SKKN kĩ THUẬT sử DỤNG bất ĐẲNG THỨC CAUCHY KHI GIẢI các bài TOÁN

36 631 0
SKKN kĩ THUẬT sử DỤNG bất ĐẲNG THỨC CAUCHY KHI GIẢI các bài TOÁN

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Gv:Nguyễn Kiều Linh SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị: Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Mã số: ……………… SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KĨ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN Người thực hiện: Nguyễn Kiều Linh Lĩnh vực nghiên cứu: Quản lý Giáo dục Phương pháp giảng dạy môn : Toán Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác Sản phẩm đính kèm:  Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh      Hiện vật khác: Đĩa CD Rom Năm học 2012-2013 Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy giải toán Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Gv:Nguyễn Kiều Linh SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I THÔNG TIN CÁ NHÂN: Họ tên : Nguyễn Kiều Linh Ngày tháng năm sinh : 01-08-1987 Nam, nữ: Nam Địa : Tổ 31- Ấp 3- Xã Hiệp Phước - Huyện Nhơn Trạch- Tỉnh Đồng Nai Điện thoại : + Cơ quan: + Di động:0986892792 Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác : Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: - Học vị ( trình độ chuyên môn nghiệp vụ) cao nhất: Đại học Sư phạm Chuyên ngành: Toán học Năm nhận : 2011 III KINH NGHIỆM KHOA HỌC: - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : năm Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy giải toán Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Gv:Nguyễn Kiều Linh “ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY KHI GẢI CÁC BÀI TOÁN ” PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU A LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Bất đẳng thức nội dung khó chương trình THPT, có mặt hầu hết môn toán sơ cấp đóng vai trò quan trọng.Tuy nhiên bất đẳng thức khó định hướng giải đòi hỏi ta cần phải nhớ thêm bất đẳng thức phụ khó nhớ.Gần học sinh hướng giải lúng túng gặp loại toán toán đơn giản - Bất đẳng thức câu khó đề thi ĐH nằm gần kì thi học sinh giỏi cấp nước thời lượng học lại sơ sài làm cho học sinh chưa hiểu sâu - Chính lí viết đề tài nhằm cung cấp thêm cho hoc sinh đồng nghiệp kiến thức kĩ giải toán bất đẳng thức, nhiên vấn đề khó rộng nên chọn viết bất đẳng thức Cauchy.Vì bất đẳng thức quan trọng thông dụng mà em hoc sinh học trường phổ thông B NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG: -Trong xu đổi phương pháp dạy học Bộ Giáo dục đào tạo năm vừa qua phương pháp tạo cho học sinh có khả tư từ số toán để từ học sinh tự nghiên cứu, tìm tòi, sáng tạo “Biến lạ thành quen” giáo viên ý Bộ khuyến khích Vì hầu hết giáo viên chọn phương pháp giảng dạy theo chuyên đề mảng kiến thức trường phổ thông C.NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU: 1) Tìm hiểu việc giải số toán thông qua học sinh: -Qua thời gian công tác trường, nhận thấy việc hình thành chùm toán thông qua hay số toán học sinh hạn chế -Hầu hết việc tự đọc sách giáo khoa sách tham khảo em ít, khả tự thay đổi điều kiện toán để hình thành toán học sinh lúng túng, bỡ ngỡ Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy giải toán Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Gv:Nguyễn Kiều Linh 2) Tìm hiểu phương pháp giáo viên vận dụng: -Qua thời gian tìm hiểu trao đổi, hầu hết giáo viên trường vận dụng phương pháp mới, tích cực, phát huy tính tích cực học việc hình thành chùm toán từ toán Tuy nhiên việc vận dụng cách có hiệu gặp nhiều khó khăn D CƠ SỞ LÝ LUẬN: I TÁC DỤNG CỦA BÀI TẬP TOÁN HỌC Phát huy tính tích cực, sáng tạo học sinh Giúp học sinh hiểu rõ khắc sâu kiến thức Hệ thống toán kiến thức