PHÂN DẠNG MỘT SỐ PT VÔ TỈ THƯỜNG GẶP TRONG CTPT A.PHẦN MỞ ĐẦU I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình vơ tỉ thường gặp chương trình tốn phổ thơng thường có mặt đề thi đại học cao đẳng trung học chuyên nghiệp Trong chương trình tốn phổ thơng , tốn phương trình vơ tỉ tốn thường gặp có nhiều dạng , với dạng tương ứng có cách giải khác Nếu học sinh khơng nắm vững dạng phương trình vơ tỉ thường gặp cách giải tương ứng việc giải phương trình gặp nhiều khó khăn Vì lẽ mà tơi chọn đề tài là:"phân dạng số phương trình vơ tỉ thường gặp chương trình phổ thơng" Vì phần kiến thức rộng , nên sâu vào dạng phương trình vơ tỉ có mặt chương trình phổ thơng lấy số ví dụ áp dụng từ đề thi ĐH-CĐ THCN năm gần II.NỘI DUNG ĐỀ TÀI A Phần mở đầu B Nội dung C Kết luận III GIỚI HẠN CHỌN ĐỀ TÀI : Đề tài giới hạn chương trình phổ thơng PHÂN DẠNG MỘT SỐ PT VÔ TỈ THƯỜNG GẶP TRONG CTPT B.NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP LUỸ THỪA  A  0( B  0) A B  A  B  A  0( B  0) Tổng quát: k A  k B   (k N ) A  B Dạng : Phương trình B  AB A  B B  Tổng quát: 2k A  B   2k A  B Dạng 2: Phương trình (k N) Dạng 3: Phương trình A  B  +) A  B  C   (chuyển dạng 2) C   A  B  AB  C  A   ) A  B  C   B    A  B  AB  C +) A  B  C  A  B  3 A.B  (chuyển dạng 2)  A  B  C (1) ta sử dụng phép : A  B  C ta phương trình : A  B  3 A.B.C  C (2) Chú ý: - Phương trình (2) phương trình hệ phương trình (1) - Phép bình phương vế phương trình mà khơng có điều kiện cho vế không âm phép biến đổi hệ Sau tìm nghiệm ta phải thử lại Dạng 4: A  B  A  B3 ; k 1 A  B  A  B k 1 (kN) Ví dụ 1: giải phương trình: x  -  x = 1 x (1) Giải: Điều kiện:   x  (*) (1)   x   x  x   (1  x)(1  x)  x  PHÂN DẠNG MỘT SỐ PT VÔ TỈ THƯỜNG GẶP TRONG CTPT  x    x  (thỏa mãn (*))  2 x  x   Vậy phương trình cho có nghiệm: x=0 Ví dụ 2: Giải phương trình: 2x   x   3x  Giải: Lập phương hai vế ta nhận phương trình tương đương sau:  2x   x    11 2x - + x - + 3  2x  1 x  1  Do 3  2x  1 x  1  2x   3  x   3x  (1) 2x   x   2x  nên từ (1) dẫn đến phương trình sau:  2x  1 x  1 3x    (2x2 - 3x +1) (3x + 1) =  6x3 - 7x2 =  x = x = (2) 7 Do phép biến đổi từ (1) sang (2) phép biến đổi hệ nên ta phải thử lại để Vậy (2) có hai nghiệm x = x = tìm nghiệm phương trình Ta thấy x = khơng thoả mãn (1) cịn x = Vậy phương trình có nghiệm x = thoả mãn * Chú ý : Ta mở rộng dạng tốn thành dạng sau: f  x   g  x   h  x   r  x  mà cách giải dạng đầu, tổng f  x   g  x  thay tổng 3 hx  rx PHÂN DẠNG MỘT SỐ PT VƠ TỈ THƯỜNG GẶP TRONG CTPT  Thơng thường ta gặp phương trình dạng : f  x   g  x   h  x   k  x  , ta thường bình phương vế , điều đơi lại gặp khó khăn Ví dụ : Giải phương trình sau : x   3x   x  x  Giải: Đk x  Bình phương vế khơng âm phương trình ta được:1   x  3 3x  1  x  x  x  1 , để giải phương trình dĩ nhiên khơng khó phức tạp chút Phương trình giải đơn giản ta chuyển vế phương trình : 3x   x   x  x  Bình phương hai vế ta có : x  x   x  12 x  x  Thử lại x=1 thỏa  Nhận xét : Nếu phương trình : f  x   g  x   h  x   k  x  Mà có : f  x   h  x   g  x   k  x  , ta biến đổi phương trình dạng f  x   h  x   k  x   g  x  sau bình phương ,giải phương trình hệ Ví dụ : Giải phương trình sau : x3   x   x2  x   x  x3 Giải: Điều kiện : x  1 Bình phương vế phương trình ? Nếu chuyển vế chuyển nào? Ta có nhận xét : x3  x   x  x  x  , từ nhận xét ta có lời x3 giải sau : (2)  x3   x   x2  x   x  x3 x  1 x3   x2  x   x2  2x     Bình phương vế ta được: x3  x   Thử lại : x   3, x    Nhận xét : nghiệm PHÂN DẠNG MỘT SỐ PT VÔ TỈ THƯỜNG GẶP TRONG CTPT Nếu phương trình : f  x   g  x   h  x   k  x  Mà có : f  x  h  x   k  x  g  x  ta biến đổi f  x   h  x   k  x   g  x  sau bình phương ,giải phương trình hệ Bài tập vận dụng: Giải phương trình sau: 1) (db1- khối B 2005) : 3x    x  2x  ĐS: x=2, x=4 2)/ ( ĐH KD-2005) : x   x   x   ĐS: x=3 3) ( ĐH KD-2006) : 2x   x  3x   ĐS: x  1, x   2 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Dạng 1: Các phương trình có dạng :   A.B   A.B    , đặt t  A.B  A.B  t   f ( x)   f ( x)    , đặt t  f ( x)  f ( x)  t x b   xa x b đặt t  ( x  a)  ( x  a)( x  b)  t xa   ( x  a)( x  b)   ( x  a) Chú ý:  Nếu khơng có điều kiện cho t, sau tìm x phải thử lại Ví dụ1: Giải phương trình: n (x  1)  n (x  1)  n x  = với n số tự nhiên  Nhận xét lời giải * Khi giải phương trình vơ tỷ, trước hết cần phải xác định điều kiện cho ẩn Từ việc làm đó, ta nghĩ đến việc chia thành trường hợp n, n chẵn n lẻ + Trường hợp 1: Nếu n chẵn, phương trình tương đương với hệ sau: (x 1)   (x 1)    x 1 hệ vô nghiệm PHÂN DẠNG MỘT SỐ PT VÔ TỈ THƯỜNG GẶP TRONG CTPT + Trường hợp 2: Nếu n lẻ Do x = không nghiệm phương trình nên chia hai vế phương trình cho n (x 1) ta được:  x 1  x 1 = Đặt t = 2n   1  n x  x    n 2t2 + 3t + =  t = -1 t =  Với t = -  n x 1 , ta có: x 1 x 1 x 1 =-1 = (-1)n = - 1(n lẻ) x 1 x 1 x+1=-x+1x=0 1 2n x 1 1  x 1 x   Với t = -  n =- x+1=   2n x 1 2 2n + Kết luận: - Nếu n chẵn: phương trình vơ nghiệm - Nếu n lẻ: phương trình có hai nghiệm x = 0; x = Ví dụ giải phương trình sau: (x+3)(x+2)-5 x  5x  =10 Giải: (1)  x2+5x+6-5 x  5x  =10 (2) Đặt : t= x  5x  ( đk: t  *) Khi phương trình (2) trở thành t  1 loai t2-5t-6=0   t  (t / m) với t=6  x  5x  =6  x2+5x+2=36  x2+5x-34=0  x=   161 Ví dụ3: Giải phương trình sau: x   x 1  Điều kiện:  x  6 (1)  2n 1 2n PHÂN DẠNG MỘT SỐ PT VÔ TỈ THƯỜNG GẶP TRONG CTPT Đặt y  x  1( y  0) phương trình trở thnh: y  y    y  10 y  y  20  ( với  21 1  17 (loaïi), y  2 11  17 Từ ta tìm giá trị x  y  5)  ( y  y  4)( y  y  5)   y  Ví dụ4: Giải phương trình : x  x  x  x  Giải: x  nghiệm , Chia hai vế cho x ta được: 1  x  x  x x  1 Đặt t= x  , Ta có : t  t    t   x  x Bài tập vận dụng: Bài Giải phương trình sau: a) ( x  1)( x  4)  x  5x  28 b) x  32  3x  22  x  3x  Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm? a) (1  x)(3  x)  2x  5x   m b)  x  x  3  x x  1  m  Bài Cho phương trình:  x  2x  (3  x)( x  1)  m  a Giải phương trình m = 12 b Tìm m để phương trình có nghiệm? Bài Cho phương trình: (x  3)(x  1)  4(x  3) x   m (Đ3) x3 a Giải phương trình với m = -3 nghiệm? b Tìm m để phương trình có Dạng 2: Các phương trình có dạng: A  B   A  B   C  Đặt : t  A  B (đặt đk cho t) Ví dụ : cho phương trình:  x   x - (3  x).(6  x) = m (1 ) a) Giải phương trình (1) m=3 b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Giải: +)Tập xác định: D =  3; 6 +) Đặt: t = 3 x  6 x ĐK:  t  (*) PHÂN DẠNG MỘT SỐ PT VÔ TỈ THƯỜNG GẶP TRONG CTPT  (3  x).(6  x) = t2  (2 ) +): Khi phương trình (1) trở thành t t2   m  t  2t   2m  (3) a) Giải phương trình (1) m=3 +) Với m =3 phương trình (3) có dạng: t  1 (loai ) t  2t     t  (t / m) +) Với t = , vào (2) ta được:  x  3 (3  x).(6  x) =   x  +) Vậy với m= phương trình cho có nghiệm: x=-3 , x=6 b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm +)phương trình (1) có nghiệm  phương trình (3) có nghiệm thỏa mãn:  t  +)Ta có: (3 )  t2 – 2t – = - 2m (3’ ) +)Xét hàm số: f(t) = t2 – 2t – (P) đoạn: 3;  +) (P) parabol có hệ số góc a=1>0 , có tọa độ đỉnh (1 ; -10 ) +) Bảng biến thiên f(t) t - + + + f(t) -6 - -10 +) Từ bảng biến thiên suy phương trình cho có nghiệm  -6  2m    9  m  Bài tập vận dụng: Giải phương trình sau: 1) (DB1-B’06) 3x   x   x   3x  5x  2) (AN’01) x   x   49x  x  42  181  14x 3) (TN- KA, B ‘01) x  x  2x  ĐS: x=2 7 2x 4) (ĐH-A’02): ĐS:x=5 x   x   x  12  x  16 5) Cho phương trình: x    x  ( x  1)(3  x)  m (m-tham số) (ĐHSP Vinh 2000) PHÂN DẠNG MỘT SỐ PT VÔ TỈ THƯỜNG GẶP TRONG CTPT a Giải phương trình m = b Tìm để phương trình cho có nghiệm Dạng 3: Đặt ẩn phụ ẩn ban đầu (Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn ) Ví dụ1 : Giải phương trình: x  = 8x2 + 8x - Giải: Để khử tính vơ tỉ, ta đặt t = x2 0 Để làm xuất t2 = x + 2, phương trình cho biến đổi dạng: x  = 8x(x+2) - 8x -  t = 8xt2 - 8x -  8xt2 - t - 8x-1=0 Nhận thấy x = không nghiệm Do phương trình bậc hai ẩn t mà hệ số chứa x  = + 32x (8x +1) = 256x2 + 32x + = (16x +1)2 phương trình t có nghiệm là: 1  8x  16x  1  t=  8x  16x  1  lo¹i Trở tìm x, ta giải phương trình: x2   8x 8x  x  1  8x   8x      x  x      8x      64x  64x  16x    8x  Vậy phương trình có hai nghiệm x =  x    5  21  x   5  21 x = Ví dụ2: giải phương trình : 2(1 – x) x2  x  = x2 – 2x – (1) GIẢI: Đặt: t = x2  x  , ĐK: t  (*) PHÂN DẠNG MỘT SỐ PT VÔ TỈ THƯỜNG GẶP TRONG CTPT  x2 = t2 – 2x + +)Khi phương trình (1) trở thành: 2.