Đang tải... (xem toàn văn)
Hồi quy tuyến tính đơn Nguyễn đình huy đại học bách khoa tphcm chương 8 giáo trình đại học bách khoa tp hcm Nguyễn Kiều Dung Hồi quy tuyến tính đơn Nguyễn đình huy đại học bách khoa tphcm chương 8 giáo trình đại học bách khoa tp hcm Nguyễn Kiều Dung
TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUY MẪU 119 Chương TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUY MẪU Với mẫu đồng thời vectơ ngẫu nhiên Z = (X, Y) ta có ước lượng đặc trưng Z, có đường xấp xỉ đường hồi quy Y theo X (hoặc X theo Y) Sau ta xét vài vấn đề cụ thể 8.1 HỆ SỐ TƯƠNG QUAN MẪU 8.1.1 Bảng tương quan mẫu Một mẫu kích thước n đồng thời X Y có dạng bảng số liệu sau đây, gọi bảng tương quan mẫu Bảng 8.1 Y y1 y2 yh ni x1 n11 n12 n1h n1 x2 n21 n22 n2h n2 xk nk1 nk2 nkh nk mj m1 m2 mh =n X Trong bảng 8.1 trên: xi (i = 1, k ) - giá trò mà X nhận yj (j = 1, h ) - giá trò mà Y nhận ni (i = 1, k ) - số lần X nhận xi mj (j = 1, h ) - số lần Y nhận yj ni, j (i = 1, k , j = 1, h ) - số lần đồng thời X nhận xi Y nhận yj ta có: k i 1 ni h j 1 mj k h nij n i 1 j 1 CHƯƠNG 120 h k j 1 i 1 nij ni ; nij nij từ ta có đặc trưng sau đây: x k xi ni ; n i 1 y n xy h j 1 yjmj ; k n i 1 x y k xi ni ; n i 1 n s X2 x ( x) h y2j n j ; j 1 sY2 y ( y) h nij xi y j j 1 8.1.2 Hệ số tương quan mẫu Ta gọi: rXY xy x y s X sY hệ số tương quan mẫu X Y Hệ số tương quan mẫu ước lượng hệ số tương quan (xem mục 3.4.5 chương 3) Ví dụ 8.1 Số vốn đầu tư X lợi nhuận Y đơn vò thời gian 100 quan sát, số liệu: Y X 0,3 0,7 20 10 1,0 30 30 10 40 10 20 30 50 30 n = 100 mj 20 Tìm hệ số tương quan X Y Giải Ta có: x (1.30 2.40 3.30) 2,00 100 x2 (12.30 22.40 32.30) 4,60 100 s x 4, 2, 002 0, y ni (0,3.20 0,7.50 1,0.30) 0,71 100 TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUY MẪU y2 121 (0,32.20 0,72.50 1,02.30) 0,563 100 s y 0,563 0,712 0,0589 xy (0,3.20 0,7.10 1,4.30 2.10 2,1.10 3.20) 1,56 100 từ hệ số tương quan mẫu là: rXY 1,56 2,00.0,71 0,60.0,0589 0,7447 8.2 ĐƯỜNG HỒI QUY 8.2.1 Đường hồi quy mẫu Tiếp tục xét bảng 8.1 Với i 1, k , đặt: Y xi Y X xi ni h nij y j j 1 trung bình mẫu Y X = xi Biểu diễn điểm (xi, Y xi ) lên mặt phẳng tọa độ nối điểm (xi, Y xi ) ( xi 1 , Y xi ) đoạn thẳng (i = 1, k ), ta đường gấp khúc, gọi đường hồi quy mẫu Y theo X Đường hồi quy mẫu xấp xỉ đường hồi quy, tức đồ thò hàm f(x) = E(YX = x) (xem mục 3.4 chương 3) Tương tự ta có đường hồi quy mẫu X theo Y Ví dụ 8.2 Điểm kiểm tra chất lượng môn toán (X) môn văn (Y) 100 học sinh, có số liệu: Y X 3 4 5 12 11 13 23 15 18 n = 100 ni nj 16 Lập đường hồi quy mẫu Y theo X 24 31 28 37 CHƯƠNG 122 y Giải Ta có: Y3 Y4 3.1 4.2 3,67 4.3 5.5 6.4 5,08 12 7,00 5,75 5.11 6.13 7.4 5,75 Y5 28 5,08 3,67 6.7 7.23 8.7 7,00 Y6 37 Y7 8,40 7,93 7.4 8.8 9.3 7,93 15 1 Y 8.3 9.2 8,40 5 x Ta có đường hồi quy