học: số đáng kể tập đòi hỏi học sinh phải vận dụng tổng hợp kiến thức nhiều nội dung Dạng tập tổng hợp học sinh phải huy động vốn hiểu biết nhiều chương Cung cấp kiến thức mới, mở rộng hiểu biết học sinh.Rèn luyện số kỹ năng, kỹ xảo, kỹ giải loại tập khác Phát triển tư duy: học sinh rèn luyện thao tác tư như: phân tích, tổng hợp, so sánh, quy nạp, diễn dịch Giúp giáo viên đánh giá kiến thức kỹ học sinh Học sinh tự kiểm tra biết lỗ hổng kiến thức để kịp thời bổ sung Rèn cho học sinh tính kiên trì, chịu khó, cẩn thận, xác khoa học Làm cho em yêu thích môn, say mê khoa học (những tập gây hứng thú nhận thức) II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP - Phương pháp giải toán hình học không gian - Phương pháp giải hệ phương trình, bất phương trình - Phương pháp phân tích tổng hợp Và nhiều phương pháp khác Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy giải toán Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Gv:Nguyễn Kiều Linh III MỘT SỐ LƯU Ý ĐỂ GIÚP HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP TỐT - Nắm lý thuyết - Nắm dạng tập Nhanh chóng xác định tập tập cần giải thuộc dạng - Nắm số phương pháp giải thích hợp với dạng tập Nắm bước giải tập nói chung dạng tập nói riêng - Biết số thủ thuật phép biến đổi toán học, cách giải phương trình hệ phương trình bậc 1, IV NHỮNG CHÚ Ý KHI CHỮA BÀI TẬP Xác định rõ mục đích tập, mục đích tiết tập - Ôn tập kiến thức gì? - Bồi dưỡng kiến thức bản? - Bổ sung kiến thức bị thiếu hụt ? - Hình thành phương pháp giải với dạng tập đó? Chọn chữa tập tiêu biểu, điển hình, tránh trùng lập kiến thức dạng tập Chú ý bài: - Có trọng tâm kiến thức toán học cần khắc sâu - Có phương pháp giải - Dạng quan trọng, phổ biến, hay thi Phải nghiên cứu chuẩn bị trước thật kỹ càng: -Tính trước kết Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy giải toán Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Gv:Nguyễn Kiều Linh -Giải nhiều cách khác -Dự kiến trước sai lầm học sinh hay mắc phải Giúp học sinh nắm phương pháp giải tập bản: - Chữa mẫu thật kỹ - Cho tập tương tự nhà làm (sẽ chữa vào sau) - Khi chữa tập tương tự có thể: + Cho học sinh lên giải bảng + Chỉ nói hướng giải, bước đáp số + Chỉ nói điểm cần ý - Ôn luyện thường xuyên Dùng hình vẽ sơ đồ giải tập có tác dụng: - Cụ thể hoá vấn đề, trình trừu tượng - Trình bày bảng ngắn gọn - Học sinh dễ hiểu - Giải nhiều tập khó Dùng phấn màu cần làm bật chi tiết đáng ý: - Phần tóm tắt đề - Viết kết toán… Tiết kiệm thời gian: - Đề photo phát cho học sinh, viết trước bảng, bìa cứng Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy giải toán Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Gv:Nguyễn Kiều Linh - Tận dụng tập sách giáo khoa, sách tập - Không sa đà vào giải đáp thắc mắc không cần thiết Gọi học sinh lên bảng - Những đơn giản, ngắn gọn gọi học sinh nào, nên ưu tiên học sinh trung bình, yếu - Những khó, dài nên chọn học sinh giỏi - Phát nhanh lỗ hổng kiến thức, sai sót học sinh để bổ sung, sửa chữa kịp thời Chữa tập cho học sinh yếu - Đề yêu cầu vừa phải - Đề cần đơn giản, ngắn gọn, sử lý số liệu - Không giải nhiều phương pháp - Tránh khó học sinh không hiểu - Bài tương tự cho khác chút - Nâng cao trình độ dần bước 10 Sửa tập với lớp có nhiều trình độ khác V CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TẬP TRÊN LỚP 1.Tóm tắt đầu cách ngắn gọn bảng 2.Xử lý số liệu dạng thô thành dạng (có thể làm bước trước tóm tắt đầu bài) 3.Gợi ý hướng dẫn học sinh suy nghĩ tìm lời giải: Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy giải toán Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Gv:Nguyễn Kiều Linh - Phân tích kiện đề từ cho ta biết - Liên hệ với tập giải - Quy luận