QUY TẮC ĐẾM Mơn đại số tổ hợp (có sách gọi giải tích tổ hợp) chun khảo sát hốn vị, tổ hợp, chỉnh hợp, nhằm xác định số cách xảy tượng mà khơng thiết phải liệt kê trường hợp Trong đại số tổ hợp, ta thường dùng hai quy tắc phép đếm, quy tắc cộng quy tắc nhân 1) Quy tắc cộng : Nếu tượng có m cách xảy ra, tượng có n cách xảy hai tượng khơng xảy đồng thời số cách xảy tượng hay tượng : m + n cách 2) Quy tắc nhân : Nếu tượng có m cách xảy ra, ứng với cách xảy tượng tiếp đến tượng có n cách xảy số cách xảy tượng “rồi” tượng : m × n cách 3) Các dấu hiệu chia hết – Chia hết cho : số tận 0, 2, 4, 6, – Chia hết cho : tổng chữ số chia hết cho (ví dụ : 276) – Chia hết cho : số tận 00 hay hai chữ số cuối hợp thành số chia hết cho (ví dụ : 1300, 2512) – Chia hết cho : số tận 0, – Chia hết cho : số chia hết cho chia hết cho – Chia hết cho : số tận 000 hay ba chữ số cuối hợp thành số chia hết cho (ví dụ : 15000, 2016) – Chia hết cho : tổng chữ số chia hết cho (ví dụ : 2835) – Chia hết cho 25 : số tận 00, 25, 50, 75 – Chia hết cho 10 : số tận Bài tập Bài 1: Từ thành phố A đến thành phố B có đường đường thuỷ Cần chọn đường để từ A đến B Hỏi có cách chọn ? Bài 2: Một nhà hàng có loại rượu, loại bia loại nước Thực khách cần chọn loại thức uống Hỏi có cách chọn ? Bài 3: Giữa thành phố Hồ Chí Minh Hà Nội có loại phương tiện giao thơng : đường bộ, đường sắt đường hàng khơng Hỏi có cách chọn phương tiện giao thơng để từ thành phố Hồ Chí Minh đến Hà Nội quay về? Bài 4: Một hội đồng nhân dân có 15 người, cần bầu chủ tịch, phó chủ tịch, uỷ ban thư ký khơng bầu người vào hay chức vụ Hỏi có cách ? Bài 5: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số đơi khác khơng chia hết cho Bài 6: Có tuyến xe bt A B Có tuyến xe bt B C Hỏi : a) Có cách xe bt từ A đến C, qua B ? b) Có cách xe bt từ A đến C, qua B ? c) Có cách xe bt từ A đến C, qua B cho tuyến xe bt khơng q lần ? Bài 7: Một văn phòng cần chọn mua tờ nhật báo ngày Có loại nhật báo Hỏi có cách chọn mua báo cho tuần gồm ngày làm việc ? Bài 8: Trong tuần, Bảo định tối thăm người bạn 12 người bạn Hỏi Bảo lập kế hoạch thăm bạn : a) Có thể thăm bạn nhiều lần ? b) Khơng đến thăm bạn q lần ? Bài 9: Một tuyến đường xe lửa có 10 nhà ga Hỏi có cách chọn hành trình bắt đầu nhà ga chấm dứt nhà ga khác, biết từ nhà ga tới nhà ga khác? Bài 10: Có nam nữ cần xếp ngồi vào hàng ghế Hỏi có cách xếp cho : a) Nam, nữ ngồi xen kẽ ? b) Nam, nữ ngồi xen kẽ có người nam A, người nữ B phải ngồi kề ? c) Nam, nữ ngồi xen kẽ có người nam C, người nữ D khơng ngồi kề ? Nguyễn Hải Hà 0983325739 Bài 11: Một bàn dài có dãy ghế đối diện nhau, dãy gồm có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A học sinh trường B vào bàn nói Hỏi có cách xếp chỗ ngồi trường hợp sau : a) Bất kì học sinh ngồi cạnh đối diện khác trường b) Bất kì học sinh ngồi đối diện khác trường Bài 12: Cho chữ số 2, 3, 5, 6, 7, Hỏi từ chữ số cho, lập số đơi khác : a) gồm chữ số ? b) gồm chữ số nhỏ 400 ? c) gồm chữ số chẵn ? d) gồm chữ số chia hết cho ? Bài 13: Có 100000 vé đánh số từ 00000 đến 99999 Hỏi số vé gồm chữ số khác Bài 14: Xét dãy số gồm chữ số (mỗi chữ số chọn từ 0, 1, …., 8, 9) thỏa chữ số vị trí số số chẵn, chữ số cuối khơng chia hết cho 5, chữ số 4, 5, đơi khác Hỏi có cách chọn Bài 15: Cho 10 chữ số 0, 1, 2, …, 7, 8, Có số lẻ có chữ số khác nhỏ 600000 xây dựng từ chữ số Bài 16: Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} lập số có chữ số từ X mà chữ số có mặt lần chữ số khác có mặt lần Bài 17: Viết ngẫu nhiên chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lên phiếu, sau xếp ngẫu nhiên thành hàng a) Có số lẻ gồm chữ số tạo thành b) Có số chẵn gồm chữ số tạo thành Bài 18: Có thể lập số chẵn gồm chữ số khác lấy từ 0, 2, 3, 6, Bài 19: Có số tự nhiên gồm chữ số cho tổng chữ số số số lẻ Bài 20: Có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho Bài 21: Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} a) Có số chẵn có chữ số khác đơi b) Có số có chữ số khác chia hết cho c) Có số có chữ số khác chia hết cho Bài 22: Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Hỏi lập số có chữ số khác mà số khơng chia hết cho Bài 23: Trong đội văn nghệ có bạn nam bạn nữ Hỏi có cách chọn đơi song ca nam- nữ? Bài 24: Trong lớp có 17 bạn nam 15 bạn nữ Hỏi có cách chọn a/ Một bạn phụ trách quỹ lớp ? b/ Hai bạn, có nam nữ? Bài 25: Trên giá có sách tiếng Việt khác nhau, sách tiếng Anh khác sách tiếng Pháp khác Hỏi có cách chọn a/ Một sách? b/ Ba sách tiếng khác nhau? c/ Hai sách tiếng khác nhau? Bài 26: Từ cc chữ số 1;2;3 Có thể lập số tự nhiên gồm : a/ chữ số; b/ có chữ số phân biệt Bài 27: Có số tự nhiên có tính chất: a/ Là số chẵn có hai chữ số ( khơng thiết khác nhau); b/ Là số lẻ có hai chữ số ( khơng thiết khác nhau); c/ Là số lẻ có hai chữ số khác nhau; d/ Là số chẵn có hai chữ số khác nhau; Bài 28: Cho tập hợp A =  1;2;3;4;5;6  a/ Có thể lập số gồm chữ số khác hình thành từ tập A b/ Có thể lập số gồm chữ số khác chia hết cho c/ Có thể lập số gồm chữ số khác chia hết cho Nguyễn Hải Hà 0983325739 Bài 29: Cho chữ số 0.1.2.3,4.5.6 Có số tự nhiên : a/ Chẵn có chữ số khác nhau? b/ Có chữ số khác ln có mặt chữ số c/ Lẻ có chữ số khác nhau? Bài 30: Một trường phổ thơng có 12 học sinh chun tin 18 học sinh chun tốn Thành lập đồn gồm hai người cho có học sinh chun tốn học sinh chun tin Hỏi có cách lập đồn trên? Bài 31: Từ số 1,2,3,4,5,6,7,8 a Có số tự nhiên gồm chữ số đơi khác nhau? b Có số gồm chữ số đơi khác chia hết cho 5? Bài 32: Có thể