Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARITGiải a)Ta có: Xét hàm số là hàm đồng biến là hàm nghịch biến Ta có nên là nghiệm duy nhất của ().Vậy: phương trình đã cho có 2 nghiệm hoặc b) Giải () Xét hàm số luôn nghịch biến trên luôn đồng biến trên Ta có: nên là nghiệm duy nhất của ()Vậy: phương trình đã cho có 2 nghiệm hoặc Giảia)Ta có: 72 + 108 = 180 72 + 3.36 = 180 72 = 180 3.36 cos72 = cos3. 36 2 1= ( 4 3. ) 4 + 2 3 1 = 0 ( + 1)(4 2 1) = 0 (l) (2)Từ (2) ta có: Phương trình (1) trở thành : + = 3. + = 3 (3)Đặt : t = (t > 0)Ta có : . = 1 = Khi đó phương trình (3) trở thành : t + = 3 3t + 1 = 0 •Với t = ta có phương trình : = = •Với t = ta có phương trình: = Vậy: phương trình có 2 nghiệm là hoặc b) (1)Đặt t = ( t > 0 ) = Phương trình (1) trở thành: Với ta có: =1 =0Vậy: nghiệm của phương trình là =0c) Xét hàm là hàm giảm trên R.Ta có: f(2) =1 nên phương trình f(x) =1 có nghiệm duy nhất là x=2.Vậy: phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 2.Giải Vậy: nghiệm của phương trình là
Bài tập phương trình, bất phương trình mũ logarit BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Bài Giải phương trình: a) x x = x(3 − x) + 2( x − 1) b) x −1 x + x(3 x − x ) = 2(2 x − x −1 ) Giải a)Ta có: x x = x ( − x ) + ( x − 1) ⇔ ( x − ) x = − ( x − 1) ( x − ) ⇔ ( x − ) ( x + x − 1) = x = ⇔ x = − x ( *) Xét hàm số f ( x) = x hàm đồng biến ∀x ∈ R g ( x) = − x hàm nghịch biến ∀x ∈ R Ta có f (0) = g (0) nên x = nghiệm (*) Vậy: phương trình cho có nghiệm x = x = ( ) ( 3x −1 x + x 3x − x = 2 x − 3x −1 b) ) 3x x x + x − x x = 2.2 x − 3x 3 2 1 ⇔ 3x x + x + ÷ = x ( x + ) 3 3 ⇔ 3x ⇔ ( x + 1) ( x + ) = x ( x + ) 3x ⇔ ( x + ) ( x + 1) − x = 3 x + = ⇔ 3x ( x + 1) − x = x = −2 ⇔ x x + = (**) ÷ Giải (**) - 10 - Bài tập phương trình, bất phương trình mũ logarit x 2 x +1 g ( x) = đồng biến R Ta có: f (1) = g (1) nên x = nghiệm (**) Vậy: phương trình cho có nghiệm x = −2 x = Xét hàm số f ( x) = ÷ ln nghịch biến R Bài Giải phương trình: a) (cos 72 ) x + (cos 36 ) x = 3.2 − x (1) ( c) ( b) ) +( 3) +( 2− 2− x ) 3) 2+ x 2+ x x =2 = 2x Giải a)Ta có: 72 + 108 = 180 ⇔ 72 + 3.36 = 180 ⇔ 72 = 180 - 3.36 ⇔ cos72 = - cos3 36 ⇔ cos 36 - 1= - ( cos 36 - cos 36 ) ⇔ cos 36 + cos 36 - cos 36 - = ⇔ ( cos 36 + 1)(4 cos 36 - cos 36 - 1) = cos 36 = −1 (l) ⇔ 0 (2) 4 cos 36 − cos 36 − = 