CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CỰC KÌ HIỆU QUẢ

11 864 0
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CỰC KÌ HIỆU QUẢ

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Céng hoµ x• héi chñ nghÜa ViÖt Nam §éc lËp Tù do H¹nh phócTªn ®Ò tµi:VËn dông bÊt ®¼ng thøc cauchy vµ bÊt ®¼ng thøc BUNHIAC«PxKI ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh vµ hÖ ph­¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc Tªn ®Ò tµiVËn dông bÊt ®¼ng thøc cauchy vµ bÊt ®¼ng thøc BUNHIAC«PxKI ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh vµ hÖ ph­¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùcI §Æt vÊn ®ÒCh­¬ng tr×nh to¸n THCS, nhÊt lµ ch­¬ng tr×nh §¹i sè líp 8 vµ 9 khi gi¶i mét sè ph­¬ng tr×nh vµ hÖ ph­¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc häc sinh gÆp nhiÒu khã kh¨n v× c¸c em ch­a vËn dông linh ho¹t, s¸ng t¹o vµ nhanh nh¹y c«ng cô ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh vµ hÖ ph­¬ng tr×nh lo¹i kh«ng mÉu mùc. Mét trong nh÷ng c«ng cô ®Ó gi¶i quyÕt c¸c ph­¬ng tr×nh vµ hÖ ph­¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc lµ vËn dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy vµ Bunhiac«pxki. V× vËy cÇn ph¶i ®­a ra mét sè bµi to¸n cô thÓ ¸p dông kiÕn thøc ®ã ®Ó trªn c¬ së ®ã c¸c em cã thÓ vËn dông linh ho¹t gi¶i c¸c bµi to¸n kh¸c t­¬ng tù.II C¸c sè liÖu ®iÒu tra kh¶o s¸tTrong qu¸ tr×nh båi d­ìng häc sinh giái, còng nh­ qua b¶n th©n thÊy ®­îc tõ c¸c kú thi häc sinh giái c¸c cÊp t«i ®• cè g¾ng t×m tßi nghiªn cøu ®­a ra mét sè bµi to¸n phï hîp víi tr×nh ®é häc sinh THCS ®Ó cho c¸c em tiÕp cËn lµm quen víi ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh vµ hÖ ph­¬ng tr×nh dùa vµo bÊt ®¼ng thøc Cauchy vµ Bunhiac«pxki. Mét sè liÖu cô thÓ ®Ó chøng minh cho viÖc khi ¸p dông ®Ò tµi nµy: Khi ch­a häc chuyªn ®Ò, sè häc sinh vËn dông ®­îc ®Ò tµi lµ 10%. Khi ®• häc chuyªn ®Ò, sè häc sinh vËn dông ®­îc ®Ò tµi lµ 55%.III Néi dung ®Ò tµi1. BÊt ®¼ng thøc Cauchy vµ Bunhiac«pxki. BÊt ®¼ng thøc Cauchy.Cho n sè kh«ng ©m: a1, a2, a3, ... , an1, anTa lu«n cã: DÊu b»ng xÈy ra khi a1 = a2 = ... = an.BÊt ®¼ng thøc Cauchy cßn ®­îc gäi lµ bÊt ®¼ng thøc vÒ trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n. BÊt ®¼ng thøcBunhiac«pxkiCho n sè: a1, a2, a3, ... , an1, an vµ: b1, b2, b3, ... , bn1, bnTa lu«n cã: DÊu b¶ng xÈy ra khi: BÊt ®¼ng thøc trªn cßn ®­îc gäi lµ bÊt ®¼ng thøc Schwarz, hay bÊt ®¼ng thøc Cauchy Schwarz.2. Néi dung: VËn dông bÊt ®¼ng thøc trªn vµo gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh vµ hÖ ph­¬ng tr×nh.Bµi to¸n 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh §K: 2  x  4Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki ta cã:  (1 + 1)(x 2 + 4 x) = 4  2(1) v×  0x2 6x+ 11 = x2 6x + 9 + 2 = (x 3)2 + 2  2 (2)Tõ (1) vµ (2) dÊu = xÈy ra khi VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 