mẫu Y theo X hình vẽ 8.2.2 Đường hồi quy tuyến tính mẫu 1- Phương trình đường hồi quy tuyến tính mẫu Đường hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X đường thẳng có phương trình: y = Bx + A “gần” với đường hồi quy mẫu Y theo X nhất, theo nghóa (B, A) điểm cực tiểu hàm: Q( B, A) k ni Y x i 1 i ( Bxi A) Đònh lý 8.1 Phương trình hồi quy mẫu Y theo X là: y = Bx + A đó: B xy x y ; A y Bx s X2 Chứng minh Q(B, A) hàm hai biến có đạo hàm riêng liên tục, bò chặn nên Q có giá trò nhỏ Ta Q có điểm dừng nhất, tọa độ điểm dừng (B, A) muốn tìm Ta có: k k k k Q 2 ni Y xi Bxi A xi B xi2 ni A ni xi ni xi Y xi B i 1 i 1 i 1 i 1 k k nBx nA x nij xi x j 2n B x Ax xy i 1 j TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUY MẪU 123 k k k k Q 2 ni Y xi Bxi A xi B ni xi A ni ni Y xi A i 1 i 1 i 1 i 1 nB x nA k j 1 nij y j 2n Bx A y từ ta có điểm dừng nghiệm hệ: Q xy x y B x A x xy B B 2 x x Q B x A y A y B x A B hay: xy x y ; A y Bx s X2 Hoàn toàn tương tự ta có đường hồi quy tuyến tính mẫu X theo Y Ví dụ 8.3 Với số liệu ví dụ 8.2, tìm đường hồi quy tuyến tính Y theo X Giải Ta có: x x (3.3 4.12 5.28 6.37 7.15 8.5) 5,64 100 (32.3 2.12 52.28 62.37 72.15 82.5) 33,06 100 sX2 x2 x 33,6 5,64 1,25 y2 (3.1 4.5 5.16 6.24 7.31 8.18 9.5) 6,53 100 xy (3.3.1 3.4.2 4.4.3 4.5.5 4.6.4 5.5.11 5.6.13 5.7.4 100 6.6.7 6.7.23 6.8.7 7.7.4 7.8.8 7.9.3 8.8.3 8.9.2) 38,05 từ đó: B 38,05 5,64.6,53 0,98 ; A 6,53 0,98.5,64 1,00 1,25 Đường hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X là: y = 0,98x + 1,00 2- Ý nghóa đường hồi quy tuyến tính mẫu Nếu X Y có tương quan xấp xỉ tuyến tính đường hồi quy cho ta khả dự báo cách đơn giản: CHƯƠNG 124 X xo Y yo Bxo A Ví dụ 8.4 Với số liệu ví dụ 8.2, ta có: X Y 0,98.9 1,00 9,82 Điều có ý nghóa là, học sinh có điểm toán có khả điểm môn văn 10 BÀI TẬP 8.1 Điều tra độ mòn lưỡi dao xưởng kim khí, ta đo độ dày lưỡi dao thu bảng số liệu sau: Y (chiều dày lưỡi dao: mm) X (thời gian sử dụng: ngày) 2,6 2,8 3,0 a) Tại nói X Y phụ thuộc tương quan? b) Viết phương trình đường hồi quy tuyến tính Y X 8.2 8.3 Tính hệ số tương quan tìm hàm hồi quy ước lượng dạng tuyến tính Y X dựa vào số liệu cho bảng tương quan sau đây: xI 2 3 yI 5 nI 2 1 Tìm hàm ước lượng hàm hồi quy tuyến tính Y X dựa vào bảng số liệu sau: a) Y X 0,1 0,15 0,2 0,25 10 12 14 4 b) Y X 2 TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUY MẪU 125 1 8.4 2 Theo dõi trọng lượng Y tháng tuổi X loại giống thu bảng số liệu sau: Y X 2 4 5 a) Hãy vẽ đường hồi quy thực nghiệm Y X b) Tìm hàm hồi quy ước lượng dạng tuyến tính Y X 8.5 Hãy tìm hàm hồi quy ước lượng dạng tuyến tính biểu diễn phụ thuộc mức suy giảm hàm lượng đường Y (%) thời gian chế biến X sở bảng số liệu sau: Y X 30 35 40 45 2 50 10 8.6 Tìm hàm hồi quy ước lượng dạng tuyến tính Y X dựa vào