cỏc im n, n N Nu t tin n + h thc 1.16 cho: nu F (+) = + F (+) H(+) = (1.22) nu F (+) < F (+) Hoc tng ng vi vi h thc 1.20: + R(+) = F (+) nu F (+) = nu F (+) < (1.23) iu ny s c chng minh nh lớ tip theo Mnh 1.7 Quỏ trỡnh tỏi to ca hm phõn phi F l hi quy hay nht thi ph thuc vo H(+) = + hoc H(+) < + Trong trng hp cui, ta cú H(t) = (1.20) n=0 Hin nhiờn ta cú: (n) P (N(t) = n) = P (N(t) > n 1) P (N(t) > n) F (n) (t) R(t) = (1.9) F (+) = F 1.3 S phõn loi ca cỏc quỏ trỡnh tỏi to (1.16) R(+) = F (+) hoc H(+) = F (+) F (+) (1.24) 1.3 S phõn loi ca cỏc quỏ trỡnh tỏi to S phõn loi c trỡnh by trờn s rừ rng hn vi khỏi nim tui th ca quỏ trỡnh tỏi to nh ngha 1.8 Tui th ca quỏ trỡnh tỏi to (Tn , n 1) l bin ngu nhiờn L c nh ngha: L = sup{Tn : Tn < } (1.25) Vỡ th, nu L = , cú ngha l ch cú mt s lng hu hn s tỏi to trờn [0, ) Ta cng nh ngha mt bin ngu nhiờn N mi, nú l tng s lng tỏi to trờn [0, L) 1.3 S phõn loi ca cỏc quỏ trỡnh tỏi to Vỡ vy, cú th tớnh c trung bỡnh ca tng s cỏc tỏi to mt cỏch d dng trng hp nht thi Ta cng cú th a hm phõn phi ca L Thc vy, ta cú: P (L t) = N = sup{N(t), t 0} (1.26) v tng quỏt vi k N : P (N = 1) = F (+)(1 F (+)) P (N = k) = (F (+))k (1 F (+)) (1.28) P (L t) = (1 F (+))R(t) + (1.29) = F (+) vỡ th vi |x| < (hay < x < 1) cú th vit di dng chui ly tha: Nh hm s 1x = 1x (1.32) xn n=0 nxn1 E(N) = F (t) dt + E(L).F (+) F (+) (F (+) F (t))dt + E(L).F (+) (1.40) (1.41) V cui cựng E(L) = 1 F (+) + (F (+) F (t)) dt (1.42) Vỡ vy, vi quỏ trỡnh tỏi to nht thi, tui th luụn hu hn v cú mt giỏ tr trung bỡnh hu hn c cho bi h thc 1.42 F (x) = Vit h thc 1.31 di dng theo 1.33 ta cú: (1.33) n=1 E(N) = F (+)(1 F (+)) (1.39) Vớ d 1.2 (Quỏ trỡnh Poisson) Trong lý thuyt hng i v lý thuyt ri ro ó c trỡnh by vớ d 1.1, gi thit c in ca quỏ trỡnh n l nú hỡnh thnh quỏ trỡnh tỏi to m ú bin ngu nhiờn Xn thng cú hm phõn phi c cho bi Vi x (1, +1) v nh vy, ly o hm ta c = (1 x)2 (1.38) + E(L) = (1.31) (1.37) tớnh tui th trung bỡnh ca quỏ trỡnh, ta s dng th thut sau da trờn tớnh c lp ca cỏc bin ngu nhiờn Xn , n 1, ta cú th vit: k[F (+)]k (1 F (+)) F (n) (t)(1 F (+)) Cui cựng, theo ng thc 1.20: Trong trng hp quỏ trỡnh tỏi to nht thi, theo h thc 1.29 ta cú: k=1 n=1 E(L) = E(T1 I{T1 nu n=0 Mt khỏc, cụng ty phi chn mc phớ bo him c nh sau: c> hoc: Theo ú nu ta ly giỏ tr c ny nh mc phớ bo him c nh trờn mt n v thi gian thỡ nú c xem nh mt trũ chi gia cụng ty bo him v khỏch hng Trũ chi ny gn nh c xem l cụng bng tim cn ú l lý ti c c gi l phớ bo him thun tỳy Nhng mt cỏch khụng may mn, sau ny ta s thy rng s la chn ny s dn n s phỏ sn ca cụng ty [0, ) Khi ú cng a mt h s an ton dng : c = (1 + ) c (4.11) ta: 112 n=1 E(N(t)) hoc 4.2 Mụ hỡnh ri ro E.S Anderson hay G/G (4.14) (U(t) ct, t 0) (4.20) mụ t tng chi phớ m cụng ty phi tr cho n thi im t, c d phũng cho cụng ty khụng b phỏ sn vo thi im ny 4.2 Mụ hỡnh ri ro E.S Anderson hay G/G 113 4.2 Mụ hỡnh ri ro E.S Anderson hay G/G 3) Quỏ trỡnh ri ro i vi tin d tr (hoc quỏ trỡnh thng d) Nú mụ t quỏ trỡnh ngu nhiờn ((t), t 0), ú: (t) = u U(t) + ct,t (4.21) (u) = P (T = |(0) = u) = (u) (4.24) (u, ) (4.25) (u, ) > , (4.26) S hiu bit v hm hoc hm tng ng l cn thit ta cú th chn cỏc giỏ tr cho cỏc tham s u v cho m bo cỏc dch v tt cho khỏch hng Vớ d, nu u c nh, ta thy rng xỏc sut nh mt hm ca h s an ton : ti thi im t l tng ti sn thc ca cụng ty, gi s rng cụng ty hot ng tt vo thi im ú Hai s tip theo cho ta ng qu o in hỡnh ca quỏ trỡnh N v quỏ trỡnh 114 Nu ta t iu kin: vớ d vi = 0.99999, ta cú th chn giỏ tr cc tiu nh vy iu kin 4.26 c tha Vi s h tr ca cỏc kt qu bc ngu nhiờn, ta cú th chng minh rng lý thuyt vi h s an ton dng l mt iu kin cn khụng xy phỏ sn [0, ) Trong giai on (Tn1 , Tn ], chi phớ ca cụng ty tng hay gim l cỏc khon thc phi chi c a bi: Zn = Yn cXn , n (4.27) Dóy bin ngu nhiờn c lp cựng phõn phi (Zn , n 1) Hỡnh 4.1: Qu o ca quỏ trỡnh N (4.28) to cỏc bc ngu nhiờn ca cỏc giỏ tr liờn tip: n Zk Sn = (4.29) k=1 T h thc 4.21 ta cú: (Tn ) = u Sn (4.30) vi Sn l giỏ tr ca quỏ trỡnh ri ro ti thi im Tn Bõy gi ta xột bin ngu nhiờn M c xỏc nh bi h thc 3.170 chng 3; t 4.24 ta suy ra: (u) = P (M u) (4.31) Hỡnh 4.2: Qu o ca quỏ trỡnh T mnh 3.40 chng 3, ta bit rng hm phõn phi M khụng suy bin v ch bc ngu nhiờn tin n , hoc: Bõy gi ta xột quỏ trỡnh ri ro c bn lý thuyt ri ro T quan im kinh t ngt, tui th ca mt cụng ty bo him c nh ngha nh thi gian dng: Rừ rng, t h thc 4.27 iu kin cui cựng ny cng tng ng vi bt ng thc 4.13 Trng hp c = (4.33) 4.2.4 E(Zn ) < Xỏc sut phỏ sn T = inf { t : (t) < 0} (4.22) õy l mt quan im quan trng, ta khụng xột xỏc sut m cụng ty vay n gii quyt mt ri ro nh Rừ rng, nu bin c { : T () 0} xy thỡ cụng ty b phỏ sn trc hoc vo thi im