Đang tải... (xem toàn văn)
Chương1 -Các hệ thống dữ liệu lấy mẫu và phép biến đổi Z.
Chơng Các hệ thống liệu lấy mẫu phép biến đổi z Các hệ thống liệu lấy mẫu hay gọi l hệ thống điều khiển số l m việc với tín hiệu rời rạc theo thời gian Các hệ thống điều khiển n y khác với hệ thống điều khiển tơng tự tín hiệu l liên tục theo thời gian Một máy tính số đợc sử dụng nh điều khiển số Khái niệm máy tính số đợc bao h m thiết bị tính toán đợc xây dựng từ vi điều khiển công nghiệp hay máy tính nhân (PC) Một chuyển đổi từ số sang tơng tự (A/D converter) thờng đợc dùng để kết nối đầu máy tính phục vụ cho trình điều khiển thiết bị chấp h nh tín hiệu điều khiển thiết bị chấp h nh n y l tÝn hiƯu t−¬ng tù Mét bé chuyển đổi tơng tự sang số (A/D converter) đợc sử dụng để đọc tín hiệu v o máy tính số Các thời điểm tín hiệu đợc đọc v o đợc gọi l thời điểm lấy mẫu Sơ đồ khối hệ thống điều khiển số có phản hồi đợc trình b y hình 1.1 Máy tính số l trung tâm hệ thống điều khiển chứa chơng trình điều khiển Bộ biến đổi A/D chuyển tín hiệu sai lƯch t−¬ng tù th nh tÝn hiƯu sè thn tiện cho việc xử lý máy tính số Tại đầu máy tính số, biến đổi D/A chun tÝn hiƯu sè th nh tÝn hiƯu t−¬ng t−¬ng tự để điều khiển thiết bị chấp h nh Đầu v o A/D Máy tính số D/A Thiết bị chấp h nh Đầu Cảm biến Hình 1.1 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển số 1.1 Quy trình lấy mẫu v giữ mẫu Trớc tiên ta định nghĩa lấy mẫu Một lấy mẫu xem nh l công tắc đợc đóng sau chu kỳ l T giây nh trình b y hình 1.2 Khi tín hiệu liên tục ký hiệu l r ( t ) đợc lấy mẫu khoảng thời gian T , tín hiệu rời rạc đầu đợc ký hiệu l r * (t ) có dạng nh hình 1.3 r (t ) r* ( t ) TÝn hiƯu liªn tơc TÝn hiƯu lÊy mÉu Hình 1.2 Bộ lấy mẫu Một trình lấy mẫu lý t−ëng cã thĨ xem nh− l tÝch cđa mét chuỗi xung với tín hiệu tơng tự: r* ( t ) = P ( t ) r ( t ) P ( t ) đợc gọi l xung delta hay l xung đơn vị có dạng nh h×nh 1.4 (1.1) r (t ) T T 3T T T T t T T 3T T T T t r* ( t ) H×nh 1.3 TÝn hiƯu r ( t ) sau lÊy mÉu P (t ) T T 3T T T T t Hình 1.4 Chuỗi xung delta Xung delta đợc biểu diÔn nh− sau: ∞ ∑ δ ( t − nT ) P (t ) = (1.2) n =−∞ Do ®ã ta cã ∞ ∑ δ ( t − nT ) r* ( t ) = r ( t ) (1.3) n =−∞ hc r* ( t ) = ∞ ∑ r ( nT ) δ ( t − nT ) (1.4) n =−∞ Khi t < ta cã r ( t ) = nªn ∞ r * ( t ) = ∑ r ( nT ) δ ( t nT ) n=0 Biến đổi Laplace phơng trình (1.5) ta cã: (1.5) ∞ R * ( p ) = ∑ r ( nT ) e − pnT (1.6) n=0 Phơng trình (1.6) đặc trng cho biến đổi Laplace tín hiệu liên tục đợc lấy mẫu r (t ) * Mét hƯ thèng lÊy mÉu v gi÷ mÉu cã thĨ xem nh− l mét sù kÕt hỵp lấy mẫu v mạch giữ bậc không (zero-order hold/ZOH) nh hình 1.5 Mạch giữ bậc không n y có khả nhớ thông tin cuối thu đợc mẫu Ví dụ ZOH lấy mẫu giá trị r ( nT ) v giữ khoảng thời gian nT t ( n + 1) T Bé lÊy mÉu r (t ) r* ( t ) TÝn hiƯu t−¬ng tù Tín hiệu lấy mẫu Giữ bậc không (ZOH) y (t ) Hình 1.5 Một lấy mẫu v giữ bậc không Đáp ứng xung giữ bậc không đợc trình b y hình 1.6 H m truyền giữ bậc dạng nh sau: G (t ) = H (t ) − H (t − T ) (1.7) H ( t ) l h m bớc nhảy v biến đổi Laplace phơng trình (1.7) ta cã e− Tp − e − Tp G ( p) = − = p p p (1.8) g (t ) T t H×nh 1.6 Phản ứng xung giữ bậc không Một lấy mẫu v giữ bậc không bám hay thể gần trung thực tín hiệu tơng tự đầu v o nÕu thêi lÊy mÉu T ®đ nhá so víi biến thiên độ tín hiệu Đáp ứng lấy mẫu v giữ bậc không đầu v o tín hiệu dốc (ramp) đợc trình b y nh hình 1.7 r (t ) r (t ) y (t ) y (t ) t T 2T 3T 4T 5T 6T T H×nh 1.7 Đáp ứng lấy mẫu v giữ bậc không tín hiệu dốc 1.2 Biến đổi z Phơng trình (1.6) định nghĩa chuỗi vô hạn cđa c¸c lịy thõa e− pnT víi to¸n tư p Toán tử z đợc định nghĩa sau: z = e pT BiÕn ®ỉi z cđa h m r ( t ) ký hiÖu l (1.9) Z r ( t ) = R ( z ) nªn ta cã ∞ R ( z ) = ∑ r ( nT ) z − n (1.10) n=0 Chó ý r»ng biÕn ®ỉi z cđa r ( t ) bao gồm chuỗi vô hạn biến z cã d¹ng nh− sau R ( z ) = r ( ) + r ( T ) z −1 + r ( T ) z −2 + r ( 3T ) z + (1.11) r ( nT ) l hệ số chuỗi lũy thừa thời điểm lấy mẫu khác Chúng ta xem biến đổi z hệ thống liệu lấy mẫu tơng tự nh l biến đổi Laplace hệ thống thời gian liên tục Đáp ứng hệ thống liệu lấy mẫu xác định dễ d ng cách tìm biến đổi z đầu sau tìm biến đổi z ngợc nh l kỹ thuật biến đổi Laplace hệ thống thời gian liên tục Sau tìm hiểu biến đổi z số h m thông dụng 1.2.1 H m bớc đơn vị H m bớc đơn vị đợc định nghĩa nh sau 0 n < r ( nT ) = 1 n ≥ ∞ ∞ n=0 n =0 R ( z ) = ∑ r ( nT ) z − n = ∑ z − n = + z −1 + z −2 + z −3 + R ( z) = z , ®èi víi z > z −1 1.2.2 H m ramp H m ramp hay gọi l h m dốc đợc định nghÜa nh− sau n 1.2.3 H m mũ Chúng ta quan tâm đến h m mũ đợc ®Þnh nghÜa nh− sau r ( nT ) = − anT e ∞ ∞ n=0 n z − e − aT 1.2.4 H m mũ tổng quát H m mũ tổng quát đợc định nghÜa nh− sau 0 r (n) = n p ∞ ∞ n=0 nG = tf(1, [1 4]); >>Gz = c2d(G, 0.1) Kết m n hình nh sau Transfer function: 0.08242 -z - 0.6703 Sampling time: 0.1 Điều có nghĩa l biến ®ỉi z cđa h m l G ( z) = 0,08242 z - 0,6703 Ví dụ 1.17: Xác định biến đổi z h m liên tục có dạng sau G ( p) = p + 4p + 2 Chóng ta sư