Trần Thị Ngọc Tuyết - THCS Lê Thanh Nghị Buổi 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Nội dung CĐ:Tính chất chia hết tập hợp số nguyên CĐ:Tính chất chia hết tập hợp số nguyên(tiếp) CĐ: Các phép tính tập hợp Q CĐ: Hai đường thẳng song song.Quan hệ tính vng góc tính song song CĐ: Giá trị tuyệt đối số hữu tỉ CĐ: Giá trị tuyệt đối số hữu tỉ ( tiếp) CĐ: Tỉ lệ thức Dãy tỉ số CĐ: Tỉ lệ thức Dãy tỉ số ( tiếp) CĐ: Hai tam giác CĐ: Hai tam giác Ôn tập theo đề thi HSG Ôn tập theo đề thi HSG Kiểm tra 90 phút CĐ: Tam giác cân, tam giác CĐ: Tam giác cân, tam giác CĐ: Tam giác vng định lí Pitago CĐ: Quan hệ cạnh góc tam giác.Quan hệ cạnh tam giác CĐ: Giá trị biểu thức đại số.Cộng, trừ đa thức CĐ: Tính chất ba đường trung tuyến tam giỏc CĐ: Nguyên lí DIRICHLE CĐ: Một số cách vẽ thêm hình phụ giải tốn CĐ: Một số cách vẽ thêm hình phụ giải tốn CĐ: Tính chất đường phân giác, đường trung trực tam giác Ôn tập theo đề thi HSG Ôn tập theo đề thi HSG Kiểm tra 90 phút Bổ sung Buổi Ngày soạn: 27/09/2013 Ngày dạy: 04/10/2013 TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN Mục tiêu: - HS nắm số phương pháp giải toán chia hết: sử dụng dấu hiệu chia hết, tính chất chia hết, sử dụng xét tập hợp số dư phép chia, sử dụng bội ước số nguyên ,sử dụng nguyên lý Đirichle - Có kĩ vận dụng linh hoạt vào tập Chuẩn bị: Giáo án ngoại khoá toán - Năm học 2013-2014 Trần Thị Ngọc Tuyết - THCS Lê Thanh Nghị - Giáo viên: Bài soạn - Học sinh: Sách vở, đồ dùng học tập Các hoạt động dạy học: A Ổn định: - Sĩ số đội tuyển: B.Kiểm tra : - Sách vở, đồ dùng học tập học sinh C Bài mới: Hoạt động Nội dung thầy trò A.Lí thuyết: I.Định nghĩa phép chia: Cho số nguyên a b b ≠ ta ln tìm - HS nhắc lại hai số nguyên q r cho: kiến thức học a = bq + r Với ≤ r ≤ | b| phép chia theo câu Trong đó: a số bị chia, b số chia, q thương, r số hỏi GV dư Khi a chia cho b xẩy | b| số dư r ∈ {0; 1; 2; …; | b|} Đặc biệt: r = a = bq, ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a Ký hiệu: ab hay b\ a Vậy: a  b ⇔ Có số nguyên q cho a = bq II.Các tính chất: Với ∀ a ≠ ⇒ a  a Nếu a  b b  c ⇒ a  c Với ∀ a ≠ ⇒  a Nếu a, b > a  b ; b  a ⇒ a = b Nếu a  b c ⇒ ac  b Nếu a  b ⇒ (±a)  (±b) Với ∀ a ⇒ a  (±1) Nếu a  b c  b ⇒ a ± c  b Nếu a  b cb ⇒ a ± c  b 10 Nếu a + b  c a  c ⇒ b  c 11 Nếu a  b n > ⇒ an  bn 12 Nếu ac  b (a, b) =1 ⇒ c  b 13 Nếu a  b, c  b m, n am + cn  b 14 Nếu a  b c  d ⇒ ac  bd 15 Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n! III.Các dấu hiệu chia hết: Gọi N = a n a n −1 a1 a Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125 Giáo án ngoại khoá toán - Năm học 2013-2014 Trần Thị Ngọc Tuyết - THCS Lê Thanh Nghị + N  ⇔ a0  ⇔ a0∈{0; 2; 4; 6; 8} + N  ⇔ a0  ⇔ a0∈{0; 5} + N  (hoặc 25) ⇔ a1 a  (hoặc 25) + N  (hoặc 125) ⇔ a a1 a  (hoặc 125) Dấu hiệu chia hết cho + N  (hoặc 9) ⇔ a0+a1+…+an  (hoặc 9) Một số dấu hiệu khác + N  11 ⇔ [(a0+a1+…) - (a1+a3+…)]  11 + N  101 ⇔ [( a1 a + a a +…)-( a a + a a + …)]101 + N  (hoặc 13) ⇔ [( a a1 a + a8 a a +…) - [( a5 a a + a11a10 a +…) 11 (hoặc 13) + N  37 ⇔ ( a a1 a + a a a +…)  37 + N  19 ⇔ ( a0+2an-1+22an-2+…+ 2na0)  19 - GV hdẫn VD B.Các phưong pháp giải toỏn chia ht Phơng pháp 1: S dng du hiệu chia hết tính chất chia hết Ví dụ 1: Tìm chữ số a, b cho a56b  45 Giải Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = để a56b  45 ⇔ a56b  Xét a56b  ⇔ b ∈ {0 ; 5} Nếu b = ta có số a56b  ⇔ a + + +  ⇒ a + 11  ⇒a=7 Nếu b = ta có số a56b  ⇔ a + + +  ⇒ a + 16  ⇒a=2 Vậy: a = b = ta có số 7560 a = b = ta có số 2560 Ví dụ 2: Biết tổng chữ số số khơng đổi nhân số với Chứng minh số chia hết cho Giải Gọi số cho a Ta có: a 5a chia cho có số dư ⇒ 5a - a  ⇒ 4a  mà (4 ; 9) = Giáo án ngoại khoá toán - Năm học 2013-2014 Trần Thị Ngọc Tuyết - THCS Lê Thanh Nghị ⇒ a  (Đpcm)    111    81 Ví dụ 3: CMR số 111… 81 sè Giải - GV hdẫn VD Ta thấy: 111111111     111   = 111111111(1072 + 1063 + … + 109 + 1) Có 111… 81 sè Mà tổng 1072 + 1063 + … + 109 + có tổng chữ số 99 ⇒ 1072 + 1063 + … + 109 +     111    81 (Đpcm) Vậy: 111… 81 sè - GV hdẫn VD - GV hướng dẫn - HS làm tập - GV hướng dẫn - HS làm tập - GV hướng dẫn Bài tập tương tự Bài 1: Tìm chữ số x, y cho a 34x5y  b 2x78  17 HD: a y = ⇒ x; y = ⇒ x b 2x78 = 17 (122 + 6x) + 2(2-x)17 ⇔ x = Bài 2: Tìm số tự nhiên có dạng aba biết số chia hết cho 33 HD: aba chia hết cho 33 nên chia hết cho 11 cho abc11nên2a − b11 Tacó1 ≤ a ≤ 9và0 ≤ b ≤ 9nên0 ≤ 2a − b ≤ 18 2a − b ∈ { 0;11} ĐS: 363; 858 Bài 3: Tìm tất số có chữ số cho số gấp lần tích chữ số số HD: Gọi ab số có chữ số Theo ta có: ab = 10a + b = 2ab (1) ab 2 ⇒ b ∈{0; 2; 4; 6; 8} thay vào (1) a = 3; b = Bài 4: Viết liên tiếp tất số có chữ số từ 19 đến 80 ta số A = 192021…7980 Hỏi số A có chia hết cho 1980 khơng ? Vì sao? HD: Có 1980 = 22.32.5.11 Vì chữ số tận a 80  ⇒ A Tổng số hàng lẻ 1+(2+3+…+7).10+8 = 279 Tổng số hàng chẵn 9+(0+1+…+9).6+0 = 279 Giáo án ngoại khoá toán - Năm học 2013-2014 Trần Thị Ngọc Tuyết - THCS Lê Thanh Nghị - HS làm tập - GV hướng dẫn - HS làm tập Có 279 + 279 = 558  ⇒ A  279 - 279 =  11 ⇒ A  11 Bài 5: Tổng 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 khơng? Vì sao? Tổng số tự nhiên liên tiếp số lẻ nên không chia hết cho Có 46 số tự nhiên liên tiếp ⇒ có 23 cặp số cặp có tổng số lẻ ⇒ tổng 23 cặp không chia hết cho Vậy tổng 46 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 46 { − 10n 9 Bài 6: Chứng tỏ số 11 nc/sô1 HD: 11 { − 10n 9 = (11 { − n) − 9n nc/sơ1 nc/s1 11 { n có số dư chia hiệu chúng nc/s1 - GV hướng dẫn - HS làm tập chia hết cho Bài 7: An làm thi gồm 20 câu, câu trả lời điểm, trả lời sai bị trừ điểm, bỏ qua không trả lời điểm Trong thi có câu An trả lời sai Tính số câu trả lời đúng, số câu trả lời sai, số câu bỏ qua không trả lời An a) 60 điểm b) 55 điểm HD: a) Gọi số câu trả lời a, số câu trả lời sai b Ta có: 5a-2b=60 (1) Suy 2b5 Vì (2;5)=1 nên b5 Vì b ≥ nên từ (1) suy a> 60 a>12 Vì thi có 20 câu nên a+b ≤ 20 suy b < 20-12=8 Từ ≤ b 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(ab) =>4(a-b) = =>a=b Tương tự =>a=b=c=d=>A=4 Bài 2: Tìm số x; y; z biết rằng: Giải: - GV hd, HS lên bảng làm x - HS lên bảng giải a) y = 5x – 2y = 87; - GV nx , uốn nắn x y b) = 2x – y = 34; sai sót ( có) 19 21 - HS lên bảng làm x y3 z3 = = x2 + y2 + z2 = 14 64 216 2x + 3y − 2x + 3y − = = d) 6x c) - HS lên bảng làm Bài 3: Tìm số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c 3a + 5c – 7b = 30 Bài 4:Tìm số x, y, z biết : a) x : y : z = : : 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594; x + y = x : y = 3.(x – y) - HS nêu cách làm? a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 x = - 9; y = - 12; z = 15 b) Từ đề suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác nên 2y – x = 0, đó: x = 2y Từ tìm : x = 4/3; y = 2/3 - GV hướng dẫn, Bài 5: Cho ba tỉ số nhau: HS lên bảng làm a b c , , Biết a+b+c ≠ b +c c +a a +b - HS lên bảng làm Tìm giá trị tỉ số ? Bài 6:Tìm hai số hữu tỉ a b biết hiệu a b thương a b hai lần tổng a b ? Rút được: a = - 3b, từ suy : a = - 2,25; b = 0,75 Bài Số học sinh khối 6,7,8,9 trường THCS lần - Ta phải c/m ab=cd lượt tỉ lệ với 9;10;11;8 Biết số học sinh khối nhiều ? tích thừa số số học sinh khối em Tính số học sinh trường ta có đó? điều gì? Bài 8: Chứng minh có số a, b, c, d thỏa mãn [ab( ab − 2cd ) + c d ].[ ab( ab − 2) + 2(ab + 1)] = đẳng thức: chúng lập thành tỉ lệ thức Chứng minh:  ab ( ab − 2cd ) + c d   ab ( ab − ) + 2(ab + 1)  = => ab(ab-2cd) Giáo án ngoại khoá toán - Năm học 2013-2014 117 Trần Thị Ngọc Tuyết - THCS Lê Thanh Nghị +c2d2=0 ? Để chứng minh tỉ (Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với a,b) A C =>a2b2-2abcd+c2d2=0=>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm = lệ thức: ta B D 2.Dạng 2: Chứng minh tỉ lệ thức: A C thường dùng Để chứng minh tỉ lệ thức: = ta thường dùng số phương pháp nào? B D phương pháp sau: Phương pháp 1: Chứng tỏ A D = B.C Phương pháp 2: Chứng tỏ hai tỉ số A C có B D giá trị Phương pháp 3: Sử dụng tính chất tỉ lệ thức Một số kiến thức cần ý: a na = (n ≠ 0) b nb n n a c a c +) = ⇒   =   b d b d  +) Sau số ví dụ minh họa: ( giả thiết tỉ số có nghĩa) Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức - GV hướng dẫn phương pháp, HS lên bảng giải a+b c+d = a−b c−d a c = b d Chứng minh rằng: Giải: Cách 1: (PP1) Ta có: (a + b)(c − d ) = ac − ad + bc − bd (1) (2) (a − b)(c + d ) = ac + ad − bc − bd a c Từ giả thiết: = ⇒ ad = bc (3) b d Từ (1), (2), (3) suy ra: (a + b)(c − d ) = (a − b)(c + d ) ⇒ a+b c+d = (đpcm) a−b c−d Cách 2: (PP2) Đặt a c = = k , suy a = bk , c = dk b d a+b kb + b b( k + 1) k +1 Ta có: a − b = kb − b = b(k − 1) = k − (1) c + d kd + d d (k + 1) k + = = = c − d kd − d d (k − 1) k − Từ (1) (2) suy ra: a+b c+d = a−b c−d (2) (đpcm) Giáo án ngoại khoá toán - Năm học 2013-2014 118 Trần Thị Ngọc Tuyết - THCS Lê Thanh Nghị Cách 3: (PP3) Từ giả thiết: a c a b = ⇒ = b d c d Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b a+b a−b a+b c+d ⇒ = = = = c d c+d c−d a−b c−d (đpcm) Hỏi: Đảo lại có khơng ? Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức a c = b d Chứng minh rằng: ab a − b = cd c − d Giải: Cách 1: Từ giả thiết: Ta có: ( ( a c = ⇒ ad = bc b d (1) ) ab c − d = abc − abd = acbc − adbd (2) ) cd a − b = a cd − b cd = acad − bc.bd (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: ab c − d = cd a − b ab a − b = cd c − d Cách 2: Đặt ( ) ( ) ⇒ (đpcm) a c = = k , suy a = bk , c = dk b d ab bk b kb b = = = (1) cd dk d kd d a − b (bk ) − b b k − b b k − b = = = = c − d (dk ) − d d k − d d k − d Ta có: ( ( Từ (1) (2) suy ra: ab a − b = cd c − d ) ) (2) (đpcm) a c a b ab a b a − b = ⇒ = ⇒ = = = Cách 3: Từ giả thiết: b d c d cb c d c − d ⇒ ab a − b = cd c − d (đpcm) Hướng dẫn: Giáo án ngoại khoá toán - Năm học 2013-2014 119 Trần Thị Ngọc Tuyết - THCS Lê Thanh Nghị - Xem lại tập ví dụ chữa - Bài tập: Bài 1: Cho tỉ lệ thức: a c = Chứng minh ta có tỉ lệ thức sau: b d (với giả thiết tỉ số có nghĩa) 1) 3a + 5b 3c + 5d = 3a − 5b 3c − 5d a2 + b2 a+b =  c2 + d c+d  2)  ab ( a − b ) = 4) cd ( c − d ) 2 a−b c−d = 3) a+b c+d 5) 2a + 5b 2c + 5d = 3a − 4b 3c − 4d 6) 2005a − 2006b 2005c − 2006d = 2006c + 2007 d 2006a + 2007b 7) a c = a+b c+d 8) a + 5ac 7b + 5bd = a − 5ac 7b − 5bd Bài 2: Cho tỉ lệ thức: a c = b d Chứng minh ta có tỉ lệ thức sau: (với giả thiết tỉ số có nghĩa) 3a + 5b 3c + 5d = a) 3a − 5b 3c − 5d a2 + b2 a+b b)   = c +d2 c+d  ab ( a − b ) 2a + 5b 2c + 5d = = d) e) cd ( c − d ) 3a − 4b 3c − 4d 2008a − 2009b 2008c − 2009d = 2009c + 2010d 2009a + 2010b a c a + 5ac 7b + 5bd = = g) h) a+b c+d a − 5ac 7b − 5bd c) a−b c−d = a+b c+d f) 7a + 3ab 7c + 3cd = i) 11a − 8b 11c − 8d Giáo án ngoại khoá toán - Năm học 2013-2014 120 Trần Thị Ngọc Tuyết - THCS Lê Thanh Nghị Buổi Ngày soạn:05/04/2013 Ngày dạy: 15/05/2013 Chuyên đề: TỈ LỆ THỨC Mục tiêu: - Học sinh nắm tính chất tỉ lệ thức , tính chất dãy tỉ số - Học sinh phân loại dạng tập nắm vững cách giải dạng - Tích cực, sáng tạo Chuẩn bị: GV: Hệ thống kiến thức HS: Ôn tập Các hoạt động dạy học: Hoạt động thầy trò - HS nêu cách c/m - Lần lượt lên bảng làm tập Nội dung a b c = = Chứng minh rằng: b c d a  a+b+c   = d b+c+d  Bài 1: Cho a b c = = Chứng minh rằng: b c d a  a+b+c   = d b+c+d  Bài 2: Cho - HD 4,5,6: Áp dụng tính chất dãy tỉ số Bài 3: Cho a b c = = 2003 2004 2005 Chứng minh rằng: 4(a − b)(b − c) = (c − a) Bài 4: Cho dãy tỉ số nhau: a a a1 a = = = = 2008 a2 a3 a4 a 2009 CMR: Ta có đẳng thức: a1 a 2009 2008  a + a + a + + a 2008  = ÷  a + a + a + + a 2009  a a a a Bài 5: Cho a = a = = a = a a1 + a + + a9 ≠ Giáo án ngoại khoá toán - Năm học 2013-2014 121 Trần Thị Ngọc Tuyết - THCS Lê Thanh Nghị Chứng minh rằng: a1 = a = = a9 Bài 6: Cho a b c = = 2003 2004 2005 Chứng minh rằng: 4(a − b)(b − c) = (c − a) Bài 7: Chứng minh : a b = b d a2 + b2 a = b2 + d d a a a a Bài 8: Cho a = a = = a = a HD :bài 12 a1 + a + + a9 ≠ a +b ab Chứng minh rằng: a1 = a = = a9 = = 2 cd c +d a+b c+a 2ab a + 2ab + b ( a + b ) ab ( a + b )( a + b ) = a.b = = = ⇒ = a = bc Bài 9: CMR: Nếu 2 2cd c + 2cd + d ( c + d ) cd ( c + d )( c + d ) c.d a−b c−a Ta có : ; ⇒ Đảo lại có khơng? c( a + b ) b( c + d ) ca + cb bc + bd ca − bd a ab c = = = = Bài 10: = 1Chứng ⇒ ca + cbminh = ac +rằng ad ⇒nếu cb = :ad ⇒ = = a ( c + d ) d ( a + b ) ac + ad da + db ca − bd b bd d a2 + b2 a = b2 + d d Bài 11: Cho a c = b d a+b c+d = a−b c−d Bài 12 Cho tỉ lệ thức : minh rằng: a c = b d CMR: a +b ab = c +d cd Bài 13: Chứng minh nếu: Chứng u v = Bài 14: CMR: Nếu a = bc Đảo lại có khơng? u +2 v+3 = u −2 v−3 a+b c+a = a−b c−a Bài 15: CMR a( y + z ) = b( z + x) = c( x + y ) a, b,c khác khác : Giáo án ngoại khố tốn - Năm học 2013-2014 122 Trần Thị Ngọc Tuyết - THCS Lê Thanh Nghị y−z z−x x− y = = a (b − c) b(c − a ) c(a − b) Bài 16: Cho a+b c+d = a −b c−d CMR: a c = b d a c = Các số x, y, z, t thỏa b d mãn: xa + yb ≠ zc + td ≠ Bài 17: Cho Chứng minh rằng: xa + yb xc + yd = za + tb zc + td Bài 18: Chứng minh nếu: u v = u +2 v+3 = u −2 v−3 Hướng dẫn: - Xem lại tập chữa - Làm thêm tập sau: Bài 1: Cho a, b, c, d số khác thỏa mãn: b = ac ; c = bd b + c + d ≠ Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 a = b3 + c3 + d d Bài 2: CMR a( y + z ) = b( z + x) = c( x + y ) Trong a, b,c khác khác y−z z−x x− y = = a(b − c) b(c − a) c(a − b) Bài 3: Cho P = a b c ax + bx + c Chứng minh a = b = c giá trị P a1 x + b1 x + c1 1 không phụ thuộc vào x Bài 4: Cho biết : Bài 5: Cho a b' b c' + = 1; + =1 a' b b' c CMR: abc + a’b’c’ = a c = Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa + yb ≠ zc + td ≠ b d Chứng minh rằng: xa + yb xc + yd = za + tb zc + td Giáo án ngoại khoá toán - Năm học 2013-2014 123