lập số chẳn gồm chữ số khác lấy từ 0,2,3,6,9? Bài 33: Có số chẳn có chữ số đơi khác nhau? Bài 34: Từ sơ 0,1,2,3,4,5 a Có số có ba chữ số khác chia hết cho b có số có chữ số khác chia hết cho 9? Bài 35: Xét dãy gồm chữ số , mổi chữ số chọn từ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 thoả mãn điều kiện sau: Chữ số vị trí số số chẵn; Chữ số cuối khơng chia hết cho 5; Các chữ số vị trí 4,5,6 đơi khác Hỏi có cách chọn? Bài 36: Cho hai đường thẳng song song (d 1) , (d2) Trên (d1) lấy 17 điểm phân biệt , (d 2) lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có đỉnh điểm số 37 điểm chọn (d1) (d2) HỐN VỊ Giai thừa Với số ngun dương n, ta định nghĩa n giai thừa, kí hiệu n!, tích số ngun liên tiếp từ đến n n! = 1.2.3…(n – 2) (n – 1)n Vì tiện lợi, người ta qui ước : 0! = Từ định nghĩa, ta có : n(n − 1) (n − r + 1) = n! (n − r )! (n – 1) !n = n ! Hốn vị Có n vật khác nhau, vào n chỗ khác Mỗi cách gọi hốn vị n phần tử Theo qui tắc nhân, chỗ thứ có n cách (do có n vật), chỗ thứ nhì có n – cách (do n – vật), chỗ thứ ba có n – cách (do n – vật), …, chỗ thứ n có cách (do vật) Vậy, số hốn vị n phần tử, kí hiệu Pn, : Pn = n(n – 1)(n – 2)… × = n! Bài tập Bài 1: Từ chữ số 1, 2, tạo số gồm chữ số khác ? Bài 2: Trong lớp học, thầy giáo phát phiếu thăm dò u cầu học sinh ghi thứ tự mơn Tốn, Lý, Hóa học theo mức độ u thích giảm dần Hỏi có cách ghi khác ? Bài 3: Có sách tốn khác nhau, sách lý khác sách hóa khác Cần xếp sách thành hàng cho sách mơn đứng kế Hỏi có cách ? Bài 4: Giải phương trình : n!−(n − 1)! = với n ∈ N* (n + 1)! Bài 5: Giải bất phương trình Nguyễn Hải Hà 0983325739 Pn + 15 < Pn Pn + Pn −1 với điều kiện n > 1, n ∈ N* Bài 6: Gọi Pn số hốn vị n phần tử Chứng minh: a/ Pn – Pn-1 = (n – 1)Pn-1 b/ + P1 + 2P2 + 3P3 + + (n – 1)Pn-1 = Pn Bài 7: Một tạp chí thể thao định cho 22 kì báo chun đề 22 đội bóng, kì đội Hỏi có cách cho : a) Kì báo nói đội bóng A ? b) Hai kì báo liên tiếp nói hai đội bóng A B ? Bài 8: Tên 12 tháng năm liệt kê theo thứ tự tuỳ ý cho tháng tháng khơng đứng kế Hỏi có cách ? Bài 9: Người ta cần soạn đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu hỏi, chia thành chủ đề, chủ đề gồm 10 câu Cần thứ tự 50 câu hỏi cho câu chủ đề đứng gần nhau, chủ đề đứng đầu chủ đề 2, khơng đứng kế Hỏi có cách ? Bài 10: Một cơng ty cần thực điều tra thăm dò thị hiếu người tiêu dùng sản phẩm Cơng ty đưa 10 tính chất sản phẩm u cầu khách hàng thứ tự theo mức độ quan trọng giảm dần Giả sử tính chất tính chất 10 xếp hạng Hỏi có cách xếp ? Bài 11: Có bi đỏ bi trắng có kích thước khác đơi cách bi thành hàng dài cho hai bi màu khơng nằm kề Bài 12: Có cách xếp học sinh A, B, C, D, E vào ghế dài cho : a) C ngồi b) A, E ngồi hai đầu ghế Bài 13: Trong phòng có bàn dài, bàn có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm nam nữ Hỏi có cách xếp chỗ ngồi a) Các học sinh ngồi tùy ý b) Các học sinh nam ngồi bàn, học sinh nữ ngồi bàn Bài 14: Một học sinh có 12 sách đơi khác có sách Văn, sách Tốn, sách Anh văn Hỏi có cách sách lên kệ dài mơn kề Bài 15: Từ X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} thiết lập số có chữ số khác Hỏi số lập có số mà hai chữ số khơng đứng cạnh Bài 16: Xét số gồm chữ số có số chữ số lại 2, 3, 4, Hỏi có số mà a) Năm chữ số kề b) Các chữ số xếp tùy ý Bài 17: Có số gồm chữ số đơi khác lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7, cho hai chữ số chẵn khơng nằm liền Bài 18: Có số tự nhiên gồm chữ số lớn đơi khác Tính tổng số Bài 19: Trong chữ số 0, 1, 2, 3, lập số có chữ số chữ số có mặt lần chữ số khác có mặt lần Bài 20: Từ chữ số 1,2,3,4,5 lập số tự nhiên có chữ số khác Bài 21: Từ chữ số 3,4,5 lập số tự nhiên có chữ số khác nhau.Tính tổng tất số Bài 22: Một khay tròn đựng bánh kẹo ngày Tết có ngăn hình quạt mẫu khác Hỏi có cách bày loại bánh kẹo vào ngăn đó? Bài 23: Có sách Tốn khác , sách Lý khác sách Hóa khác Hỏi có cách xếp số sách lên kệ dài, cho : a/ Các sách xếp tùy ý b/ Các sách mơn xếp cạnh Bài 24: a/ Có số tự nhiên gồm chữ số đơi khác lớn b/ Tính tổng tất số Nguyễn Hải Hà 0983325739 CHỈNH HỢP Có n vật khác nhau, chọn k vật khác (1 ≤ k ≤ n), vào k chỗ khác Mỗi cách chọn gọi chỉnh hợp chập k n phần tử Chỗ thứ có n cách chọn (do có n vật), chỗ thứ có (n – 1) cách chọn, , chỗ thứ k có [n – (k – 1)] cách chọn Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn là: n x (n-1) x (n-2) x x (n – k + 1) = n! ( n − k )! Nếu ký hiệu số chỉnh hợp chập k n phần tử Ank , ta có: Ank = n! (n − k )! Bài tập Bài Một nhà hàng có ăn chủ lực, cần chọn ăn chủ lực khác cho ngày, buổi trưa buổi chiều Hỏi có cách chọn ? Bài Trong trường đại học, ngồi mơn học bắt buộc, có mơn tự chọn, sinh viên phải chọn mơn mơn đó, mơn mơn phụ Hỏi có cách chọn ? Bài Từ chữ số 1, 2, 3, 4, tạo số gồm chữ số khác ? Bài Chứng minh với n, k ∈ N ≤ k < n a/ Ank = Ank−1 + kAnk−−11 Bài 5: Giải phương trình : b/ Ank++22 + Ank++k1 = k Ann+ k Px Ax2 + 72 = 6( Ax2 + Px ) Bài 6: Giải bất phương trình: Ax3 + Ax2 ≤ 21x Bài 7: Tìm số âm dãy số x1, x2, , xn với Với Pn số hốn vị n phần tử Bài 8: Chứng minh với n ∈ N* n ≥ An4+ 143 xn = − Pn + Pn 1 n −1 + + + = n A2 A3 An Bài 9: Có số điện thoại bắt đầu chữ khác lấy từ 26 chữ A, B, C, …, Z chữ số khác khơng có số Bài 10: Một đội bóng đá có 18 cầu thủ Cần chọn 11 cầu thủ phân vào 11 vị trí sân để thi đấu thức Hỏi có cách chọn : a) Ai chơi vị trí ? b) Chỉ có cầu thủ A làm thủ mơn được, cầu thủ khác chơi vị trí ? c) Có cầu thủ làm thủ mơn được, cầu thủ khác chơi vị trí ? Bài 11: Có 10 sách khác