ngược từ yêu cầu toán 4.Trình bày lời giải 5.Tóm tắt, hệ thống vấn đề cần thiết, quan trọng rút từ tập (về kiến thức, kỹ năng, phương pháp) VI XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP Lựa chọn tập tiêu biểu, điển hình Biên sọan hệ thống tập đa cấp để tiện cho sử dụng - Sắp xếp theo dạng toán - Xếp theo mức độ từ dễ đến khó - Hệ thống tập phải bao quát hết kiến thức bản, cốt lõi cần cung cấp cho học sinh.Tránh bỏ sót, trùng lặp, phần qua loa, phần kỹ Bài tập học kỳ,một năm học phải kế thừa nhau, bổ sung lẫn Đảm bảo tính phân hoá, tính vừa sức với ba loại trình độ học sinh Đảm bảo cân đối thời gian học lý thuyết làm tập E MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI - Từ lý chọn đề tài, từ sở thực tiễn giảng dạy trường THPT, với chút kinh nghiệm thời gian giảng dạy, tổng hợp , khai thác hệ thống hoá lại kiến thức thành chuyên đề: “KĨ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN’’ Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy giải toán Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Gv:Nguyễn Kiều Linh - Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh nhìn tổng quát số phương pháp để giải Học sinh nhận dạng trình bày toán trình tự, logic Hy vọng đề tài nhỏ giúp em học sinh có nhìn toàn diện, hiểu rõ chất nắm kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy để giải toán từ đơn giản phức tạp F NHIỆM VỤ- YÊU CẦU CỦA ĐỀ TÀI: - Xuất phát từ lý chọn đề tài, chuyên đề thực nhiệm vụ: Giúp cho giáo viên thực tốt nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư logic kỹ phân tích để đến hướng giải thích hợp gặp toán bất đẳng thức từ phức tạp đưa dạng đơn giản, giải cách dễ dàng Muốn người giáo viên phải hướng cho học sinh biết dạng toán phương pháp phân tích toán - Yêu cầu chuyên đề: Nội dung, phương pháp rõ ràng, không phức tạp phù hợp với đối tượng học sinh trường THPT, có sáng tạo đổi Giới thiệu dạng phương trình bản, đưa giải pháp số ví dụ minh hoạ - Đề tài dùng cho đối tượng hs trung bình,khá, giỏi,bồi dưỡng học sinh giỏi làm tài liệu tham khảo cho thầy cô giảng dạy môn Toán -Trong đề tài sử dụng bất đẳng thức Cauchy để giải (mặc dù ta sử dụng bất đẳng thức khác chẳng hạn Cauchy-Schwarz để giải ngắn gọn) với mục đích giúp em hs hiểu rõ bất đẳng thức Cauchy G.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: 1)Phương pháp: - Nghiên cứu lý luận chung - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học - Tổng hợp so sánh, rút kết kinh nghiệm 2)Cách thực hiện: Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy giải toán Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Gv:Nguyễn Kiều Linh - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên môn - Liên hệ thực tế nhà trường, áp dụng rút kinh nghiệm qua trình giảng dạy H.ĐỐI TƯỢNG VÀ CƠ SỞ NGHIÊN CỨU: 1) Đối tượng: Học sinh khối khối 2) Cơ sở nghiên cứu: Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm PHẦN II NỘI DUNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 1.Dạng Tổng Quát: Cho n số a1 , a2 , , an  ta có: a1  a2   an n  a1a2 an n  a1  a2   an  n n a1a2 an  a  a   an     a1a2 an (n  2) n   n 2.Dạng cụ thể thường gặp(2 số, số) Cho a, b  ta có : 1) a  b  ab  ab 2)    ab   Cho a, b, c  Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy giải toán 10 Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Gv:Nguyễn Kiều Linh Tuy nhiên với cách giải phía để bạn hiểu rõ kĩ thuật dùng bđt cauchy.Các bạn thử làm 12 13 kết hợp phương pháp tọa độ thử xem a, b, c  Tìm giá trị lớn P  a  b  b  c  c  a a  b  c  Bài 15.Cho  Giải Ta đoán dấu xảy a  b  c   a  b  b  c  c  a  Ta có 22 22 22 P  a  b  b  c  c  a  ( a  b)  (b  c)  (c  a) 33 33 33 2 2 2 ab  ab  ab  9 33 