SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị : Trường THPT NAM-HÀ Mã số: (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Người thực hiện: NGUYỄN VŨ KHANH Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học môn: TOÁN  - Lĩnh vực khác:  Có đính kèm: Các sản phẩm không thề in SKKN  Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác Năm học 2012 – 2013 THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - BM02-LLKHSKKN SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC _ I II III THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ tên: Nguyễn Vũ Khanh Ngày tháng năm sinh: 30 – 06 – 1963 Nam, nữ: Nam Địa chỉ: 10/3 K1 ấp Đồng Nai, xã Hoá An, Tỉnh lộ 16, Biên Hòa - Đồng Nai Điện thoại: / (NR) 0613 855 837; ĐTDĐ: 0948 935 272 Fax: E-mail: khanhnamha@yahoo.com.vn Chức vụ: TTCM Đơn vị công tác: Trường THPT Nam Hà ệp a TP n a, Đồng Nai TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị ( trình độ chuyên môn, nghiệp vụ ) cao : Cử nhân - Năm nhận : 1985 - Chuyên ngành đào tạo : Cử nhân Toán KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : giảng dạy môn Toán - Số năm có kinh nghiệm : 27 - Các sáng kiến kinh nghiệm đ có năm gần :  Vấn đề xét dấu biểu thức & ứng dụng vào giả phương trình bất phương trình  Cá t án t ếp t ến a đồ thị hàm ố  Nguyên hàm c a số hàm phân thức hữu tỉ  Khoảng cách từ đ ểm đến mặt phẳng toán hình học không gian THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - Tên sáng kiến kinh nghiệm: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: P ƯƠNG TRÌN LƯỢNG GIÁC (PTLG) ch đề thường xuyên có mặt đề th Đại học – Ca đẳng năm gần đâ Ch đề nà hưa phải câu khó tr ng đề th d trở thành câu kiếm đ ểm quan trọng Tr ng hương trình phổ thông S tạo dựng ăn ản LG HK2 c a năm lớp 10 tiếp tục với HSLG HK1 lớp 11 sau giải PTLG Kiến thức mứ độ yêu cầu nhà trường mức trung bình cao chút HS học hương trình nâng a D S ẽ gặp nhiề khó khăn kh đối diện với PTLG tr ng đề th đại học Vì vậy, chuyên đề nà viết h đố tượng HS luyện th Đ số HS giỏi khối 11 II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Thuận lợi: Bản thân tô đ ó kinh nghiệm q a năm dạy Toán Khó khăn: ọc sinh thường gặp nhiề khó khăn kh g ả P ƯƠNG TRÌN LƯỢNG GIÁC tr ng đề th Đại học III NỘI DUNG ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận : GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TỔNG QUÁT Hiển nhiên cách giải chung cho mọ phương trình lượng giác Đó ự khó khăn đồng thờ ũng ự hấp dẫn c a phương ttrình LG Vấn đề làm a để giải phương trình lượng giác tổng quát ? Trước hết ta cần nhận xét dựa nhiều yếu tố: HSLG, số đ cung, hệ số c a số hạng, PT có dạng tương tự vớ phương trình đ ết hay không ? … từ chọn hướng mở thích hợp với công thứ lượng giác thích hợp để biến đổ phương trình đ h phương trình quen thuộc phương trình dạng tích Sa đâ xin đề nghị số hướng nhận xét để tìm tòi cách giải A MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH DỄ NHẬN THẤY HƯỚNG BIẾN ĐỔI Dạng 1: Dùng công thức biến đổi tổng  tích ab a b cos 2 ab a b cos a  cos b  2sin sin 2 ab a b sin a  sin b  2sin cos 2 ab a b sin a  sin b  2cos sin 2 cos a  cos b  2cos cos  a  b   cos  a  b   2 sin a.cos b  sin  a  b   sin  a  b   sin a.sin b  cos  a  b   cos  a  b   cos a.cos b  THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - Ví dụ G ả phương trình: sin x  sin x  sin3x  sin x  sin5x  sin6 x  Giải Cần lưu ý: Pt tương đương với: Nếu gặp dạng tổng (hiệu) số hạng sinax (sin6 x  sin x)  (sin5x  sin2 x)  (sin4 x  sin3x)  (cosax) ta cần lưu ý đến 7x 5x 7x 3x 7x x  2sin cos  2sin cos  2sin cos  cung cho tổng 2 2 2 hiệu góc 7x  5x 3x x Từ xếp theo cặp  2sin  cos  cos  cos    2 2 áp dụng CT biến đổi đưa đến phương trình x  5x x 3x   sin  cos  cos   cos   dạng tích  2 2 7x 3x  4sin cos  cos x  1  2 Ví dụ G ả phương trình: sin x sin5x  sin x sin3x  sin x sin x  (1) (1)  sin x sin x  sin x sin x  sin x sin x  Hiển