bút máy khác Cần chọn sách bút máy để tặng cho học sinh, em sách bút máy Hỏi có cách ? Bài 12: Trong chương trình văn nghệ, cần chọn hát 10 hát tiết mục múa tiết mục múa xếp thứ tự biểu diễn Hỏi có cách chọn khác hát xếp kế tiết mục múa xếp kế ? Bài 13: Trong đua ngựa gồm 10 Hỏi có cách để 10 ngựa đích nhất, nhì, ba Bài 14: Xét bảng số xe dãy gồm chữ đứng trước chữ số đứng sau Các chữ lấy từ 26 chữ A, B, …, Z Các chữ số lấy từ 0, 1, …, a) Có biển số có chữ khác chữ O chữ số đơi khác b) Có biển số có chữ khác đồng thời có chữ số lẻ, chữ số lẻ giống Nguyễn Hải Hà 0983325739 Bài 15: Có 30 học sinh dự thi học sinh giỏi tốn tồn quốc Có giải thưởng xếp hạng từ đến khơng nhiều giải Hỏi: a) Có danh sách học sinh đoạt giải có ? b) Nếu biết học sinh A chắn đoạt giải, có danh sách học sinh đoạt giải có ? Bài 16: Một lớp học có 40 học sinh Giáo viên chủ nhiệm lớp muốn chọn lớp trưởng, lớp phó học tập lớp phó lao động Hỏi có cách chọn Bài 17: Có người vào thang máy chung cư có 10 tầng Hỏi có cách để : a) Mỗi người vào tầng khác b) người này, người vào tầng Bài 18: Có 100000 vé số đánh số từ 00000 đến 99999 Hỏi số vé gồm chữ số khác Bài 19: Với 10 chữ số 0, 1, …, 8, lập số có chữ số khác Bài 20: Có số ngun dương bé 1000 mà số có chữ số đơi khác Bài 21: Từ 0, 1, 3, 5, lập số, số gồm chữ số khác khơng chia hết cho Bài 22: Từ X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} lập số tự nhiên có chữ số khác thiết phải có mặt chữ số Bài 23: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số chẵn số gồm chữ số khác Bài 24: Từ X = {}0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên có chữ số khác thiết phải có mặt chữ số Bài 25: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số chẵn số gồm chữ số khác Bài 26: Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} lập số n gồm chữ số khác đơi từ X mà a) n chẵn b) Một chữ số phải có mặt chữ số Bài 27: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, số có chữ số khác lập số có chữ số phân biệt có chữ số 1, Bài 28: Từ 10 chữ số 0, 1, 2, …, 7, 8, lập số có chữ số khác cho số phải có mặt Bài 29: Có số tự nhiên gồm chữ số đơi khác (chữ số khác 0) có chữ số khơng có mặt chữ số Bài 30: Tính tổng số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ 1, 3, 4, 5, 7, Bài 31: Có cách chọn ban cán gồm người: lớp trưởng,1 lớp phó thủ quỹ lớp có 30 học sinh ? Bài 32: Từ chữ số 1,2,3,4 lập số tự nhiên có a/ hai chữ số khác b/ ba chữ số khác c/ bốn chữ số khác Bài 33: a/ Từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập số tự nhiên có chữ số khác nhau? b/ Tính tổng chúng Bài 34: Trong mặt phẳng có 10 điểm phân biệt, có vectơ khác vectơ khơng có điểm đầu điểm cuối cho? Nguyễn Hải Hà 0983325739 TỔ HỢP Có n vật khác nhau, chọn k vật khác (0 ≤ k ≤ n) khơng để ý đến thứ tự chọn Mỗi cách chọn gọi tổ hợp chập k n phần tử Ta thấy tổ hợp chập k n phần tử tạo P k = k! chỉnh hợp chập k n phần tử Do đó, ký hiệu C nk số tổ hợp chập k n phần tử, ta có: Ank n! C = = k! k!(n − k )! k n Tính chất: C nk = C nn −k Cnk = Cnk−−11 + Cnk−1 Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn = n Bài tập Bài 1: Có học sinh, cần chọn học sinh để trực lớp, hỏi có cách chọn ? Bài 2: Một nơng dân có bò, heo Một nơng dân khác đến hỏi mua bò heo Hỏi có cách chọn mua ? Bài 3: Trong kì thi, sinh viên phải trả lời câu hỏi a) Có cách chọn b) Có cách chọn câu hỏi có câu hỏi bắt buộc 1 − = C4x C5x C6x Bài 4: Giải phương trình: Bài 5: Tìm n cho Bài 6: Tìm x thỏa: Bài 7: Tìm x, y thỏa hệ: Cnn−−13 < An4+1 14 P3 A2 x − Ax2 ≤ C x3 + 10 x 2 Axy + 5C xy = 90  y 5 Ax − 2C xy = 80 Bài 8: Cho k, n ∈ N* thỏa ≤ k ≤ n Chứng minh rằng: k (k − 1)Cnk = n(n − 1)Cnk−−22 Bài 9: Cho ≤ k ≤ n Chứng minh rằng: Cnk + 4Cnk −1 + 6Cnk −2 + 4Cnk −3 + Cnk −4 = Cnk+4 Bài 10: Tìm k ∈ N* cho C14k + C14k +2 = 2C14k +1 Bài 11: Chứng minh k ∈ N ≤ k ≤ 2000 k k +1 1000 1001 C2001 + C2001 ≤ C2001 + C2001 Bài 12: Với n, k ∈ N ≤ k ≤ n Chứng minh rằng: C2nn+k C2nn−k ≤ (C2nn ) Nguyễn Hải Hà 0983325739 Bài 13: Cho n ngun dương cố định k ∈ {0, 1, 2, …,n} Chứng minh rằng: Nếu Cnk đạt giá trị lớn k0 k0 thỏa n −1 n +1 ≤ k0 ≤ 2 Bài 14: Cho m, n ∈ N với < m < n Chứng minh : a/ mCnm = nCnm−−11 b/ Cnm = Cnm−−11 + Cnm−−21 + + Cmm−1 + Cmm−−11 Bài 15: Chứng minh rằng: 2001 2000 k 2001−k 2001 2002 C2002 C2002 + C2002 C2002 + + C2002 C2002 −k + + C 2002 C1 = 1001.2 Bài 16: Đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, học sinh cần chọn trả lời câu a) Hỏi có cách chọn tùy ý ? b) Hỏi có cách chọn câu đầu bắt buộc ? c) Hỏi có cách chọn câu đầu câu sau ? Bài 17: Có 12 học sinh ưu tú Cần chọn học sinh để dự đại hội học sinh ưu tú tồn quốc Có cách chọn a) Tùy ý ? b) Sao cho học sinh A B khơng ? c) Sao cho học sinh A B khơng đi? Bài 18: Một phụ nữ có 11 người bạn thân có nữ Cô ta đònh mời người 11 người đến dự tiệc Hỏi : a) Có cách mời ? b) Có cách mời để buổi tiệc gồm cô ta khách mời, số nam nữ Bài 19: Một tổ có 12 học sinh Thầy giáo có đề kiểm tra khác Cần chọn học sinh cho đề kiểm tra Hỏi có cách chọn ? Bài 20: Có 12 học sinh ưu tú trường trung học Muốn chọn đồn đại biểu gồm người (gồm trưởng đồn, thư ký, ba thành viên) dự trại quốc tế Hỏi có cách chọn ? Có giải thích ? Bài 21: Một đồn tàu có toa chở khách; toa I, II, III Trên sân ga có hành khách chuẩn bị tàu Biết toa có chỗ trống Hỏi : a) Có cách hành khách lên toa b) Có cách hành khách lên tàu để có toa có vị khách Bài 22: Có 30 câu hỏi khác gồm câu khó, 10 câu trung bình 15 câu dễ Từ 30 câu lập đề kiểm tra, đề