33 3  2(a  b  c)   18 3 4 4 Vậy GTLN 18 a=b=c= ta phải áp dụng bđt với số a, b, c  Tìm giá trị lớn P  a  b  b  c  c  a (các bạn tự a  b  c  Bài 16  giải) a, b, c, d  Tìm GTLN a  b  c  d  Bài 17  P  abc  bcd  cd a  d a b (các bạn tự giải) a, b, c  1 1 Bài 18  Tìm giá trị lớn P  2    (các bạn tự a b c ab bc ca a  b  c  giải) Bài 19.Cho a, b, c  CMR a3  b3  c3  a bc  b2 ca  c ab Giải Ta có : a  a  a  a  b  c  a12b3c3  6a bc 3 3 3 Tương tự : a3  b3  b3  b3  b3  c3  6 a3b12c3  6b ac a3  b3  c3  c3  c3  c3  6 a3b3c12  6c ab  6(a3  b3  c3 )  (a bc  b ca  c ab )  a3  b3  c3  a bc  b2 ca  c ab Dấu xảy a=b=c Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy giải toán Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Gv:Nguyễn Kiều Linh  x, y , z  CMR : x  y  z  xyz x  y  z  Bài 20  Giải Ta thấy dấu xảy x  y  z  ,vế phải xuất xyz bậc vế trái bậc cần bổ sung cho bậc chúng nhau.vì x+y+z=1 nên xyz ghi lại (x+y+z)xyz Vậy ta cần CM : x  y  z  ( x  y  z ) xyz x  x  y  z  4 x8 y z  x yz Ta có : x  y  y  z  4 x y z  xy z Tương tự : x  y  z  z  4 x y z  xyz  4( x  y  z )  4( x yx  xy z  xyz )  4( x  y  z ) xyz  xyz  x  y  z  xyz Dấu xảy x=y=z= a, b, c  Bài 21  a  b  c  12 2 Tìm GTLN P  a b2  c  b c  a  c a  b2 Giải Ta dự đóa dấu xảy x=y=z=2  a  b  b  c  c  a  2a  2b  2c  Pa b2  c2  b c2  a2  c a2  b2  a (b  c )  b (c  a )  c (a  b ) Ta gặp khó khăn xuất bậc mà ta lai cần bậc 2.Ta để ý làm sau : P  c (a  b )2  b6 (c  a )2  a (b  c )2 16 1 (2c )3 (a  b )  (2b )3 (c  a )  (2a )3 (b  c ) 2 2 2 2 6c  2a  2b  6b  2c  2a  6a  2b  2c     6  (10a  10b2  10c  24)  12 12  Dấu xảy a=b=c=2 Bài 22.Cho a, b ,c >0.CMR a2 b2 c2 abc    bc ca ab Giải Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy giải toán Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Gv:Nguyễn Kiều Linh Ta thấy dấu xảy a=b=c.Ta cần áp dụng cho xuất vế phải, nhận thấy mẫu số VT gần giống với VP.Vì ta áp dụng cho làm mẫu số VT xuất điều cần CM VP Ta có: a2 bc a2 b  c  2 a bc bc b2 ca b2 c  a  2 b Tương tự ca ca c2 ab c2 a  b  2 c ab ab a2 b2 c2 abc    Cộng vế theo vế thu gọn ta được: bc ca ab Dấu xảy a=b=c Nếu có thêm giả thiết abc=1 ta có kết quả: a2 b2 c2 a  b  c 3 abc      bc ca ab 2 x y z Với kết đặt a  , b  , c   abc  xyz  Và ta có toán Olympic toán quốc tế 1995 sau: 1    x ( y  z ) y ( z  x) z ( x  y ) Bài 23.Cho a, b, c  CMR 1    a b c abc Giải Ta tiếp tục thấy dấu xảy a=b=c 1 3   3   a b c abc  a  b  c  a  b  c     1 Chú ý:bđt ghi lại (a  b  c)(   )  có dạng tổng quát là: a b c 1 (a1  a2   an )(    )  n a1 a2 an Dấu xảy a=b=c Bài 24.Cho a, b, c  CMR (a  b  c)( 1   ) ab bc ca Giải Ta có: Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy giải toán Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm (a  b  c)( Gv:Nguyễn Kiều Linh 1 1 1 1   )  [(a  b)  (b  c)  (c  a )](   )   ab bc ca ab bc ca 2 ( Theo kết 23) Dấu xảy a=b=c Bài 25.Cho a, b, c  CMR a b c    bc ca ab Giải a b c a b c     1 1 1   bc ca ab bc ca a b abc bca ca b 1        (a  b  c)     bc ca ab  ab bc ca  Đây rõ ràng lại kết 24 vừu CM Dấu xảy a=b=c  x, y , z  CMR  x  y  z  xyz Bài 26.Cho  1) x  y  z  3 2) xy  yz  zx  Giải 1) x  y  z  3 xyz  ( x  y  z )  27 xyz  27( x  y  z )  x  y  z  3 x y z x y z 2) xy  yz  zx  xyz (   )  ( x  y  z )(   )  (theo kết 23) Dấu xảy x=y=z= a, b, c  1 CMR : a  b  c     10 a b c a  b  c  Bài 27.Cho  Giải Ta có: abc 1  1 1  8     a  b  c          a b c  9a 9b 9c   9a 9b 9c  1 1 1    6 abc 2 9a 9b 9c 9a 9b 9c 1 8 Và theo kết 23ta có: (   )  a b c abc 1 1  a  b  c     10 Dấu xảy x=y=z= a b c Mà: a  b  c  Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy giải toán Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Gv:Nguyễn Kiều Linh a, b, c  