nhiên ta sử dụng CT biến đổi tích thành tổng 1   cos x  cos9 x    cos x  cos7 x    cos x  cos3 x   rút gọn 2  cos x  cos9 x  cos7 x  cos3 x    cos9 x  cos x    cos7 x  cos3 x    2sin x sin x  2sin x sin x   2sin x sin x  2cos x  1   sin5 x  V sin x  V cos2 x   Ví dụ G ả phương trình: cos7 x  sin8 x  cos3x  sin2x Pt tương đương vớ : (cos7 x  cos3x)  (sin8x  sin2x)   2sin5 x.sin x  2sin5 x.cos3x   sin5 x(cos3x  sin x )      sin x cos3x  cos   x    2   x   5x    ( 2)sin x.sin    sin     2 4  4 - Sắp xếp cặp theo giá trị LG áp dụng CT biến đổi tổng thành tích - Đến đâ pt đ Bài tập tương tự: Giả phương trình sau: 1) cos x  cos2 x  cos3x  cos4 x  (HVQHQT-1999) 2) ( K*) sin x  sin3x  2sin5x  3) cos x.cos3x  sin x.sin6 x  sin x.sin6 x  5x 3x 4) 4cos cos  2(8sin x  1)cos x  (CĐ-2010) 2 Dạng 2: Dùng công thức hạ bậc  cos2a  cos2a ; sin a  ; sin a.cos a  sin 2a 2 Lưu ý: Hạ bậc xuống, số đo tăng gấp đôi cos2 a  THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - Ví dụ G ả phương trình: sin2 3x  cos2 x  sin2 5x  cos2 x (B-2002) Pt tương đương vớ : ậ rút gọn ta đượ pt ó dạng (dạng dùng CT  cos6 x  cos8 x  cos10 x  cos12 x    ến đổ ) 2 2   cos6 x  cos8 x   cos10 x  cos12 x  cos12 x  cos6 x  cos10 x  cos8 x  Ví dụ G ả phương trình: sin x  sin 3x  sin x  Pt tương đương vớ : - VT có ố hạng VP ó 3/2 h àn t àn phù hợp 1 (1  cos x )  (1  cos6 x )  (1  cos10 x )  h v ệ rút gọn kh dùng 2 2 CT hạ ậ   cos x  cos6 x  cos10 x   (cos10 x  cos x )  cos6 x   2cos6 x.cos x  cos6 x   cos6 x (2cos x  1)  10 x  x  x từ ta đượ PT dạng tí h Ví dụ G ả phương trình: cos2 x  cos2 x  cos2 3x  cos2 x  PT tương đương vớ : - VT “ hỉ ó” 3/2 d ta hỉ n n hạ ậ tr ng ố (1  cos2 x   cos4 x   cos6 x )  cos2 x  hạng VT mà 2 - Lư ý  cos2 x  cos4 x  cos6 x  2cos2 x   (cos6 x  cos2 x )  cos4 x  2cos2 x   2cos4 x.cos2 x  cos4 x  2cos x  cos4 x   2cos2 x   2cos4 x  (2) 6x  2x  4x Từ ta đượ PT dạng tí h - Lư ý - Pt (2) PT ậ the cos2x 2 Ví dụ G ả phương trình: cos 3x.cos2 x  cos x  (A-2005) PT tương đương vớ : Dễ dàng nghĩ đến CT hạ ậ rút gọn a ùng 1 (1  cos6 x )cos2 x  (1  cos2 x )  nhận đượ PT ậ q en 2 th ộ  cos2 x  cos6 x.cos2 x   cos2 x   (cos8 x  cos4 x )    2cos2 x  cos4 x   Bài tập tương tự: Giả phương trình sau: x 5) 3sin x  cos2 x  sin x  2sin x.cos2 (DB2-B-2008) 2 6) cos4 x  12sin x   (CĐ-D-2011)   7) 2sin  x    2sin x  tan x 4  x  x  8) sin    tan x  cos  (D-2003) 2 4 THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 9) 2sin2 x  sin7 x   sin x (B-2007)     10) sin x  sin  x    sin  x  1  (Đ GTVT-2001) 4 4    21  11) sin x  cos x   sin    10 x  (Đ Ydược -1999)   Dạng 3: Đặt ẩn số phụ 3.1 Phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba sinx cosx: G ả phương trình: 2sin2 x  (3  3)sin x cos x  (  1)cos2 x  1 (1) - cosx = sin2x = (1)  tan x  (3  3) tan x  (  1)   x = không thỏa cos2 x Pt(1) vậ h vế a  3tan x  (3  3) tan x   pt(1) cho cos2x ta đượ pt tương đương   tan x - Thay cos x 2 Ví dụ G ả phương trình: cos x  4sin x cos x  sin x cos x  2sin3 x  (1) Vì x = không thỏa pt(1) n n h vế h x ta đượ Tương tự pt đẳng ấp pt tương đương: ậ ta h vế h cos3x tan x  tan x  tan x   Ví dụ  (tan x  1)(2 tan x  3tan x  1)  Ví dụ 10 G ả phương trình: 2cos3 x  sin x  3sin2 x.cos x  (1) Có thể Pt(1) pt gần tan x  3tan x  Pt tương đương vớ :  vớ pt đẳng ấp ậ a ta cos x 2 ó thể g ả tương tự   tan x (1  tan x )  3tan x    tan x Thay  tan3 x  3tan x  tan x   cos x  (tan x  2)(tan x  tan x  1)  Ví dụ 11 G ả phương trình: sin x  cos3 x  sin x.cos2 x  sin x.cos x (B-2008) Pt tương đương vớ : tan x   tan x  tan x  tan x  tan x  tan x    (tan x  3)(tan x  1)  Bài tập tương tự: Giả phương trình sau: 12) 2sin3 x  4cos3 x  3sin x (SBT NC lớp 11- tr 14) 13) sin3 x  sin x sin2 x  3cos3 x  14)  3tan x  2sin x (Đ CĐ-2000) 15) cos3 x  4sin3 x  3cos x sin2 x  sin x  (Đ NT-1996) 16) cos3 x  sin x  3sin2 x cos x  (Đ -1998) 17) sin x sin2 x  sin3x  6cos x (Đ Dược tpHCM-1997) 18) 