dơng c¸c lƯnh sau víi giả thiết chu kỳ lấy mẫy l giây để tìm biến đổi z >>G = tf(4, [1 2]); >>Gz = c2d(G, 1) Kết m n h×nh nh− sau Transfer function: 0.6697 z + 0.1878 -z^2 - 0.5896 z + 0.01832 Sampling time: §iỊu ®ã cã nghÜa l biÕn ®ỉi z cđa h m l G ( z) = 0.6697 z + 0.1878 z - 0.5896 z + 0.01832 Bên cạnh sử dụng Matlab để tìm biến ®ỉi z cđa mét h m víi chu kú lÊy mẫu tổng quát T Ví dụ 1.18: Để tìm biÕn ®ỉi z cđa h m dèc G ( kT ) = kT ta sư dơng c¸c lƯnh sau >>syms k T; >>Fz = ztrans(k*T) Kết m n hình l Fz = T*z/(z-1)^2 Điều có nghĩa l biến đổi z h m có dạng nh− sau F ( z) = Tz ( z − 1) Lu ý k v T đợc định nghĩa l ký hiệu Ví dụ 1.19: Để tìm biÕn ®ỉi z cđa h m sin f ( kT ) = sin ( akT ) ta sư dơng c¸c lÖnh sau >>syms a k T; >>f = sin(a*k*T); >>Fz = ztrans(f) Kết m n hình l Fz = z*sin(a*T)/(z^2-2*z*cos(a*T)+1) Điều có nghĩa l biến đổi z cđa h m sÏ cã d¹ng nh− sau F ( z) = z sin ( aT ) z − z cos ( aT ) + 1.4.1 Biến đổi z ngợc Để tìm biến đổi z ngợc cđa mét h m chóng ta sư dơng lƯnh “iztrans” Sau xét số ví dụ biến đổi z ngợc Ví dụ 1.20: Để tìm biến đổi z ngợc h m F ( z ) = Tz / ( z − 1) ta sư dơng c¸c lƯnh sau >>syms z T; >>f = T*z/(z-1)^2; >>Ft = iztrans(f) Kết m n hình nh sau Ft = T*n Điều có nghĩa l biến đổi z ngợc h m có d¹ng nh− sau f ( nT ) = nT Chóng ta sử dụng Matlab để xác định hệ số phân số riêng đợc khai triển Sau xét số ví dụ Ví dụ 1.21: Xác định biến đổi z ng−ỵc cđa h m trun sau G ( z) = 2z2 − z z − 3z + Th«ng th−êng chóng ta khai triĨn G ( z ) / z th nh phân số riêng dạng n y dễ d ng tìm đợc biến ®ỉi z ng−ỵc G ( z) z = 2z − z 3z + 2 Để tìm biến ®ỉi z ng−ỵc cđa G ( z ) / z ta sư dơng lƯnh sau >>[r, p, k] = residue([2 -1], [1 -3 2]) Kết m n h×nh nh− sau r= -1 p= k= [] r l số d, p l cực v k l th nh phần trực tiÕp G ( z) = − z − z −1 G ( z) = 3z z − z z z hay Từ dạng cđa G ( z ) , chóng ta dƠ d ng xác định đợc biến đổi z cách tra b¶ng ... đầu đáp ứng theo thời gian đợc xác định nh sau: lim f ( nT ) = lim F ( z ) n Tính chất giá trị cuối Giả sử biến ®ỉi z cđa f ( nT ) l (1.20) z F ( z ) Khi giá trị cuối đáp ứng theo thời gian... p+2 p+3 BiÕn ®ỉi Laplace ng−ỵc cđa G ( p ) l : g ( t ) = L−1 G ( p ) = e−2 t − e −3 t Theo định nghĩa biến đổi z, xác định G ( z ) từ g ( t ) nh− sau: ∞ G ( z ) = ∑ e −2 nT − e−3 nT z... cđa h m -Phơng pháp 1: Giả thiết có biến ®ỉi Laplace cđa mét h m l chóng ta tÝnh toán đáp ứng theo thời gian l g ( t ) phép biến đổi z ngợc -Phơng pháp 2: Giả thiết có biến đổi Laplace h m l