1  Bài 28.Cho  a b c CMR : a  b  c     10 a b c  bc  ca  ab  Giải a b a b  2  bc ca bc ca c b c b c  Tương tự:   ca ab ca ab a a b a b  2  bc ca bc ca c Ta có:  2 c  1  a b c   a b    2             a b c a a a  bc ac ab   bc ac ab  Kết hợp 27 ta có ĐPCM Dấu xảy x=y=z= a, b, c  1  Bài 29.Cho  CMR : a  b  c     10 a b c ab  bc  ca  Giải 1 Ta có:  ab  bc  ca  3 ab.bc.ca  3 (abc)  abc  27 ab  bc  ca 1 8            (1) abc a b c a b c 27 1 1 1  (2) Và : a  b  c     6 abc 9a 9b 9c 9a 9b 9c Cộng (1) (2) ta có ĐPCM Dấu xảy x=y=z=  x, y   Bài 30(Dự Bị ĐH khối A 2002)Cho  Tìm GTNN P   x 4y  x  y  Giải Ta cần làm xuất x+y để sử dụng giả thiết, nhận thấy mẫu số có chứa 4y ta cần phân tích sau dùng bđt để tạo 4x Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy giải toán Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Gv:Nguyễn Kiều Linh Ta x 5 25   5 x.x.x.x.4 y  x  x  x  x  y  4( x  y )     x  y x       Dấu xảy   y  x  y     x, y , z  1  Bài 31(ĐH khối A 2005)Cho  1 CMR   1    x  y  x x  y  z x  y  z x y z  có : P   1 1 1       4y x x x x 4y Giải Ta cần làm xuất giả thiết để sử dụng,với dự đoán dấu x=y=z Để đảm bảo dấu ta có : 1 1 1 1 1 1     (    ) x  y  z x  x  y  z 4 x.x y.z x x y z 16 x x y z 1 1 1  (    ) Tương tự: x  y  x 16 x y y z 1 1 1  (    ) x  y  z 16 x y z z  1 1 4 1 1    (   )  (   ) 1 x  y  z x  y  z x  y  z 16 x y z x y z Dấu xảy x  y  z  Bài 32(ĐH khối D 2005).Cho  x, y , z  CMR   xyz  1  x3  y  y3  z3  z  x3   3 xy yz zx Giải Dễ dàng thấy dấu x=y=z=1 Ta có: 3 1.x3 y  x3  y 3xy    xy xy xy Tương tự:  3z (do xyz=1) xy 3 y z  y3  z3 yz    yz yz yz  3x yz 3 1.z x3  z  x3 3zx     3y zx zx zx zx Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy giải toán Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Gv:Nguyễn Kiều Linh  x3  y  y3  z  z  x3     3x  y  3z xy yz zx 3 3x y 3z  3 3 xyz  3  x, y , z  R CMR :  4x   y   z  x  y  z  Bài 33(Dự bị ĐH khối A 2005).Cho  Giải Dễ dàng thấy dấu x=y=z=0 Ta có:  4x   y   4z  3  x  y  z  (3  x )(3  y )(3  z )  (1    x )(1    y )(1    z )  4 1.1.1.4 x 4 1.1.1.4 x 4 1.1.1.4 x  24 x.4 y.4 z  24 4x y  z  Bài 34(ĐH khối B 2007)Cho x, y, z  Tìm GTNN x y z P  x(  )  y (  )  z (  ) yx zx xy Giải Cách 1: x y z 1 P  ( x  y  z )     ( x  y  z )2  zy xz xy 3 x y x  ( x  y  z)2  xyz zy xz xy 9  ( x  y  z )2  ( x  y  z )2   ( x  y  z )2   x yz 2( x  y  z ) 2( x  y  z )  x yz     3 9 ( x  y  z)2  2( x  y  z ) 2( x  y  z ) x  y  z   x  y  z 1 Dấu xảy    ( x  y  z )  2( x  y  z )  Cách  x2 x x   y2 y y   z2 z z            9  2 yz yz   2 zx zx   2 xy xy  2: P   x4 y z  4 x y z Bài 35 Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy giải toán Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Gv:Nguyễn Kiều Linh  a, b  1   25  1) Cho  CMR :  a     b    a  b  a  b  2 a, b, c  1  1   100  2) Cho  CMR :  a     b     b    a  b  b  a  b  c  2 Giải 1) Áp dụng bđt: a  b  ( a  b) 2 Ta 2 1  1 1 1 1 25  )  (1  4)  có  a     b    (a   b  )  (1   )  (1  a  b a b a b ab 2  Dấu xảy a=b= 2) Áp dụng bđt: (a  b  c) a b c  2 2 2 1  1  1 1 1 1 1 1   a     b     b     a   b   c    (1    ) a  b  b  3 a b c a b c   (1  )2  (1  9)2 abc Dấu xảy a=b=c= Với cách làm tương tự ta có toán tổng quát sau: 2   a1 , a2 , , an  1  1  (n2  1)2 Cho  CMR :  a1     a2      an    a1   a2  an  n a1  a2   an    Bài 36  a, b  1 1) Cho  CMR :  4 1 a 1 b a  b  a, b, c  1 2) Cho  CMR :    1 a 1 b 1 c a  b  c  Giải 1      (1  a)  (1  b)    1)   (vì a+b=1 áp dụng 23) 1 a 1 b  1 a 1 b  Dấu xảy a=b= 2) 1 1 1       (1  a )  (1  b)  (1  c)      1 a 1 b 1 c  1 a 1 b 1 c  Dấu xảy a=b=c= Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy giải toán Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Gv:Nguyễn