gồm câu khác nhau, cho đề phải có loại (khó, trung bình, dễ) số câu dễ khơng ? Bài 23: Một chi đồn có 20 đồn viên 10 nữ Muốn chọn tổ cơng tác có người Có cách chọn tổ cần nữ Bài 24: Một đội xây dựng gồm 10 cơng nhân, kỹ sư Để lập tổ cơng tác cần chọn kỹ sư tổ trưởng, cơng nhân làm tổ phó cơng nhân làm tổ viên Hỏi có cách lập tổ cơng tác Bài 25: Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nam 10 học sinh nữ Cơ giáo muốn chọn tốp ca gồm em có em nam em nữ Hỏi có cách chọn Bài 26: Một đội cảnh sát gồm có người Trong ngày cần người làm nhiệm vụ địa điểm A, người làm B lại người trực đồn Hỏi có cách phân cơng ? Bài 27: Có nhà Tốn học nam, nhà Tốn học nữ nhà Vật lí nam Muốn lập đồn cơng tác có người gồm nam lẫn nữ, cần có nhà tốn học lẫn vật lí Hỏi có cách chọn Bài 28: Một đội văn nghệ có 10 người có nữ nam Có cách chia đội văn nghệ : a) Thành nhóm có số người nhóm có số nữ b) Có cách chọn người khơng q nam Bài 29: Có tem thư khác bì thư khác Người ta muốn chọn từ tem thư, bì thư dán tem thư lên bì thư chọn Một bì thư dán tem thư Hỏi có cách làm Nguyễn Hải Hà 0983325739 Bài 30: Một có 52 lá; có loại : cơ, rơ, chuồn, bích loại có 13 Muốn lấy phải có cơ, rơ khơng q bích Hỏi có cách ? Bài 31: Có đường thẳng song song (d1) (d2) Trên (d1) lấy 15 điểm phân biệt Trên (d2) lấy điểm phân biệt Hỏi số tam giác mà có đỉnh điểm lấy Bài 32: Một lớp có 20 học sinh có cán lớp Hỏi có cách chọn người dự hội nghị trường cho có cán lớp Bài 33: Có 16 học sinh gồm học sinh giỏi, khá, trung bình Có cách chia số học sinh thành tổ, tổ có người, có học sinh giỏi học sinh Bài 34: Một người có 12 giống có xồi, mít ổi Người muốn chọn giống để trồng Hỏi có cách chọn cho a) Mỗi loại có b) Mỗi loại có Bài 35: Một lớp học có 30 học sinh nam 15 học sinh nữ Có học sinh chọn để lập tốp ca Hỏi có cách chọn khác phải có nữ Bài 36: Cho tập gồm 10 phần tử khác Tìm số tập khác rỗng chứa số chẵn phần tử Bài 37: Một tổ sinh viên có 20 em Trong có em biết nói tiếng Anh, em biết tiếng Pháp em biết tiếng Đức Cần chọn nhóm thực tế gồm em biết tiếng Anh, em biết tiếng Pháp em biết tiếng Đức Hỏi có cách lập nhóm Bài 38: Trong hộp có cầu xanh, cầu đỏ cầu vàng , cầu khác Chọn ngẫu nhiên cầu hộp Hỏi có cách chọn cho cầu chọn có đủ màu Bài 39: Một hộp chứa bi trắng bi đen Hỏi có cách lấy bi : a) màu tùy ý ? b) gồm bi trắng bi đen ? Bài 40: Một hộp có cầu xanh đánh số từ đến 6, cầu đỏ đánh số từ đến 5, cầu vàng đánh số từ đến a) Có cách lấy cầu màu, cầu số b) Có cách lấy cầu khác màu ? cầu khác màu khác số Bài 41: Có viên bi xanh, đỏ, vàng có kích thước đơi khác Có cách chọn : a) viên bi có viên bi đỏ, b) viên bi số bi xanh số bi đỏ Bài 42: Từ hồng vàng, hồng trắng hồng đỏ (các hoa xem đôi khác nhau) Người ta muốn chọn hoa gồm Có cách chọn bó hoa : a) Có hồng đỏ b) Có hồng vàng hồng đỏ Bài 43: Xếp bi đỏ có bán kính khác bi xanh giống vào hộc có ô trống a) Hỏi có cách xếp khác b) Có cách xếp khác cho bi đỏ xếp cạnh bi xanh xếp cạnh Bài 44: Một hộp đựng bi đỏ, bi trắng bi vàng Người ta chọn bi từ hộp Hỏi có cách chọn để số bi lấy khơng đủ màu Bài 45: a/ Cho k, n ∈ N k < n Chứng minh rằng: Cnk + Cnk +1 = Cnk++11 b/ Một đa giác lồi n cạnh (n > 3) có đường chéo? Bài 46: Cho đa giác H có 20 cạnh Xét tam giác có đỉnh lấy từ đỉnh H a) Có tam giác ? Có tam giác có cạnh cạnh H b) Có tam giác có cạnh cạnh H ? Có tam giác khơng có cạnh cạnh H ? Bài 47: Trên mặt phẳng cho thập giác lồi Xét tam giác mà đỉnh đỉnh thập giác Hỏi số tam giác có tam giác mà cạnh khơng phải cạnh thập giác Nguyễn Hải Hà 0983325739 Bài 48: Cho đa giác A1A2…A2n (n ∈ N n ≥ 2) nội tiếp đường tròn (O) Biết số tam giác có đỉnh 2n đỉnh A1, A2, …, A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n đỉnh A1, A2, …, A2n Tìm n Bài 49: Trong trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ có cặp anh em sinh đơi Cần chọn nhóm gồm số 50 học sinh dự đại hội cháu ngoan Bác Hồ, cho nhóm khơng có cặp anh em sinh đơi Hỏi có cách chọn? Bài 50: Lớp học có nữ, 10 nam Cần chia làm hai tổ, tổ có nữ, nam Hỏi có cách? Bài 51: A, B, C đến nhà D mượn sách D có tiểu thuyết giáo khoa khác A mượn có tiểu thuyết B mượn giáo khoa C mượn giáo khoa Hỏi có cách khác để D cho mượn sách ? Bài 52: Có tờ bạc 5000đ, tờ bạc 10000đ, tờ bạc 20000đ tờ bạc 50000đ Từ tờ bạc này, tạo tổng số tiền khác ? Bài 53: Một tập thể có 14 người gồm nam nữ có An Bình Người ta muốn chọn tổ cơng tác gồm người Tìm số cách chọn trường hợp sau : a) Trong tổ phải có mặt nam lẫn nữ b*) Trong tổ phải có tổ trưởng, tổ viên, An Bình khơng đồng thời có mặt tổ Bài 54: Số 210 có ước số Bài 55: Một khiêu vũ có 10 nam, nữ Cần chọn nam, nữ lập thành cặp Hỏi có cách chọn ? Bài 56: Có bưu thiếp khác nhau, bì thư khác Cần chọn bưu thiếp, bỏ vào bì thư, bì bưu thiếp gửi cho người bạn bạn bưu thiếp Hỏi có cách ? Bài 57: Có người Việt, người Nhật, người Trung Quốc người Triều Tiên Cần chọn người dự hội nghị Hỏi có cách chọn cho : a) Mỗi nước có đại biểu ? b) Khơng có nước có hai đại biểu ? Bài 58: a/ Có 10 bánh khác hộp khác Hỏi có cách xếp hộp bánh b/ Nếu 10 bánh khác hộp giống có cách? Bài 59: Một thầy giáo có 12 sách đơi khác có sách Văn, sách Anh văn sách Hóa Ơng lấy tặng học sinh A, B, C, D, E, F em a/ Giả sử thầy giáo muốn tặng học sinh sách loại sách thuộc loại Anh văn Văn Hỏi có cách tặng b/ Giả sử thầy giáo muốn rằng, sau tặng xong loại Văn, Anh văn, Hóa Hỏi có cách tặng? Bài 60: Cho A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} a/ Có tập A chứa mà khơng chứa b/ Có số tự nhiên chắn gồm chữ số khác mà khơng bắt đầu 123 Bài 61: Có thể lập số có chữ số chữ số 1, 2, 3, 4, 5, có mặt lần số khác có mặt lần Bài 62: a/ Có số chẵn gồm chữ số khác đơi chữ số dầu tiên chữ số lẻ b/ CĨ số gồm chữ số khác đơi có chữ số lẻ chữ số chẵn Bài 63: Có số tự nhiên gồm chữ số biết chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số khác có mặt khơng q lần Nguyễn Hải Hà 0983325739 10 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài Có thể lập số có chữ số từ số 1,2,3,4,5,6 có mặt hai lần, số lại lần Bài Có số chẵn gồm chữ số khác chữ số đàu tiên số lẻ Bài Có số gồm chữ số khác có chữ số chẳn chữ số lẻ Bài Có baonhiêu số tự nhiên gồm chữ số đơi khác có mặt số khơng có mặt số Bài Có số tự nhiên gồm chữ sơ biết sơ có mặt lần, số có mặt lần, chữ số lại khơng q lần? Bài 6.Từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6, lâp số chẳn, số có chữ số khác có chữ số lẻ hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau? Bài Từ số 0,1,2,3,4 lập số tự nhiên có chữ số khác nhau? Tính tổng tất số tự nhiên Bài 8.Có số tự nhiên gồm chữ số cho: Chữ số có mặt hai lần, số có mặt lần, số lại phân biệt Bài Có số tự nhiên có bốn chữ số cho khơng có chữ số lặp lại lần Bài 10 Có số tự nhiên có chữ số cho: Số có mặt lần, số có mặt lần, số lại khơng q lần Bài 11 Từ số 1,2, ,6 Lập số có chữ số khác chia hết cho Bài 12 Có số tự nhiên chẳn gồm chữ số khác khơng bắt đầu 123 Bài 13 Giả sử bạn muốn mua áo sơ mi cỡ 39 40 Áo cỡ 39 có màu khác nhau, áo cỡ 40 có màu khác Hỏi bạn có lựa chọn (về màu cỡ áo) ? Bài 14 Có số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số chẵn ? Bài 15 Trong trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam 325 học sinh nữ a) Nhà trường cần chọn học sinh khối 11 dự hội học sinh thành phố Hỏi nhà trường có cách chọn ? b) Nhà trường cần chọn hai học sinh nam nữ dự trại hè học sinh thành phố Hỏi nhà trường có cách chọn ? Bài 16 Từ chữ số 1, 5, 6, lập số tự nhiên a) Có chữ số (khơng thiết khác nhau) ? b) Có chữ số khác ? Bài 17 Có khả xảy thứ tự đội giải bóng đá có đội bóng ? (Giả sử khơng có hai đội có điểm trùng nhau) Bài 18 Giả sử có vận động viên tham gia chạy thi Nếu khơng kể trường hợp có hai vận động viên đích lúc có kết xảy vị trí thứ nhất, thứ nhì thứ ba ? Bài 19 Trong Ban chấp hành đồn gồm người, cần chọn người vào ban thường vụ a) Nếu khơng có phân biệt chức vụ người ban thường vụ có cách chọn b) Nếu cần chọn người vào ban thường vụ với chức vụ : Bí thư, Phó Bí Thư, Uỷ viên thường vụ có cách chọn ? Bài 20 Một thi có 15 người tham dự, giả thiết khơng có hai người có điểm a) Nếu kết thi việc chọn người điểm cao có kết có thể? b) Nếu kết thi việc chọn giải nhất, nhì, ba có kết có thể? Bài 21 Một tổ có em nam em nữ Người ta cần chọn em tổ tham gia thi học sinh lịch trường u cầu em chọn phải có em nữ Hỏi có cách chọn? Bài 22 Một nhóm học sinh có em nam em nữ Người ta cần chọn em nhóm tham gia đồng diễn thể dục Trong em chọn, u cầu khơng q em nữ Hỏi có cách chọn? Nguyễn Hải Hà 0983325739 11 Bài 23Từ 10 nam nữ người ta chọn ban đại diện gồm người có hai nam nữ , hỏi có cách chọn Nếu : a) Mọi người vui vẽ tham gia b) Cậu Tánh Nguyệt từ chối tham gia Bài 24 lớp học gồm 30 học sinh nam 15 học sinh nữ , chọn học sinh để lập đội tốp ca Hỏi có cách chọn a) Nếu hai nữ b) Nếu chọn tuỳ ý Bài 33 (ĐH Cần Thơ 2001) Một nhóm gồm 10 học sinh, có nam nữ Hỏi có cách xếp 10 học sinh thành hàng dài cho học sinh nam phải đứng liền Bài 34 (HV Chính trị quốc gia 2001) Một đội văn nghệ có 10 người, có nữ nam Có cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người nhóm có số nữ Có cách chọn người mà khơng có q nam Bài 35 (ĐH Giao thơng vận tải 2001) Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Hỏi lập số gồm chữ số khác nhau, thiết phải có mặt chữ số Bài 36 (ĐH Huế khối ABV 2001) Có số tự nhiên gồm chữ số cho khơng có chữ số lặp lại lần? Bài 37 (ĐH Huế khối DHT 2001) Từ nhóm học sinh gồm nam nữ, thầy giáo cần chọn em tham dự lễ mittinh trường với u cầu có nam nữ Hỏi có cách chọn? Bài 38 (HV Kỹ thuật qn 2001) Trong số 16 học sinh có học sinh giỏi, khá, trung bình Có cách chia số học sinh thành tổ, tổ có người cho tổ có học sinh giỏi tổ có học sinh Bài 39 (ĐH Kinh tế quốc dân 2001) Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên mà số có chữ số khác phải có chữ số Bài 40 (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001) Có thể tìm số gồm chữ số khác đơi một? Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số chẵn có chữ số đơi khác nhau? Bài 41 (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập số có chữ số khác mà hai chữ số khơng đứng cạnh nhau? Bài 42 (ĐH Nơng nghiệp I HN khối A 2001) Có học sinh nam học sinh nữ xếp thành hàng dọc Hỏi có cách xếp để có học sinh nam đứng xen kẽ học sinh nữ (Khi đổi chỗ học sinh cho ta cách xếp mới) Bài 43 (HV Quan hệ quốc tế 2001) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số có chữ số mà chữ số đứng vị trí giữa? Bài 44 (ĐH Quốc gia TPHCM 2001) Có số tự nhiên gồm chữ số đơi khác nhau, có mặt chữ số khơng có mặt chữ số Có số tự nhiên gồm chữ số, biết chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số lại có mặt khơng q lần Bài 45 (ĐHSP HN II 2001) Tính tổng tất số tự nhiên gồm chữ số khác đơi lập từ chữ số 1, 3, 4, 5, 7, Bài 46 (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001) Cho A hợp có 20 phần tử Có tập hợp A? Có tập hợp khác rỗng A mà có số phần tử số chẵn? Bài 47 (ĐH Thái Ngun khối D 2001) Có số