2cos3 x  sin3x (HVKTQS-1996) 3.2 phương trình đối xứng bán đối xứng sinx cosx Nhận dạng: Phương trình chứa tổng (hiệu) tích sinx cosx THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - Cách giải: Đặt tổng (hiệu) t sau tính tích theo t, nhận pt bậc (hoặc bậc 3) theo ẩn phụ t G ả phương trình: (2  2)(sin x  cos x)  2sin x cos x  2  Lư ý:   Đặt t  sin x  cos x  sin  x   ,   t  ; Cần th ộ lòng ông thứ 4    Ta có t   2sin x cos x  2sin x cos x  t  Pt trở thành: sin x  cos x  sin  x   4  t  (loai ) t  (2  2)t  2      sin x  cos x  sin  x   t  ( nhan ) 4       t   sin  x     sin  x     x   k 2 4 4   Ví dụ 12 (kZ) 1 10   (S TNC lớp 11-tr 15) sin x cos x Kh đồng thờ tha nx Đ ề k ện: sin x  cos x  x x nx   10  ến đổ pt thành: (sin x  cos x )    pt không tha đổ Vậ  sin x cos x  đâ pt đố xứng đố vớ   sinx cosx D ta ến Đặt t  sin x  cos x  sin  x   ,   t  ; 4  đổ the tổng tí h a 2 sinx cosx Ta có t   2sin x cos x  2sin x cos x  t  Pt trở thành: 2 3t  10t  3t  10   (t  2)(3t  4t  5)  Ví dụ 14 G ả phương trình: (1  sin x )cos x  (1  cos2 x )sin x   sin x (A-2007) Pt tương đương vớ : Đâ pt đố xứng đố vớ 2 nx x D ta ến sin x  cos x  sin x cos x  sin x cos x   sin x đổ the tổng tí h a  (sin x  cos x )  sin x cos x(sin x  cos x )   2sin x cos x sinx cosx   Đặt t  sin x  cos x  sin  x   ,   t  ; 4  t2  Ta có t   2sin x cos x  sin x cos x  Pt trở thành: t2  t t   t   t (t  2t  1)   t  V t  Ví dụ 15 G ả phương trình: sin x  cos x  sin x cos x  Đâ ũng pt đố xứng   Đặt t  sin x  cos x  sin  x   ,  t  ; đố vớ nx x 4   t2 Ta có t   2sin x cos x  sin x cos x  Pt trở thành: t  1  t2 6t    t  12t  13    t  13(loai ) Ví dụ 13 G ả phương trình: sin x  cos x  t = suy     sin  x     2sin  x    4 4   - Dùng CT hạ ậ tốt THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh -      cos  x     sin x   x  k , k  Z 2  Bài tập tương tự: Giả phương trình sau: 19) sin x  cos3 x  2(sin x  cos x )  20) sin3 x  cos3 x  cos2 x (Đ NN-Tin học HCM-2001) 21) cos3 x  sin3 x  sin x  cos x (Đ ĐNẳng-1999) 22) cos3 x  sin3 x  sin2 x  sin x  cos x (Đ CSND-2000) 23) 2sin3 x  sin x  2cos3 x  cos x  cos2 x (HVKTQS-1999) 24) 2(sin x  cos x)  tan x  cot x   25) sin x  sin  x    4  3.3 phương trình chứa sin2a, cos2a, tan2a tana tan a  tan a tan a Sử dụng CT: sin 2a  ;cos2a  ;tan 2a  2  tan a  tan a  tan a Chứng minh: sin 2a  2sin a cos a tan a cos2 a  sin a  tan a  ; (chia tử mẫu cho cos2 a   sin a  cos2 a  tan a cos2 a  sin a  tan a cos2a); tan 2a  tan(a  a )  tan a  tan a tan a   tan a tan a  tan a Ví dụ 16 G ả phương trình: (1  tan x)(1  sin2 x)   tan x tan x 2t Đ ề k ện: cos x  sin x   Đặt t = tanx ta đượ phương trình:  tan x  t 2t   (1  t )     t  (1  t )(1  t )  (1  t )(1  t )   1 t  t   t  1  tan x  1  x   /  k    suyra   2 t   tan x  x  k 1  t   t Thỏa đ ề k ện Ví dụ 17 G ả phương trình: sin x  cot Đ ề k ện: sin x 2 x  ; Phương trình tương đương vớ : x   ; Đặt t = tan x ta đượ phương trình: x x  tan tan 2 2t  3t  2t    (t  1)(2t  t  1)   t  x x   suy tan     k   x   k 2 (thỏa đk) 2 2 tan Cách : Ch vế h x sin , ta đượ phương trình tương đương: THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - x x  cot  2 sin x sin x 2 x x x  2cot  cot   cot  2 2 x     cot  2  2cot Bài tập tương tự: Giả phương trình sau: 26) sin x  cos2 x  tan x  27) sin x  tan x  (BK Hà Nội-2001) 28) sin x  cos2 x  tan x B CÁC NHẬN XÉT GỢI Ý HƯỚNG BIẾN ĐỔI Với cá phương trình phức tạp để tìm hướng biến đổi ta cần nhận xét dựa nhiều yếu tố: HSLG, số đ hệ số, có dạng tương tự vớ phương trình đ ết không ? … từ liên kết với công thứ lượng giác thích hợp để biến đổ phương trình đ h phương trình quen thuộc hoặ phương trình dạng tích Sa đâ tô x n đề nghị số hướng nhận xét để tìm tòi cách giải Nhận xét 1: Biến đổi dựa mối liên hệ cung LG Sự liên hệ cung (góc) lượng giác mở cho ta nhiề hướng khai thác: * Dùng cung liên kết để chuyển cung đơn giản hơn, nhờ ta nhận phương trình đơn giản 1  7    