t Ngc li thỡ cụng ty khụng b phỏ sn Ta s s dng kớ hiu sau cho xỏc sut phỏ sn v khụng phỏ sn thi gian horizon vụ hn, ngha l trờn [0, ): (u) = P (T < |(0) = u), (4.23) (4.32) phi c xem xột cn thn Thc vy, trng hp ny bc ngu nhiờn c to bi dóy ngu nhiờn dao ng 4.27, vỡ vy vi bt kỡ u > ta cú: P (n N0 : Sn > u) = (4.34) Mt khỏc, kt qu ny ch rng vi bt kỡ d tr ban u, cụng ty s b phỏ sn vi xỏc sut bng iu ny cng cú ngha l trũ chi cụng bng tim cn dn n s phỏ sn ca cụng ty 4.3 Mụ hỡnh ri ro Cramer Lundberg hay P/G 115 Vỡ vy, b qua h s an ton, bc ngu nhiờn (Sn , n 0) cng s tin + hoc s dao ng Trong c hai trng hp ta bit rng (4.35) M = Theo ú, vic tớnh toỏn hm xỏc sut khụng phỏ sn ch xy bt ng thc 4.13 hoc 4.14 c tha v nú cng cn c th húa mt s gi thit c bn cú cỏc biu thc gii tớch d dng hn iu ny cú th thc hin c trng hp ca mụ hỡnh Cramer-Lundberg hoc P/G 4.3 4.3.1 Mụ hỡnh cú c mụ hỡnh ri ro riờng, ta cú th chnh sa mụ hỡnh Anderson trờn theo phng phỏp sau: ta xem quỏ trỡnh chi tr tin bi thng l mt quỏ trỡnh Poisson hoc nh vớ d 1.2 chng vi: nu x nu x < ex theo 4.2: = (4.36) (4.38) Xỏc sut phỏ sn Bõy gi ta xột xem lm th no cú th xõy dng phng phỏp gii c trng cú c cỏc kt qu n gin cho hm xỏc sut khụng phỏ sn T bõy gi, ta gi s rng iu kin 4.38 c tha Ngc li thỡ ng nht vi T cỏc quy lut xỏc sut chun, vi cỏc iu kin quan tõm n thi im xy yờu cu bi thng bo him u tiờn, ta cú (u) = u+ct e (u + ct y)dB(y)dt, u > 0 (4.39) u ec c e c z z c z e c z u (z y)dB(y)dz + e c u e c u c u (z y)dB(y) S dng li h thc 4.40 ta c: (u) = u (u) c c (u y)dB(y) (4.41) (4.42) (t) (0) = c t ()d c t ( y)dB(y)d (4.43) p dng nh lớ Fubini liờn quan n s hoỏn v tớch phõn ca s hng cui cựng thnh phn th hai ca 4.43, ta c: (t) (0) = c t ()d c t y t ( y)dB(y)d (4.44) ty (z y)dB(y)dz t (v)dv(= ( y)d),dg(y) = dB(y) (4.45) y iu ny cho ta kt qu sau: (t) (0) = ()d c c t (t y)B(y)dy (4.46) Cui cựng, tớch phõn u tiờn ca h thc cui t = t y, ta c: (t) = (0) + c t (t y)(1 B(y))dy (4.47) Trc gii phng trỡnh tớch phõn ny, ta phi tớnh giỏ tr (0) Mun vy, h thc cui ta cho t tin Khi ú: () = (0) + ()L() c (4.48) ú: dL(y) = [1 B(y)]dy v nh vy L() = (1 B(y))dy = (4.49) Bõy gi, tr li ng thc 4.48 ta cú th rỳt giỏ tr ca () l: Thay bin z = u + ct ta c: (u) = u ec c f (y) = Vỡ vy, nu trng hp tng quỏt, bt kỡ mụ hỡnh Anderson no c xỏc nh bi hai hm phõn phi A v B trờn [0, ) ó bit thỡ nú gii thớch cho kớ hiu ca mụ hỡnh ri ro E.S Anderson (hay G/G) vi kớ t G cú ngha l tng quỏt Mt khỏc, bt kỡ mụ hỡnh Cramer Lundberg (hay P/G) c xỏc nh bi tham s dng thỡ nú xỏc nh quỏ trỡnh Poisson ca cỏc yờu cu bi thng bo him v bi hm phõn phi tng quỏt B trờn [0, ) cho lng tin bi thng bo him iu ny cng gii thớch cho kớ hiu P/G (P l Poisson v G l tng quỏt) ca mụ hỡnh riờng ny t (u) = (4.37) c > T cỏc nh lớ phõn tớch c in, theo biu thc 4.40 ta suy c o hm ca l: Tớch phõn hai lp ca thnh phn th hai cú th c ly tớch phõn tng phn, vi: Khi ú iu kin 4.13 hoc 4.32 tr thnh: 4.3.2 116 Ly tớch phõn tng s hng ca ng thc cui cựng trờn [0, t] ta c: Mụ hỡnh ri ro Cramer Lundberg hay P/G A(x) = 4.3 Mụ hỡnh ri ro Cramer Lundberg hay P/G (4.40) () = (0) c (4.50) 4.3 Mụ hỡnh ri ro Cramer Lundberg hay P/G 117 nhng, theo iu kin 4.38 ta cú () = v vỡ vy h thc cui cho ta kt qu mong mun: (0) = (4.51) c Nh vy, dng cui cựng ca phng trỡnh tớch phõn 4.39 l: t (t) = + c c (t y)dB (y), B (y) = y (1 B(z))dz (4.52) S dng phộp bin i Laplace ta d dng gii c phng trỡnh tớch phõn ny Vi cỏc quy c tng t nh chng 1, h thc 4.52 dn n = (s) 1 + (s)b (s) s c c 4.3 Mụ hỡnh ri ro Cramer Lundberg hay P/G 118 Vớ d 4.1 Mụ hỡnh P/P hay Lundberg Kớ hiu P/P cú ngha l ta phi c th húa vic la chn hm phõn phi B nh l mt hm phõn phi m õm vỡ th: 1 e y , y 0, 0, y < B(y) = Nh õy: ta suy ra: B (y) = B(y) (4.62) s + (4.63) b (s) = (4.53) (4.61) ú ỏp dng kt qu 4.55 ta c: ú: B(y) b (y) = (4.54) = (s) T phng trỡnh i s 4.53 ta c biu thc trn ca phộp bin i Laplace xỏc sut khụng phỏ sn nh sau: c s b (s) c = (s) (4.55) Theo gi thit 4.38 ta c b (s) < 1,s > c Sau mt dóy cỏc khai trin, biu thc mi ca phộp bin i Laplace l: = (s) s c b (s) c n=0 n (4.57) Nu ta mun din t xỏc sut phỏ sn ti u thỡ t ng thc 4.24 ta cú: c c n=0 n=0 c c n B (u))(n) , n (1B (u))(n) Kt qu ny ó c chng minh bi Jenssen (1969a) s s + (u) = ( c )u e c (4.60) (4.64) (4.66) S tn ti cỏc cụng thc y , n gin l ngoi l lý thuyt ri ro vỡ nú a cỏc biu thc cho v quỏ n gin Ngoi biu thc cng cú th c vit di dng khỏc Thc vy, t h thc 4.12 ta bit rng: c = (1 + ) (4.58) Nghch o tng thnh phn h thc cui ny ta cú dng y ca xỏc sut khụng phỏ sn: n (u) = B (u)n (4.59) c n=0 c c c p dng phộp bin i Laplace ngc cho c hai thnh phn ca h thc cui ny ta c: ( c )u e (4.65) (u) = c (4.56) vỡ th = v d nhiờn : b (s) > b (0) > > 0,s > c c c (u) = (4.67) thay giỏ tr c biu thc ny vo h thc 4.66 ta cú h thc mi l: (u) = u 1+ e 1+ (4.68) iu ny cho ta mt kt qu bt ng, vi h thc 4.38 c tha, ú l: c > , xỏc sut phỏ sn ch ph thuc vo v nhng khụng ph thuc vo Núi cỏch khỏc, kt qu ny cú ngha l nu ta cú hai cụng ty bo him vi mụ hỡnh P/P tng ng vi cỏc tham s (1 , ) v (2 , ), c hai u tha bt ng thc 4.38, ú hai cụng ty ny bt u vi cỏc iu kin nh nhau, cú cựng xỏc sut phỏ sn v ch chỳng cú cựng h s ti an ton Vỡ vy, trng hp ny, t quan im v lý thuyt phỏ sn, cụng ty no cú tham s ln nht s ớt nguy him hn c hai cụng ty u cú cựng s lng tin bi thng trung bỡnh v h s an ton Vớ d 4.2 4.3 Mụ hỡnh ri ro Cramer Lundberg hay P/G 119 4.3 Mụ hỡnh ri ro Cramer Lundberg hay P/G 1) Ta xột mt cụng ty bo him cú lng tin bi thng bo him cho khỏch hng trung bỡnh hng nm l t ụ la v 50.000 yờu cu bi thng bo him Vi s d tr ban u u l 8.000.000 ụ la Ta cú cỏc d liu cho cụng ty ú l: = 50.000 = 2.000.000.000,u = 8.000.000 (4.69) = 40.000 (4.70) v: T h thc 4.68 ta cú: (8.000.000) = 200 +1 e 1+ 000 000 0,1821047 500 000 0,4125424 Bng 4.2: Bng 1.2 (ii) õy ta cú: (8000000) = 0.07 8000000 1.07 e 1.07 Lng tin bi thng trung bỡnh Xỏc sut phỏ sn 25000 0,00000000075655 150000 0,0285312 Bng 4.3: Bng 1.3 Bng 4.1 a cỏc giỏ tr ca xỏc sut phỏ sn ny nh mt hm ca tha s an ton (iii) Trong trng hp s lng yờu cu bi thng trung bỡnh hng nm cú cỏc giỏ tr liờn tip l 70 000, 20 000, v vi s l 000 000, thỡ lng tin bi thng bo him trung bỡnh hng nm l 2,8 t v 800 triu Vi thu nhp trung bỡnh hng nm tng ng l 996 t v 856 triu Tuy nhiờn, xỏc sut phỏ sn bng 0.0000019 4.3.3 2) Ta gi s rng tha s an ton c c nh l 7% v ta xột xem iu gỡ s xy nu: (i) Vn d tr ban u cú cỏc giỏ tr liờn tc sau: 4.000.000, 2.000.000, 1.000.000, 500.000 (ii) Vi s d tr l 8.000.000, lng tin bi thng bo him cho khỏch hng trung bỡnh l 25.000 v 100.000 (iii) S lng yờu cu bi thng trung bỡnh hng nm liờn tip l 70.000, 20.000.(vn vi s d tr l 80.000) Ta cú kt qu sau: (i) Qun lớ ri ro bng xỏc sut phỏ sn Kt qu y ca 4.68 cho ta cỏch gii quyt ba c bn ca qun lớ ri ro cho cỏc cụng ty bo him Vn : Cho d liu c bn ca cụng ty l (, , ) v d tr ban u l u Lm th no ta cú th tớnh c mc ri ro ca mt cụng ty? Ta s dng kt qu ca 4.68 tớnh xỏc sut ri ro trờn [0, ) Vn : Cho d liu ca mt cụng ty l (, ) v d tr ban u l u Lm th no tớnh c h s an ton xỏc sut phỏ sn trờn [0, ) s khụng vt quỏ giỏ tr ti hn (1 )? Cng s dng kt qu 4.68, ta gii bt phng trỡnh: u 1+ < e (4.73) 1+ hoc phng trỡnh: 0.07 ã u e 1.07 40000 1.07 u = 0.9345794e0.0654206 40000 ln(1 + ) + (2.000.000) = Kt qu c th hin bng 4.2 Vn d tr 000 000 000 000 Xỏc sut phỏ sn 0,0073472 0,0354853 u = 0.9345794e0.0654206 v cỏc kt qu c th hin bng 4.3: (4.71) H s an ton Xỏc sut phỏ sn 0,01 0,1366752 0,03 0,0028661 0,05 0,0000696 0,07 0,0000019 0,10 0,000000011544 Bng 4.1: Bng 1.1 120 (4.72) u = ln(1 ) +1 (4.74) (c gii bng phng phỏp Newton) Vn : Cho d liu ca mt cụng ty l (, ) v h s an ton Lm th no tớnh c lng d tr ban u xỏc sut phỏ sn trờn [0, ) s khụng vt quỏ giỏ tr ti hn (1 )? p dng kt qu 4.68, ta gii bt phng trỡnh sau: u 1+ < (1 ) (4.75) e 1+ 4.3 Mụ hỡnh ri ro Cramer Lundberg hay P/G hoc phng trỡnh: ln(1 + ) + ta cú nghim nht l 4.3.4 121 u = ln(1 ) +1 4.3 Mụ hỡnh ri ro Cramer Lundberg hay P/G 122 (i) Nh ti chớnh ngu nhiờn vi thi gian liờn tc (xem Merton (1999)), tham s u tiờn c gi l khuynh hng v tham s th hai c gi l linh hot Mụ hỡnh ny cho ta mt biu thc n gin cho quỏ trỡnh : (t) = àt + W (t),t (4.99) Vi mụ hỡnh n gin ny, ta cú th tớnh c giỏ tr chớnh xỏc ca xỏc sut phỏ sn (xem Cox v Miller (1965)) khong thi gian horizon hu hn [0, t], ú l (u, t) = P (T < t|(0) = u) ii) WA = (WA (t), t 0),WB = (WB (t), t 0) l hai chuyn ng Brown chun c lp Vn vi phõn ngu nhiờn 4.104 cú cỏch nghim l: A(t) = u + àA t + A WA (t) B(t) = àB t + B WB (t) (4.97) Quỏ trỡnh W = (W (t), t 0) l mt chuyn ng Brown chun c nh ngha trờn khụng gian xỏc sut y (, , P ) v ta gi s rng: (4.100) u + àt t 2à2 u (4.101) ú, trỏnh s ln ln vi kớ hiu ca xỏc sut khụng phỏ sn, mụ t hm phõn phi ca bin ngu nhiờn chun ó c rỳt gn Ta ch rng, cho t ta c kt qu tim cn sau: 2à2 u ,à > (4.102) (u) = lim (u, t) = e t 1,à < (4.105) Nh trờn, ta cng cú: (u, t) = P (T t|A(0) = u) (u) = P (T |A(0) = u) = lim (u, t) (4.106) t T 4.105 ta cú th vit: A(t) B(t) = u + àA t + A WA (t) àB t B WB (t) (4.107) (AWA (t) BWB (t), t 0) (4.108) Gi thit c lp gia hai quỏ trỡnh Brown ch rng quỏ trỡnh tng ng xỏc sut vi quỏ trỡnh vi T c xỏc nh bi h thc 4.22 v (u, t)c xỏc nh bi biu thc sau: +e (4.103) ú: Trong mụ hỡnh ny (Cox and Miller (1965) v Gerber (1079)), ta s xõy dng mụ hỡnh quỏ trỡnh ri ro d tr hoc thng