(x – 1).t = (t2 – 2x + 1) – 2x – t  2  t – 2.(1 – x).t – 4x =   t  2.x x  x  =  x + 2x – =  x + 2.x – =  x = -1  x  -) Víi t = -2.x  x2  x  = -2x   2 x  2x   4x x    ' 3x  x   (VN vi     0) +)Vậy phương trình cho có nghiệm là: x = -1  -) Víi t =  Bài tập vận dụng Giải phương trình :   ĐS:x=  (HD: đặt t  x  ) 1) x2   x2  x   x  2)  x  1 x  x   x  ĐS: x  1 (HD: đặt: t  x2  x  3, t  ) ĐS: x =  2 ĐS: x =  ;x  3) x2 + 3x + = (x + 3) x  4)  x  1 3x   x   x (HD: Đặt t =  x ) Một số dạng khác Ví dụ1 : Giải phương trình: Giải: : x  x2 1  x  x2 1  (1) ĐKXĐ: x     Để ý rằng: x  x  x  x   1  (1)  Đặt u = 10  x  x2 1  x  x2 1 x  x   1, ta thu phương trình ẩn u: PHÂN DẠNG MỘT SỐ PT VÔ TỈ THƯỜNG GẶP TRONG CTPT Dạng 1: Đưa hệ phương trình bình thường Hoặc hệ đối xứng loại  Đặt u    x  , v    x  tìm mối quan hệ   x    x  từ tìm hệ theo u,v Ví dụ1 : Giải phương trình:   x 35  x x  35  x  30 Giải: Đặt y = 35  x Khi phương trình cho tương đương với hệ sau:  xy(x  y)  30  3  x  y  35 (*) (*)  xy(x  y)  30  (x  y)  3xy(x  y)  35  xy(x  y)  30 x  y      x.y  (x  y)  125 x   y   x     y  Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = x = 2 1  x  x  Ví dụ Giải phương trình: Giải: Điều kiện:  x      x  u 0u Đặt   x  v  1,0  v   1  u  v   u  v    Ta đưa hệ phương trình sau:  u  v     v   v         Giải phương trình thứ 2: (v  1)   v    , từ tìm v thay vào 2  2 tìm nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình sau: x   x   22 PHÂN DẠNG MỘT SỐ PT VÔ TỈ THƯỜNG GẶP TRONG CTPT Giải: Điều kiện: x  Đặt a  x  1, b   x  1(a  0, b  0) ta đưa hệ phương trình sau: a  b   (a  b)(a  b  1)   a  b    a  b   b  a  11  17 Vậy x     x   x    x  x   2x  2x   Ví dụ Giải phương trình: 5 x 5 x Giải Điều kiện: 5  x  Đặt u   x , v   y  u, v  10   (u  v)2  10  2uv u  v  10   Khi ta hệ phương trình:  4 2 8     2(u  z )  (u  v) 1     u v  uv   Bài tập vận dụng Giải phương trình : 1)(ĐH-A’09) 23 3x    5x   2)  x   x  ĐS : x=-2 ĐS: x = -6; x = 3) 12  x  14  x  ĐS: x = -15; x = 13 Dạng 2: Đưa phương trình cho hệ đối xứng loại hai ( phương trình chữa bậc lũy thừa bậc 2)  Ta tìm nguồn gốc tốn giải phương trình cách đưa hệ đối xứng loại II   x  1  y   Ta xét hệ phương trình đối xứng loại II sau :    y  1  x  (1) (2) việc giải hệ đơn giản Bây giời ta biến hệ thành phương trình