1+ cos36 = 1+ −1 ⇒ cos72 = −1 = Từ (2) ta có: ÷ ÷ 1− (l ) cos36 = Phương trình (1) trở thành : x x x x −1 1+ −x + = −1 1+ + =3 ⇔ (3) x −1 (t > 0) Đặt : t = - 11 - Bài tập phương trình, bất phương trình mũ logarit x −1 + 1+ = ⇒ Ta có : = ÷ ÷ ÷ ÷ t Khi phương trình (3) trở thành : 3+ t = 2 t + = ⇔ t - 3t + = ⇔ t 3− t = • Với t = 3+ ta có phương trình : 2 x −1 −1 + +1 = 3+ = = = ÷ ÷ ⇔ x = −2 • Với t = 3− ta có phương trình: 2 x −1 − −1 3− = = ÷ = ÷ ⇔x=2 Vậy: phương trình có nghiệm x = −2 x = ( b) 2− Đặt t = ⇒ ( ( ) ( x + 2− 2+ 2+ ) x ) x = (1) (t>0) ) = 1t x Phương trình (1) trở thành: t+ =2 t ⇔ t − 2t + = ⇔ t =1 Với t = ta có: ( − ) x =1 ⇔ x =0 - 12 - −2 Bài tập phương trình, bất phương trình mũ logarit Vậy: nghiệm phương trình x =0 c) ( 2− ) ( x + 2+ ) x x = 2x x 2− 2+ ÷ + ÷ =1 ⇔ ÷ ÷ 2 x x 2− 2+ ÷ + ÷ Xét hàm f ( x) = ÷ ÷ 2 f ( x) hàm giảm R Ta có: f(2) =1 nên phương trình f(x) =1 có nghiệm x=2 Vậy: phương trình cho có nghiệm x = Bài Giải phương trình: x −3 x+ + 4x +6 x+5 = 42x +3 x +7 +1 Giải 4x −3 x + + 4x ⇔ 4x −3 x + ⇔ 4x −3 x + ( ⇔ 4x ( ( + x +5 + 4x ( +6 x +5 − 4x +6 x +5 = 4x +6 x+5 +3 x + −3 x + +1 x +6 x+5 +1 ) + ( − 1) = − 1) = x2 + x + )( − 1) = x + 6x + = ⇔ x − 3x + = − 1) = − 4x x2 + x +5 ⇔ x −3 x + x = ±1 ⇔ x = x = −5 = 42 x −3 x + 2 x = ±1 Vậy: nghiệm phương trình x = x = −5 Bài Giải phương trình: x log = x log2 x − x log Giải Ta có: - 13 - Bài tập phương trình, bất phương trình mũ logarit x log2 = x 3log x − x log2 ⇔ 32 log2 x = x 3log2 x − 3log2 x Đặt t = log x ⇒ x= t Khi đó, ta : 32t = 22t 3t − 3t ⇔ 32t + 3t = 22t.3t ⇔ 9t + 3t = ( 4.3) t t t ⇔ ÷ + ÷ = 12 12 t t 3 1 ÷ + ÷ = (*) 4 4 ⇔ t t 3 1 Xét hàm số f (t ) = ÷ + ÷ ln nghịch biến R 4 4 Ta có : f (1) = nên t = nghiệm (*) Khi t = ta có : x = Vậy: phương trình cho có nghiệm x = Bài Giải phương trình: x − 21− x + 3x − 31− x + x −1 − 5− x = Giải Ta có : x − 21− x + 3x − 31− x + x −1 − 5− x = ⇔ x + 3x − 5− x = 21− x + 31− x − 5− (1− x ) Xét hàm số f (t ) = 2t + 3t − 5− t Ta có: f ' (t ) = 2t ln + 3t ln + 5t ln > Vậy f(t) hàm số đồng biến R Từ (*) ta có : f(x)=f(1-x) Mà f(t) hàm số đồng biến nên ta được: x = 1− x ⇔x= nghiệm phương trình - 14 - (*) Bài tập phương trình, bất phương trình mũ logarit Bài Giải phương trình: a) − x.2 x + 23− x − x = b) 3.4 + (3 x − 10).2 + − x = x x Giải a) − x.2 x + 23− x − x = −x=0 2x 8.2 x − x.22 x + − x.2 x ⇔ =0 2x ⇔ 8(2 x + 1) − x.2 x (2 x + 1) = ⇔ − x.2 x + ⇔ (2 x + 1)(8 − x.2 x ) = ⇔ − x.2 x = ⇔ x.2 x = Ta có x=0 (*) khơng nghiệm phương trình Chia vế phương trình cho x ta được: x x Xét : f ( x ) = đồng biến R \ { 0} g ( x ) = nghịch biến R \ { 0} x 2x = Ta có: f(2) = g(2) Vậy: x = nghiệm phương trình cho b) 3.4 x + (3 x − 10).2 x + − x = Cách 1: 3.4 x + (3 x − 10).2 x + − x = ⇔ 3.4 x + x.2 x − 10.2 x + − x = - 15 - Bài tập phương trình, bất phương trình mũ logarit ⇔ (3.4 x − 10.2 x + 3) + (3 x.2 x − x) = 1 ⇔ 3(2 x − 3) x − ÷+ x (3.2 x − 1) = 3 ⇔ (2 x − 3)(3.2 x − 1) + x(3.2 x − 1) = ⇔ (3.2 x − 1)(2 x + x − 3) = (3.2 x − 1) = (1) ⇔ x + x − = (2) Giải (1): 3.2 x − = ⇔ 2x = ⇔ x = log Giải (2): = − log 3 2x + x − = ⇔ 2x = −x + Xét f ( x) = x đồng biến R g ( x) = − x + nghịch biến R Ta có f (1) = g (1) Do đó: x = nghiệm phương trình (2) Vậy: phương trình cho có nghiệm: x = − log 3, x = Cách 2: 3.4 x + (3 x − 10).2 x + − x = Đặt t = x (t > 0) , ta có pt: 3.t + (3 x − 10).t + − x = Ta có: ∆ = (3x − 10) − 12(3 − x) = x − 48 x + 64 = (3 x − 8)2 t = − x + Khi đó: (**) ⇔ t = - 16 - (**) Bài tập phương trình, bất phương trình mũ logarit 1 x , ta có phương trình: = 3 • Với t = = − log 3 − x + , ta có pt: x = − x + (3) ⇔ x = log • Với t= Xét f ( x) = x đồng biến R g ( x) = − x + nghịch biến R Ta có f (1) = g (1) Do đó: x = nghiệm phương trình (3) Vậy: phương trình cho có nghiệm: x = − log 3, x = Bài Giải phương trình: x 1 a) = − x 2 x b) = x c) 2−x = x Giải x 1 a) Gọi y = ÷ ( C ) y = − x ( C1 ) 2 TXĐ: D = R x 1 Khi nghiệm phương trình ÷ = − x hồnh độ giao điểm hai 2 đồ thị hàm số ( C ) ( C1 ) x 1 y = ÷ 2 y = −x - 17 - Bài tập phương trình, bất phương trình mũ logarit x 1 Nhìn vào đồ thị suy phương trình ÷ = − x vô nghiệm 2 x b) = x (1) TXĐ: D = R Vẽ đồ thị hàm số y = 3x y = x hệ trục tọa độ Khi nghiệm phương trình (1) hồnh độ giao điểm (C) (C ’) y y = 3x y= x x Dựa vào đồ thị ta thấy có giao điểm có hồnh độ x = −1 Suy x = −1 nghiệm phương trình (1) Vậy: nghiệm phương trình T={-1} c) 2− x = x x 1 ⇔ ÷ = x2 2 TXĐ : D = [ 0,+∞ ) (*) Cách : Xét x = , ta có : VT = VP = Vậy x = 2 2 nghiệm pt (*) Xét x > , ta có : x > 2−x x> ⇔ 1 x > 2 ( sai ) - 18 - ⇔ 1 1 x > > 2 2 x ⇔ Bài tập phương trình, bất phương trình mũ logarit khơng nghiệm