d vi mt quỏ trỡnh ngu nhiờn cú thi gian liờn tc iu ny cú ngha rng quỏ trỡnh tha phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn n gin: u + àt (u, t) = t 124 A2 + B2 W (t),t (4.109) ú quỏ trỡnh W l mt chuyn ng Brown chun Bõy gi ta nh ngha hai tham s mi nh sau: (4.110) = àA àB , = A2 + B2 ú theo h thc 4.107 ta cú: A(t) B(t) = àt + W (t) (4.111) 4.5 Mụ hỡnh ri ro Bỏn Markov 125 Nh vy ta thy rng vi s thay i ca cỏc tham s 4.110 , quỏ trỡnh (A B)c mụ hỡnh húa chớnh xỏc nh l mụ hỡnh ri ro khuych tỏn n gin c cho bi h thc 4.99 Vỡ vy, tt c cỏc kt qu ca phn 4.97 u cú giỏ tr cho mụ hỡnh ALM , riờng cỏc kt qu 4.101, 4.102 c cho õy l: (u, t) = u(àA àB )t (A2 + B2 )t +e (u) = lim (u, t) = t 2à u ( + ) A B àB A + A B e u u + (àA àB )t (A2 + B2 )t nu àA > àB nu àA < àB 4.5 àA àB A2 + B2 t (Xn , n 1) , (Yn , n 1) tng ng vi dóy s ln n gia hai yờu cu bi thng bo him v dóy s lng tin bi thng bo him liờn tip Quỏ trỡnh (Jn , n 1) s mụ t cỏc kiu ca cỏc yờu cu bi thng liờn tip hoc cỏc trng thỏi mụi trng Gi thit c bn cú mt SMRM l: P (Jn = j, Xn x, Yn y|(Jk , Xk , Yk ), k = 1, , n 1) = QJni j (x, y) (4.113) Gi thit ny cú ngha l quỏ trỡnh ba chiu ((Jn , X, Yn ), n 0) c gi l quỏ trỡnh (J-X) hai chiu ca nhõn Q, cú cỏc tớnh cht sau: (i) Tt c cỏc phn t Qij ca Q l cỏc hm hai chiu, vi x bng v y õm (ii) Tn ti cỏc gii hn sau: (4.117) J0 = j0 , X0 = Y0 = (4.114) Mụ hỡnh ri ro Bỏn Markov Mụ hỡnh ri ro bỏn Markov (hay SMRM) T phn ca chng ny, ta bit bt kỡ mụ hỡnh ri ro no cng da trờn ba quỏ trỡnh c bn: lim x,y j=1 Nhỡn chung, hai quỏ trỡnh u tiờn l hai quỏ trỡnh ngu nhiờn v quỏ trỡnh th ba l tt nh Cỏc quỏ trỡnh ny c xỏc nh trờn khụng gian xỏc sut y (, , P ) Mụ hỡnh ri ro bỏn Markov tng quỏt (hay GSMRM) Trong mụ hỡnh ri ro bỏn Markov, m l cỏc kiu yờu cu bi thng bo him cú th cú v thuc hp: I = {1, , m} (4.115) hp ny c xem nh tham s mụi trng v nú cú nh hng n c hai ba quỏ trỡnh c bn ó nờu trờn (4.118) pij = 1,i I Mi ma trn Q c gi l mt nhõn bỏn Markov hai chiu v quỏ trỡnh (J-X-Y) tng ng vi mt quỏ trỡnh (J-X) hai chiu hoc xớch bỏn Markov hai chiu T vic m rng trc tip cỏc kt qu ca phn 3.2, chng ta cú kt lun sau: (i) Quỏ trỡnh cỏc yờu cu bi thng liờn tip (Jn , n 0) l mt quỏ trỡnh xớch Markov thun nht vi khụng gian trng I v P = [pij ] l ma trn chuyn (ii) Cỏc quỏ trỡnh ((Jn , Xn ), n 0), ((Jn , Yn ), n 0) l hai quỏ trỡnh bỏn Markov ca nhõn A Q,B Q, vi mi i v j thuc I: A (4.119) Qij (x) = Qij (x, +),B Qij (y) = Qij (+, y) (iii) Cho bin ngu nhiờn Jn , n 0, bin ngu nhiờn hai chiu (Xn , Yn ), n l c lp cú iu kin v ta cú: Fij (x, y) = P (Xn x, Yn y|J0, , Jn2 , Jn1 = i, Jn = j) = ii) Quỏ trỡnh v lng tin bi thng bo him iii) Quỏ trỡnh v thu nhp ca cụng ty bo him Qij (x, y) = pij ,i, j I, n i) Quỏ trỡnh yờu cu bi thng bo him 4.5.2 (4.116) vi Trong phn ny, ta trỡnh by mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov thun nht (gi tt l SMRM) Mụ hỡnh ny u tiờn c gii thiu bi Miller v c phỏt trin y bi Janssen, sau ú cng cú nhiu tỏc gi khỏc nghiờn cu 4.5.1 126 (4.112) Chỳ ý 4.1 a) Vi mụ hỡnh ri ro ALM, nh qun lớ linh hot hn vic xỏc nh nh hng ca vic thay i chin lc ú l cú bn tham s, hai s ú l àA , A ch dựng cho phn ti sn n v hai tham s cũn li àB , B dựng cho phn ti sn cú b) Vi mụ hỡnh ri ro ALM, tham s c bn R tr thnh R=2 4.5 Mụ hỡnh ri ro Bỏn Markov Qij (x, y)/pij U1 (x)U1 (y) nu pij > nu pij = (4.120) (iv) Tớnh cht cui cho ta bin ngu nhiờn Jn , n v (Xn , n 1) ph thuc vo iu kin v tng t cho bin ngu nhiờn (Yn , n 1) Hn na: A B Fij (x) = P (Xn x, |J0 , , Jn2 , Jn1 = i, Jn = j) = Fij (x, +) , Fij (x) = P (Yn y, |J0 , , Jn2 , Jn1 = i, Jn = j) = Fij (+, y) (4.121) B qua h thc iu kin i vi Jn , ta cú: Hi (x, y) = P (Xn x, Yn x|J0 , , Jn2 , Jn1 = i) = A B pij Fij (x, y) j Hi (x) = P (Xn x, |J0 , , Jn2 , Jn1 = i) = Hi (x, +), Hi (y) = P (Yn y, |J0 , , Jn2 , Jn1 = i) = Hi (+, y) (4.122) 4.5 Mụ hỡnh ri ro Bỏn Markov 127 Bõy gi, ta trỡnh by cỏc giỏ tr trung bỡnh kt hp vi hm phõn phi cú iu kin khỏc c nh ngha trờn v ta tha nhn ký hiu sau: m , B j = pij aij ydB Hi (y) = j=1 pij bij (4.123) 4.130 Qij (x, y)=A Fij (x)B Qij (y) Qij (x, y)=A Qij (x)B Fij (y) j=1 Qij (x, y) = pij A Fij (x)B Fij (y) Trc ht, ta xột quỏ trỡnh (Tn , n 1), T0 = (4.124) B n Tn = k=1 (4.125) Xk ,n l thi im n ca cỏc yờu cu bi thng bo him liờn tip Tip theo l quỏ trỡnh (Un, n 1) , U0 = c nh ngha (4.126) Un = k=1 (4.127) Yk ,n l tng lng tin bi thng liờn tip ch sau cỏc yờu cu bi thng bo him Vi phõn phi ng thi ca quỏ trỡnh (Jn , Tn , Un , n 0), ta cú: (n) P (Jn = j, Tn t, Un y|J0 = i) = Qij (x, y), (0) (1) (n) Qij (x, y) = x y (4.128) n k=1 (n1) Qij Fij (y)=B Fj (y), i, j I,y (4.132) Quỏ trỡnh m s yờu cu bi thng Vn s dng