3Bµi to¸n 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh x2 + 2x  0x  2 hoÆc x  0§K:2x 1  0x  3x2 + 4x + 1  0x  1 hoÆc x  KÕt hîp c¸c ®iÒu kiÖn trªn ta cã: x  ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki cho 2 d•y ta cã:3x2 + 4x + 1 = (x + 1)(3x + 1)  VËy ta cã: DÊu = trong (2) víi ®iÒu kiÖn (1) xÈy ra khi: vµ x   vµ x   x2 x 1 = 0 víi x   lµ nghiÖm cña pt.Bµi to¸n 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh  (1)Ta cã: x2 + x + 1 = > 0 víi x nªn §K (1) cã nghÜa khi 5x 2  0  x  (2)Theo (2) vµ bÊt ®¼ng thøc CauchyDÊu = xÈy ra khi x2 + x + 1 = 5x 2 x2 4x + 3 = 0  VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x = 1 hoÆc x = 3Bµi to¸n 4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh §K: x > 0¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy ta ®­îc: DÊu “ = ” x¶y ra khi vµ chØ khi: VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ: x = Bµi to¸n 5: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh NhËn xÐt x = 0, y = 0, z = 0 lµ mét nghiÖm cña hÖVÕ tr¸i c¸c ph­¬ng tr×nh cña hÖ ®Òu lµ c¸c sè kh«ng ©m  x > 0, y > 0, z > 0 nh©n vÕ víi vÕ c¸c ph­¬ng tr×nh cña hÖ ta cã: = 1 (1 + x2)(1 + y2)(1 + z2) = 8xyzx, y, z > 0 nªn theo bÊt ®¼ng thøc Cauchy ta cã:x2 + 1  2x dÊu b»ng xÈy ra khi x = 1y2 + 1  2y dÊu b»ng xÈy ra khi y = 1z2 + 1  2z dÊu b»ng xÈy ra khi z = 1Nh©n vÕ víi vÕ ta cã:(1 + x2)(1 + y2)(1 + z2)  8xyzDÊu b»ng xÈy ra khi x = y = z = 1VËy hÖ cã nghiÖm x = 0, y = 0, z = 0 hoÆc x = 1, y = 1, z = 1Bµi to¸n 6: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: Tõ hÖ ®• cho ra suy ra:y2 = (1)2(x 1)2 + 1 + y3 = 0(2)Tõ (1)  hÖ cã nghiÖm khi x  0Theo bÊt ®¼ng thøc Cauchy ta cã: 1 + x2  2x   1Tõ (1)  y2  1  1  y  1V× y  1  1 + y3  0 vµ (x 1)2  0VËy 2(x 1)2 + 1 + y3  0DÊu = xÈy ra trong (2) khi VËy hÖ cã nghiÖm x = 1 ; y = 1Bµi to¸n 7: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: Tõ (1)  x3 = 1 (2y2 4y + 2) = 1 2 (y 1)2  1(3)Tõ (2)  x2 =  y  0Theo bÊt ®¼ng thøc Cauchy ta cã: 2y  1 + y2   1VËy x2  1  1  x  1(4)Tõ (3) vµ (4)  VËy hÖ cã nghiÖm x = 1; y = 1Bµi to¸n 8: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: Gi¶ sö x0, y0 lµ nghiÖm tuú ý cña hÖ khi ®ã ta cã: Tõ (1)  x0 , y0 cïng dÊu, tõ (2)  x0 , y0 cïng lµ c¸c sè d­¬ng, theo bÊt ®¼ng thøc Cauchy:3x0 + y0 = x0 + x0 + x0 + y0   6  4 hay 1,5  ®iÒu nµy v« lý.VËy hÖ v« nghiÖm.Bµi to¸n 9: Gi¶i hÖ §K: 0  x  32Céng ph­¬ng tr×nh (1) vµ (2) ta cã: = y2 6y + 21(3)Do y2 6y + 21 = y2 6y + 9 + 12 = (y 3)2 + 12  12DÊu = xÈy ra khi y 3 = 0  y = 3Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki ta cã:  (1 + 1) (x + 32 x)  8DÊu = xÈy ra khi  x = 32 x  x = 16L¹i theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki ta cã:   2.8 = 16  4DÊu = xÈy ra khi x = 16VËy  12DÊu = xÈy ra khi:  VËy x = 16 vµ y = 3 lµ nghiÖm cña hÖ.Bµi to¸n 10: T×m x, y > 0 biÕt: Nh©n vÕ víi vÕ (1) vµ (2) ta cã (x + y)  9Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki ta cã:9 = (x + y)DÊu = xÈy ra khi  y = 2xThay vµo (2) ta cã: VËy hÖ cã nghiÖm x = 1; y = 2Bµi to¸n 11: T×m x, y, z > 0 biÕt: Nh©n vÕ víi vÕ cña (1) víi (2) ta ®­îc:(x + y + z)  36Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki ta cã:36 = (x + y + z)DÊu = xÈy ra khi  6x = 3y = 2zThay vµo (2) khi x + y + z = 12 ta cã x = 2 , y = 4 , z = 6Bµi to¸n 12: Gi¶i hÖ: HÖ t­¬ng ®­¬ng víi: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy cho y2 , y2 , y2 , ta cã: DÊu = xÈy ra khi y2 = (3)Tõ (3) vµ (1)  x2 + = 1  Mét sè bµi tËp vËn dông: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh: Bµi 1: Bµi 2: Bµi 3: Bµi 4: Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh:Bµi 5: Bµi 6 Bµi 7: Bµi 8: III KÕt luËnChuyªn ®Ò nµy ®• ®­îc ¸p dông vµo qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y trong ch­¬ng tr×nh §¹i sè 89 nhÊt lµ trong viÖc båi d­ìng häc sinh giái; v× nã võa cã tÝnh khoa häc, c¬ së lý luËn, võa cã c¬ së thùc tiÔn. V× vËy ®Ò tµi ®• ®em l¹i cho häc sinh khèi 8, 9 vµ gi¸o viªn thªm ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh vµ hÖ ph­¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc.Tuy nhiªn trong khu«n khæ cña mét s¸ng kiÕn kinh nghiÖm kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng sai sãt, mong c¸c ®ång nghiÖp gãp ý gióp ®ì..  S¸ng kiÕn kinh nghiÖm §Ò tµi: VËn dông bÊt ®¼ng thøc cauchy vµ bÊt ®¼ng thøc BUNHIAC¤PxKI ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh vµ hÖ ph­¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùcHä vµ tªn: nguyÔn xu©n th¸i§¬n vÞ c«ng t¸c: Tr­êng THCS B×nh AnN¨m häc 2008 2009

Cộng hoà xà hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tù - H¹nh Tên đề tài: "Vận dụng bất đẳng thức cauchy bất đẳng thức BUNHIACôPxKI để giải phơng trình hệ phơng trình không mẫu mực" Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2008 - 2009 "Vận dụng bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Bunhiacôpxki để giải phơng trình hệ phơng trình không mẫu mực" 12 Sáng kiến kinh nghiệm Tên đề tài "Vận dụng bất đẳng thức cauchy bất đẳng thức BUNHIACôPxKI để giải phơng trình hệ phơng trình không mẫu mực" I- Đặt vấn đề Chơng trình toán THCS, chơng trình Đại số lớp giải số phơng trình hệ phơng trình không mẫu mực học sinh gặp nhiều khó khăn em cha vận dụng linh hoạt, sáng tạo nhanh nhạy công cụ để giải phơng trình hệ phơng trình loại không mẫu mực Một công cụ để giải phơng trình hệ phơng trình không mẫu mực vận dụng bất đẳng thức Cauchy Bunhiacôpxki Vì cần phải đa số toán cụ thể áp dụng kiến thức để sở em vận dụng linh hoạt giải toán khác tơng tự II- Các số liệu điều tra khảo sát Trong trình bồi dỡng học sinh giỏi, nh qua thân thấy đợc từ kỳ thi học sinh giỏi cấp đà cố gắng tìm tòi nghiên cứu đa số toán phù hợp với trình độ học sinh THCS em tiếp cận làm quen với phơng pháp giải