chẵn có ba chữ số khác tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4, Có số có ba chữ số khác tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, mà số nhỏ số 345 Bài 48 (ĐH Văn Lang 2001) Một lớp có 10 học sinh nam 10 học sinh nữ Cần chọn học sinh để làm cơng tác “Mùa hè xanh” Hỏi có cách chọn học sinh phải có nhất: Hai học sinh nữ hai học sinh nam Một học sinh nữ học sinh nam Nguyễn Hải Hà 0983325739 12 Bài 49 (ĐH Y HN 2001) Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số chẵn có ba chữ số khác khơng lớn 789? Bài 50 (ĐH khối D dự bị 2002) Đội tuyển học sinh giỏi trường gồm 18 em, có học sinh khối 12, học sinh khối 11, học sinh khối 10 Hỏi có cách cử học sinh đội dự trại hè cho khối có em chọn Bài 51 (ĐH khối A 2003 dự bị 2) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên mà số có chữ số khác chữ số đứng cạnh chữ số Bài 52 (ĐH khối B 2003 dự bị 1) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 lập số tự nhiên mà số có chữ số thoả mãn điều kiện: sáu chữ số số khác số tổng chữ số đầu nhỏ tổng chữ số cuối đơn vị Bài 53 (ĐH khối B 2003 dự bị 2) Từ tổ gồm học sinh nữ học sinh nam cần chọn em số học sinh nữ phải nhỏ Hỏi có cách chọn vậy? Bài 54 (ĐH khối D 2003 dự bị 1) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, lập số tự nhiên chẵn mà số gồm chữ số khác nhau? Bài 55 (CĐ Sư phạm khối A 2002) Tìm số giao điểm tối đa của: a) 10 đường thẳng phân biệt b) đường tròn phân biệt Từ kết câu 1) suy số giao điểm tối đa tập hợp đường nói Bài 56 (CĐ Sư phạm khối A 2002 dự bị) Cho đa giác lồi n cạnh Xác định n để đa giác có số đường chéo gấp đơi số cạnh Bài 57 (CĐ Xây dựng số – 2002) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số khác nhỏ 245 Bài 58 (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002) Từ chữ số 0, 1, 2, 5, lập số lẻ, số gồm chữ số khác Bài 59 (ĐH khối B 2004) Trong mơn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) số câu hỏi dễ khơng Bài 60 (ĐH khối B 2005) Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam nữ Bài 61 (ĐH khối A 2005 dự bị 1) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên, số gồm chữ số khác tổng chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn Bài 62 (ĐH khối B 2005 dự bị 1) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam nữ Hỏi có cách lập nhóm đồng ca gồm người, biết nhóm phải có nữ Bài 63 (ĐH khối B 2005 dự bị 2) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số tự nhiên, số gồm chữ số khác thiết phải có chữ số 1, Bài 64 (ĐH khối D 2006) Đội niên xung kích trường phổ thơng có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ, cho học sinh thuộc khơng q lớp Hỏi có cách chọn vậy? Bài 65 (CĐ GTVT III khối A 2006) Từ nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, học sinh khối C, chọn 15 học sinh cho có học sinh khối A học sinh khối C Tính số cách chọn Bài 66 (CĐ Tài – Hải quan khối A 2006) Có số tự nhiên gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần hai chữ số lại phân biệt? Bài 67 (CĐ Xây dựng số khối A 2006) Có số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau? Tính tổng tất số Bài 68 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho đường thẳng d1, d2 song song với Trên đường thẳng d1 cho 10 điểm phân biệt, đường thẳng d2 cho điểm phân biệt Hỏi lập tam giác mà đỉnh tam giác lấy từ 18 điểm cho Nguyễn Hải Hà 0983325739 13 NHỊ THỨC NEWTON 1/ Nhị thức Newton có dạng ( a + b ) n = C 0n a n + C1n a n −1b + C 2n a n − b + + C kn a n − k b k + + C nna−1 a.b n −1 + C nn b n n = ∑C a k =0 k n−k n bk (n = 0, 1, 2, 3, 4, ) Các tính chất nhị thức NewTon (i) Số số hạng khai triển nhị thức (a + b)n n + (ii) Tổng số mũ a b số hạng khai triển nhị thức (a + b)n n k n−k k (iii) Số hạng thứ (k + 1) C n a b k n−k k (iv) Số hạng khai triển (a + b)n C n a b 2/ Tam giác Pascal k Các hệ số C n lũy thừa (a + b)n với n 0, 1, 2, 3, thành hàng tam giác sau đây, gọi tam giác Pascal: n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 1 1 1 10 1 10 Các tính chất tam giác Pascal (i) Cn0 = Cnn = số hạng đầu cuối hàng (ii) Cnk = C nn−k (0 ≤ k ≤ n) Các số hạng cách số hạng đầu cuối (iii) Cnk + C nk +1 = C nk++11 (0 ≤ k ≤ n – 1): Tổng hai số hạng liên tiếp hàng số hạng hai số hạng hàng (iv) Cn0 + C n1 + Cnn = (1 + 1) n = n Chú ý: (1 + x) n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + Cn3 x + + Cnn x n Khi x = Cn0 + C n1 + Cn2 + Cn3 + + Cnn = n (1 − x) n = Cn0 − Cn1 x + Cn2 x − C n3 x + + (−1) n Cnn x n Khi x = Cn0 − Cn1 + C n2 − Cn3 + + (−1) n Cnn = Và (1 + x) n + (1 − x) n = 2(Cn0 + C n2 x + Cn4 x + ) (1 + x) n − (1 − x) n = 2(Cn1 + C n3 x + C n5 x + ) TRỰC TIẾP KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Bài 1: Khai triển nhị thức sau: a/ ( 2a+b) Nguyễn Hải Hà 0983325739 b/ ( x-3y) 3  c/  x +  x  14 21   Bài 2: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển  x + ÷ x   43 10  3 Bài 3: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển  + + x ÷  x  29 Bài 4: Tìm hệ số số hạng chứa x y 25 10 Bài 5: Tìm hệ số số hạng chứa x y ( khai triển x − xy ( ) 15 khai triển x + xy ) 15 Bài 6: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển ( + x ) + ( + x ) + + ( + x ) Bài 7: Tìm hệ số x khai triển 1 + x ( − x )  10 14 Bài 8: Tìm hệ số x khai triển x ( − x ) + x ( + x ) 10 n   Bài 9: Cho khai triển  x + ÷ Biết tổng số hạng khai triển 631 Tìm hệ số số x   hạng chứa x n   Bài 10: Tìm giá trị x cho khai triển  x + ÷ ( n số ngun dương ) có số hạng thứ x−1   thứ có tổng 135, hệ số số hạng cuối khai triển có tổng 22 n n +1 n   Bài 11: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển  + x ÷ biết Cn + − Cn +3 = ( n + 3) x  10 Bài 12: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển ( + x ) biết n 3n Cn0 − 3n −1 Cn1 + 3n −2 Cn2 − 3n −3 Cn3 + + ( −1) n Cnn = 2048 n  7 Bài 13: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển  + x ÷ biết x  n 20 C2 n +1 + C2 n+1 + C2 n +1 + + C2 n +1 = − ( x > ) 26   Bài 14: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển P ( x ) = 1 + x − ÷ x    3 Bài 15: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển  x + ÷ x  ( x > 0) n   Bài 16: Biết tổng hệ số số hạng khai triển  x x + ÷ 79 Tìm số hạng khơng 15 28 x   chứa x 3n   Bài 17: Biết tổng tất hệ số khai triển  2nx + ÷ 64 Tìm số hạng khơng chứa x 2nx   Nguyễn Hải Hà 0983325739 15 Bài 18: Tìm số tự nhiên n: 1 − = C4n C5n C6n Bài 19: Tìm số tự nhiên n: Cn + 2Cn + 4Cn + + Cn = 243 n n −1 Bài 20: Tìm số tự nhiên n: C2 n + C2 n + + C2 n n = 2048 2 3 n n +1 Bài 21: Tìm số tự nhiên n: C2 n +1 − 2.2C2 n +1 + 3.2 C2 n+1 − 4.2 C2 n+1 + + ( 2n + 1) C2 n +1 = 2005 2 2k 2k n−2 n −2 + C22nn 32 n = 215 ( 216 + 1) Bài 22: Tìm số tự nhiên n: C2 n + C2 n + + C2 n + + C2 n Bài 23: Cho khai triển sau: n n −1 n n −1 x x −1 x −1 x −1 −   x2−1    − 3x    − 3x    n −1  2  + ÷ = Cn  ÷ + Cn  ÷  ÷+ + Cn  ÷  ÷            Biết Cn3 = 5Cn1 n  − 3x  + C  ÷   n n số hạng thứ 20n Tìm n x Bài 24: Cho khai triển sau: ( + x ) = a0 + a1 x + + an x n n ∈ N * hệ số n a0 , a1 , , an thoả mãn: a a1 + + nn = 4096 Tìm số lớn số a0 , a1 , , an 2 An4+1 + An3 2 2 Bài 25: Tính giá trị biểu thức: M = biết Cn +1 + 2Cn + + 2Cn +3 + Cn + = 149 ( n + 1) ! Bài 26: Khai triển (3x - 1)16 a0 + Tính : S = 16 316 C160 − 315 C16 + 314 C162 − + C16 Bài 27: Chứng minh a) n C n0 + n −1 C n1 + n −2 C n2 + + C nn = 3n b) 3n Cn0 − 3n−1 Cn1 + 3n−2 C n2 + + (−1) n Cnn = n Bài 28: Chứng minh C 20n + 32 C 22n + 34 C 44n + + 32 n C nn = 2 n−1 (2 n + 1) Bài 29: Tìm hệ số đứng trước x khai triển biểu thức sau thành đa thức: f(x) = (2x + 1)4 + (2x + 1)5 + (2x + 1)6 + (2x + 1)7 12 Bài 30: Biết tổng hệ số khai triển (x2 + 1)n 1024 Hãy tìm hệ số số hạng chứa x khai triển Bài 31: Tìm hệ số chứa x khai triển (1 + x + 3x2)10 − 28 15 ) n tìm số hạng khơng phụ thuộc x biết C nn + Cnn−1 + Cnn−2 = 79 3n-3 n n Bài 33: Gọi a3n-3 hệ số x khai triển thành đa thức (x + 1) (x + 2) Tìm n để a3n-3 = 26n Bài 32: Trong khai triển (x x + x Nguyễn Hải Hà 0983325739 16 Bài 27: Tính tổng: 1Cn0 2Cn1 3Cn2 ( n + 1) Cn C +C1 +C =211 H = + + + + n n n A1 A2 A3 An1+1 n A = C + 2C + C + + C n n 2 n n n n B = − 2Cn1 + 22 Cn2 − 23 Cn3 + + (− 1) n 2n Cnn 2010 K = C2010 + 2C2010 + 3C2010 + + 2011C2010 C = 317.C170 − 41.316 C171 + 42.315 C172 − 43.314 C173 + − 417 C1717 J = Cn0 + 2Cn1 + 3Cn2 + nCnn −1 + ( n + 1) Cnn D = C21n + C23n + + C22nn −1 E = C20n + C22n + + C22nn I = nCn0 + ( n − 1) Cn1 + + Cnn −1 F = 2n Cn0 + 2n − Cn2 + 2n − Cn4 + , G = 2n −1 Cn1 + 2n − Cn3 + 2n− Cn5 + Bài 28: Chứng minh rằng: a ) Cn0 + 2Cn1 + 3Cn2 + + ( n + 1) Cnn = ( n + ) 2n− a) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn = 2n b) Cn0 − Cn1 + Cn2 − + ( − 1) Cnk + ( − 1) Cnn = b) 2.1Cn2 + 3.2Cn3 + 4.3Cn4 + + n ( n − 1) Cnn = n ( n − 1) n − c) Cn0 + 6Cn1 + 62 Cn2 + + 6n Cnn = n c) n.2 n − 1Cn0 + ( n − 1) 2n− 2.3Cn1 + ( n − ) 2n − 3.32 Cn2 + + 3n−1Cnn− = n.5n−1 k n d ) C + C + C + + C = 17 17 16 17 15 17 17 17 17 17 1 n 2n + − d ) + Cn + Cn + + Cn = n+1 n+1 ( − 1) C n = 1 e) C − C + C − + C = e) − Cn1 + Cn2 − + n n+1 n+1 1  n n f ) 2nCn0 + 2n− 1.7Cn1 + 2n− 2.72 Cn2 + + n Cnn = 9n f ) 2Cn0 − 22 Cn1 + 23 Cn2 − + ( − 1) 2n + Cnn = + ( − 1)   n+ 1 n + n 3n + − n n n n−1 n 2 g ) Cn − Cn + + ( − 1) Cn = Cn + Cn + + Cn g ) 2Cn + Cn + Cn + + Cn = n+1 n+1 n 16 16 15 16 14 16 16 16 16 h) Cn0 4n − Cn1 4n − + + ( − 1) Cnn = Cn0 + 2Cn1 + 22 Cn2 + 2n Cnn n k ) C21n + C23n + C25n + + C22nn− = C20n + C22n + C24n + + C22nn = 22 n− PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ Nguyễn Hải Hà 0983325739 17 IPHÉP THỬ, KHƠNG GIAN MẪU 1/ Phép thử Phép thử ngẫu nhiên phép thử mà ta khơng đốn trước kết nó, biết tập hợp tất kết phép thử 2/ Khơng gian mẫu Tập hợp kết xảy phép thử gọi khơng gian mẫu phép thử kí hiệu Ω IIBIẾN CỐ Biến cố tập khơng gian mẫu Tập ∅ gọi biến cố khơng thể Còn tập Ω gọi biến cố chắn III- PHÉP TỐN TRÊN CÁC BIẾN CỐ Tập Ω \A gọi biến cố đối biến cố A, kí hiệu A Tập A∪B gọi hợp biến cố A B Tập A∩B gọi giao biến cố A B Nếu A ∩B=∅ ta nói A B xung khắc Chú ý A∪B xảy A xảy B xảy A∩B xảy A B đồng thời xảy Biến cố A∩B kí hiệu A.B A B xung khắc chúng khơng nao xảy Bài Gieo súc sắc cân đối, đồng chất lần quan sát số chấm xuất a/ Hãy mơ tả khơng gian mẫu b/ Hãy xác định biến cố sau: A: “ Xuất mặt chẵn chấm”; B: “Xuất mặt lẻ chấm”; C: “ Xuất mặt có số chấm khơng nhỏ 3” c/ Trong biến cố trên, tìm biến cố xung khắc Bài 2.Gieo đồng tiền hai lần a/ Hãy mơ tả khơng gian mẫu b/ Hãy xác định biến cố sau A : “ Lần thứ hai xuất mặt ngửa” B : “ Kết hai lần khác ” Bài Gieo đồng tiền ba lần quan sát xuất mặt sấp (S), mặt ngửa (N) a/Xây dựng khơng gian mẫu b/ Hãy xác định biến cố sau: A : “ Lần gieo đầu xuất mặt sấp”; B : “Ba lần xuất mặt nhau”; C: “ Đúng hai lần xuất mặt sấp”; D: “Ít lần xuất mặt sấp” Bài 4.Gieo đồng tiền, sau gieo súc sắc Quan sát xuất mặt sấp (S), mặt ngửa (N) đồng tiền số chấm xuất súc sắc a/ Hãy mơ tả khơng gian mẫu b/ Hãy xác định biến cố sau A : “ Đồng tiền xuất mặt sấp súc sắc xuất mặt chẵn chấm ” B : “ Đồng tiền xuất mặt ngửa