cỏc ký hiu v khỏi nim mc 3.5 ca chng 3, ta trỡnh by quỏ trỡnh m m + kt hp vi quỏ trỡnh bỏn Markov (SMP) ca yờu cu bi thng bo him nhõn A Q: A Nj (t), t , j = 1, , m, A N(t), t (4.133) vỡ vy, õy A Nj (t) l tng s yờu cu bi thng bo him loi j xy (0, t] v N(t) l tng s yờu cu bi thng bo him (0, t] T õy, ta gi s rng quỏ trỡnh tỏi to Markov (MRP) ca nhõn A Q l ergodic vi = (1 , , m ) l phõn phi dng nht liờn quan n P Vi Rij (t) = E A Nj (t) |J0 = i , t cỏc h thc 3.53, 3.76 v 3.79 chng ta cú A Qij (x, y) = ij U0 (x)U0 (y), Qij (x, y) = Qij (x, y) Fij (x)=A Fj (x), i, j I,x 0, Dng u tiờn ca iu kin 4.132 cú ngha l hm phõn phi ca thi gian n gia hai yờu cu bi thng bo him liờn tip ph thuc nht vo kiu yờu cu bi thng bo him tng lai v dng th hai l hm phõn phi ca lng tin bi thng bo him, nú ch ph thuc nht vo kiu ca yờu cu bi thng bo him ny v khụng ph thuc vo dng trc ú 4.5.3 n (4.131) Gi thit ny phự hp vi lý thuyt ri ro v hn th na, nú c s dng xột trng hp c bit sau: A c nh ngha (4.130) T cỏc kt lun trờn phn ph ny, ta cú: m xdA Hi (x) = i = Fij (x, y)=A Fij (x)B Fij (y), x, y R, i, j I ydB Fij (y), A 128 nh ngha 4.4 Cỏc dóy (Xn , n 1) , (Yn , n 1) c lp cú iu kin vi dóy (Jn , n 1) cho trc v ch xdA Fij (x), bij = aij = 4.5 Mụ hỡnh ri ro Bỏn Markov (x x , y y )Q(dx , dy ), n > A Rij (t) = Hin nhiờn, vi quỏ trỡnh ((Jn , Tn ), n 0), ((Jn , Un ), n 0), c hai u l quỏ trỡnh tỏi to Markov (MRP), ta cú: n=0 (n) Qij (t), i, j I, Rij (t) = A , i, j I, t àjj A k A k , j I àjj = j k lim t (n) P (Jn = j, Tn t |J0 = i ) =A Qij (t), (n) P (Jn = j, Un y |J0 = i) =B Qij (y) (4.129) Chỳ ý 4.2 Tng t cỏc nh ngha c bn ca quỏ trỡnh bỏn Markov ó nờu phn 3.2 (nh ngha 3.1) chng 3, quỏ trỡnh ba chiu ((Jn , Tn , Un ), n 0) c gi l quỏ trỡnh tỏi to Markov (MRP) hai chiu ca nhõn Q Nu Q l ma trn bỏn Markov m rng hai chiu thỡ quỏ trỡnh ny c gi l bc tỏi to Markov (MRW) hai chiu hoc xớch bỏn Markov (SMC) m rng Ta kt thỳc mc ny vi nh ngha sau (4.134) T bõy gi tr i ta s gim m A cho cỏc bin m liờn quan n yờu cu bi thng bo him Vi phõn phi ng thi N(t), JN (t) , TN (t) , ỏp dng tớnh cht bỏn Markov ta 4.5 Mụ hỡnh ri ro Bỏn Markov 129 cú: 4.5 Mụ hỡnh ri ro Bỏn Markov Vi cỏc giỏ tr trung bỡnh A Hij (t) = E (Nj (t) |J0 = i), cỏc kt qu 2.7 v 1.16 chng cho ta: P N(t) = n, JN (t) = j, TN (t) t h |J0 = i Hij (t) = Gij (t) + Gij Hjj (t), i = j, = P (N(t) = n, Jn = j, Tn t h |J0 = i) , h t = P (Tn t < Tn+1 , Jn = j, Tn t h |J0 = i) = P (Tn t h, Tn+1 > t, Jn = j |J0 = i) th n=1 Cui cựng, mnh 1.19 chng a tớnh chun tc tim cn: Vi h = 0, ta c: P N(t) = n, JN (t) = j |J0 = i = (n) (1A Hj (t z))dA Qij (z) (4.136) hn na, ly tng theo j ta c: m P (N(t) = n |J0 = i) = t j=1 m = j=1 m A = j=1 t m A j=1 m (n) Qij (t) k=1 Qjk (t õy l quỏ trỡnh (U(t),t 0) ú: N (t) U(t) = A (n+1) Qij (4.137) (t) k=1 Ta bit rng phõn phi l ca U(t), vi t c nh , rt quan trng i vi cỏc cụng ty bo him, vớ d xem mt nm l n v thi gian, giỏ tr U(1) l tng phớ tn m cụng ty phi chi bi thng bo him vo nm t Ta cú hm phõn phi l sau: Pij (t, n) = P N(t) = n, JN (t) = j |J0 = i , Pi (t, n) = P (N(t) = n, |J0 = i) = A Pij (t, n) , (4.138) A Pij (t, n) = Pi (t, n) = k=1 m A k=1 vỡ vy Mij (t, y) = P U(t) y, JN (t) = j |J0 = i , A Pkj (t, n 1) Qik (t), n=0 (4.139) Pk (t, n 1)A Qik (t), Pij (t, 0) = ij (1A Hi (t)), (n) (1A Hj (t z))dQij (z, y), (4.146) (n) Mij (t, y) = n=0 (4.140) Mij (t, y) = Nu ta ch quan tõm n mt loi yờu cu bi thng bo him gi l j thỡ nú tha xột quỏ trỡnh tỏi to dng c c trng bi A Gij ,A Gjj , ta cú: Mij (t, y) = A Pi (t, 0) = Hi (t) 1A Gij (t) (n1) (n1) A Gij A Gjj A Gjj (t) Qij (z, y) (1A Hj (t z)), ú tớch chp ch tỏc ng vo bin thi gian Trong trng hp c lp cú iu kin, kt qu cui cựng tr thnh: hin nhiờn: P (Nj (t) = n |J0 = i ) = t Mij (t, y) = m A (4.145) Mij (t, y) = P U(t) y, JN (t) = j |J0 = i j=1 t h thc 4.137 ta c cỏc cụng thc hi quy sau: A (4.144) Yn (= UN (t) ) n=1 m A Quỏ trỡnh tin bo him tớch ly (n) z))dA Qij (z) p dng cỏc cụng thc sau: A (4.143) àjj , j2 tng ng vi giỏ tr trung bỡnh v phng sai ca bin ngu nhiờn A Tn (j |j ) c nh ngha mc 3.6, chng c xem l hu hn 4.5.4 (n) (1A Hj (t z))dA Qij (z) m A (n) Qij (t) t tj2 , àjj à3jj Nj (t) N t (4.142) (n) Hjj (t) Hjj (t) = (4.135) (n) (1A Hj (t z))dA Qij (z) = 130 nu n = nu n (4.141) n=0 t (pij A Fij (z)) n=0 (n) (1A Hj (t z))d(pij A Fij (z)B Fij (y)) (n) B (n) ( Fij (y)) , (1A Hj (t z)) (4.147) Chỳ ý rng vi m = 1, cụng thc cui ny cho ta kt qu 4.19 mụ hỡnh ri ro ca Anderson 4.5 Mụ hỡnh ri ro Bỏn Markov 4.5.5 131 Quỏ trỡnh tin úng bo him 4.5.7 Ta ỏp dng phộp xp x nh phn 4.2.2 T 4.143 ta bit rng A lim t 4.6 Xỏc sut phỏ sn ca mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov tng