cách đặt y  f  x  cho (2) , y  x   , ta có phương trình :  x  1  ( x   1)   x2  x  x  Vậy để giải phương trình : x  x  x  ta đặt lại đưa hệ 23 PHÂN DẠNG MỘT SỐ PT VÔ TỈ THƯỜNG GẶP TRONG CTPT   x     ay  b Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc :  , ta xây  y    ax  b     dựng phương trình dạng sau : đặt  y    ax  b , ta có phương a  ax  b  b  trình :  x       a  n Tương tự cho bậc cao :  x     n ax  b  b    Tóm lại phương trình thường cho dạng khai triển ta phải viết dạng : n  x     p n a ' x  b '   v đặt  y    n ax  b để đưa hệ , ý dấu  ??? Việc chọn  ;  thông thường cần viết dạng :  x     p n a ' x  b '   chọn Ví dụ1: Giải phương trình: n x  = 8x2 + 8x - Giải: ĐKXĐ: x  -2 * Nhận xét: Phương trình chứa thức số thức bậc đa thức vế phải Điều gợi ta nghĩ đến việc đưa hệ đối xứng kiểu * Bước 1: Biến đổi vế phải thành luỹ thừa có số mũ số thức vế trái x  = 8x2 + 8x - = 2(2x + 1)2 - (*) * Bước 2: + Chọn biểu thức chứa ẩn phụ Biểu thức chứa ẩn phụ thiết lập từ số luỹ thừa vế phải cách thay ẩn phương trình ẩn phụ + Thành lập đẳng thức mà vế biểu thức chứa ẩn phụ vế thức + Cụ thể:  Chọn ẩn phụ y Cơ số luỹ thừa vế trái kết bước (2x + 1) Thay ẩn x ẩn phụ y ta có biểu thức chứa ẩn phụ (2y + 1)  Ta có đẳng thức 2y + = x2 * Bước 3: Thành lập hệ phương trình đối xứng kiểu 24 (**) PHÂN DẠNG MỘT SỐ PT VÔ TỈ THƯỜNG GẶP TRONG CTPT Từ điều kiện ta dễ dàng suy hệ : (2y  1)2  x     (2x  1)  y  (1) (2) Đây hệ phương trình đối xứng kiểu Giải hệ ta  Nếu x = 1  y = x, y thoả mãn (**) nên x = nghiệm 4  Nếu x = -1  y = -1 x, y không thoả mãn (**) nên loại + Thay y = - 4x  vào (2) ta có: 16x2 + 20x + =  x =  Nếu x = 5  21 5  21 x = 8 5  21 loại khơng thoả mãn (**) Vậy phương trình có hai nghiệm x = 5  21 x = Giải phương trình: x  x  2 x  Ví dụ2: Giải: Điều kiện: x  Ta có phương trình viết lại là: ( x  1)2   2 x   x  x  2( y  1) Đặt y   x  ta đưa hệ sau:   y  y  2( x  1) Trừ hai vế phương trình ta ( x  y)( x  y)  Giải ta tìm nghiệm phương trình là: x   Kết luận: Nghiệm phương trình {1  2;  3} Ví dụ 3: Giải phương trình: x  x   x  Giải Điều kiện x   Ta biến đổi phương trình sau: x2  12 x   x   (2 x  3)2  x   11 25 PHÂN DẠNG MỘT SỐ PT VÔ TỈ THƯỜNG GẶP TRONG CTPT Đặt y   x  ta hệ phương trình (2 x  3)  y   ( x  y )( x  y  1)  sau:  (2 y  3)  x  Với x  y  x   x   x   Với x  y 1   y   x  x   Bài tập vận dụng Giải phương trình sau: x 5 5 1) x2 + 2) x3 - ĐS: x = 3x    21  17 ; x 2 ĐS: x = - 1; x = 3) x   x  x  4) x2 + ĐS: x = vµ x = x7   29 PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Dạng : f(x) = g(x) , trongđó y = f(x) hàm số ln đồng biến (a;b), hàm số y=g(x) hàm số nghịch biến (a;b) ( hàm số