bảng số liệu sau đây: a) Y X 10 0,4 20 0,6 0,8 30 40 19 b) X Y 15 20 25 1 CHƯƠNG 126 8.7 4 Bảng kết thu hoạch Y theo lượng phân bón X loại hoa màu 100 ruộng: X Y 14 10 15 12 16 28 17 18 12 a) Hãy vẽ đường hồi quy thực nghiệm Y X b) Tìm hệ số tương quan mẫu c) Tìm phương trình hồi quy tuyến tính Y X 8.8 Nghiên cứu mối liên hệ X số tiền đầu tư cho việc phòng bệnh tính theo đầu người Y tỉ lệ người mắc bệnh 50 đòa phương ta thu bảng tương quan thực nghiệm sau đây: X Y (%) (đồng) 2,5 3,5 3 6 100 200 300 400 500 a) Tìm phương trình hồi quy tuyến tính Y X qua mẫu b) Tìm hệ số tương quan tuyến tính c) Nếu năm sau đầu tư cho phòng bệnh 600 đ/người tỷ lệ mắc bệnh phần trăm? 8.9 Tìm hàm ước lượng hàm hồi quy tuyến tính Y X X Y dựa vào bảng tương quan sau đây: a) X Y 10 20 30 1 TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUY MẪU 127 4 b) X Y 10 12 14 10 8.10 Cho bảng tương quan: X Y 1 2 3 2 2 a) Vẽ đường hồi quy thực nghiệm Y X b) Tính hệ số tương quan mẫu r c) Từ kết nhận xét dạng hàm hồi quy Y X 8.11 Cho bảng tương quan số liệu mức độ tăng suất lao động X(%) tổng sản lượng xí nghiệp công nghiệp Y (% so với năm trước) X Y 85 95 85 1 95 2 105 115 125 135 105 115 125 135 2 2 1 1 145 a) Vẽ đường hồi quy thực nghiệm Y X b) Tìm hàm ước lượng hàm hồi quy tuyến tính Y X 8.12 Các số liệu việc phân tích 100 mẫu quặng sắt cho bảng Hàm CHƯƠNG 128 lượng oxyt sắt X (%), hàm lượng tạp chất Y (%) Y X 15 21 35 27 33 1 45 5 55 18 10 2 65 14 75 85 95 a) Vẽ đường hồi quy thực nghiệm Y X b) Ước lượng hàm hồi quy tuyến tính Y X 8.13 Kết việc theo dõi mối quan hệ chiều cao trọng lượng Y học sinh, ta có bảng số liệu sau đây: X (cm) 120 Y (cm) 24 27 30 33 36 125 130 5 135 1 140 145 150 a) Tìm hệ số tương quan mẫu b) Tìm ước lượng hàm hồi quy tuyến tính Y X 8.14 Nghiên cứu ảnh hưởng thu nhập X mức độ tiêu dùng Y loại thực phẩm, người ta điều tra 200 gia đình thu bảng số liệu sau đây: Y 15 25 X 10 20 20 30 40 50 60 23 35 30 47 45 10 11 20 55 TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUY MẪU 129 Giả thiết Y phụ thuộc tuyến tính vào X a) Hãy ước lượng hàm hồi quy tuyến tính Y X đánh giá mức độ chặt chẽ phụ thuộc b) Hãy dự đoán mức tiêu dùng thu nhập 80 nghìn/đầu người 8.15 Cho bảng tương quan: X Y 1,25 1,75 2,25 13 4 18 1,5 23 28 a) Tìm hệ số tương quan mẫu b) Tìm phương trình hồi quy tuyến tính mẫu [...]...TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUY MẪU 129 Giả thiết Y phụ thuộc tuyến tính vào X a) Hãy ước lượng hàm hồi quy tuyến tính của Y đối với X và đánh giá mức độ chặt chẽ của sự phụ thuộc đó b) Hãy dự đoán mức tiêu dùng nếu thu nhập là 80 nghìn/đầu người 8. 15 Cho bảng tương quan: X Y 1,25 1,75 2 2,25 8 1 2 3 13 1 4 3 4 7 1 5 18 1,5 23 2 7 28 6 4 a) Tìm hệ số tương quan mẫu b) Tìm phương trình hồi quy tuyến tính mẫu