4sin   x  (A-2008) Ví dụ 18 G ả phương trình 3  sin x    sin  x     Ch t ết dễ lư ý ố đ a 3        Ta có: sin  x    sin  x   2   sin  x    cos x cung  2     S th ộ CT ng l n    kết ó thể dễ dàng ến đổ  7        sin   x   sin  2   x   sin    x    sin  x   4  PT đ h thành PT đơn        Phương trình (1) tương đương với: g ản 1     4sin  x   sin x cos x 4  Đ ều kiện: sin x   sin x  phương trình tương đương với:  cos x  THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh -   sin x  cos x  4sin  x   sin x.cos x 4       sin  x    4sin  x   sin x.cos x 4 4        x   k  sin  x     4    sin x  1 1  2 sin x.cos x     x    k (thỏa đ ều kiện)     x    k V x   k  8     G ả phương trình: 5cos3  x    3cos5  x    6 10    - Cần tìm ự l n hệ g ữa     Ta có: cos3  x    cos  x     sin 3x     6 2    x    x   6 10        cos5  x    cos  x    sin x D phương trình Tìm đượ mố l n hệ 10  2   ẽ g úp g ả đượ PT tương đương với: 5sin3x  3sin5x  - Dựa hệ ố ta ến đổ  5sin 3x  3sin x  2sin x  3(sin x  sin x) a :  2sin 3x  6cos x.sin x - Dựa ố đ ng ta dùng CT nhân ba  2(3sin x  4sin x )  6cos x.sin x đượ pt dạng tí h sin x  sin x  - Lạ nhìn ố đ   2 GTLG ta ến đổ pt (2)  4sin x  3cos x (2) 3cos x  cos x     thành pt ậ theo cos2x Ví dụ 19 Chú ý rằng: Không phải với nhận xét liên hệ số đo mà giải PT Nhận xét bước để thay PT ban đầu PT khác đơn giản Và trình lại tiếp tục  3 x    x     sin    (Đ TL-2001) G ả phương trình: sin   10   10  Ta có Trước biến đổi PT, ta cần tìm liên hệ hai  3x    3x    9 3x   3 x  sin     sin       sin     sin    ,  3 x  10   10    10   10    cung   10  3 x  phương trình trở thành: Đặt t    3x  10    2sin t  sin3t , dùng công thứ nhân a ta pt dạng tích  10  Ví dụ 20 *Nhận mối liên hệ cung giúp ta chọn công thức nhân đôi, nhân ba: THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 10 Ví dụ 21 G ả phương trình cos3x  cos2 x  cos x   (D-2006) PT tương đương với: - PT hỉ hứa cosin theo ố đ x 2x 3x d 4cos x  3cos x  2cos x   cos x   ó thể đưa x ằng  2cos3 x  cos2 x  2cos x   CT nhân đô nhân a  (2cos x  1)(cos x  1)  2 2    cos x   cos x  cos x    k 2   2     cos x  sin x  x  k Cách 2: Phương trình đ h tương đương với : (cos3x  cos x)   cos2 x   2sin2 x.sin x  2sin2 x   2sin x(sin x  sin x )   2sin x(2cos x  1)  sin x   cos x    - Chú ý: cos2 x   sin x  3x  x  x  cos2 x  2sin2 x  dùng CT ến đổ tổng thành tí h ông thứ nhân đô Nhận xét: Bài tập tương tự: Giả phương trình sau: 29) cos3x  4cos2 x  3cos x   (D-2002) sin 3x sin5 x  (Đ TL-2000) 30) *Nhận mối liên hệ cung dễ dàng kết hợp với đặt ẩn phụ Ví dụ 22   G ả phương trình 8cos3  x    cos3x (Đ QG N-1999) 3    3x  3t   Phương trình trở thành: 8cos3 t  cos(3t  )  8cos3 t   cos3t (2) Đặt t  x   8cos3 t  3cos t  4cos3 t  12cos3 t  3cos t cos t  cos t  cos t      4cos t   2(1  cos2t )  cos2t      x   k       x    k t   k      x  k , kZ    x     k t    k   2  k 3   x     ta khó nhìn thấ mố l n hệ  nế đặt t  x   3x  3t   ta thấ ng ù x ất h ện - Và ũng dựa the ố đ pt (2) gợ h ta CT nhân ba - Vớ pt 4cos2 t  , cách tốt dùng CT hạ ậ - G ữa 3x x  Nhận xét 2: Phương trình có liên hệ với phương trình asinx + bcosx = c, (a2+b2 > 0) Tóm tắt phương trình asinx + bcosx = c THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 11 Cách giải: Chia hai vế cho a  b2 ta đượ pt tương đương: 2     a b  sin x  cos x  ; Vì     n n ta đặt 2 2 a  b a  b a  b2 a  b2 a  b2     a a a  b2 b  cos  c b a  b2  sin  áp dụng CT cộng ta pt sin( x  )  c a  b2 Điều kiện có nghiệm: a2  b2  c2 Trường hợp đặc biệt:  c = 0: a sin x  b cos x   tan x   b (a  0) a  c   a = b: a sin x  a cos x  c  a (sin x  cos x )  c  sin  x    4 a   c   a = -b: a sin x  a cos x  c  a (sin x  cos x )  c  sin  x    4 a  Ví dụ 23 G ả phương trình sin x  cos x  1 sin x  cos x   sin x  cos x  2      cos sin x  sin cos x   sin  x    3 3  Ch vế h a  b2  C ố ùng ta đượ PT LG ản Ví dụ 24 Định m để phương trình a ó ngh ệm (2m  1)sin x  (m  