y=g(x) hàm hằng) ngược lại Khi phương trình cho có nghiệm nghiệm Ví dụ: (ĐH-A’07)tìm m để phương trình sau có nghiệm thực x   m x   24 x  Giải : phương trình cho cho  3 Đặt: t  x 1 x 1 x 1 x 1  24 x 1 x 1  m (1) , (1) trở thành : -3t2+2t=m (2) Vì t  x 1   x 1 x    t  Hàm số : f (t )  3t  2t ,0  t  có bảng biến thiên: x 1 t o f/(t) + - f(t) -1 Phương trình cho có nghiệm  (2) có nghiệm t  0;1  1  m  13 26 PHÂN DẠNG MỘT SỐ PT VÔ TỈ THƯỜNG GẶP TRONG CTPT Dạng : Dạng f(u) = f(v) , hàm số: y = f(x) hàm số đồng biến ln nghịch biến Khi ta có: f(u) = f(v)  u = v *) Chứng minh : Ta thấy f(u) g(v) có dạng giống nhau, khác phần chữ ( cách đặt tên biến) Do ta coi hai hàm số y= f(u) y = f(v) +) xét hàm số y = f(x) ,khơng tính tổng qt ta giả sử hàm số ln đồng biến : -) f(u) > f(v)  u > v -) f(u) < f(v)  u < v Vậy: f(u) = f(v)  u = v *) Ví dụ : giải phương trình Giải: +) tập xác định: D = R +) Viết (1) dạng: x  x  x   x   x  x   (1 ) x  x2  x   x  x   ( x  1)  ( x  1)   x  (2 ) +) Xét hàm số: y = f(x) = x  x2  x   x D = R +) Ta có: y’ = x2  x   2x  x  x  x  x  x  1 +) nhận thấy :2 x2  x   x   (2 x  1)2   x   x   (2 x  1)  0, x +) Do : y’ > ,  x  R +)vậy (2 )  f(x) = f(x + 1)  x = x +  = ( vơ lí) *) tóm lại phương trình cho vơ nghiệm Bài tập vận dụng: 1) (ĐH.B’04) Xác định m để phương trình sau có nghiệm:   m 1 x2  1 x2   1 x4  1 x2  1 x2 ĐS:   m  2)(ĐH.A’08) Tìm giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm thực phânbiệt: x  x  24  x   x  m ( m  R ) ĐS: 2(4  )  m  3(4  ) Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 27 PHÂN DẠNG MỘT SỐ PT VÔ TỈ THƯỜNG GẶP TRONG CTPT 1/ 3x+1  2/ 5x   3/ x+2  x 3 7x+2  2x-1  x  x+1  2x +1  2x x2  x  / log ( )  x  3x+2 2x  4x+5 Giải: 1) Với toán giải theo cách bình thường bình phương hay đặt ẩn phụ gặp nhiều khó khăn Tuy nhiên, tinh ý chút em thấy VT hàm đồng biến x=1 nghiệm phương trình nên theo định lí ta có x=1 nghiệm Vậy ta có cách giải sau   57  ;     Tập xác định: D   Xét hàm số f (x)  3x+1  x  7x+2 , ta có f(x) hàm liên tục D 1 7x+2  f '(x)   3x+1 x+ 7x+2 nên hàm số f(x) đồng biến D Mặt khác, ta thấy f(1)=4 *Nếu x > suy f(x) > f(1) = nên pt vô nghiệm *Nếu x < suy f(x) < f(1) = nên pt vô nghiệm Vậy x=1 nghiệm phương trỡnh cho Chú ý: * Với hàm số y=ax+b với a > hàm đồng biến f(x) hàm đồng biến hàm n f (x) ( với điều kiện thức tồn tại) hàm đồng biến nên ta dẽ dàng nhận VT phương trình hàm đồng biến * Khi dự đốn nghiệm ta ưu tiên giá trị x cho biểu thức dấu nhận giá trị số phương 2) Với tốn dùng phép biến đổi tương đương hay đặt ẩn phụ gặp khó khăn theo ý ta dễ dàng nhận thấy VT phương trình hàm đồng biến phương trình có nghiệm x =1 Do phương trình