phương trình Vậy: x > Xét x < , ta có : x < 2 ⇔ 2 x 0 (1) ⇔ (log x) − 2log x + = m(log x − 3) Đặt t = log x (2) đk: t ≥ Phương trình (2) viết lại (3) t − 2t + = m(t − 3) Để phương trình (1) có nghiệm x ∈ [ 32;+∞] phương trình (3) có nghiệm t ≥ (3) ⇔ m = t − 2t + t −3 Ta xét hai hàm số : (d): y = m (C): y = t − 2t + t −3 Ta có y ' = −2t (t − 3) t − 2t + Ta có bảng biến thiên t -∞ y’ y >0 x b) log x [log x − 72 )]≤1 (1) log (9 x − 72) > ⇔ x > log 73 Điều kiện < x ≠ x (1) ⇔ log (9 − 72) ≤ x ⇔ x −72 ≤ x x − x − 72 ≤ Đặt t = > ⇔ x Khi ta được: t − t − 72 ≤ ⇒ −8 ≤ t ≤ Kết hợp điều kiện t >0⇒0 (1) x − 3x − Giải a) Điều kiện: x > (*) ⇔ x log6 x ≤ = x log x Trường hợp x ≥ từ (**) ⇔ log x ≤ log x = log x (**) ⇔ log 62 x ≤ ⇔ −1 ≤ log x ≤ 1 ≤x≤6 So điều kiện ta ≤ x ≤ Trường hợp 0< x < từ (**) ⇔ ⇔ log x ≥ log x ⇔ log 62 x ≥ log x ≤ −1 ⇔ log x ≥ 1 x≤ ⇔ x ≥ So điều kiện ta < x ≤ 1 ≤ x ≤ Vậy: nghiệm bất phương trình 0 < x ≤ log ( x + ) − log ( x + 1) b) >0 x − 3x − x + > x > −1 ⇔ Điều kiện x + > x ≠ x − 3x − ≠ Cho : log ( x + ) − log ( x + 1) = - 35 - Bài tập phương trình, bất phương trình mũ logarit ⇔ log ( x + ) = log ( x + 1) ⇔ ( x + ) = ( x + 1) 3 x = ⇔ x + x − x − = ⇔ x = −3 x = −1 x = −1 x = Cho: x − x − = ⇔ Bảng xét dấu: -∞ x -3 Tử Mẫu - -1 + + + vt + - - 0 - + +∞ + - Vậy: bất phương trình có nghiệm 1< x < Bài 13 Giải bất phương trình sau: a) 52 x +1 + x +1 > 30 + x.30 x 2 b) x + x.2 x +1 + 3.2 x > x 2 x + x + 12 c) x +1 + x.3 x − x x + x − x − < Giải a) 52 x +1 + x +1 > 30 + x.30 x ⇔ 5.(5 x ) + 6.6 x > 30 + (5 x ) x ⇔ (5 x ) (5 − x ) − 6(5 − x ) > ⇔ (5 − x )[(5 x ) − 6] > Bảng xét dấu: x −∞ − log + - − 6x (5 x ) − VP (*) x + x.2 x 2 +1 + - < x < log + 3.2 x > x 2 x + x + 12 ⇔ (4 − x ) x + (2 x +1 − 8) x + 3(2 x − 4) > - 36 - +∞ log log Dựa vào bảng xét dấu, ta có: log b) (*) + + + + - Bài tập phương trình, bất phương trình mũ logarit ⇔ (2 x − 4) x − (2 x +1 2 − 8) x − 3(2 x − 4) < 2 ⇔ (2 x − 4) x − 2(2 x − 4) x − 3(2 x − 4) < ⇔ (2 x − 4)( x − x − 3) < 2 x2 − > x − x − < ⇔ 2 x − < x − x − > x < − ∨ x > −1 < x < ⇔ − < x < x < −1 ∨ x > < x 2 3/2 + + + ) +∞ + - 3 Vậy: tập nghiệm bất phương trình T = 0; ( log ) ∪ ; +∞ ÷ 2 - 37 - Bài tập phương trình, bất phương trình mũ logarit Bài 14 Giải bất phương trình sau: 1 > a) x +1 −1 − 3x 2 b) 25 x − x +1 + x − x +1 ≥ 34.15 x − x c) 32 x − 8.3x + x + − 9.9 x + > Giải x +1 − 1 − x 1 ⇔ x +1 − >0 − 1 − 3x − x − x +1 + ⇔ >0 (3.3 x − 1)(1 − x ) a) Ta có : > − 4.3 x ⇔ > (*) − 3.3 x + 4.3 x − Đặt t = x (t > 0) Bất phương trình (*) trở thành : Đặt f(t) = − 4t − 3t + 4t − − 4t >0 − 3t + 4t − Bảng xét dấu: t −∞ 2-4t -3t2+4t-1 f(t) + - 1 < t < Vậy f(t) > ⇔ 1 < t | || + + + | 1 x < < ⇔ 3 x 1 < + - +∞ | || + − < x < log ⇔ 0 < x Vậy: tập nghiệm bất phương trình S = ( −1, − log ) ∪ ( 0, +∞ ) ≥ 34.152 x − x ⇔ 25.252 x − x + 9.92 x − x ≥ 34.152 x − x b) 252 x − x +1 + 92 x−x +1 - 38 - Bài tập phương trình, bất phương trình mũ logarit 2(2 x − x ) 5 ⇔ 25 ÷ 3 (2 x − x ) 5 − 34 ÷ 3 + ≥ (1) (2 x − x ) 5 Đặt t = ÷ 3 (t>0) (1) ⇔ 25t − 34t + ≥ 9 ⇔ t ∈ −∞; ∪ [ 1; +∞ ) 25 Kết hợp với điều kiện t > ⇒ t ∈ 0; 25 ∪ [1; +∞) 9 Vậy: tập nghiệm bất phương trình cho S = 0; ∪ [1; +∞) 25 c) 32 x − 8.3x + x+4 − 9.9 Điều kiện x ≥ −4 Ta có: 32 x − 8.3x + ⇔ 32( x − Đặt t = 3x − x+ ) x+4 x+4 >0 − 9.9 − 8.3x − x+4 >0 x+4 −9 > x+4 > , bất phương trình trở thành : t − 8t − > ⇔ (t + 1)(t − 9) > ⇔ t −9 > ⇔ t > Khi đó, ta có: 3x − x + > ⇔ x− x+4 >2 ⇔ x+4 < x−2 x − ≥ ⇔ x + < x − 4x + ⇔ x>5 Vậy: bất phương trình cho có nghiệm x >5 Bài 15 Giải bất phương trình sau: log x + log x − ≤ Điều kiện x>0 x ≠ Giải - 39 - Bài tập phương trình, bất phương trình mũ logarit (1) ⇔ log x + log x − ≤ ⇔ log x + −3≤ log x Đặt t = log x , ta được: t+ −3≤ t 3 t − ÷ + t − 3t + 2 ⇔ ≤0⇔ ⇔t 0, ∀t ∈ (0,1) t2 f(t) đồng biến khoảng (0,1) Mà f(t) < m ⇒ m ≥ - 46 - ⇒ f(t) < f(1) =0 Bài tập phương trình, bất phương trình mũ logarit Vậy: m ≥ phương trình (1) nghiệm với x >0 Bài 22 Tìm m cho bất phương trình: m.9 x2 − x − (2m + 1).6 x2 − x + m.4 x2 − x ≤0 thỏa với mọi x ≥ Giải x2 − x x2 − x 9 (1) ⇔ m ÷ 4 x ⇔ m ÷ −x 6 − (2m + 1) ÷ 4 2x 3 − (2m + 1) ÷ 2 +m≤0 −x + m ≤ (2) x2 − x Đặt t = ÷ >0 2 Khi đó (2) trở thành mt − (2m + 1)t + m ≤ Xét g ( x) = x − x , g '( x) = x − = ⇔ x = (*) Bảng biến thiên: x −1 −∞ - +∞ + g’(x) g(x) + ∞ +∞ 1 2 2x Vậy với mọi x ≥ ⇒ g ( x ) ≥ ⇔ x − x ≥ ⇔ ( ) −x ≥1⇔ t ≥1 Điều kiện để thỏa và chỉ (*) có nghiệm đúng với mọi t ≥ (*) m(t − 2t + 1) ≤ t Khi t=1 thì bất phương trình thỏa với mọi m Khi t>1 Đặt f(t)= f(t)= t f’(t) f(t) t D=R \ {1} (t − 1) −t + = ⇔ t = ±1 (t − 1) -∞ -1 - +∞ + +∞ + Vậy: (*) có nghiệm đúng với mọi t ≥ ⇔ m ≤ - 47 - (1)