1)cos x  m  (1) 2 Dùng đk ó ngh ệm a (1) ó ngh ệm  (2m  1)  ( m  1)  ( m  3) PT asinx + bcosx = c 7 7 2  4m   m   m  m V m 2 Phương trình có liên hệ với phương trình asinx + bcosx = c (*) Trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng năm gần có nhiều phương trình lượng giác “có họ hàng” với PT nêu Nếu HS nắm vững cách giải PT asinx + bcosx = c giải phương trình *Để phát PT “có họ hàng” với PT (*), ta dựa vào mối liên hệ số đo cung kết hợp với liên hệ hệ số sin x  sin x  (CĐ-A2004) cos x  cos2 x - Nhận xét: PT chứa số Đ ều kiện: cos x  cos2 x   2cos2 x  cos x   đ x 2x với hệ số   cos x  cos x   ; Gợi cho ta xếp theo số đ vớ đ ều kiện phương trình tương đương với: Ví dụ 25 G ả phương trình: sin x  sin x  3(cos x  cos2 x )  sin x  cos x  sin x  cos2 x 3  sin x  cos x  sin x  cos2 x 2 2 - Phương trình nà giả tương tự phương trình bậc sinu cosu THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 12 Ghi nhớ biểu thức sau: sin u  3cos u; 3sin u  cos u G ả phương trình: sin x  3cos x  sin x  3cos x  4 - Dễ dàng nhận biểu thức Đặt : t  sin x  3cos x  ; sin x  cos x  Đặt ẩn Ta đượ phương trình: t  5t    t  V t  phụ  t   sin x  cos x  1   - Từ dẫn đến phương   sin x  cos x   sin  x    sin trình bậc sinu 2 3  cosu  t   sin x  cos x  : Phương trình vô ngh ệm không thỏa đk a2 + b2  c2 Ví dụ 27 G ả phương trình: cos5 x  2sin x cos x  sin x  (D-2009) Nhận xét: PT có chứa hệ số cos5 x  2sin 3x cos2 x  sin x  đồng thời:  cos5 x  (sin x  sin x )  sin x  2sin3x cos2 x  sin5x  sin x  cos5 x  sin x  2sin x D ta ến đổ a : - Chia hai vế cho 2:  cos5 x  sin x  sin x 2 “ đẹp kh đè l n !” Ví dụ 26 Ví dụ 28 G ả phương trình: sin x  cos x sin2 x  3cos3x  2(cos4 x  sin3 x) (B-2009) Phương trình tương đương với: - PT phức tạp, nhiên bám váo dấu hiệu có 1 sin x  (sin 3x  sin x )  cos3x  2cos4 x  (3sin x  sin 3x ) hệ số CT biến đổi, CT nhân a để đưa sin, 3  sin 3x  cos3x  sin x  2cos4 x  sin x  sin 3x cos theo x, 3x 2 2  sin 3x  cos3x  2cos4 x   - Chia hai vế h ta PT quen thuộc Ví dụ 29 G ả phương trình: cos x  3sin x cos x  cos x  3sin x  (B-2012) Phương trình tương đương với: - Cũng dựa vào dấu hiệu: Có hệ số dùng CT nhân 2cos2 x   3sin x cos x  cos x  3sin x đô ta PT quen thuộc  cos2 x  3sin x  cos x  3sin x Như cần ghi nhớ thêm PT có dạng sau: sin u  3cos u  2sin v; 3sin u  cos u  2cos v sin u  3cos u  sin v  3cos v; 3sin u  cos u  sin v  3cos v Bài tập tương tự: Giả phương trình a : 31) cos5 x  2cos3 x  sin x   32) cos x  sin x  2cos  x    3  33) 2sin x  sin x  34) sin8x  cos6 x  3(sin6 x  cos8x) 35) sin x  sin x  cos x  cos2 x (SGKNC lớp 11-tr42) THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 13 36) 3sin x  3sin x  cos x   cos x (1  2sin x )cos x  (A-2009) 37) (1  2sin x )(1  sin x) x x  38)  sin  cos   cos x  (D-2007) 2  39) 2cos6 x  2cos x  sin x  cos x    40) cos x  sin x  2sin  x    2 6    41) sin x  cos x  cos  x    6    Nhận xét 3: Rút gọn biểu thức có phương trình * Rút gọn biểu thức phức tạp vế trái vế phải giúp ta nhận phương trình đơn giản giúp ta nhìn hướng giải dễ dàng Muốn vậy, HS cần nhớ đẳng thức sau:     sin x  cos x  sin  x   sin x  cos x  sin  x   ; 4 4   2  sin x  (sin x  cos x )  sin x  (sin x  cos x ) ;  cos2 x  2cos x ;  cos2 x  2sin2 x sin x cos x  sin x sin x  cos4 x   2sin x.cos2 x   sin 2 x   cos4 x 4 3 sin x  cos6 x   3sin x.cos2 x   sin 2 x   cos4 x 4 4 2 cos x  sin x  cos x  sin x  cos2 x  tan x  cot x  sin x cos x sin x  cos2 x  2cot x tan x  cot x  sin x cos x Ví dụ 30 Tìm ngh ệm x  (0;2) a phương trình: cos3 x  sin x    sin x    cos x  (A-2002)  2sin x   Đ ều kiện: sin x   Ta có: cos3 x  sin x sin x  2sin x sin x  cos3 x  sin x sin x    2sin x  2sin x sin x  cos x  cos3 x  cos3 x  sin x cos x  (sin x  sin x )    2sin x  2sin x cos x  2sin x cos x cos x (1  2sin x )    cos x  2sin x  2sin x D phương trình tương đương với: Nhận xét: PT ó đk rút gọn biểu thức cos3x  sin 3x sin x   2sin x ta nhận PT dễ giải THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 14 5cos x  cos2 x   2cos2 x  5cos x    cos x  V cos x  cos x  (loại)  sin x  2sin x cos x   ,  cos x   sin x   2  ta x    k 2 x  Ví dụ 31 G ả phương trình cot x  sin x   tan x tan   (B-2006) 2  Nếu rút gọn biểu thức x Đ ều kiện: cos   sin x   sin x  (*); Ta có: x  tan x tan ta x x x sin cos x cos  sin x sin nhận PT dễ dàng x sin x  2  tan x tan   x cos x cos x cos x cos 2 x  cos  x   2    x cos x cos x cos Phương trình tương đương với: - Dùng đẳng thức: cot x  sin x   tan x  cot x   4 cos x sin x tan x  cot x  sin x  sin x  (thỏa đ ều kiện (*))     x   k  x   k   12   ,( k  Z )   2 x  x   k 2  k 12    * Trong thực tế việc giải phương trình thường dựa tổ hợp nhiều nhận xét Việc phân chia chủ yếu gợi bước khởi đầu:     G ả phương trình sin x  cos4 x  cot  x   cot   x  (Đ GTVT-1999) 3 6   Đ ều kiện: Nhận xét:             sin  x   sin   x    sin  x   cos  x     x     x  hai 3 6 3 3 3    6    cung phụ nha D 2    sin  x    0,(*)       cot  x   cot   x  3 6   Phương trình tương đương với:      cot  x   tan  x    3  3  4 -Ta có: sin x  cos x Ví dụ 32 THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 15 1  cos4 x   cos4 x   cos4 x  4 8     x    k 2  x    k 12 Thỏa đ ều kiện (*)   2sin x.cos x   sin 2 x   cos x 4 Bài tập tương tự: Giả phương trình a :     42) cos4 x  sin x  cos  x   sin  3x     (D-2005) 4  4  1  sin x  2cos x  sin  x  43)  tan x    4 44) 3sin x  cos2 x  sin x  4sin x cos 45)  cos x (A-2010) x (DB2-B-2008) (1  sin x  cos x )  sin x.sin x (A-2011)  cot x 46) cot x  tan x  4sin x  (B-2003) sin x 2(cos6 x  sin x )  sin x cos x  (A-2006) 47)  2sin x 48) cot x   cos x  sin x  sin x (A-2003)  tan x B CÁC PHƯƠNG TRÌNH BIẾN ĐỔI VỀ DANG TÍCH Đâ dạng phương trình thường xuyên có mặt tr ng đề th Đại học – Ca Đẳng Để đưa phương trình dạng tích ta cần nhìn nhân tử “g ống nha ” tr ng ố hạng biến đổ để tạo nhân tử Nếu biến đổ dạng tích xem phương trình đ giải Để ngắn gọn, ví dụ dướ đâ hỉ thực biến đổ đến dạng tích mà Ví dụ 33 G ả phương trình (1  2sin x ) cos x   sin x  cos x (CĐ-A-2009) Phương trình tương đương với: Lư ý ố hạng có chứa cosx VT VP (1  2sin x )  1 cos x   sin x  2sin x.(2  2sin x )cos x   sin x 1  sin x   4sin x cos x.(1  sin x )   sin x    2sin x  Ví dụ 34 G ả phương trình 2sin x(1  cos2 x)  sin2 x   2cos x (D-2008) Phương trình tương đương với: Thay  cos2 x  2cos2 x (dùng nhận xét 3) THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 16 2sin x.2cos2 x  sin x   2cos x  sin x.2cos x  sin x   2cos x  sin x(2cos x  1)   2cos x Ví dụ 35 G ả phương trình 2sin2 x  sin7 x   sin x (B-2007) Phương trình tương đương với: Phát biểu thức: 2sin2 x    cos4 x sin x  sin x   2sin x  2cos4 x sin 3x  cos4 x sin7 x  sin x  2cos4 x sin3x cos4 x   2sin 3x  Ví dụ 36 G ả phương trình: 3cot x  2 sin2 x  (2  2)cos x - Biến đổi dựa nhận xét Đ ều kiện: sin x  ; PT tương đương với: 2 hệ số 3cot x  cos x  2cos x  2 sin x  x    cos x   cos x   3cos x     cos x  sin x  sin x    3cos x cos x  sin  sin x  x x  x G ả phương trình:  sin sin x  cos sin x  2cos    2 4 2 PT tương đương với: Nhận xét: x x  x    x 2cos2      cos   x  sin sin x  cos sin x  2cos2     2 4 2 2  4 2  sin x x x  sin sin x  cos sin x  sin x 2 sin x   x x sin  cos sin x  (2)  x x x x x x (2)  sin  2sin cos2   sin  2sin 1  sin   2 2 2 2 x x  2sin  sin   2 Ví dụ 38 G ả phương trình: sin 3x  cos3x  sin x  cos x  cos x (D-2012) PT tương đương với: Quan sát VT, ta có áp dụng CT biến đổi tổng thành tích (sin 3x  sin x )  (cos3x  cos x )  cos2 x tạo thừa số cos2x  2cos2 x sin x  2cos2 x cos x  cos2 x cos x  Còn lại PT quen thuộc   2sin x  2cos x  2sin x  cos2 x  2cos x  7sin x   Ví dụ 39 Giả phương trình: (1) 2cos x  cos2 x  2cos x   3(cos x  1) (Th thử Đạ họ – Ch n L ồng Ph ng CM – 2012) Ta có : Nhận xét : Có thể rút gọn mẫu thức VP Ví dụ 37 THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 