có nghiệm x=1 ( Các giải tương tự 1) 28 PHÂN DẠNG MỘT SỐ PT VÔ TỈ THƯỜNG GẶP TRONG CTPT 3) Với đường lối hai khó khăn để giải tốn Tuy nhiên nhìn kĩ ta thấy biểu thức dấu hai vế có chung mối liên hệ x+2=(x+1)+1 2x2+1=(2x2)+1, đặt x   u; v  2x phương trình cho trở thành: u   u  v   v  f (u)  f (v) f (t)  t   t hàm liên tục có f '(t)  t2 (t  1)2   nên f(t) đồng biến Do  x 1 f (u)  f (v)  u  v  2x  x     x  1  Vậy phương trình có nghiệm x =1, x =-1/2 10 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HỐ *)Trong phương trình vơ tỉ nếu: +) ẩn x   a; a , a > Ta đặt: x = acost, với t  0;  ;   ;   2 hay đặt : x = aSint , với t     ;   2  +) ẩn x ta đặt: x = tgt ,với t    *) Nhờ sử dụng công thức lượng giác mà việc khử trổ nên thuận lợi   Ví dụ Giải phương trình sau: :   x (1  x)3  (1  x)3    x ) Giải: -) Tập xác định: D =   1;1  -) Đặt: x = Cost , t  0;  -) Khi (1 ) trở thành:   Cos 2t  (1  Cost)   (1  Cost )3    Cos 2t t t  t t   Cos ) 2 (Cos  Sin )   S int 2  2  1  2Cost (1  S int)   S int 2  2Cost  (vì + S int > 0,  t ) 1  Cost  x 2  ( Sin +) phương trình có nghiệm là: x = Bài tập vận dụng: 29 giải phương trình sau: (1 PHÂN DẠNG MỘT SỐ PT VƠ TỈ THƯỜNG GẶP TRONG CTPT 1) x3 + (1  x )3  x  x ĐS: x = x =    2  2 2) x  3x   x (HVQHQT- 2001) 3) x   x  ĐS: x = x = 11 SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC VEC TƠ Phương pháp thường dùng để giải phương trình vơ tỷ mà biểu thức dấu viết dạng tổng bình phương Vídụ :Giải phương trình : x  x  + x  x  =2 Nhận xét : phương trình cho viết lại : 3 ( x  )  ( ) + ( x  )  ( ) =2 2 2 (*) Phương trình viết lại gợi cho ta liên tưởng đến công thức ? Giải :Với hệ trục toạ độ cho trước đặt M(x ;0) ; A( 1  ; ) ;B( ; ) 2 2 Từ phương trình (*) ta suy MA+MB=AB suy A,B,M thẳng hàng Suy x=0 nghiệm phương trình Bài tập vận dụng: 1) giải phương trình sau: x x    x  x2  ĐS:x = x= + 2) Tìm tất giái trị a để phương trình sau có nghiệm: 4x2  2x   4x2  2x   a 30 PHÂN DẠNG MỘT SỐ PT VÔ TỈ THƯỜNG GẶP TRONG CTPT C KẾT LUẬN Với đề tài này, qua thực tế dạy học thấy học sinh tiếp thu nhanh làm hứng thú ,phát huy tính tích cực , tự giác , chủ động sáng tạo học sinh giúp cho người học khả biến q trình « học tập » thành q trình « tự học tập » Hi vọng đề tài giúp em học sinh vững vàng viêc giải phương trình vơ tỉ chương trình phổ thơng chuẩn bị tham gia kì thi ĐH- CĐ THCN Trên số kinh nghiệm mà thân rút q trình dạy học mơn tốn Vì thời gian kinh nghiệm cịn hạn chế, khơng tránh khỏi thiếu sót hạn chế , mong góp ý q thầy giáo, bạn đồng nghiệp em học sinh để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! 