phơng trình hệ phơng trình dựa vào bất đẳng thức Cauchy Bunhiacôpxki Một số liệu cụ thể để chứng minh cho việc áp dụng đề tài này: - Khi cha học chuyên đề, số học sinh vận dụng đợc đề tài 10% - Khi đà học chuyên đề, số học sinh vận dụng đợc đề tài 55% "Vận dụng bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Bunhiacôpxki để giải phơng trình hệ phơng trình không mẫu mực" 12 Sáng kiến kinh nghiệm III- Nội dung đề tài Bất đẳng thức Cauchy Bunhiacôpxki * Bất đẳng thức Cauchy Cho n số không âm: a1, a2, a3, , an-1, an Ta lu«n cã: a + a + a + + a n −1 + a n n ≥ a × a × a × × a n −1 × a n n DÊu b»ng xÈy a1 = a2 = = an Bất đẳng thức Cauchy đợc gọi bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân * Bất đẳng thøcBunhiac«pxki Cho n sè: a1, a2, a3, , an-1, an vµ: b1, b2, b3, , bn-1, bn Ta lu«n cã: ( a b1 + a b + + a n b n ) ≤ ( a 12 + a 22 + + a 2n )( b12 + b 22 + + b 2n ) DÊu b¶ng xÈy khi: a1 a a = = = n b1 b bn Bất đẳng thức đợc gọi bất ®¼ng thøc Schwarz, hay bÊt ®¼ng thøc Cauchy- Schwarz Nội dung: * Vận dụng bất đẳng thức vào giải phơng trình hệ phơng trình Bài toán 1: Giải phơng trình x + x = x − 6x + 11 §K: x "Vận dụng bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Bunhiacôpxki để giải phơng trình hệ phơng trình không mẫu mực" 12 Sáng kiến kinh nghiệm Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có: ( ) x − + − x ≤ (1 + 1)(x - + - x) = ⇒ x −2 + 4−x ≤ (1) v× x −2 + 4−x ≥ x2 - 6x+ 11 = x2 - 6x + + = (x - 3)2 + ≥ (2) Tõ (1) vµ (2) dÊu "=" xÈy  x −2 + 4−x =2 ⇒ x =3   x − x + 11 = Vậy phơng trình có nghiệm x = Bài toán 2: Giải phơng trình x + 2x + 2x − = 3x + 4x + x2 + 2x ≥ x -2 x ĐK: 2x - ≥ ⇒ 3x2 + 4x + ≥ x≥ x ≤ -1 hc x ≥ - Kết hợp điều kiện ta có: x áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho d·y x, , x+2 , 2x − ta cã: 3x2 + 4x + = (x + 1)(3x + 1) ≥ ( x x + + 2x − )  (1)  x≥ VËy ta cã:   3x + 4x + ≥ x + 2x + 2x − ( 2) DÊu "=" (2) víi ®iỊu kiƯn (1) xÈy khi: "VËn dơng bÊt ®¼ng thức Cauchy bất đẳng thức Bunhiacôpxki để giải phơng trình hệ phơng trình không mẫu mực" 12 Sáng kiÕn kinh nghiƯm x 1 = vµ x ≥ x+2 2x − ⇔ 2x − x = x + vµ x ≥ ⇒ x2 - x - = ⇒ x= 1± 1+ víi x ≥ ⇒ x = nghiệm pt 2 Bài toán 3: Giải phơng trình x2 5x + 3x + 3x − = + 3x − 2 ⇒ (x + x + 1) ( 5x − 2) = (x + x + 1) + ( 5x − ) (1) 1  Ta cã: x + x + =  x + + > với x nên ĐK (1) cã nghÜa 2  5x - ≥ ⇒ x ≥ (2) Theo (2) bất đẳng thức Cauchy Dấu "=" xẩy x2 + x + = 5x -  x −1 ⇔ x2 - 4x + = x = Vậy phơng trình có nghiệm x = x = Bài toán 4: Giải phơng trình 8x2 + = x ĐK: x > áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta đợc: "Vận dụng bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Bunhiacôpxki để giải phơng trình hệ phơng trình không mẫu mực" 12 Sáng kiến kinh nghiệm 8x2 + 1 1 1 1 = 8x2 + + + + ≥ x x x x x DÊu = xảy khi: 8x2 = 1 ⇔x= x VËy nghiƯm cđa ph¬ng trình là: x = Bài toán 5: Giải hệ phơng trình 2x =y + x   