17 cos2 x  2cos x   3(cos x  1)  2cos2 x  2cos x  3(cos x  1)   2cos x(1  cos x )  3(cos x  1)  (1  cos x ) 2cos x  D đ ều kiện c a PT là: cos x  1  cos x   Kh PT (1) tương đương với:  2sin x  1 (1  cos x )  cos2 x  2cos x  7sin x   2sin x cos x  cos x  cos2 x  9sin x    cos x (2sin x  1)  2sin x  9sin x    cos x (2sin x  1)  (2sin x  1)(sin x  5)   (2sin x  1)(sin x  cos x  5)   2sin x   Bài tập tương tự: Giả phương trình a : 49) sin x  2cos2 x   sin x  4cos x (Đ An N nh D-2001) 50)  sin x  cos x  sin2x  cos2 x  (B-2005) 51) (sin2 x  cos2 x)cos x  2cos2 x  sin x  (B-2010) 52) sin x  cos2 x  3sin x  cos x   (D-2010) 53) sin x cos x  sin x cos x  cos2 x  sin x  cos x (B-2011) 54) sin x  2cos x  sin x   (D-2011) tan x  THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 18 III HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI KẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM Bản thân nhận thấy a kh đưa g ảng h n đề em đ ó nhiều tiến bộ, em đưa nh ề hướng giải mở đầ kh đứng nhận xét khác Đ ều có tác dụng tích cực giúp em tự t n kh g ải đề th Đại học – Ca Đẳng hoặ đề thi thử tương đương Riêng phần so sánh nghiệm th c a pt cuối vớ đ ều kiện c a pt ban đầu không ó đề cập tr ng h n đề nà mà x n đượ đến dịp khác IV ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG - Đề nghị áp dụng giảng dạy cho HS giỏi toán lớp 11 HS luyện th Đ tr ng nhà trường V TÀI LIỆU THAM KHẢO: - Sách giáo khoa Đại số Giải tích lớp 11 ản nâng cao - Sách Bài tập Đại số Giải tích lớp 11 ản nâng cao - Đề thi tuyển nh Đại học – Ca đẳng năm - Kỹ thuật giả nhanh phương trình lượng giác – Nguyễn Thành Longwww.mathvn.com KẾT LUẬN Tr n đâ vài kinh nghiệm góp nhặt thời gian giảng dạy Toán cấp trung học phổ thông dĩ nh n khó tránh khỏi thiếu sót Do đó, mong quý Thầy Cô có quan tâm đến vấn đề xin vui lòng góp ý Tôi xin chân thành cảm ơn n a, tháng 04 – 2013 Người thực Nguyễn Vũ Khanh THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 19 BM04-N ĐGSKKN SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị THPT Nam - Hà CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc Biên Hòa, ngày 25 tháng năm 2013 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2012 – 2013 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: P ƯƠNG TRÌN LƯỢNG GIÁC ÔN T I ĐẠI HỌC Họ tên tác giả: Nguyễn Vũ Khanh Chức vụ: TTCM Đơn vị: THPT Nam Hà Xã Hiệp Hòa, Tp Biên Hòa Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào ô tương ứng, ghi rõ tên môn lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học môn:  - Phương pháp g dục  - Lĩnh vực khác:  Sáng kiến kinh nghiệm đ triển khai áp dụng: Tạ đơn vị  Trong Ngành  Tính (Đánh dấu X vào ô đây)  - Có giải pháp hoàn toàn - Có giải pháp cải tiến đổi từ giả pháp đ ó  Hiệu (Đánh dấu X vào ô đây) - Hoàn toàn mớ đ tr ển khai áp dụng toàn ngành có hiệu cao  - Có tính cải tiến hoặ đổi từ giả pháp đ toàn ngành có hiệu cao  - Hoàn toàn mớ đ tr ển khai áp dụng tạ đơn vị có hiệu cao  - Có tính cải tiến hoặ đổi từ giả pháp đ vị có hiệu  ó đ tr ển khai áp dụng ó đ tr ển khai áp dụng đơn Khả áp dụng (Đánh dấu X vào ô dòng đây) - Cung cấp luận khoa học cho việc hoạ h định đường lối, sách: Tốt  Khá  Đạt  - Đưa g ải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ đ ộc sống: Tốt  Khá  Đạt  - Đ áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng: Tốt  Khá  Đạt  Phiếu đánh dấu X đầy đủ ô tương ứng, có ký tên xác nhận người có thẩm quyền, đóng dấu đơn vị đóng kèm vào cuối sáng kiến kinh nghiệm XÁC NHẬN CỦA PHÓ HIỆU TRƯỞNG CHUYÊN MÔN (Ký tên ghi rõ họ tên) THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký tên, ghi rõ họ tên đóng dấu) THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 20 [...]