31 PHÂN DẠNG MỘT SỐ PT VÔ TỈ THƯỜNG GẶP TRONG CTPT TÀI LIỆU THAM KHẢO 1/ Nguyễn Thái Hoè, Dùng ẩn phụ để giải toán, NXBGD, 2004 2/ Phan Huy Khải, Toán nâng cao cho học sinh Đại số THPT tập 1, NXBHN, 2001 Trần Phương , Bài giảng trọng tâm ơn luyện mơn tốn, 3/ NXBĐHQGHN,2009 4/ Pạm Văn Điều, Một số pp chọn lọc giải toán sơ cấp , NXBĐHQGHN,2000 5/ Tuyển chọn đề thi ĐH-CĐ từ năm 2000-2010 6/ Sách bồi dưỡng đại số 10 – NXB Hà Nội (Ngồi tơi cịn tham khảo nhiều tài liệu đồng nghiệp tác giả khác) 32 PHÂN DẠNG MỘT SỐ PT VÔ TỈ THƯỜNG GẶP TRONG CTPT MỤC LỤC Trang PHƯƠNG PHÁP LUỸ THỪA …………… 10 11 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ……………………………… PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH …… 15 PHƯƠNG PHÁP GIẢN ƯỚC 17 PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI… 18 PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP……………… 19 PHƯƠNG PHÁP NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ…………………… 20 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ………………………………… 22 PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 27 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ……………………… 30 SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC VEC TƠ……………… 31 Tam phước, ngày 20 tháng năm 2013 Người thực Trịnh Thị Trang 33 PHÂN DẠNG MỘT SỐ PT VÔ TỈ THƯỜNG GẶP TRONG CTPT SỞ GDĐT ĐỒNG NAI 34 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT PHÂN DẠNG MỘT SỐ PT VÔ TỈ THƯỜNG GẶP TRONG CTPT Đơn vị : THPT TAM NAM PHƯỚC Độc lập - Tự - Hạnh phúc Biên hòa , ngày 22 tháng năm 2013 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2012-2013 Tên sáng kiến kinh nghiệm: PHÂN DẠNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ THƯỜNG GẶP Họ tên tác giả: TRỊNH THỊ TRANG Đơn vị (Tổ): TỐN – TIN HỌC Lĩnh vực: Quản lí giáo dục  Phương pháp dạy học môn:  Phương pháp giáo dục  Lĩnh vực khác:  Tính  - Có giải pháp hồn tồn - Có giải pháp cải tiến, đổi từ giải pháp có  Hiệu - Hoàn toàn triển khai áp dụng tồn ngành có hiệu cao  - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng ngành có hiệu cao  - Hoàn toàn triển khai áp dụng đơn vị có hiệu cao  - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng đơn vị có hiệu  Khả áp dụng - Cung cấp luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, sách: Tốt  Khá  Đạt  - Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ vào sống: Tốt  Khá  Đạt  - Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng: Tốt  Khá  Đạt  XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN (Ký tên ghi rõ họ tên) THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (ký tên, ghi rõ họ tên đóng dấu) TRẦN THỊ THANH HƯƠNG Hoàng Thị Hương 35 PHÂN DẠNG MỘT SỐ PT VÔ TỈ THƯỜNG GẶP TRONG CTPT 36