súc sắc xuất mặt lẻ chấm ” C: “ Mặt chấm xuất hiện” Bài Từ hộp chứa bi trắng, bi đỏ, lấy ngẫu nhiên đồng thời bi a/ Xây dựng khơng gian mẫu Nguyễn Hải Hà 0983325739 18 b/ Xác định biến cố sau: A : “ Hai bi màu trắng”; B : “Hai bi màu đỏ”; C: “Hai bi màu ”; D: “ Hai bi khác màu ” c/ Trong biến cố , tìm biến cố xung khắc, biến cố đối XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ I / ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT Định nghĩa Giả sử A biến cố liên quan đến phép thử có số hữu hạn kết đồng khả xuất n (A) xác suất biến cố A, kí hiệu P(A) n ( Ω) n (A) Vậy P(A ) = n (Ω ) Ta gọi tỉ số Chú ý n(A) số phần tử A n( Ω ) số kết xảy phép thử II/ TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT 1/ Định lí a/ P(∅) =0, P( Ω )=1 b/ ≤P(A)≤1, với biến cố A c/ Nếu A B xung khắc P( A ∪ B ) = P(A)+P(B) Hệ Với biến cố A, ta có P A = − P( A) III/ CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP, CƠNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT A B hai biến cố độc lập P(AB)=P(A).P(B) ( ) Bài Từ hộp chứa cầu ghi chữ T, cầu ghi chữ Đ cầu ghi chữ H Tính xác suất biến cố sau a/ Lấy cầu ghi chữ T b/ Lấy cầu ghi chữ Đ c/ Lấy cầu ghi chữ H Bài Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất biến cố sau A: “ Mặt lẻ xuất hiện” B: “Xuất mặt có số chấm chia hết cho 3” C: “Xuất mặt có số chấm lớn 2” Bài Gieo ngẫu nhiên súc sắc hai lần a/ Hãy mơ tả khơng gian mẫu b/ Hãy xác định biến cố sau A: “ Lần đầu xuất điểm 6” B:” Tổng điểm hai lần 4” c/ Tính P(A) P(B) Bài Gieo đồng tiền ba lần a/ Hãy mơ tả khơng gian mẫu Nguyễn Hải Hà 0983325739 19 b/ Hãy tính xác suất biến cố sau A: “ Lần đầu xuất mặt sấp” B: “ Lần thứ hai xuất mặt ngửa” Bài Lấy ngẫu nhiên thẻ từ hộp chứa 20 thẻ đánh số từ đến 20 Tính xác suất để thẻ lấy ghi số a/ Chẵn; b/ Chia hết cho 3; c/ Lẻ chia hết cho Bài Một tổ có nam nữ Chọn ngẫu nhiên hai người Tìm xác suất cho hai người đó: a/ Cả hai nữ; b/ Khơng có nữ nào; c/ Ít người nữ; d/ Có người nữ Bài Một hộp chứa 10 cầu đỏ đánh số từ đến 10, 20 cầu xanh đánh số từ đến 20 Lấy ngẫu nhiên Tìm xác suất cho chọn: a/ Ghi số chẵn; b/ Màu đỏ; c/ Màu đỏ ghi số chẵn; d/ Màu xanh ghi số lẻ Bài 8.Gieo hai đồng xu cân đối cách độc lập Tính xác suất để : a/ Cả hai đồng xu sấp b/ Có đồng xu sấp c/ Có đồng xu ngửa Bài Một hộp đèn có 12 bóng, tróng có bóng tốt bóng lại bóng xấu ( chất lượng ) Lấy ngẫu nhiên bóng đèn Tính xác suất để lấy bóng tốt Bài 10 Có bình, bình chứa viên bi khác màu.Một bi xanh, bi vàng, bi đỏ Lấy ngẫu nhiên bình viên bi Tính xác suất để hai viên bi khác màu Bài 11.Trong hộp có 20 cầu giống gồm 12 trắng màu đen 1/ Tính xác suất để lấy cầu có màu đen 2/ Tính xác suất để lấy có màu đen ( ĐHNNHN/96) Bài 12.Một bình đựng viên bi xanh , viên bi vàng , viên bi trắng khác màu Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất biến cố sau : 1/ A : Lấy bi xanh 2/ B : Lấy bi vàng 3/ C : Lấy viên bi màu (ĐHNN1HN/96) Bài 13.Một hộp có 20 viên bi , có 12 viên bi màu đỏ viên bi màu xanh Lấy ngẫu nhiên viên bi Tìm xác suất để : a/ Cả viên bi màu đỏ ; b/ Cả viên bi màu xanh ; c/ Có viên bi màu đỏ ( ĐHCS KC/97) Bài 14 Trong hộp có 12 bóng đèn giống , có bóng hỏng Lấy ngẫu nhiên bóng Tính xác suất để : a/ Được bóng tốt b/ Được bóng hỏng c/ Được bóng tốt (ĐHAN tpHCM99) d/ Được bóng tốt Nguyễn Hải Hà 0983325739 20 Bài 15.Một đợt xổ số phát hành 20 000 vé có giải , 100 giải nhì , 200 giải ba , 1000 giải tư 5000 giải khuyến khích Tìm xác suất để người mua vé , trúng giải nhì hai giải khuyến khích (ĐHGTVT/ 97) Bài 16.Một hộp đựng viên bi xanh , viên bi đỏ có kích thước trọng lượng Lấy ngẫu nhiên viên bi Tìm xác suất để lấy viên bi đỏ ( ĐHDL KTCN99) Bài 17.Một hộp đựng 10 viên bi xanh ,trong có viên bi màu xanh viên bi màu Lấy ngẫu nhiên viên bi Tìm xác suất để viên bi lấy có a/ Cả viên màu xanh b/ Ít viên bi màu xanh ( CĐSPthHCM99) Bài 18 Ngân hàng đề thi có 100 câu hỏi Mỗi đề thi có câu Một học sinh thuộc 80 câu tìm xác suất để học sinh rút ngẫu nhiên đề thi có câu hỏi học thuộc Bài 19.Trong 100 vé số có vé trúng 10000 đồng , vé trúng 000đồng 10 vé trúng 1000đồng Một người mua ngẫu nhiên vé Tính xác suất biến cố : a/ Người trúng 3000 đồng b/ Người trúng 000 đồng Nguyễn Hải Hà 0983325739 21 [...]... giác mà 3 đỉnh của mỗi tam giác lấy từ 18 điểm đã cho Nguyễn Hải Hà 0983325739 13 NHỊ THỨC NEWTON 1/ Nhị thức Newton có dạng ( a + b ) n = C 0n a n + C1n a n −1b + C 2n a n − 2 b 2 + + C kn a n − k b k + + C nna−1 a.b n −1 + C nn b n n = ∑C a k =0 k n−k n bk (n = 0, 1, 2, 3, 4, ) Các tính chất của nhị thức NewTon (i) Số các số hạng trong khai triển nhị thức (a + b)n là n + 1 (ii) Tổng số mũ của a và... x = 1 thì Cn0 − Cn1 + C n2 − Cn3 + + (−1) n Cnn = 0 Và (1 + x) n + (1 − x) n = 2(Cn0 + C n2 x 2 + Cn4 x 4 + ) (1 + x) n − (1 − x) n = 2(Cn1 + C n3 x 3 + C n5 x 5 + ) TRỰC TIẾP KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Bài 1: Khai triển các nhị thức sau: a/ ( 2a+b) 4 Nguyễn Hải Hà 0983325739 b/ ( x-3y) 5 3  c/  x +  x  6 14 21  5 1  Bài 2: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển của  x + ÷ 3 2 x ... phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là Ω IIBIẾN CỐ Biến cố là một tập con của không gian mẫu Tập ∅ được gọi là biến cố không thể Còn tập Ω được gọi là biến cố chắc chắn III- PHÉP TO N TRÊN CÁC BIẾN CỐ Tập Ω \A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A Tập A∪B được gọi là hợp của các biến cố A và B Tập A∩B được gọi là giao của các biến cố A và B Nếu A ∩B=∅ thì ta nói A