... tháng 04 – 2013 Người thực hiện Nguyễn Vũ Khanh THPT Nam-Hà \SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 19 BM04-N ĐGSKKN SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị THPT Nam - Hà CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Biên Hòa, ngày 25 tháng 4 năm 2013 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2012 – 2013 – – – – – – – – – Tên sáng kiến kinh nghiệm: P ƯƠNG TRÌN LƯỢNG GIÁC ÔN T I ĐẠI HỌC Họ... Sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 ơ ản và nâng cao - Sách Bài tập Đại số và Giải tích lớp 11 ơ ản và nâng cao - Đề thi tuyển nh Đại học – Ca đẳng á năm - Kỹ thuật giả nhanh phương trình lượng giác – Nguyễn Thành Longwww.mathvn.com KẾT LUẬN Tr n đâ chỉ là vài kinh nghiệm góp nhặt được trong thời gian giảng dạy Toán cấp trung học phổ thông và dĩ nh n khó có thể tránh khỏi những thi u sót Do đó,... bcosx = c 7 7 7 7 2 2  4m  7  m   m  m V m 4 2 2 2 Phương trình có liên hệ với phương trình asinx + bcosx = c (*) Trong các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng trong những năm gần đây có khá nhiều phương trình lượng giác “có họ hàng” với PT nêu trên Nếu HS nắm vững cách giải của PT asinx + bcosx = c thì có thể giải được các phương trình này *Để phát hiện PT “có họ hàng” với PT (*), ta dựa... cos 2 x 1  sin 2 x  sin 2 x (A-2003) 1  tan x 2 B CÁC PHƯƠNG TRÌNH BIẾN ĐỔI VỀ DANG TÍCH Đâ là dạng phương trình thường xuyên có mặt tr ng á đề th Đại học – Ca Đẳng Để đưa về phương trình dạng tích ta cần nhìn ra các nhân tử “g ống nha ” tr ng á ố hạng hoặc biến đổ để tạo ra các nhân tử đó Nếu biến đổ được về dạng tích thì có thể xem như phương trình đ được giải quyết Để ngắn gọn, các ví dụ dướ đâ... trên thì phương trình tương đương với: Ví dụ 25 G ả phương trình: sin x  sin 2 x  3(cos x  cos2 x )  sin x  3 cos x  sin 2 x  3 cos2 x 1 3 1 3  sin x  cos x  sin 2 x  cos2 x 2 2 2 2 - Phương trình nà được giả tương tự như phương trình bậc nhất đối với sinu và cosu THPT Nam-Hà \SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 12 Ghi nhớ các biểu thức sau: sin u  3cos u; 3sin u  cos u G ả phương trình: ...  3cos x  0 ; sin x  3 cos x  Đặt ẩn Ta đượ phương trình: t 2  5t  4  0  t  1 V t  4 phụ  t  1  sin x  3 cos x  1 1 3 1   - Từ đó dẫn đến phương   sin x  cos x   sin  x    sin trình bậc nhất đối với sinu và 2 2 2 3 6  cosu  t  4  sin x  3 cos x  4 : Phương trình vô ngh ệm vì không thỏa đk a2 + b2  c2 Ví dụ 27 G ả phương trình: 3 cos5 x  2sin 3 x cos 2 x  sin x  0... Ví dụ 33 G ả phương trình (1  2sin x ) 2 cos x  1  sin x  cos x (CĐ-A-2009) Phương trình tương đương với: Lư ý ha ố hạng có chứa 2 cosx ở VT và VP (1  2sin x )  1 cos x  1  sin x  2sin x.(2  2sin x )cos x  1  sin x 1  sin x  0  4sin x cos x.(1  sin x )  1  sin x    2sin 2 x  1 Ví dụ 34 G ả phương trình 2sin x(1  cos2 x)  sin2 x  1  2cos x (D-2008) Phương trình tương đương... VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM Bản thân tôi nhận thấy a kh đưa và g ảng dạ h n đề này thì các em đ ó nhiều tiến bộ, các em có thể đưa ra nh ề hướng giải mở đầ kh đứng trên những nhận xét khác nhau Đ ều này có tác dụng tích cực giúp các em tự t n hơn kh g ải á đề th Đại học – Ca Đẳng hoặ á đề thi thử tương đương Riêng về phần so sánh nghiệm th được c a pt cuối cùng vớ đ ều kiện c a pt ban đầu thì không ó đề... ất h ện - Và ũng dựa the ố đ pt (2) gợ h ta CT nhân ba - Vớ pt 4cos2 t  1 , cách tốt nhất là dùng CT hạ ậ - G ữa 3x và x  Nhận xét 2: Phương trình có liên hệ với phương trình asinx + bcosx = c, (a2+b2 > 0) Tóm tắt về phương trình asinx + bcosx = c THPT Nam-Hà \SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 11 Cách giải: Chia hai vế cho a 2  b2 ta đượ pt tương đương: 2 2     a b  sin x  cos x  ; Vì... 2sin2 x  dùng CT ến đổ tổng thành tí h và ông thứ nhân đô Nhận xét: Bài tập tương tự: Giả á phương trình sau: 29) cos3x  4cos2 x  3cos x  4  0 (D-2002) sin 3x sin5 x  (Đ TL-2000) 30) 3 5 *Nhận ra mối liên hệ giữa các cung sẽ dễ dàng hơn nếu kết hợp với đặt ẩn phụ Ví dụ 22   G ả phương trình 8cos3  x    cos3x (Đ QG N-1999) 3    3x  3t   Phương trình trở thành: 3 8cos3 t  cos(3t  )