quỏt Hij (t) = t j m k k , i, j I, 132 Mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov dng S dng kt qu mc 3.10 chng 3, mụ hỡnh ri ro bỏn Markov (SMRM) xy trng thỏi dng nu (J0 , X1 ) cú phõn phi ban u nh sau: (4.148) i A i , k A k P (J0 = i) = k=1 k v theo ú, vi t ln thỡ: E (Nj (t) |J0 = i) ti m k k , i, j I, (4.149) vỡ vy k=1 v vỡ vy, giỏ tr trung bỡnh lng tin ca Nj (t) yờu cu bi thng bo him loi j trờn (0, t] xp x l B j t, (4.150) k k P (X1 x, J1 = j) = Ta bit quỏ trỡnh j B j k A k (4.151) H thc cui ch rng, vi bt kỡ trng thỏi ban u, tng giỏ tr trung bỡnh ca lng tin bi thng bo him nhiu hn hoc ớt hn ct vi j B j c j k B k (4.152) k Theo ú, nu ta ly giỏ tr c ny nh mt mc phớ bo him c nh trờn mt n v thi gian thỡ ta cú trũ chi cụng bng tim cn gia cụng ty bo him v ngi mua bo him Ta s ch rng, giỏ tr ca mc phớ bo him ny ch ph thuc vo s lng trung bỡnh ca cỏc yờu cu bi thng bo him, lng tin bi thng bo him v phõn phi dng ca xớch Markov c nhỳng ca yờu cu bi thng bo him liờn tip Tt c c tớnh toỏn d dng vi d liu thng kờ ca cỏc yờu cu bi thng bo him c kho sỏt 4.5.6 Quỏ trỡnh ri ro v ri ro ca d tr nh ngha 4.20 v 4.21 cú giỏ tr cho mụ hỡnh ri ro bỏn Markov quỏ trỡnh ri ro c xỏc nh bi (U(t) ct, t 0) v quỏ trỡnh ri ro ca d tr c xỏc nh bi = ((t), t 0) vi (t) = u + U(t) ct ú u l d tr ban u thng l hoc l ti sn c nh ca cụng ty cú mc phớ bo him an ton: c = (1 + ) c i (4.153) (4.154) (1A Fij (z)dz k A k (4.155) JN (t) , JN (t)+1 , TN (t)+1 t , t dng khi: j pjk j A i P JN (t) = j, JN (t)+1 = k, TN (t)+1 t x = k (1A Fij (z)dz, k cui cựng ta cú: j x x i pij k E UN (t) |J0 = i pij A i P (X1 x, J1 = j |J0 = i ) = i x 1A Fjk (z)dz (4.156) Tin lói ca mụ hỡnh trng thỏi dng lý thuyt ri ro c in (vi m = 1) c nghiờn cu bi Thorin (1975) 4.6 4.6.1 Xỏc sut phỏ sn ca mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov tng quỏt Xỏc sut phỏ sn v khụng phỏ sn p dng 4.22 vi tui th T ca cụng ty T = inf {t : (t) < 0} , (4.157) ta bit rng bin c phỏ sn xy trc hoc vo thi im t v ch T t v hin nhiờn bin c bự ca nú l khụng phỏ sn v ch T > t Bõy gi ta phi nhp vo cỏc loi yờu cu bi thng v ta s s dng cỏc cụng thc sau cho xỏc sut khụng phỏ sn v xỏc sut phỏ sn nht thi Ngha l trờn khong thi gian horizon hu hn [0, t], ij (u, t) = P (T > t, Z(t) = j |Z(0) = i ) , ij (u, t) = P (T t, Z(t) = j |Z(0) = i) (= ij (u, t)) (4.158) Xỏc sut tim cn khụng phỏ sn v phỏ sn khong thi gian horizon hu hn c nh ngha: ij (u) = P (T = , Z(t) = j |Z(0) = i) = lim ij (u, t), t ij (u) = P (T < , Z(t) = j |Z(0) = i) = lim ij (u, t) (= ij (u)) t Ta cú cỏc kt qu sau: (4.159) 4.6 Xỏc sut phỏ sn ca mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov tng quỏt 133 4.6 Xỏc sut phỏ sn ca mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov tng quỏt Xột mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov vi nhõn Q , ta cú: (i) Vi mi t c nh, i, j I,ij (u, t) tng n u v ij (u, t) gim (ii) Vi mi u c nh, i, j I,ij (u, t) gim xung t v ij (u, t)tng (iii) u, t, i, j I : ij (u, t) ij (u), ij (u, t) ij (u) pij = pij ,aij = caij ,bij = bij ,i, j I (4.160) Mt nhng quan trng ca lý thuyt ri ro l ti u húa tham s an ton nh vy, xỏc sut phỏ sn, nht thi hoc tim cn, ln hn vi c nh dng, õy l mt tng ng vi s xỏc nh ti u ca kh nng toỏn l Cng nh bỡnh thng, nu ta khụng quan tõm n giỏ tr ca Z(t) thỡ ta cú cỏc xỏc sut phỏ sn sau: ij (u, t),i (u) = i (u, t) = j=1 m i i (u, t), (u) = i i (u), i=1 m i i (u, t), (u) = i=1 i i (u) (4.162) i=1 Vi mụ hỡnh trng thỏi dng, ta trỡnh by xỏc sut phỏ sn v khụng phỏ sn cui cựng nh sau: s s (u) = j=1 4.6.2 l s l hoc vi 4.169 v 4.153: 0 l j (u + ct y) dB Fll (y), s j (u), (u) = (u) (4.163) i A i c = c (4.169) (4.170) c c = (1 + ) = c (4.171) i Gii phỏp tng quỏt cho tim cn xỏc sut ri ro ca mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov tng quỏt T kt qu ca phn ph cui, ta xột mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov nhõn Q = [Qij (., )] vi c = v trung vo quỏ trỡnh ((Jn , Yn Xn ), n 0) ; S thay i mc phớ bo him Ta bt u vi mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov tng quỏt ca nhõn Q = [Qij (., )] v vi c l mc phớ bo him trờn mt n v thi gian Khụng mt tớnh tng quỏt, ta xột mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov vi c = Thc vy, ta xột cỏc bin ngu nhiờn mi sau: X0 = X0 ,Xn = cXn ,n i B i i Nh h thc cui ny h s an ton dng, ng thc cui cho ta t l c/c nh hn v vỡ vy theo h thc 4.169 v 4.167 iu kin cú h s an ton dng cho quỏ trỡnh Jn , Xn , Yn , n l: i B i i < (4.172) i A i 4.6.3 u+ct A Fll (t) dt c c = (1 + ) c j=1 i=1 m (u, t) = (4.168) (4.161) m (u, t) = àjj = càjj , j I, a h s an ton vo, theo h thc 4.153, ta bit rng giỏ tr c c cho bi: ij (u) ij (u, t),i (u) = m k m theo h thc 4.10 v 4.152 (4.167) i Hn na, nu ta bt u vi l phõn phi ban u ca J0 thỡ ta nh ngha bn xỏc sut phỏ sn v khụng phỏ sn cui nh sau: k k v vi h thc 4.134 (4.166) i = cA i , B i = cB i ,i I, ij (u), j=1 j (u) = A c = j=1 m i (u, t) = s vỡ th m m 134 (4.164) Nhõn bỏn-Markov Q ca quỏ trỡnh Jn , Xn , Yn , n c cho bi: QJn1 j (x, y) = P Jn = j, Xn x, Yn y| Jk , Xk , Yk , ,k = 1, , n , x QJn1 j (x, y) = QJn1 j ,y (4.165) c (4.173) Rừ rng quỏ trỡnh ny c xem nh mt bc ri ro bỏn Markov (SMRW) ca nhõn bỏn-Markov r Q c cho bi r Qij (z) Qij (d, d) (4.174) {(,):z} Trong trng hp c bit c lp cú iu kin, ta ly: + r B Qij (z) = pij Fij (z + )dA Fij () (4.175) 4.6 Xỏc sut phỏ sn ca mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov tng quỏt 135 Ta bit rng v trớ ti giai on n ca bc ri ro bỏn Markov c cho bi tng riờng (Sn , n 0) liờn quan n dóy ngu nhiờn ((Yn Xn , n 0) v a bin ngu nhiờn M c nh ngha bi h thc 3.187 chng 3, ú l M = sup {S0 , S1 , , Sn , }, vi: ij (u) = P M u, lim Jn = j |J0 = i , u 0, i, j I, n u k 0,u < 0, kj (u z)dr Qik (z),u > , i, j I k u 0,u < 0, k (u z)dr Qik (z),u > 0, i, I (4.178) ú l h Wiener-Hopf ca cỏc phng trỡnh tớch phõn v nh vy i (u) = P (M u, |J0 = i) , u 0, i I (4.179) nh h thc 3.192 chng Bõy gi ta xột h 4.178 vi giỏ tr u khụng õm, t kt qu Jenssen (1970) c cp phn 3.16 ca chng 3, h ny cú nghim P nht v ch k r k < (4.180) Vỡ vy, nu iu kin khụng thỡ bc ri ro bỏn Markov ((Jn , Sn ), n 0) s tin n + v s phỏ sn trờn [0, ) l mt bin c tt yu bt chp J0 , trng hp ny: i (u) = 0,u 0,i I (4.181) k =B k A k , k I, (4.182) r iu kin 4.178 tng ng vi k k B k A k < (4.183) iu ny tng ng vi iu kin 4.172 gi s luụn c tha v tng ng vi s gia tng h s an ton dng phỏ hy trũ chi cụng bng tim cn, ngha l cú li cho cụng ty bo him, khụng cú s gia tng ny s phỏ sn thi gian horizon vụ hn l tt yu p dng nh lớ nht ca Jenssen (1970), ta cú h thc sau õy l ỳng: ij (u) = j i (u),i, j I,u + + ij (u) = U0 (u)ij (u), i (u) = i (u), i, j I, u R (4.186) vi u + i (u) = r + k (u z)d Qik (z),u R,i, I (4.184) (4.187) Ta lu ý rng s chuyn n hm + ij ó c thc hin vỡ ta ch quan tõm n xỏc sut khụng phỏ sn cho lng d tr u dng, dự cỏc xỏc sut ny cú th khụng nht thit bng vi u õm Hin nhiờn, vi mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov tng quỏt, xp x s rt quan trng Chỳ ý 4.3 Ta bit rng vi m = 1, mụ hỡnh ri ro bỏn Markov tng quỏt (GSMRM) a ta tr li mụ hỡnh G/G Vỡ vy, vi trng hp ny, h 4.187 tr thnh: u + (u) = + (u z)dr Q(z),u R, + r Q(z) = B( + u)dA() k Nh (4.185) k b qua j, ta c: i (u) = + + ij (u) = j i (u),i, j I,u R, v theo 4.176 (4.177) 136 nh lý 4.5 Vi mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov ergodic, vi mi trng thỏi ban u i s phỏ sn thi gian horizon vụ hn xy nu iu kin 4.172 khụng tha Ngc li, nu iu kin c tha thỡ vi mi trng thỏi i: (4.176) v t ú bin c khụng phỏ sn trờn [0, ) kộo theo khụng phỏ sn ti thi im yờu cu bi thng bo him u tiờn, ta cú: ij (u) = 4.6 Xỏc sut phỏ sn ca mụ hỡnh ri ro bỏn-Markov tng quỏt (4.188) Kt lun Trong lun ny tụi nghiờn cu v bỏn Markov v ng dng ca nú bo him Trong ú, tụi trỡnh by lý thuyt v quỏ trỡnh tỏi to, quỏ trỡnh xớch Markov, quỏ trỡnh trng thỏi bỏn Markov v cỏc bc ngu nhiờn Markov lm c s xõy dng mụ hỡnh ri ro bỏn Markov bo him Sau ú tụi a mt vi mụ hỡnh ri ro c in bo him nh: + Mụ hỡnh ri ro E.S Anderson + Mụ hỡnh ri ro Cramer Lundberg (P/G) Mụ hỡnh khuych tỏn cho lý thuyt ri ro v xỏc sut phỏ sn: + Mụ hỡnh ri ro khuych tỏn n gin + Mụ hỡnh ri ro qun lý ti sn v Cui cựng tụi ng dng quỏ trỡnh bỏn Markov vo mụ hỡnh ri ro bo him Ti liu tham kho [1] Jacques Janssen Raimondo Manca (2006) Applied Semi-Markov Process Springer Publication [2] Black Well D (1948) A renewal theorem Duke Math J 15 145-150 [3] Baker C.T.H (1977) The Numerical Treatment of Integral Equations Clarendon Press, New York [4] Christofidies N (1975) Graph theory An algorithmic approach Academic Press, New York-London [5] Chung K L (1960) Markov chain with stationary transition probabilities Springer Publication [6] Daley, D J (1965) On a class of renewal functions Proc Cambridge Philos Soc 61 519-526 [7] De Dominicis R., manca R (1984b), A computational procedure for the asymptotic analysis of a homogeneous semimarkov process Statistics & Probability letters 2, 249-253 [8] E B Dynkin The theory of Markov Process Dover Publication, Inc Mineola, Newyork [9] Feller W., (1957) An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume I Second Edition, Wiley, New York XV, 461 [10] Janssen J., R Manca, (2001b, 1969b) Non-homogeneous semi-Markov reward process for the management of health insurance models.Proccedings ASTIN Washington B174 [11] Parzen, E., (1962) Stochastic processes Holden-Day Series in Probability and Statistics Holden-Day, Inc., San Fancisco [12] Spitzer F (1957) The wiener-Hopf equation whose kernel is a probability density Duke Math J 24, 327-343 [13] S P Meyn and R L Tweedie (1999) Markov Chains and Stochastic Stability Beijing World Publishing Corporation [14] Smith, W.L., (1954) Asymptotic renewal theorems.Proc Roy Soc Edinburgh Sect A64 948 [15] Nguyn Duy Tin - V Vit Yờn., (2000) Lý Thuyt Xỏc Sut Nh xut bn giỏo dc [...]... nêu trong mục 1.10.2 và hệ thức 1.345 ta có: P N h (t) = n = P (N(t) = n) h→0 ∀n (1.346) Công thức 1.346 cho: hcc Tnh −−→ h→0 1.10.3 (1.347) Tn Ví dụ thực tế về tai nạn ô tô a) Mô tả dữ liệu Trong phần này phương trình tái tạo được ứng dụng cho dữ liệu thực trong thống kê bảo hiểm Chúng ta hy vọng rằng quá trình tái tạo có thể được ứng dụng cho trường hợp tổng quát với dữ liệu từ quan sát thống kê Trong. .. liệu tai nạn thô của một công ty bảo hiểm được theo dõi trong 50 năm Từ dữ liệu này ta có thể xây dựng hàm phân phối tăng dần với thời gian tái tạo rời rạc về tai nạn xe Nói chung, ta có dữ liệu của 156.428 người mua bảo hiểm và trong số họ 22.395 người có ít nhất một lần bị tai nạn trong thời gian mua bảo hiểm Trong hồ sơ không có dữ liệu liên quan đến ngày mua bảo hiểm Ta xây dựng hai vector Vector... tạo của tai nạn Trong cột thứ tư của bảng này, hàm phân phối tăng có được bởi các thành phần của cột thứ ba Trong trường hợp này, thành phần thứ n mô tả xác suất xảy ra tai nạn đầu tiên trong vòng n năm Các dữ liệu này mô tả hàm phân phối trong phương trình tái tạo với thời gian rời rạc để ước tính số lượng tai nạn trung bình của một người có bảo hiểm trong 1, 2, , n năm Giải phương trình tái tạo với... cách này, có thể giải phương trình tích phân 1.57 bằng phép giải tích Nhưng trong phần lớn các ứng dụng thực tế phương trình giải được bằng mô hình thì không giải được bằng các phương pháp giải tích Với các trường hợp này ta cần sử dụng phép xấp xỉ số để giải phương trình tái tạo tổng quát 1.57 trong khoảng thời gian horizon bị chặn Một cách để giải quyết vấn đề này là sử dụng phép biến đổi Laplace nhưng... điểm t trong tương lai (t > s)hệ ở trạng thái j với xác suất bao nhiêu? Nếu xác suất này chỉ phụ thuộc vào s, t, i, j thì điều này có nghĩa là: sự tiến triển của hệ trong tương lai chỉ phụ thuộc vào hiện tại và độc lập với quá khứ Đó là tính Markov Hệ có tính chất này gọi là quá trình Markov Chẳng hạn, nếu gọi X(t) là dân số tại thời điểm t (trong tương lai), thì có thể xem X(t) chỉ phụ thuộc vào dân... trường hợp này ta sử dụng công thức được cho bởi hệ thức 1.342 Ta áp dụng thuyết tái tạo cho trường hợp tai nạn xe Trong một hợp đồng bảo hiểm xe mỗi lần người được bảo hiểm gặp tai nạn, công ty bảo hiểm sẽ trả tiền tổn thất cho họ Điều đó có nghĩa là khi xe được bảo hiểm mang đi sữa chữa thì đó chính là được tái tạo Tại thời điểm bắt đầu của hợp đồng thì thuyết tái tạo cũng được áp dụng Ta có dữ liệu... [1 − F (u)du (1.268) x+y ∞ [1 − F (u)] du (1.260) với x+y ∞ m= Chứng minh (i) Biểu đồ bên dưới chỉ rõ sự tương đương của các biến cố 0 1.9 (1.269) [1 − F (u)] du Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng Khái niệm quá trình tái tạo dừng là một phần của quá trình tái tạo trì hoãn Quá trình tái tạo trì hoãn A cũng là một quá trình tái tạo nhưng biến ngẫu nhiên đầu tiên X1 không cùng phân phối... trường hợp quá trình tái tạo trì hoãn Ví dụ nếu Hd (t) là hàm tái tạo của quá trình tái tạo trì hoãn và nếu đặt điều kiện là X1 = x, thì ta có: Hd (t|X1 = x) = 0 1 + H(t − x) nếu x > t nếu x ≤ t (1.272) trong đó H là hàm tái tạo kết hợp với hàm phân phối F Khi đó, với định nghĩa: Hd (t|X1 ) = E(N(t)|X1 ) (1.273) 1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng 31 ta được: 1.9 Quá trình tái... nạn xảy ra trong một năm Trong bảng 1.2 ta trình bày số lượng trung bình và phương sai hằng năm liên quan đến ba phân phối của bảng 1.1 1-2 2-3 1-2 + 2-3 Trung bình 5.3453 5.8676 5.4293 Phương sai 10.8680 11.7207 11.0421 Bảng 1.2: Trung bình và phương sai hằng năm của các tai nạn 1.10 Dạng số 41 Trong bảng 1.3, ta trình bày phân phối thực nghiệm của ba vector trong bảng 1.1 Các kết quả trong cột có... đề quản lí của một công ty bảo hiểm Một công ty bảo hiểm xe phân loại khách hàng thành ba nhóm: G0 : Khách hàng không xảy ra tai nạn nào trong cả năm G1 : Khách hàng bị tai nạn một lần duy nhất trong một năm G2 : Khách hàng bị tai nạn nhiều hơn một lần trong một năm Ban thống kê của công ty quan sát thấy rằng sự chuyển đổi hàng năm của ba nhóm này có thể được mô tả bởi xích Markov với không gian trạng