Kiều Linh Bằng cách tương tự ta có toán tổng a1 , a2 , , an  1 n2 Cho  CMR :      a1  a2  an n  a1  a2   an  sau a, b, c  a3 b3 c3 CMR :    Bài 37 Cho  (a  b)(a  c) (b  c)(b  a) (c  a)(c  b) a  b  c  Giải Ta cần đưa giả thiết a+b+c=3, với dấu a=b=c=1 cần áp dụng cho xuất giả thiết: a3 ab ac a3 a b a c   3  a Ta có (a  b)(a  c) 8 (a  b)(a  c) 8 Tương tự: b3 bc ba b3 bc ba   3  b (b  c)(b  a) 8 (b  c)(b  a) 8 c3 ca cb c3 cb ca   3  c (c  a)(c  b) 8 (c  b)(c  a) 8 Cộng vế theo vế ta suy ra: a3 b3 c3    (a  b  c)  (a  b  c) (a  b)(a  c) (b  c)(b  a) (c  a)(c  b)  a3 b3 c3    (a  b  c)  (a  b)(a  c) (b  c)(b  a) (c  a)(c  b) 4 Bài 38 a, b, c  a3 b3 c3 Cho  CMR :   1 b(2c  a) c(2a  b) a(2b  c) a  b  c  Giải Cũng với suy luận trên, ta có: a3 b 2c  a a3 b 2c  a   3 a b(2c  a) b(2c  a) b3 c 2a  b b3 c 2a  b   3 b c(2a  b) c(2a  b) c3 a 2b  c c3 a 2(b  c)   3 c a(2b  c) a(2b  c) Cộng vế theo vế ta suy ra: a3 b3 c3    (a  b  c)  a  b  c b(2c  a) c(2a  b) a(2b  c) a3 b3 c3     ( a  b  c)  b(2c  a) c(2a  b) a(2b  c) Dấu xảy a=b=c= Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy giải toán Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Gv:Nguyễn Kiều Linh a, b, c  a3 b3 c3    Bài 39 Cho  2 CMR : b  2c c  2a a  2b a  b  c  Giải Cũng với suy luận phải làm xuất a  b  c a3  a(b  2c)  b  2c a3 a(b  2c)  a b  2c b3  b (c  a )  c  2a b3 b (c  a )  b c  2a c3  c(a  2b)  a  2b c3 c(a  2b)  c a  2b Cộng vế theo vế ta suy ra: a3 b3 c3    (ab  bc  ca)  (a  b  c ) b  2c c  2a a  2b 3 3 a b c     (a  b  c )  (ab  bc  ca ) b  2c c  2a a  2b 3 1  (a  b  c )  (a  b  c )  (a  b  c )  3 3 Dấu xảy a=b=c= Bài 40(Olympic Toán quốc tế 1990) a, b, c, d  a3 b3 c3 d3 Cho  CMR :     bcd cd a d ab abc ab  bc  cd  da  Giải a3 1  (b  c  d )  a   b  c  d 18 12 a3 1 (b  c  d ) a  a b  c  d 18 12 b3 1  (c  d  a )  b   c  d  a 18 12 b3 1 (c  d  a) b  b c  d  a 18 12 c3 1  ( d  a  b)  c   d  a  b 18 12 c3 1 (d  a  b) c  c d  a  b 18 12 d3 1  (a  b  c)  d   a  b  c 18 12 d3 1 (a  b  c) d  d a  b  c 18 12 Cộng vế theo vế ta suy ra: a3 b3 c3 d3 1     (a  b  c  d )   (a  b  c  d ) bcd cd a d ab abc 3 Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy giải toán Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Gv:Nguyễn Kiều Linh a3 b3 c3 d3 1     (a  b  c  d )  bcd cd a d ab abc 3 (a  b  c  d )  ab  bc  cd  da =1  (a  b  c  d )  Mà ta có a3 b3 c3 d3 1        bcd cd a d a b a bc 3 Dấu xảy a=b=c=d=  BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Cho x, y, z  0, x  y  z  CMR : P  yz zx xy    1 x 1 y 1 z zx xy  y  zx z  xy 1 1    Cho x, y, z  0, xyz  CMR : P  2 2 2 ( x  1)  y  ( y  1)  z  ( z  1)  x  1 Cho x, y, z  0, x  y  z   xyz Tìm MinP, P    x y z 1 Cho x, y, z  0, x  y  z  Tìm MinP, P  ( x  )( y  )( z  ) x y z x y z    Cho x, y, z  0, x  y  z  CMR : P  2x  y  z x  y  z x  y  2z Cho x, y, z  0, x  y  z  Tìm MaxP, P  x  y  y  3z  z  3x 1 Cho x, y, z  0, xyz  Tìm MaxP, P  3  3  3 x  y 1 y  z 1 z  x 1 x  y 1 y  z 1 z  x 1 Cho x, y, z  0, xyz  Tìm MaxP, P  2  2  2 x  y 1 y  z 1 z  x 1 1 10 Cho x, y, z  0, 2  2  2  CMR : P  xy  yz  zx  x  y 1 y  z 1 z  x 1 Cho x, y, z  0, x  y  z  Tìm MaxP, P  yz  x  yz  1  1  1 11 Cho x, y, z  0, xy  yz  zx  Tìm MinP, P   x     y     z   y  z  x  x y z    12 Cho x, y, z  0, CMR : P  2 2 2x  y  y  z  2z  x  xy yz zx   13 Cho x, y, z  0, x  y  z  Tìm MaxP, P  x  y  y  2z  z  x  x y yz zx   2 14 Cho x, y, z  0, CMR : P  3 3 3 z  4x  y x  y  4z y  z  x3 15 Cho x, y, z  0, xyz  CMR : P  2 x3 y3 z3     y  z  yz  z  x  zx  x  y  xy 16 Cho x, y, z  0, xy  yz  xz  Tìm MaxP, P   xy   yz   zx Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy giải toán Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Gv:Nguyễn