y =z  + y   2z =x  1 + z NhËn xÐt x = 0, y = 0, z = lµ mét nghiƯm cđa hƯ VÕ trái phơng trình hệ số không âm x > 0, y > 0, z > nhân vế với vế phơng trình hÖ ta cã: 2y 2x 2z =1 1+ x 1+ y 1+ z ⇒ (1 + x2)(1 + y2)(1 + z2) = 8xyz x, y, z > nên theo bất đẳng thức Cauchy ta cã: x2 + ≥ 2x dÊu b»ng xÈy x = y2 + ≥ 2y dÊu b»ng xÈy y = z2 + ≥ 2z dÊu b»ng xÈy z = Nh©n vÕ víi vÕ ta cã: (1 + x2)(1 + y2)(1 + z2) 8xyz "Vận dụng bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Bunhiacôpxki để giải phơng trình hệ phơng trình không mẫu mực" 12 Sáng kiến kinh nghiÖm DÊu b»ng xÈy x = y = z = VËy hÖ cã nghiÖm x = 0, y = 0, z = hc x = 1, y = 1, z = Bài toán 6: Giải hệ phơng trình: x y x + y =  2 x − x + + y = Tõ hƯ ®· cho suy ra: y2 = 2x 1+ x 2(x - 1)2 + + y3 = (1) (2) Tõ (1) ⇒ hÖ cã nghiÖm x Theo bất đẳng thức Cauchy ta cã: + x2 ≥ 2x ⇒ 2x ≤1 1+ x Tõ (1) ⇒ y2 ≤ ⇒ -1 ≤ y ≤ V× y ≥ -1 ⇒ + y3 ≥ vµ (x - 1)2 ≥ VËy 2(x - 1)2 + + y3 ≥ 1 + y = DÊu "=" xÈy (2)  ( x − 1) = x =  y = − VËy hÖ cã nghiÖm x = ; y = -1 Bài toán 7: Giải hệ phơng trình: x + y − y + =  2 x + x y − y = (1) (2) Tõ (1) ⇒ x3 = -1 - (2y2 - 4y + 2) = -1 -2 (y - 1)2 ≤ - Tõ (2) ⇒ x2 = (3) 2y y0 1+ y "Vận dụng bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Bunhiacôpxki để giải phơng trình hệ phơng trình không mẫu mực" 12 Sáng kiến kinh nghiệm Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 2y ≤ + y2 ⇒ VËy x2 ≤ ⇒ -1 ≤ x ≤ 2y ≤1 1+ y (4)  x = −1 y = Tõ (3) vµ (4) ⇒  VËy hƯ cã nghiƯm x = -1; y = Bài toán 8: Giải hệ phơng trình: x y = 3x + y = Giả sử x0, y0 nghiệm tuỳ ý cđa hƯ ®ã ta cã: x 30 y =  3x + y = Tõ (1) ⇒ x0 , y0 cïng dÊu, tõ (2) x0 , y0 số dơng, theo bất đẳng thức Cauchy: 3x0 + y0 = x0 + x0 + x0 + y0 ≥ 44 x 30 y ⇒ ≥ ⇒ ≥ hay 1,5 điều vô lý Vậy hệ vô nghiệm Bài toán 9: Giải hệ x + 32 − x − y = − 4  x + 32 − x + y = 24 (1) (2) §K: ≤ x 32 Cộng phơng trình (1) (2) ta có: ( x + ) ( 32 − x + x + ) 32 − x = y2 - 6y + 21 (3) "Vận dụng bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Bunhiacôpxki để giải phơng trình hệ phơng trình không mẫu mực" 12 Sáng kiến kinh nghiÖm Do y2 - 6y + 21 = y2 - 6y + + 12 = (y - 3)2 + 12 ≥ 12 DÊu "=" xÈy y - = y = Theo bất đẳng thøc Bunhiac«pxki ta cã: ( ( ) ≤ (1 + 1) (x + 32 - x) 32 − x ) ≥ x + 32 − x x + x = 32 − x ⇒ x = 32 - x ⇒ x = 16 DÊu "=" xÈy Lại theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có: ( ⇒ ⇒ x + ( ( 32 − x x + 4 x + ) ≤ (1 + 1) ( x + 32 − x ) ) 32 − x ) ≤ 32 − x ≤ 2.8 = 16 DÊu "=" xÈy x = 16 VËy ( x + ) ( 32 − x + x + ) 32 − x ≤ 12 DÊu "=" xÈy khi: x + 32 − x + x + 32 − x = 12 y − y + 21 = 12 x = 16 y = ⇒ VËy x = 16 vµ y = lµ nghiƯm hệ Bài toán 10: Tìm x, y > biÕt: 1  + ≤3 x y x + y =  (1) (2) x y Nhân vế với vế (1) (2) ta có (x + y) ( + ) ≤ "VËn dông bÊt đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Bunhiacôpxki để giải phơng trình hệ phơng trình không mẫu mực" 12 Sáng kiến kinh nghiệm Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta cã:  =   x x+ y  1 4 y  ≤  +  (x + y)  x y  x = y ⇒ = ⇒ y = 2x x y x y DÊu "=" xÈy 3x = y = 2x Thay vµo (2) ta cã:  x =  y = VËy hƯ cã nghiƯm x = 1; y = Bµi toán 11: Tìm x, y, z > biết:  + + =3 x y z x + y + z ≤ 12  (1) (2) Nh©n vế với vế (1) với (2) ta đợc: 9 (x + y + z)  + + 36 x y z Theo bất đẳng thøc Bunhiac«pxki ta cã:  36 =   x x+ y   9 y+ z  ≤  + +  (x + y + z)  x y z z  DÊu "=" xÈy x = y = z ⇒ = = ⇒ 6x = 3y = 2z x y z x y z Thay vµo (2) x + y + z = 12 ta cã x = , y = , z = "Vận dụng bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Bunhiacôpxki để giải phơng trình hệ phơng trình không mẫu mực" 12 Sáng kiến kinh nghiệm Bài toán 12: Giải hệ: x + y =  125y − 125y = 15 Hệ tơng đơng với: x + y =   15  y (1 − y ) = 125  x = − y  ⇒  15 y x = 125  ¸p dơng bất đẳng thức Cauchy cho y2 , y2 , y2 , x = − y  ⇒  2 33 y x = 5  (1) (2) 3 x , x ta cã: 2 33 y x ≤ 5 DÊu "=" xÈy y2 = x  x = ± Tõ (3) vµ (1) ⇒ x2 + x = ⇒  y = ±  (3) 10 15 Mét sè bµi tËp vận dụng: Giải phơng trình: Bài 1: Bài 2: Bµi 3: Bµi 4: − x + x + = x − x +13 x + x + = x3 + x 36 + x−2 = 28 − x − − y − y −1 x − 11x + 21 = 33 x − "Vận dụng bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Bunhiacôpxki để giải phơng trình hệ phơng trình không mẫu mực" 12 Sáng kiến kinh nghiệm Giải hệ phơng trình: Bài x + y + z = 12  5:  xy + xz + xt + yz + yt + zt = xyzt − 27  x, y , z , t >  Bµi  2009  + x1 + + x2 +  + + x2008 = 2008 2008   2007  1− x + 1− x ++ 1− x 2008 = 2008  2008   x − y + 27 y − 27 =  Bµi 7:  y − z + 27 z − 27 =  z − x + 27 x − 27 =       Bµi 8:      x + y y + z z =3 x y + x z + y x =3 z xyz = "Vận dụng bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Bunhiacôpxki để giải phơng trình hệ phơng trình không mÉu mùc" 12 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm III- KÕt ln Chuyên đề đà đợc áp dụng vào trình giảng dạy chơng trình Đại số 8&9 viƯc båi dìng häc sinh giái; v× nã võa cã tÝnh khoa häc, c¬ së lý luËn, võa cã sở thực tiễn Vì đề tài đà đem lại cho học sinh khối 8, giáo viên thêm phơng pháp giải phơng trình hệ phơng trình không mẫu mực Tuy nhiên khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm tránh khỏi sai sót, mong đồng nghiệp góp ý giúp đỡ./ "Vận dụng bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Bunhiacôpxki để giải phơng trình hệ phơng trình không mẫu mùc" 12 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm - - Đề tài: Sáng kiến kinh nghiệm "Vận dụng bất đẳng thức cauchy bất đẳng thức BUNHIACÔPxKI để giải phơng trình hệ phơng trình không mẫu mực" Họ tên: Đơn vị công tác: nguyễn xuân thái Trờng THCS Bình An Năm học 2008 - 2009 "Vận dụng bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Bunhiacôpxki để giải phơng trình hệ phơng trình không mẫu mực" 12

Ngày đăng: 31/07/2016, 14:43

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan