Đang tải... (xem toàn văn)
có kiến thức sơ bộ về bất đẳng thức giúp học sinh hiểu và nắm các dạng cũng như các phương pháp giải bất đẳng thức côsi ,tài liệu phổ thông ,toán học phục vụ nhu cầu học tập,nghiên cứu và làm việc hiệu quả
K THU T H S B T NH GI I B T UCT NG TH C WWW.TOANMATH.COM Nguy n Thúc V Hồng H c sinh chun Tốn-Tin-THPT Chun Lê Q ơn-Niên kh́a 2006-2008 Th x̃ ơng Hà-T nh Qu ng Tr Võ Qu c Bá C n Sinh viên K32 Khoa D c- i h c Y D c C n Th -Niên Kh́a 2006-2011 Thành Ph C n Th Có u bí n mà b n ch a bi t đ n ?! Câu tr l i r t r t nhi u b n c m th y b c b i, khó ch u khơng th tìm m t l i gi i thích th a đáng cho bí n Nh ng b n quan ni m r ng đ ng sau b t kì m t u ln hàm ch a m t ý ngh a nh t đ nh Và c ng không ph i ng u nhiên mà s lí gi i l i đ c hình thành Trong th gi i b t đ ng th c c ng v y ôi b n không th hi u đ c t i ng i ta l i có th tìm m t l i gi i trơng có v “kì c c” nh th !!! Ph i ch ng l n mò may r i l m m i tìm đ c ? Câu tr l i l i m t l n n a đ c nh c l i: m i l i gi i đ u có s gi i thích c a riêng b n thân Vi c tìm l i gi i ph i qua m t trình l p lu n, th , sai đ́ng Trong chuyên đ nho nh ch́ng mu n gi i thi u đ n b n m t k thu t c b n nh ng không ḱm ph n hi u qu vi c ch ng minh m t s d ng c a b t đ ng th c Nó khơng giúp ta gi i quy t t t c tốn mà ch gíp ta tìm nh ng l i gi i ng n g n n t ng m t l p tốn M t s tốn d đ i v i ph ng pháp nh ng l i khó đ i v i k thu t ây c ng u hi n nhiên d hi u M cl c Ph Ph Ph Ph Ph Ph Ph Ph Ph Ph n n n n n n n n n n Bài toán m đ u Kh i đ u m t s toán c b n K thu t chu n hóa U.C.T U.C.T k thu t phân tách tr ng h p K t h p b t đ ng th c Vornicu Schur v i U.C.T M t d ng bi u di n th́ v Gi i quy t m t s toán mà u ki n liên quan m t thi t đ n U.C.T m r ng L i k t 10 Bài t p áp d ng T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com pg Ph n Bài toán m đ u Bài tốn [Nguy n Th́c V Hồng] Cho a , b, c s th c d ng th a mãn a b c Ch ng minh r ng 1 2(a b c ) 5 a b2 c2 Ch ng minh Ta s d ng b t đ ng th c sau 2a 2a a2 3 Th t v y b t đ ng th c t ng đ ng v i (a 1) (2a 6a 3) 0 3a Hi n nhiên đ́ng v i a s th c d ng S d ng b t đ ng th c t ng t v i b c Ta có u ph i ch ng minh ng th c x y a b c Ch c ch n đ c l i gi i cho toán “ đ n gi n” b n có ph n ĺng t́ng khơng hi u t i l i có th tìm b t đ ng th c ph m t cách “khó hi u” nh v y Ph i ch ng d đốn m t cách “vơ h ng” Ho c c ng có ng i s ngh tốn đ c t o t b t đ ng th c ph Câu tr l i hồn tồn khơng ph i T t c đ u theo qui lu t c a ph n ti p theo ch́ng s phân tích v m t k thu t phân tích gíp tìm b t đ ng th c ph m r ng v n đ theo chi u h ng m i m K thu t có tên U.C.T, vi t t t c a ch đ u c a c m t ti ng Anh Undefined Coefficient Technique Hay g i K Thu t H s b t đ nh ây m t k thu t c b n n n t ng quan tr ng đ ng tìm ki m l i gi i cho nh ng b t đ ng th c khó Ph n Kh i đ u c̀ng m t s toán c b n Ch́ng ta s kh i đ u k thu t b ng vi c đ a cách gi i thích cho vi c tìm b t đ ng th c ph c ng cách gi i thích cho tốn sau c a ch́ng ta Bài toán bi n c v u ki n đ u không ràng bu c u n ta ngh s tách theo t ng bi n đ ch ng minh đ c đ n gi n h n n u có th Nh ng r̃ ràng ta ch t ng thơi khơng đ N u ta ch ng minh b t đ ng th c sau 2a (a 1)( a 1)( 2a 3) 0 3 3a a2 Rõ ràng khơng hồn tồn đ́ng v i a th c d ng ng b cu c t i b i cách ta ch a s d ng u ki n a b c Nh v y ta s không theo đ ng l i suy ngh đ n gi n ban đ u n a mà s tìm h s đ b t đ ng th c sau đ́ng 2a ma n (1) 3 a2 Trong m n h s ch a xác đ nh T ng t v i bi n b c C ng v theo v ta có T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com pg 1 2a 2b 2c 5 m(a b c) 3n 3(m n) 2 3 a b c Nh v y h s m n ph i th a mãn u ki n m n n m Th vào (1) d nđ n 2a m(a 1) (2) 3 a2 n ta ch c n xác đ nh h s nh t m đ b t đ ng th c (2) đ́ng Ch́ ý toán m c c tr đ t đ c t i a b c nên ta c n xác đ nh m cho (a 1)(2a 3) 2a ( ) ( ) m m a a 2 3 3a a (a 1)( 2a 3) 2 t ta d đoán r ng m đ t o 3 3a thành đ i l ng bình ph ng (a 1) bi u th c T ta s ch ng minh b t đ ng th c ph 2a 2a a2 3 Khi cho a ta có Q trình tìm b t đ ng th c ph đ c phân tích c th Tuy nhiên khơng ph i cách nh t đ ta tìm h s Ta c ng có th s d ng tính ch t c a đ ng ti p n t i m t m c a đ th hay s d ng đ o hàm Nh ng có l cách d đốn h u hi u đ n gi n v m t tr c quan c ng nh th c hi n Tuy nhiên t t c c ng ch s d đốn Nó khơng đ m b o r ng sau tìm b t đ ng th c ph r i tốn s đ c gi i quy t M t s d ng toán nh v y s đ c đ c p ph n ti p theo c a chuyên đ ph n ch́ng ta s ch ng minh m t s b t đ ng th c c b n đ hình thành đ u k thu t qua thành th c vi c phân tích Ta ti p t c đ n v i toán sau Bài toán [Vasile Cirtoaje] Cho a , b, c, d s th c d ng th a mãn a b c d Ch ng minh r ng 1 1 2 a 1 b 1 c 1 d 1 Ch ng minh Ta s xác đ nh h s m đ b t đ ng th c sau đ́ng (a 1)(a 1) a 1 m(a 1) m(a 1) (a 1) m 2 a 1 a 1 a 1 a 1 1 m 1 Ta d đoán b t đ ng th c sau đ́ng th t Khi a ta s có a 1 vy a (a 1) 2 0 a a 1 a 1 T ng t v i bi n l i C ng v theo v ta có u ph i ch ng minh ng th c x y ch a b c d Nh n x́t Ta có th s d ng k thu t “Cơsi ng c d u” đ tìm b t đ ng th c ph T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com pg a2 a2 a 1 1 2 2a a 1 a 1 Bài toán [Algebraic Inequalities Old and New Method] Cho a , b, c s th c d ng th a mãn a b c Ch ng minh r ng 1 1 a bc b ca c a b Ch ng minh ta c n tìm m đ b t đ ng th c d i đ́ng 1 a (a 1) m(a 1) m(a 1) a bc a a 3 3(a a 3) T ng t nh ta tìm d đốn r ng v i m b t đ ng th c ph đ́ng Th t v y (a 1) (b c) (a 1) (3 a ) a 0 a2 a 3 9 3(a a 3) 3(a a 3) Nh n x́t Bài tốn có th gi i b ng k thu t “Phân tách Chebyshev” nh ng xem cách gi i b ng U.C.T l i đ n gi n h n v m t ý t ng Bài toán t ng quát đ c gi i quy t b ng đ nh lí LCF “Algebraic Inequalities Old and New method” c a tác gi Vasile Cirtoaje Cho a1 , a , , a n s th c không âm th a mãn a1 a a n n Ch ng minh r ng 1 1 a1 a1 n a a n an an n Bài tốn [Nguy n Th́c V Hồng] Cho a , b, c, d s th c không âm th a a b c d Ch ng minh r ng 2(a b c d ) ab ac ad bc bd dc Ch ng minh Theo a , b, c, d s th c d ng th a mãn a b2 c2 d (a b c d ) 2(2 ab ac ad bc bd cd ) (a b c d ) 2(2 ab ac ad bc bd cd ) B t đ ng th c c n ch ng minh t ng đ ng v i 2(a b c d ) (a b c d ) Ta c n xác đ nh h s m đ b t đ ng th c sau đ́ng 3a (2a 1) (a 1) m(a 1) m(a 1) 2a 2 D dàng d đoán m Ta s ch ng minh u đó, th t v y 3a 9(a 1) 2a 2(a 1) (a 2) 2 i u hi n nhiên đ́ng ng th c x y ch a b c d T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com pg Nh n x́t Bài tốn v i hình th c “c ng k nh” ch a c n th c Tuy nhiên n u nh n m m u ch t c a toán ta d dàng đ a v đ n l ng theo bi n đ gi i quy t Bài toán cịn có th gi i quy t theo cách khác b ng cách ch ng minh tr c ti p v i bi n Nh ng dù vi c gi i quy t theo t ng bi n riêng bi t v n d dàng h n r t nhi u Bài toán Cho a , b, c s th c d ng th a mãn a b c Ch ng minh r ng 1 1 4 5(a b c ) 27 a b c Ch ng minh Ta c n tìm h s m cho (a 1)(5a 5a 4) 5a m(a 1) m(a 1)(a a 1) a a Ta d dàng nh n đ ng th c x y ch a b c Khi cho a ta có th d đốn r ng m Ta s ch ng minh r ng v i m b t đ ng th c ph đ́ng Th t v y (a 1) (2a a 4) 5a 2a 0 a a Do a 3 2a a V y b t đ ng th c ph đ́ng ng th c x y ch a b c Bài toán Cho a1 , a , , a n s th c không âm th a mãn n a i 1 n 3a i 1 i n Ch ng minh r ng n i 5 Ch ng minh Ta s tìm h s m cho (5 3a i )(a i 1) m(a i 1) m(a i 1) 3a i 8(3a i2 5) Ta d đốn r ng v i m b t đ ng th c ph đ́ng Th t v y: 32 (5 a i )(a i 1) (a i 1) 0 32 32(3a i2 5) 3a i2 i u hi n nhiên đ́ng ng th c x y ch bi n b ng b ng Nh n x́t Qua toán ta có th th y r ng b t đ ng th c không h quan tâm đ n s bi n Ta hồn tồn có th t ng qt v i n bi n mà không làm nh h ng đ n cách gi i ây m t m th́ v c a U.C.T M t cách t ng quát ta đ a cách gi i quy t cho l p tốn có d ng sau Bài toán t ng quát Cho s th c không âm a1 , a , , a n th a mãn h(a1 ) h(a ) h(a n ) Ch ng minh r ng f (a1 ) f (a ) f (a n ) T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com pg L p tốn có th đ c gi i quy t b ng cách phân tách đ ch ng minh theo t ng bi n Vì bi u th c mang tính đ i x ng v i nên th ng m c c tr đ t đ c t i bi n b ng Ta s ph i xác đ nh h s m cho f (a i ) m h(a i ) ́ng v i m i bi n th a mãn u ki n đ t V i cách gi i ta s gi i quy t đ c m t l ng l n b t đ ng th c mà bi n không ràng bu c l n m t cách “m t thi t” Th ng m t s d ng u ki n nh n a i 1 k i n Có th khái quát t t ng c a k thu t l p toán nh sau: ch ng minh toán ta s xác đ nh h s b t đ ng th c ph theo t ng bi n riêng bi t cho f ( a i ) m h( a i ) g ( a i ) k p ( a i ) Trong g (a i ) (a i xk ) v i xk m c c tr c a b t đ ng th c Bài toán s đ c gi i quy t n u p(ai ) Trong tr ng h p p(ai ) ch đ́ng m t mi n nghi m ta s ti n hành chia tr ng h p đ gi i quy t toán Tuy nhiên ph n ta s không đ c p đ n nh ng toán nh v y mà s đ c p ph n sau Sau tìm b t đ ng th c ph V i nhi u công c nh đ o hàm, kh o sát hàm s hay đ n gi n ch phân tích nhân t ta đ u có th gi i quy t khơng q khó kh n Trong phép ch ng minh cho b t đ ng th c ph ta bi n đ i qui v vi c phân n n 1 tích nhân t c a đa th c a n x a n1 x a x a1 x a Mà m c đích ch đ o qui v d ng t ng bình ph ng Vi c nhân tích đa th c thành nhân t m t v n đ i s c b n nên xin không nêu Qua m t vài ví d nho nh h n ph n b n hi u đ c U.C.T ph n ti p theo vi c xác đ nh h s s đ c trình bày m t cách s l c b i nh ng tốn mang tính ph c t p nhi u h n mà U.C.T ch đ n thu n b c đ m đ đ n l i gi i ch không th đ a ta cách ch ng minh tr c ti p Ph n K thu t chu n h́a U.C.T Bây gi ch́ng ta s b c sang m t kho ng không gian m i v i l p b t đ ng th c thu n nh t đ i x ng ba bi n k thu t chu n hóa k t h p v i U.C.T a th c f (a , b, c) đ i x ng đ nh ngh a d i d ng: f (a , b, c) f / (a / , b / , c / ) (a / , b / , c / ) m t hoán v tùy ý c a (a , b, c) Hay nói cách khác f (a , b, c) f (b, c, a ) f (c, a , b) Tính thu n nh t c a m t đa th c đ i x ng ba bi n mi n D có ngh a f (ka , kb, kc) k n f (a , b, c) v i m i k, a , b, c D, n const ch ph thu c vào hàm f (a , b, c) Hi u m t cách đ n gi n đa th c thu n nh t n u t ng c a đ n th c đ ng b c Do m t s tính ch t c a hàm thu n nh t ta có th chu n hóa u ki n c a bi n đ đ n gi n hóa vi c ch ng minh Ta có th chu n hóa m t đa th c thu n nh t đ i x ng ba bi n b ng cách đ t a n b n c n k, abc p, ab bc ca r , ây k thu t r t quan tr ng gíp ta đ n gi n hóa qui b t đ ng th c v ch ng minh theo t ng bi n Hãy đ n v i m t s b t đ ng th c thu n nh t đ i x ng ba bi n đ th y công d ng c a U.C.T T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com pg Bài toán [B t đ ng th c Nesbit] Cho a , b, c s th c không âm Ch ng minh r ng a b c bc ca a b Ch ng minh Khơng m t tính t ng quát chu n hóa a b c Bài toán qui v vi c ch ng minh a b c 3 a 3b 3c Ta c n ch ng minh b t đ ng th c a 3(a 1) m(a 1) m(a 1) 3 a 2(3 a ) D dàng d đoán m Ta ch ng minh b t đ ng th c v i m nh v y ln đ́ng 3a 3(a 1) a 0 3 a 4(3 a ) i u hi n nhiên đ́ng S d ng t ng t v i bi n l i C ng v theo v ta có u ph i ch ng minh ng th c x y a b c Nh n x́t b t đ ng th c Nesbit m t b t đ ng th c đ i s c b n có nhi u ph́p ch ng minh L i gi i m t l i gi i đ p ng n g n cho b t đ ng th c Bài toán [Ṽ Qu c Bá C n] Cho a , b, c s th c không âm Ch ng minh r ng (b c a ) ( a c b) (a b c) 3(a b c ) 2a (b c) 2b (a c) 2c (b a ) (a b c) Ch ng minh Chu n hóa a b c Khi b t đ ng th c c n ch ng minh t ng đ ng v i 2(3 2a ) 2(3 2b) 2(3 2c) a b2 c2 2 a 2a b 2b c 2c Ta c n xác đ nh h s m đ b t đ ng th c sau đ́ng 2(3 2a ) a m(a 1) a 2a Ta l i có 2(3 2a ) (a 1)(a 3)( a 4a 6) a a 2a a 2a T d dàng d đoán v i m 6 b t đ ng th c ph đ́ng Th t v y 2(3 2a ) (a 1) (6 a ) a 0 a a 6( 1) a 2a a 2a i u hi n nhiên đ́ng a (0,3) T ng t v i bi n l i ng th c x y ch a b c Bài toán [ thi Olympic 30-4, kh i 11, l n XII – 2006] Cho a , b, c s th c d ng Ch ng minh r ng a (b c) b (c a ) c ( a b) 2 2 2 (b c) a (c a ) b ( a b) c T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com pg Ch ng minh Khơng m t tính t ng quát, chu n hóa a b c Ta có b t đ ng th c c n ch ng minh t ng đ ng v i a (3 a ) b(3 b) c(3 c) 2 6a 2a 6b 2b 6c 2c T ng t nh ta d dàng tìm b t đ ng th c ph sau: 21 9a (a 1) (18a 9) a (3 a ) 6a 2a 25 25(9 6a 2a ) i u hi n nhiên đ́ng ng th c x y ch a b c Nh n x́t Có th th y r ng hai l i gi i cho toán m đ u ph n r t đ n gi n ng n g n ây c ng có th xem m t k thu t th ng Gíp ta gi i quy t m t s toán “cùng lo i” r t quen thu c sau Bài toán [Darij Grinberg, Old and New Inequalities] Cho a , b, c s th c d ng Ch ng minh r ng a b c 2 (b c) (c a ) (a b) 4(a b c) Ch ng minh Khơng m t tính t ng quát, gi s a b c Bài toán c n ch ng minh qui v d ng sau a b c 2 (3 a ) (3 b) (3 c) D dàng d đoán b t đ ng th c ph sau 2a (a 1) (9 2a ) a 0 (3 a ) 4(3 a ) i u hi n nhiên đ́ng a [0,3) S d ng b t đ ng th c cho b, c r i c ng l i, ta có đpcm Bài tốn 10 [Ph m V n Thu n, Mathlinks forum] Cho a , b, c s th c d ng Ch ng minh r ng (b c 3a ) (a c 3b) (a b 3c) 2a (b c) 2b (a c) 2c (b a ) 2 Ch ng minh Khơng m t tính t ng qt, chu n hóa a b c Ta có b t đ ng th c c n ch ng minh t ng đ ng v i (3 4a ) (3 4b) (3 4c) 2 2 2 2a (3 a ) 2b (3 b) 2c (3 c) S d ng b t đ ng th c ph sau (3 4a ) 8a ( a 1) (39 8a ) 0 2a (3 a ) 6(a 2a 3) i u hi n nhiên đ́ng a 39 8a 39 24 15 T ng t v i bi n l i ta có u ph i ch ng minh ng th c x y ch a b c Bài toán 11: [USAMO 2003] Cho a , b, c s th c d ng Ch ng minh r ng (b c 2a ) (a c 2b) ( a b 2c ) 8 2a (b c) 2b (a c) 2c (b a ) T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com pg Ch ng minh Khơng m t tính t ng qt, chu n hóa a b c Khi ta có b t đ ng th c c n ch ng minh t ng đ ng v i (a 1) (b 1) (c 1) 8 2a (1 a ) 2b (1 b) 2c (1 c) S d ng b t đ ng th c ph sau (a 1) 12a (3a 1) (4a 1) 2a (1 a ) 2a (1 a ) i u hi n nhiên đ́ng ng th c x y ch a b c Ph n U.C.T k thu t phân tách tr ng h p ph n ta làm quen v i m t s toán đ a v d ng f (ai ) m h(ai ) g (ai )2k p(ai ) Thì có u ph i ch ng minh Tuy nhiên không ph i bao gi c ng xu t hi n p(ai ) Trong tr ng h p p(ai ) ch đ́ng v i m t mi n nghi m vi c ch ng minh s ph i qua m t chi u h ng khác, x́t thêm tr ng h p bi n a i mi n xác đ nh đ p(ai ) Th ng b c ph c t p địi h i ng i làm ph i có nh ng đánh giá mang s tinh t nhi u h n Ch́ng ta s đ n v i m t s toán tiêu bi u cho k thu t Bài toán 12 Cho a , b, c s th c d ng Ch ng minh r ng a b2 c2 2 2 2 a (b c) b (a c) c (b a ) Ch ng minh Khơng m t tính t ng quát chu n hóa a b c Qui b t đ ng th c v d ng 3 a2 b2 c2 a2 2 2 2 5 a (3 a ) b (3 b) c (3 c) cyc 2a 6a Ta s d ng b t đ ng th c ph sau a2 12a (8a 21)(a 1) 2a 6a 25 Không m t tính t ng quát gi s a b c a c Xét hai tr ng h p sau 21 8a 21 8b 21 8c 21 + Tr ng h p c 21 + Tr ng h p max{a , b, c} Khi ta có: a2 49 f (a ) 2a 6a 50 3 1 a Do f (a ) đ ng bi n (0,3] nên u hi n nhiên đ́ng V y toán đ c ch ng minh ng th c x y ch ba bi n b ng T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com pg Bài toán 13 [Vasile Cirtoaje - Algebraic Inequalities – Old and New Method] Cho a , b, c, d s th c d ng th a mãn a b c d , Ch ng minh r ng 1 1 16 3a 3b 3c 3d Ch ng minh Ta c n xác đ nh h s đ b t đ ng th c sau đ́ng m(2a 1) 3a D dàng tìm b t đ ng th c ph sau 52 48a 3(2a 1) (12a 1) 0 3a 49 49(3a 1) T ng t v i bi n l i X́t hai tr ng h p sau + Tr ng h p 1 min{a , b, c, d } 12a 12b 12c 12d 12 + Tr ng h p 49 48 d 3d 12 48 3d 49 X́t t ng t v i bi n cịn l i ta tìm u ph i ch ng minh ng th c x y ch a b c d Bài toán 14 [Vasile Cirtoaje, Algebraic Inequalities – Old and New Method] Cho a , b, c s th c d ng th a mãn a b2 c Ch ng minh r ng a5 a2 b5 b c5 c 0 a b c b5 a c c b a Ch ng minh B t đ ng th c t ng đ ng v i 1 2 2 2 a b c b a c c b a a b2 c2 T suy ta ch c n ch ng minh tr ng h p a b2 c đ Áp d ng b t đ ng th c AM-GM ta có 2a 2a a5 2 a 1 a t a x, b2 y, c z ĺc ta có x y z ta ph i ch ng minh 1 1 3 2x 2y 2z x3 y3 z3 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 1 2 2x x 2x y y y 2z z 2z x 1 3 x 0 2x x 2x cyc ( x 1) (2 x2 x 0 cyc 6(2 x x x 3) T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com pg 10 Ph n M t d ng bi u di n thú v ch́ng tơi mu n nói đ n d ng bi u di n theo t ng c a ây m t t t ng đ n gi n nh ng s gíp ta tìm nhi u l i gi i n t ng Bây gi ta ch́ ý đ n đ ng th c sau a k bk ck ak bk ck 1 k a bk ck a k bk c k a k bk c k a k bk c k ng th c t ng ch ng nh m t u hi n nhiên, không mang nhi u ý ngh a nh ng l i có vai trò quan tr ng vi c ch ng minh m t l p b t đ ng th c mà ch́ng s nêu d i ph n k thu t xác đ nh h s khơng cịn có th th c hi n nh tr c b i xu t hi n l y th a p N u ch s d ng nh ng bi n đ i thông th ng s ph c t p Vì v y cơng c mà ch́ng ta ch n s đ o hàm Tr c h t xin nh c l i đ nh lí c b n sau nh lí Fermat Gi s hàm s f ( x) xác đ nh [a , b] có c c tr đ a ph ng t i x0 [a , b] Khi n u f có đ o hàm t i x0 f / ( x0 ) nh lí Roll Gi s f :[a , b] liên t c kh vi (a , b) N u f (a ) f (b) t n t i x0 (a , b) cho f / ( x0 ) Bài toán 21 [Ṽ Qu c Bá C n] Tìm h ng s k t t nh t đ b t đ ng th c sau đ́ng v i m i s a , b, c s th c d ng a b c 2 2 2 k4 ka (b c) kb (c a ) kc (a b) Ch ng minh Cho a 1, b c ta có k Ta s ch ng minh giá tr k t t nh t đ b t đ ng th c đ́ng B t đ ng th c c n ch ng minh a b c 1 2 2 a 2(b c) b 2(c a ) kc (a b)2 Ta s ph i xác đ nh h s k cho b t đ ng th c sau đ́ng a ak k k k a 2(b c)2 a b c ta chu n hóa b c đ vi c vi c xác đ nh h s đ c đ n gi n h n Khi ta c n xác đ nh h s k cho a ak k a k 2a k a a 8 a t f (a ) a k 2a k a L i có f (a ) 0, f (1) nên theo đ nh lí Fermat ta có f / (1) Ti n hành đ o hàm f (a ) suy f / (a ) (k 2)a k 1 4ka k 1 2a Theo thi ta có f / (1) (k 2) 4k k Nh v y ta s d đoán b t đ ng th c sau đ́ng T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com pg 19 a a4 a 2(b c)2 a b4 c Sau hồn thành xong b c d đốn ch́ng ta có nhi u đ ng đ l a ch n Thơng th ng ph́p bi n đ i t ng đ ng mang l i hi u qu n u b t đ ng th c ph đ́ng Nên nh r ng b t đ ng th c ph ch d đốn mà thơi, có th s khơng đ́ng ho c ng c l i T ng toán ta s “tùy c ng bi n” T t nhiên nhi u tốn khơng th áp d ng theo cách Ch́ng ta ti p t c quay l i toán v i ph́p ch ng minh cho b t đ ng th c ph bc b c 2 t ta s ph i ch ng minh Theo b t đ ng th c Holder ta có b t đ ng th c a a 8t 3 a4 a4 23 t4 a t a a 8t t ( a t )2 bc V y b t đ ng th c hi n nhiên đ́ng ng th c x y ch a b c ho c a t 0, b c hoán v Nh n x́t Quá trình tìm ki m h s k có th thơng qua vi c đánh giá theo b t đ ng th c AM-GM nh sau a ak k a k 2a k a a k a 2a k a 8 a t M t khác theo b t đ ng th c AM-GM a k a a k Nh v y ta có c n xác đ nh k cho a k a k a k a k k 4k k Bài toán 22 [IMO 2001] Cho a , b, c s th c d ng Ch ng minh r ng a b c 1 2 a 8bc b 8ca c 8ab Ch ng minh B ng cách làm t ng t , ta thi t l p đ c b t đ ng th c sau a a 4/3 4/3 4/3 4/3 a 8bc a b c Th t v y, s d ng b t đ ng th c AM-GM, ta có b4/ c4/ 2b2/ 3c2/ 2t 4/ , ta c n ch ng minh a / 2t / a 1/ a 8t 4t / (a / t / ) (đú ng) Do đó, b t đ ng th c đ́ng S d ng t ng t cho b, c r i c ng l i, ta có đpcm th c x y ch a b c ho c b 0, c T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com pg 20 ng Bài toán 23 Cho a , b, c s th c không âm Ch ng minh r ng a3 b3 c3 1 a (b c)3 b (c a ) c ( a b) Ch ng minh T ng t nh ta có xác đ nh đ c b t đ ng th c ph sau: a3 a2 (*) a (b c)3 a b c Có th ch ng minh b t đ ng th c ph theo nhi u cách: Cách (*) 2a (b2 c ) (b2 c )2 a (b c)3 i u hi n nhiên đ́ng, th t v y 2a (b c ) (b c ) a (b c) (b c) a (b c)6 2 a (b c)3 4 Cách Theo b t đ ng th c AM-GM ta có k2 (1 k) (1 k k ) 1 k (1 k)(1 k k ) 2 Áp d ng b t đ ng th c ph ta có a3 a (b c)3 a2 2 2 2 a b c b c 1 b c bc 1 a 2 a a Áp d ng t ng t v i bi n l i C ng v theo v ta có có u ph i ch ng minh ng th c x y ch bi n b ng ho c có bi n d n v 1 Bài toán 24 Cho a , b, c s th c d ng Ch ng minh r ng a b3 c3 3 3 3 a (b c) b (c a ) c (a b) Ch ng minh S d ng b t đ ng th c Cauchy-Schwarz, ta có B t đ ng th c đ a3 1 VT 3 cyc a (b c)3 c ch ng minh ng th c x y ch a b c Ph n Gi i quy t m t s toán mà u ki n liên quan m t thi t đ n a ph n toán x́t đ n đ u có u ki n mà bi n liên h v i ko ch t Th ng u ki n d ng a1k a2k ank1 ank n T c ta có th tách theo t ng bi n đ tìm b t đ ng th c ph Tuy nhiên v i m t s toán mà u ki n thi t l p k n m i quan h “b n ch t” đ i lo i nh vi c tìm b t đ ng th c ph t ng đ i i 1 khó kh n ta khơng th đánh giá theo t ng bi n n a Và đ áp d ng U.C.T nh ng toán nh v y ch́ng ta ph i dùng đ n m t s tính ch t c a hàm s T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com pg 21 Bài toán 25 Cho a , b, c s th c d ng th a mãn abc Ch ng minh r ng a bc b c a c a b b c 1 c a 1 a b 1 Ch ng minh Áp d ng b t đ ng th c Holder ta có a b c b c a c a b a (b c 1) (a b c) bc b c c a a b cyc Do ta c n ph i ch ng minh a (b c 1) ( a b c ) 2 bc cyc a b a a 3 3 6 4 ab 4 a 2 cyc cyc b cyc a cyc cyc cyc b c Áp d ng b t đ ng th c AM-GM ta có a b a a b ab, ab, 2 cyc b cyc a cyc b cyc cyc a cyc cyc b c T ta có a b VT VP a 4 ab 4 a 6 cyc b cyc a cyc cyc cyc a ab 4 a 6 a 4a a cyc cyc cyc cyc X́t hàm s f ( x) x3 x ln x v i x ta có x 1 f / ( x) ( x 1) 3x x x 1 N u x , n u x f / ( x) x x x x T đ dàng ki m tra r ng f ( x) f (1) 0, x Hay x3 x 2 ln x, x x Nh v y ta có a 4a 2 ln a a cyc cyc Bài toán đ c gi i quy t ng th c x y ch a b c Bài toán 26 [Lê H u i n Khuê, THPT Qu c H c, Thành ph Hu ] Cho a , b, c s th c d ng th a mãn abc Ch ng minh r ng 1 1 2 3a (a 1) 3b (b 1) 3c (c 1) Ch ng minh X́t hai tr ng h p sau T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com pg 22 + Tr ng h p N u ba s a , b, c t n t i nh t m t s không l n h n Gi s 3a (a 1) Khi b t đ ng th c hi n nhiên đ́ng + Tr ng h p C ba s a , b, c đ u khơng nh h n ta x́t hàm s sau Gi ng nh ph n tr c ta có c ng s thi t l p m t b t đ ng th c ph d ng 1 k ln x 2 x ( x 1) ta có qui v hàm s m ch́ ý ln x ln y ln z Ti p t c quan sát th y đ ng th c x y ch a b c T ta có ph i xác đ nh k cho f / (1) f ( x) ln x x ( x 1) 3 V i x Khi ta có 2(16 x4 16 x3 x 1) 2( x 1)(16 x3 1) f / ( x) x(4 x2 x 1) x(4 x2 x 1) T suy f / ( x) x 1, x D dàng ki m tra đ c f ( x) f (1) 0, x i u t ng đ ng v i 1 ln x, x 2 3x ( x 1) 3 S d ng b t đ ng th c ph theo t ng bi n a , b, c r i c ng v theo v ta có 1 ln a 2 2 3a (a 1) 3b (b 1) 3c (c 1) cyc B t đ ng th c đ c ch ng minh ng th c x y ch a b c , ho c a , b , c hoán v Nh n x́t Bài tốn cịn m t l i gi i r t n t ng c a Vasile Cirtoaje Xin trình bày l i l i gi i S d ng b t đ ng th c ph sau 1 2a ( a 1) 0 3a (a 1) 2a (4a 2a 1)(2a 1) i u hi n nhiên đ́ng v i m i s th c không âm T ng t v i bi n l i suy u ph i ch ng minh s a Ta có a Bài tốn 27 [Gabriel Dospinescu] Cho a1 , a , , an s th c d ng th a mãn a1a a n Ch ng minh r ng a12 a 22 a n2 2(a1 a a n ) Ch ng minh X́t hàm s sau v i x f ( x) x2 x ln x 2 Khi ta có T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com pg 23 ( x 1) 2 x2 x x2 2( x2 1) f / ( x) x f ( x) 2 x 2( x 1)( x x 1) / Qua f / ( x) đ i d u t d ng sang âm nên f / ( x) f (1) 0, x i u có ngh a x2 x ln x, x 2 S d ng b t đ ng th c ph cho n bi n c ng v theo v ta có a12 a 22 a n2 2(a1 a a n ) (ln a1 ln a ln a n ) 2 n 2(a1 a a n ) ln a i i 1 2(a1 a a n ) V y b t đ ng th c đ c ch ng minh ng th c x y ch a1 a n Nh n x́t Bài toán cịn có th gi i quy t b ng m t b t đ ng th c ph quen thu c x2 2( x x 1) ( x 1)4 , x S d ng b t đ ng th c l n l t cho n bi n c ng l i ta có n a12 a 22 a n2 2(a1 a a n ) n a i i 1 B t đ ng th c đ 2(a1 a a n ) c gi i quy t hồn tồn Bài tốn 28 [Algebraic Inequalities – Old and New Method] Cho a , b, c s th c d ng th a mãn abc Ch ng minh r ng a b2 c 9(ab bc ca ) 10(a b c) Ch ng minh Ta có c n xác đ nh h s k cho b t đ ng th c sau đ́ng a 9bc a 10a k ln a a T ng t ph n tr c ta có tìm k 17 Ta có s ch ng minh f (a ) a 10a 17 ln a a Th t v y 17 2a 10a 17 a (a 1)(2a 8a 9) f / (a ) 2a 10 a a a2 a2 f / (a ) a T đây, ta có th d dàng th y đ c f (a ) f (1) 0, a hay a 10a 17 ln a a S d ng t ng t v i b, c r i c ng l i v theo v , ta có đpcm ng th c x y ch a b c T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com pg 24 Ph n U.C.T m r ng Ngay t đ u vi t ta x́t đ n vi c xác đ nh h s m theo cách h(ai ) f (ai ) ma k n V i u ki n xác đ nh c a toán a1k a2k ank n Tuy nhiên v i cách xác đ nh đ i v i m t s toán l i không mang l i hi u qu i u c ng khơng ph i hồn tồn khơng t t Vì s thơi th́c ch́ng ta tìm d ng xác đ nh h s khác M t cách tr c quan ch́ng ta s phân tích m t tốn c th đ th y đ c nh ng đ c nêu Bài tốn 29 [T p chí Crux, Canada] Cho a , b, c s th c d ng th a mãn a b c Ch ng minh r ng 1 ab bc ac Ch c h n t đ u vào ch ng minh toán b n s ngh đ n vi c thi t l p m t b t đ ng th c ph d ng 8 mx n m( x 1) 9 x 9 x D dàng d đoán m Nh ng r t đáng ti c v i m nh v y b t đ ng th c hồn tồn khơng đ́ng k c t t ng chia tr ng h p nh ph n c ng không th áp d ng đ c Th t v y 7 x ( x 1) 0 9 x 8(9 x) Tuy nhiên U.C.T v n có tác d ng tr ng h p nh ng b ng m t ý t ng m i m h n Hãy ch́ ý đ n cách thi t l p b t đ ng th c ph sau m( x2 1) n( x 1) (*) 9 x Vi c xác đ nh h s b t đ ng th c đòi h i s ch t ch l p lu n đơi n i l ng mi n nghi m c a bi n s n cho tốn khơng đ́ng Có nhi u h s th a mãn đ t o thành đ i l ng bình ph ng ( x 1)2 nh ng ta ph i xác đ nh cho d u c a b t đ ng th c đ́ng Ta có (*) ( x 1) m( x 1) n (**) 9 x T phân tích r̃ ràng ta ph i xác đ nh n theo m cho xu t hi n nghi m x đ hình thành đ i l ng ( x 1)2 , t c 1 m( x 1) n 0n m( x 1) n 2m 9 x 9 x T th vào (**) ta có 1 (**) ( x 1) m( x 1) 2m 9 x ( x 1) (72m 8mx 1) D th y r ng vi c xác đ nh h s khơng cịn đ n gi n nh tr c Nó địi h i ta ph i tìm nh ng c l ng ch t ch đ b t đ ng th c không đ i chi u Ta ch́ ý đ n u ki n c a tốn đ tìm c l ng “t t nh t” Ch́ ý r ng max{ab, bc, ca} T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com pg 25 d ng u ki n y u nhiên ch a ph i đánh giá “t t nh t” ta cịn có th làm ch t h n n a max{ab, bc, ca} Tuy nhiên đ i v i tốn ch c n s h n mà u tiên đ a m t s nh n x́t sau: u tiên ta c n xác đ nh h s m đ b t đ ng th c đ́ng v i x [0,3) Ta th y tr ng h p m s nh n đ c m t b t đ ng th c ng c chi u n u cho x , t t nhiên u ta mà khơng mong mu n V y có th d đốn m , 72m 1 8mx 72m 1 24 48m 1 1 Ta c n có 48m m V y nên ta s d đốn m n 48 12 48 Cơng vi c d đốn hồn t t Bây gi ta s th ch ng minh xem có đ́ng th t khơng Và th t v y ta có b t đ ng th c ph sau ( x 1) (3 x) x2 x 43 0 9 x 48 48(9 x) i u hi n nhiên đ́ng Áp d ng b t đ ng th c ph v i bi n ab, bc, ca ta có 1 1 2 43 (a b b c c a 4ab 4bc 4ca ) ab bc ac 48 16 Ta c n ph i ch ng minh b t đ ng th c sau a 2b2 b2c2 c2 a 4ab 4bc 4ca 15 t k ab bc ca , áp d ng b t đ ng th c AM-GM b t đ ng th c Schur ta có 4x - k 3, abc max 0, Ta x́t hai tr ng h p sau + Tr ng h p N u x a 2b b 2c c a 4ab 4bc 4ca (ab bc ca )2 4(ab bc ca ) 6abc k 4k 6abc + Tr 81 225 9 15 16 16 ng h p N u x a 2b b 2c c a 4ab 4bc 4ca (ab bc ca ) 4(ab bc ca ) 6abc k 4k 6abc k 4k 2(4k 9) (k 1)(k 3) 15 15 B t đ ng th c đ c ch ng minh ng th c x y ch a b c Qua q trình nh n x́t phân tích hi v ng r ng b n hi u đ c cách tìm h s tốn sau n u khơng th t s c n thi t, vi c thi t l p b t đ ng th c ph s đ a m t cách khái quát h n Ch́ng ta đ n v i toán sau Bài toán 30 [Moldova TST 2005] Cho a , b, c s th c d ng th a mãn a b c Ch ng minh r ng 1 1 ab bc ca Ch ng minh V i x , ta có T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com pg 26 x2 x 12 ( x 1) (3 x) 0 4 x 15 15(4 x) 3 nên ta có 2 3 2(a 2b b c c a ) ab bc ca 36 ab bc ca 15 Áp d ng b t đ ng th c AM-GM Cauchy-Schawrz ta có a 2b b c c a a b c L i có max{ab, bc, ca} C ng ng Nh n Áp d ab bc ca 3(a 2b b 2c c a ) các b t đ ng th c ph v theo v ta có u ph i ch ng minh th c x y ch a b c x́t ây m t tốn khơng khó có nhi u cách ti p c n khác 1 b t đ ng th c AM-GM ng b t đ ng th c quen thu c sau x y x y Ta có 1 1 1 , a , b [0, 2] 2 2 2 4a b a b 2ab ab Qui toán v ch ng minh 1 1 2 4a 4b c2 S d ng b t đ ng th c ph sau a 15 a2 18 Ngoài ta cịn có m t cách tr c quan d th c hi n qui đ ng s d ng b t đ ng th c Schur Bài toán 31 [Ph m Kim Hùng] Cho a , b, c, d s th c d ng th a mãn a b c d Ch ng minh r ng 1 1 2 abc bcd cda dab Ch ng minh ây m t tốn khó v y vi c thi t l p h s ph i c n nh ng đánh giá ch t ch suy lu n h p lí Ch́ng ta phân tích đ ng đ n l i gi i c a toán Ta s xác đ nh h s m, n cho m( x2 1) n( x 1), x 3 x 3 Nh phân tích ta tìm n 2m , b t đ ng th c c n ch ng minh t ng đ ng v i ( x 1)2 (6m 2mx) D dàng k t lu n m 16 6m 2mx 6m m 3 Ta c n có T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com pg 27 16 m 0 m 16 3 6 3 nên ta ch c n có m 16 14 6 5 ch n m n t ta có b t đ ng th c ph sau 14 14 x2 x 12 ( x 1) (8 x) 0 3 x 14 14(3 x) 8 n nhiên đ́ng v i x 3 6m 3 Do T ta s i u hi S d ng b t đ ng th c ph ch́ ý max{abc, bcd , cda , dab} 3 suy ta c n ch ng minh 5(a 2b2c b2c d c d a d a 2b2 ) 3(abc bcd cda dab) Có th ch ng minh b t đ ng th c b ng nhi u cách Sau xin trình bày m t cách d a vào k thu t hàm l i a b2 c d ,k , x ab, y cd đó, ta có t x, k y B t đ ng th c t t2 2 c n ch ng minh t ng đ ng v i f ( x) 10 x2 k 10 y2t 3x y 2k y x 2t Ta có f // ( x) 20k 3y (2 x 2t )3 0 Suy f ( x) hàm l i, f ( x) max{ f (t ), f (0)} Ta có f (0) yt yt yt T 3 f (t ) 10 y2t yt 10k 2t 3t y 2k g ( y) ng t nh ta c ng có g ( y) hàm l i nên g ( y) max{g (k ), g (0)} Ta c ng có g (0) kt 5kt kt 3 k t2 1 g (t ) 4(kt 1)(5kt 1) kt V y b t đ ng th c đ c ch ng minh xong Ngay t ban đ u ch́ng tơi nói m t b t đ ng th c khơng d địi h i nh ng đánh giá ch t ch U.C.T đóng vai trị m t bàn đ p quan tr ng đ đ n l i gi i T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com pg 28 Bài toán 32 [Ṽ Qu c Bá C n] Cho s th c a , b, c, d th a a b2 c d , ch ng minh b t đ ng th c 1 1 16 ab bc cd da Ch ng minh T ng t toán tr c, ta thi t l p đ c b t đ ng th c sau v i m i x 32 x2 10 1 x T đây, ta suy đ c 1 1 32 40 ( a 2b b c c d d a ) ab bc cd da 9 32 40 (a c )(b d ) 9 40 16 (a b c d )2 9 T đây, ta có đpcm ng th c x y ch a b c d Nh n x́t Bài toán đ c đ t đ “làm m nh” toán sau c a Ph m V n Thu n 1 1 1 8 ab bc cd da ac bd v i gi thi t nh L i gi i c a tác gi cho toán r t dài ph c t p, dùng U.C.T m r ng ta l i có đ c m t l i gi i r t ng n g n đ n gi n! Ngồi ra, ch́ng ta cịn có m t cách “làm m nh” khác cho toán c a Ph m V n Thu n, ta có 1 1 1 8 2 2 2 a b bc cd d a a c bd 1 1 1 1 1 1 Bài toán đ c b n ZhaoBin, m t sinh viên ng i Trung Qu c đ a m t l i gi i r t đ p b ng cách s d ng b t đ ng th c Cauchy-Schwarz, đây, ch́ng xin đ c gi i thi u m t l i gi i khác theo t t ng U.C.T S d ng b t đ ng th c bài, ta ch c n ch ng minh (a b)4 (a c)4 (a d )4 (b c)4 (b d )4 (c d )4 Th t v y, ta có (a b)4 2(a b4 6a 2b2 ) (a b)4 2(a b4 6a 2b2 ) T ng t v i s h ng l i, ta suy đ c VT 6(a b2 c d )2 B t đ ng th c đ c ch ng minh xong Th t t nhiên, câu h i sau đ c đ t ra, li u b t đ ng th c sau có đ́ng? 1 1 16 2 2 a b bc cd d a 1 1 1 1 Th t đáng ti c b t đ ng th c l i không đ́ng! Các b n ch c n cho a b 0.4, c d 0.84 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com pg 29 Bài toán 33 [Vasile Cirtoaje] Cho s không âm a , b, c, d có t ng b ng 4, ch ng minh b t đ ng th c sau 1 1 1 abc bcd cda dab Ch ng minh Ta có th thi t l p đ c b t đ ng th c sau v i m i x 48 x2 x 10 5 x Do +, N u max{abc, bcd , cda , dab} s d ng b t đ ng th c trên, ta c n ch ng minh a 2b2c2 b2c2 d c d a d a 2b2 abc bcd cda dab B t đ ng th c có th d dàng ch ng minh b ng d n bi n ho c dùng hàm l i +, N u max{abc, bcd , cda , dab} , khơng m t tính t ng qt, gi s abc , đó, ch́ ý r ng v i m i x, y 0, x y 5, ta có xy(10 x y) 1 1 0 5 x y x y 5(5 x)(5 y)(5 x y) Suy 1 1 5 x 5 y 5 x y Và đó, v i m i x, y, z 0, x y z ta có 1 1 5 x 5 y 5 z 5 x y z 2 Ch́ ý r ng (a b c abc) abc nên bcd cda dab , cyc 1 1 bcd cda dab d (ab bc ca ) Ta c n ch ng minh 1 abc d (ab bc ca ) t x d , abc nên x a b c 3 abc 3 , theo b t đ ng th c AMGM abc x , ab bc ca x2 27 Do đó, ta ch c n ch ng minh 1 1 x3 x2 (4 x) 27 Hay f ( x) x6 x5 80 x3 360 x2 675 Ta có f / ( x) x4 ( x 4) x3 ( x 12) 48 x(15 x) Suy f ( x) hàm ngh ch bi n, T đây, ta có đpcm f ( x) f (3 2) 27(48 77) ng th c x y ch a b c d T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com pg 30 Ph n L i k t Sau m t trình tìm hi u phân tích c th toán, ch c h n r ng b n c ng ph n c m nh n đ c ńt đ p c a U.C.T dù r ng th c m t k thu t c c kì đ n gi n d hi u Ch́ng không xem U.C.T m t ph ng pháp th ng mà đ n gi n m t k thu t c n bi t c n n m v ng b n h c b t đ ng th c Nhi u ng i quan ni m r ng U.C.T khơng có ý ngh a nh ng theo b n thân ch́ng tơi nên đ c khái quát đ s d ng m t s tr ng h p U.C.T m t b c đ m quan tr ng mang nhi u ý ngh a đ ng tìm l i gi i cho toán M t k thu t hay khơng nh t thi t nó gi i đ c t t c d ng tốn mà ph i đ a ta đ n nh ng ý t ng, đ ng sáng s a, d ngh , d nh n th y b ng m t tr c quan Trong chuyên đ nhi u tốn hình th c c ng k nh nh USAMO 2003, JMO 1997, đ u nh ng tốn khơng h khó, nh ng n u khơng ch n đ́ng h ng làm s d n đ n nh ng l i gi i ch ch p nh n đ́ng v m t tốn h c ó nh ng tốn c b n đ i di n cho U.C.T k t h p v i k thu t chu n hóa Tuy nhiên ch a ph i m d ng ph n ti p theo, xu t hi n nhi u toán mang đ m b n s c h n t c n u ch s d ng m i U.C.T s khơng đích Cách kh c ph c nh t phân chia tr ng h p đ gi i quy t ây c ng c s đ tìm kho ng nghi m c n x́t c a bi n Vi c đánh giá đòi h i ng i làm s tinh t kh́o ĺo h n ph n tr c Tuy nhiên n u b n có ni m tin m i chuy n đ u có th đ c gi i quy t Sau n m tay nh ng ki n th c nh t đ nh v k thu t b c qua m t kho ng khơng gian ph c t p h n dùng U.C.T đ gi i quy t nh ng toán mà m c c tr đ t đ c t i ch Bao g m tr ng h p t t c bi n b ng tr ng h p có (n 1) bi n b ng nh ng khác bi n l i ta ch́ ý đ n b t đ ng th c Vornicu Schur đ kh c ph c nh c m c a U.C.T c b n Ph n k thu t phân tách theo t ng c a c ng m t d ng r t đ p c a k thu t này, m t s toán tiêu bi u cho d ng phân tách IMO 2001 m t s toán nêu Dù U.C.T dùng theo m t t t ng khác v i ph n tr c Nh b n bi t U.C.T thông th ng đ c bi t đ n v i toán mà bi n s đ c l p không liên quan đ n Tuy nhiên n u ch x́t v i l p toán nh v y ch a l t t h t ńt đ p c a k thu t đ n gi n Ta v n có th s d ng U.C.T đ tìm nh ng b t đ ng th c ph v i u ki n liên quan m t thi t v i T c không th tách theo đ n l ng t ng bi n đ gi i quy t U.C.T địi h i b n ph i có nh ng ki n th c c b n c a hàm s đ tìm c l ng chinh xác Cu i ch́ng ta s đ n m t s tốn khó mà theo nhi u ng i quan ni m không th gi i quy t b ng U.C.T, u m t m y u c a k thu t Khi vi c thi t l p h s đ c th t ch t h n m i chuy n s khác Nh b n th y U.C.T m r ng mang nh ng đ c m ph c t p h n nh ng hi u qu mang l i qu b t ng M t s tốn r t khó đ c đ a v d ng đ n gi n h n đ gi i quy t theo m t s ph ng pháp bi t ó m t ńt m i đ c đáo c a k thu t Tuy nhiên ch c h n v n ch a ph i U.C.T “ch t” nh t Còn r t nhi u u n a k thu t ch b n khám phá Ch́ng xin k t th́c vi t t i Hi v ng r ng v i nh ng dòng tâm s b n v b t đ ng th c ph n g i m cho b n m t gíp b n tìm thêm nh ng ý t ng sáng t o m i, nh ng hi u bi t m i Và quan ni m r ng đ ng sau l i gi i cho m i toán c m t trình d đốn, th , sai đ́ng H n g p l i b n m t ngày không xa T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com pg 31 Ph n 10 Bài t p áp d ng Bài toán [Di n đàn toán h c] Cho a , b, c, d , e s th c không âm th a mãn a b3 c3 d e3 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c a2 b2 c2 d2 e2 a b c d e3 Bài toán [Vasile Cirtoaje, Crux Mathematicorum, Problem 3032] Cho a , b, c s th c không âm th a mãn a b c2 Ch ng minh r ng 1 ab bc ca Bài toán [Mathematical Excalibur, Vol 9, Num 1, 8/2004] Cho a , b, c, d s th c d ng th a mãn a b c d Ch ng minh r ng 6(a b c d ) (a b c d ) Bài toán [Mihai Piticari, Dan Popescu, Old and New Inequalities] Cho a , b, c s th c d ng nh th a mãn a b c Ch ng minh r ng 6(a b c ) 5(a b c ) Bài toán [Titu Andreescu, Gabriel Dospinescu, Old and New Inequalities] Cho a , b, c s th c d ng nh th a mãn a b c Ch ng minh r ng 1 27 2 1 a 1 b 1 c 10 Bài toán [Andrian Zahariuc, Old and New Inequalities] Cho a , b, c (1, 2) Ch ng minh r ng b a c b a c 1 4b c c a 4c a a b 4a b b c Bài toán [V ình Quý] Cho a , b, c s th c d ng th a mãn abc Ch ng minh r ng 1 3 a a 1 b b 1 c c 1 Bài toán [Vasile Cirtoaje] Cho a , b, c, d s th c d ng th a mãn abcd Ch ng minh r ng 1 a 1 b 1 c 1 d 4 a b2 c d Bài toán [Vasile Cirtoaje, GM-B,11,1999] Cho a , b, c, d s th c d ng th a mãn abcd Ch ng minh r ng T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com pg 32 1 1 1 3 1 a a a 1 b b b 1 c c c 1 d d d Bài toán 10 [China TST 2004] Cho a , b, c, d s th c d ng th a mãn abcd Ch ng minh r ng 1 1 1 2 (1 a ) (1 b) (1 c) (1 d ) Bài toán 11 [Arkady Alt, Crux mathematicorum] Ch ng minh r ng v i m i a , b, c ta có a b c a / b2 / c2 / a b bc ca Complete Trong Ṽ Qu c Bá C n Nguy n Th́c V Hồng vi t có s d ng nhi u tốn trích d n t Algebraic Inequalites – Old and New Method c a tác gi Vasile Cirtoaje Sáng t o B t đ ng th c c a tác gi Ph m Kim Hùng Old and New Inequalities c a tác gi Titu Andreescu, Vasile Cirtoaje, G Dospinescu, M Lascu T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com pg 33