Kiều Linh x y z   6 y 1 z 1 x 1 1 18 Cho x, y, z  0, xyz  Tìm MinP, P    x(1  y ) y (1  z ) z (1  x) 17 Cho x, y, z  1, x  y  z  CMR : P  x2 y2 z2   ( x  1)2 ( y  1)2 ( z  1)2 20 Cho x, y, z  R, x6  y  z  Tìm MaxP, P  x  y  z 21 Cho x, y, z  0, x  y  z  Tìm MaxP, P  xyz ( x  y )( y  z )( z  x) 19 Cho x, y, z  R, xyz  Tìm MinP, P  x3 y3 z3   y ( z  x) z ( x  y ) x( y  z ) x3 y3 z3 x  y  z  Tìm MinP, P    yz zx x y 1 x  y  z  Tìm MinP, P  (1  )  (1  )  (1  ) x y z x y z x  y  z  Tìm MinP, P    y z x ab bc ca x  y  z  CMR : P     c a b 22 Cho x, y, z  0, xyz  Tìm MinP, P  23 Cho x, y, z  0, 24 Cho x, y, z  0, 25 Cho x, y, z  0, 26 Cho x, y, z  0, Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy giải toán Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm PHẦN III: Gv:Nguyễn Kiều Linh KẾT LUẬN -Qua ta thấy để tư học sinh phát triển cách có hệ thống ta phải hướng dẫn cho học sinh thấy mối liên hệ giả thiết kết luận toán, việc thay đổi giả thiết làm cho hs tư duy, phân tích để sử dụng triệt để giả thiết -Trên kinh nghiệm mà thân rút thời gian công tác dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Tất nhiên thiếu sót định Rất mong nhận góp ý chân thành quý thầy cô đồng nghiệp giúp cho chất lượng dạy học môn Toán theo định hướng phát triển tư học sinh ngày đạt hiệu cao Xin chân thành cảm ơn Nhơn trạch, ngày 14 tháng 02 năm 2013 Người viết đề tài Nguyễn Kiều Linh Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy giải toán Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Gv:Nguyễn Kiều Linh Tài liệu tham khảo 1.Tạp chí toán học tuổi trẻ 2.Sáng tạo bất đẳng thức_Phạm Kim Hùng 3.Vẻ đẹp bất đẳng thức_Võ Quốc Bá Cẩn 4.Những viên kim cương bất đẳng thức toán học_Trần Phương Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy giải toán 35 Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị TRƯỜNG THPT NGUYỄN BỈNH KHIÊM Gv:Nguyễn Kiều Linh CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc Nhơn Trạch, ngày tháng năm PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2012 - 2013 Tên SKKN:“KĨ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN” Họ tên tác giả : Nguyễn Kiều Linh Đơn vị : THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Lĩnh vực : Quản lý giáo dục  Phương pháp giáo dục Phương pháp dạy học môn   Lĩnh vực khác  - Tính : Có giải pháp hoàn toàn  Có giải pháp cải tiến , đổi từ giải pháp có  Hiệu quả: Hoàn toàn triễn khai áp dụng toàn ngành có hiệu cao  Có tính cải tiến , đổi từ giải pháp có triễn khai toàn ngành có hiệu  - Hoàn toàn triễn khai áp dụng đơn vị có hiệu cao  - Có tính cải tiến , đổi từ giải pháp có triễn khai đơn vị có hiệu  Khả áp dụng : - Cung cấp luận khoa học cho việc hoạch định đường lối sách Tốt  Khá  Đạt  - Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ vào sống: Tốt  Khá  Đạt  - Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng: Tốt  Khá  Đạt  THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy giải toán 36 [...]... bằng xảy ra khi x  y  z  1 Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 2 Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khi m Gv:Nguyễn Kiều Linh Tuy nhiên với cách giải phía trên để các bạn hiểu rõ kĩ thuật khi dùng bđt cauchy. Các bạn hãy thử làm bài 12 và bài 13 kết hợp phương pháp tọa độ thử xem a, b, c  0 Tìm giá trị lớn nhất của P  3 a  b  3 b  c  3 c  a a  b  c  1 Bài 15.Cho  Giải 1 3 Ta... trong bất đẳng thức toán học_Trần Phương Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 35 Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khi m SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị TRƯỜNG THPT NGUYỄN BỈNH KHI M Gv:Nguyễn Kiều Linh CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Nhơn Trạch, ngày tháng năm PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2012 - 2013 Tên SKKN: “KĨ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC... môn Toán theo định hướng phát triển tư duy của học sinh ngày một đạt hiệu quả cao hơn Xin chân thành cảm ơn Nhơn trạch, ngày 14 tháng 02 năm 2013 Người viết đề tài Nguyễn Kiều Linh Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 3 Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khi m Gv:Nguyễn Kiều Linh Tài liệu tham khảo 1.Tạp chí toán học và tuổi trẻ 2.Sáng tạo bất đẳng thức_ Phạm Kim Hùng 3.Vẻ đẹp bất đẳng thức_ Võ...  1)   4 (vì a+b=1 và áp dụng bài 23) 1 a 1 b  1 a 1 b  1 2 Dấu bằng xảy ra khi a=b= 2) 1 1 1 1 1 1  9  1     (1  a )  (1  b)  (1  c)      1 a 1 b 1 c 2  1 a 1 b 1 c  2 1 Dấu bằng xảy ra khi a=b=c= 3 Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 2 Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khi m Gv:Nguyễn Kiều Linh Bằng cách tương tự ta có bài toán tổng a1 , a2 , , an... (1) và (2) ta có ĐPCM Dấu bằng xảy ra khi x=y=z= 1 3  x, y  0 4 1  Bài 30(Dự Bị ĐH khối A 2002)Cho  5 Tìm GTNN của P   x 4y  x  y  4 Giải Ta cần làm xuất hiện x+y để sử dụng giả thiết, nhận thấy mẫu số có chứa 4y vì vậy ta cần phân tích sau khi dùng bđt để tạo ra 4x Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 2 Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khi m Gv:Nguyễn Kiều Linh Ta 4 x 5 5 25...  b  thì 2 2  2 a b a b 1) Nếu a, b dương thỏa a 2  b 2  thì Giải 1 2 1) Dễ dàng dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b= Khi áp dụng ta luôn phải đảm bảo điều này 1 2 Ta có 2ab  a 2  b 2   1  2ab  1  0 Áp dụng bđt cauchy cho 3 số dương ta 2 có : Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 1 Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khi m Gv:Nguyễn Kiều Linh 1 1 1 3     3 1  2ab a b (1  2ab)ab... Cho x, y, z  0, Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 3 Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khi m PHẦN III: Gv:Nguyễn Kiều Linh KẾT LUẬN -Qua đó ta thấy để tư duy của học sinh phát triển một cách có hệ thống thì ta phải hướng dẫn cho học sinh thấy được mối liên hệ giữa các giả thiết và kết luận bài toán, việc thay đổi giả thiết sẽ làm cho hs tư duy, phân tích được để sử dụng triệt để giả... 10c 2  24)  12 12  Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=2 Bài 22.Cho a, b ,c >0.CMR a2 b2 c2 abc    bc ca ab 2 Giải Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 2 Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khi m Gv:Nguyễn Kiều Linh Ta thấy dấu bằng xảy ra khi a=b=c.Ta cần áp dụng sao cho xuất hiện vế phải, nhận thấy rằng mẫu số của VT gần giống với VP.Vì vậy ta sẽ áp dụng sao cho làm mất mẫu số ở VT nhưng... an Dấu bằng xảy ra khi a=b=c Bài 24.Cho a, b, c  0 CMR (a  b  c)( 1 1 1 9   ) ab bc ca 2 Giải Ta có: Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 2 Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khi m (a  b  c)( Gv:Nguyễn Kiều Linh 1 1 1 1 1 1 1 1 9   )  [(a  b)  (b  c)  (c  a )](   )  9  ab bc ca 2 ab bc ca 2 2 ( Theo kết quả bài 23) Dấu bằng xảy ra khi a=b=c Bài 25.Cho a, b, c... ab )  a3  b3  c3  a 2 bc  b2 ca  c 2 ab Dấu bằng xảy ra khi a=b=c Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán 2 Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khi m Gv:Nguyễn Kiều Linh  x, y , z  0 CMR : x 4  y 4  z 4  xyz x  y  z  1 Bài 20  Giải 1 3 Ta thấy dấu bằng xảy ra khi x  y  z  ,vế phải xuất hiện xyz là bậc 3 trong khi vế trái là bậc 4 vì vậy cần bổ sung cho bậc chúng bằng nhau.vì

Ngày đăng: 29/07/2016, 19:56

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan