TIỂU LUẬN GIẢI TÍCH HÀM NÂNG CAO MỤC LỤC KHÔNG GIAN COMPACT 4.1.Tập compact 4.2.Đặc trưng tập compact: 4.3 KHÔNG GIAN COMPACT 5 ÁNH XẠ LIÊN TỤC 5.1.ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CHUNG 5.2 ÁNH XẠ CO VÀ NGUYÊN LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG 6 HÀM SỐ THỰC LIÊN TỤC 6.1 Hàm số liên tục tập compact 6.2 : XẤP XỈ CÁC HÀM SỐ LIÊN TỤC BỞI ĐA THỨC Fractal: 7.1 THANG CANTOR – ĐƯỜNG CONG PEANO: 7.1 THANG CANTOR – ĐƯỜNG CONG PEANO: 10 7.2 TẬP TỰ ĐỒNG DẠNG 11 7.3 KHOẢNG CÁCH HAUSDORFF 12 7.4 LƯỢC ĐỒ HÀM LẶP 14 7.5 HÀM FRACTAL 16 TIỂU LUẬN GIẢI TÍCH HÀM NÂNG CAO CHƯƠNG : KHÔNG GIAN MÊTRIC KHÔNG GIAN COMPACT 4.1.Tập compact  Định nghĩa : Cho ( X,d) không gian metric A tập X Tập A gọi tập compact dãy  xn   A có dãy  xnk    xn  cho  xn  hội tụ đến k x  A  R tập compact theo bổ đề Bolzano – Weierstrass , xn    a, b; xn   x + VD1 : Tập [ a,b] k Vì a  xnk  b;k  nên a  x  b  x   a, b + VD2 : Cho dãy hàm f n ( x)  x , x  [0,1],( f0  0) n xét tập A   f0 , f1 , f2 ,  . C [ 0, 1] Khi theo khoảng cách tích phân  ( f n ; f m )   f n  f m dx thì tập A compact CM : Thật vậy, với dãy phân Ta có :  {f n } có dãy f n  f0 theo khoảng cách tích k f nk  f dx=  x nk dx    f nk  nk   Theo định nghĩa tập A compact  Chú ý : + Một tập compact tập đóng  + Tập M gọi tập compact tương đối bao đóng M compact 4.2.Đặc trưng tập compact: 4.2.1.ĐN : Cho M tập không gian mêtric X M gọi hoàn toàn S ( x,  ) bị chặn   0, B  X hữu hạn để M  xB  Một tập hoàn toàn bị chặn thì phải bị chặn k  Trong không gian R thì “hoàn toàn bị chặn”và “bị chặn” tương đương Còn không gian vô hạn chiều thì tập bị chặn thì TIỂU LUẬN GIẢI TÍCH HÀM NÂNG CAO hoàn toàn bị chặn.Bởi tồn vô số cầu bán kính bằng 1/2 chứa cầu đơn vị 4.2.2 Định lý Hausdorff : Một tập compact thì đóng hoàn toàn bị chặn Ngược lại tập đóng hoàn toàn bị chặn không gian mêtric đủ thì compact  CM (=>) : Gọi M tập compact ,hiển nhiên M phải đóng Bây ta giả sử M không hoàn toàn bị chặn Vậy có   cho phủ M bằng số hữu hạn hình cầu bán kính bằng   Lấy điểm x1  M bất kì M  B( x1 ,  ) , nên có điểm x2  M ,  ( x1, x2 )   Vì M không hoàn toàn bị chặn nên M  B( x1 ,  )  B( x2 ,  ) nên tồn điểm x3  M ,  ( x3 , x1 )   , ( x3 , x2 )   , v.v Cứ tiếp tục ,ta dãy {xn } M ,  ( xn , xm )   (n  m, n, m  1,2 ) Như dãy {xn } không chứa bất kì dãy dãy Cauchy hội tụ Mâu thuẫn giả thiết M compact Vậy M phải hoàn toàn bị chặn  () Giả sử M tập compact {Gi : i  I } phủ mở M Giả thiết phản chứng rằng {Gi : i  I } phủ hữu hạn Hay với hệ hữu hạn Gi1 , Gi2 , , Gin ta có : M \ (Gi  Gi   Gi )   Do M compact, nên M hoàn toàn bị chặn Vậy với n   tồn tập hữu [M  B( x,1)] Và hạn H  X cho M  xH B(x,1) suy M  x H thì H '  x  H : B( x,1)  M   thì M  {B( x' ,1)  M : x'  H ' } Theo giả thiết phản chứng ' ' ' phải có x  H cho M  B( x ,1) phủ số hữu hạn Gi Đặt B1  B( x' ,1) Tương tự với   , M  B1 hoàn toàn bị chặn , lại có hình cầu B2 bán kính 1/4 cho M  B1  B2 phủ số hữu hạn Gi Cứ ta nhận dãy hình cầu Bn bán kính mà 2n M  Bn phủ số hữu hạn Gi Với n  lấy tuỳ ý xn  Bn  M Do M compact nên  xn  có dãy hội tụ  xnk  hội tụ đến x0  M Do M  Gi nên tồn i0  I để 𝑥0 ∈ iI 𝐺𝑖0 Vì 𝐺𝑖0 mở nên tồn r >0 để 𝐵(𝑥0 , 𝑟) ⊂ 𝐺𝑖0 Chọn 𝑘0 đủ lớn cho 𝑛𝑘0 𝑟 𝑟 < 𝜌 (𝑥𝑛𝑘0 , 𝑥0 )< Khi với 𝑥 ∈ 𝐵𝑛𝑘0 𝑡𝑎 𝑐ó 𝑟 2 𝑛𝑘0 𝜌(𝑥, 𝑥0 ) ≤ 𝜌(𝑥, 𝑥𝑛𝑘0 ) + 𝜌 ( 𝑥𝑛𝑘0 , 𝑥0 ) < + cho trước có hàm 𝑔 ∈ ℜ cho 𝑚𝑎𝑥𝑥∈𝑋 |𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)| < 𝜀 6.3.1.ĐN: Ta nói họ 𝒫 hàm số X vành 𝑓1 , 𝑓2 ∈ 𝒫 => 𝑓1 + 𝑓2 ∈ 𝒫 , 𝑓1 𝑓2 ∈ 𝒫 6.3.2.Định lý Stone: Nếu vành 𝒫 hàm số bị chặn không gian mêtric compact X thoả mãn (∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋, ∀𝛼, 𝛽 ∈ ℝ, ∃𝑃 ∈ 𝒫 P(a)   , P(b)   thì hàm liên tục X giới hạn dãy hàm thuộc 𝒫 Fractal: 7.1 THANG CANTOR – ĐƯỜNG CONG PEANO:  ĐỊNH LÝ 18: Tồn ánh xạ liện tục từ tập Cantor F lên đoạn [0, 1] TIỂU LUẬN GIẢI TÍCH HÀM NÂNG CAO   2h  t  G   0,1 \ F  2k  Thang Cantor: (t )  0 t  sup (t ') : t'  G, t'  t t  F \       Định lý 19: Bất tập compact không gian metric X ảnh tập Cantor qua ánh xạ liên tục Chứng minh: Cho compact K ⊂ X ⇒ Phủ K hữu hạn hình cầu 𝐵𝑟1 (𝑟1 = 1,2, … , 2𝑛1 ) có đường kính không ½ Có 𝐾𝑟1 = 𝐾 ∩ 𝐵𝑟1 ≠ ∅ 𝑛1 Suy ra: 𝐾 =∪2𝑟1=1 𝐾𝑟1 Làm phép lặp k (>2) lần tương tự cho 𝐾𝑟1 ta 𝐾𝑟1𝑟2….𝑟𝑘 ≠ ∅ tập có đường kính không 1⁄ 𝑘 𝑛𝑘 −1 𝑃𝑛𝑘 =∪2 khoảng kề cấp 𝑛𝑘 − tập Cantor thì 𝐹𝑛𝑘 = [0,1]\𝑃𝑛𝑘 Tập Cantor F=∩∞ 𝑘=1 𝐹𝑛𝑘 › Đoạn 𝐹𝑛𝑘 kí hiệu ∆𝑟1𝑟2….𝑟𝑘 TIỂU LUẬN GIẢI TÍCH HÀM NÂNG CAO 10 › Ta có ∆𝑟1𝑟2….𝑟𝑖 ⊂ 𝐹𝑛𝑖 › Ứng với 𝑡 ∈ 𝐹 có dãy 𝑟1 , 𝑟2 , … , 𝑟𝑘 ,… cho 𝑡 =∩∞ 𝑘=1 ∆𝑟1 𝑟2 ….𝑟𝑘 ta nói dãy 𝑟1 , 𝑟2 , … , 𝑟𝑘 ,… dãy đặc trưng t › Xét ánh xạ f từ tập Cantor vào F: Dãy đặc trưng 𝑟1 , 𝑟2 , … , 𝑟𝑘 ,… t cho tương ứng dãy 𝐾𝑟1 ⊃ 𝐾𝑟1𝑟2 ⊃…⊃ 𝐾𝑟 𝑟 … 𝑟 ⊃ ⋯ ⊃ điểm K ta chọn: 𝑘 𝑡 → f(t) = K Hay f(𝑡) =∩∞ 𝑘=1 𝐾𝑟1 𝑟2 ….𝑟𝑘 1 › Cho 𝜀 > 0, chọn k đủ nhỏ để › Ta có t’ thỏa |𝑡 ′ − 𝑡| ≤ 𝛿 ⇒ 𝑡 ′ , 𝑡 ∈ ∆𝑟1𝑟2….𝑟𝑘 2𝑘 < 𝜀 lấy 𝛿 = ⇒ 𝑓(𝑡 ′ ), 𝑓(𝑡) ∈ 𝐹𝑟1 𝑟2….𝑟𝑘 |𝑓(𝑡 ′ ) − 𝑓(𝑡)| ≤ 2𝑘 3𝑛𝑘 tồn N(𝜀) để 𝑑(𝐴𝑘 , 𝐴ℎ ) ≤ 𝜀 𝑘ℎ𝑖 𝑘 ≥ ℎ > N(𝜀) › Kí hiệu: N(𝑣) ≔ N(2−𝑣 𝜀) hay 𝑑(𝐴𝑘 , 𝐴ℎ ) ≤ 2−𝑣 𝜀 𝑘ℎ𝑖 𝑘 ≥ ℎ > N(𝑣) › Lấy dãy tăng {𝑘𝑣 } cho 𝑘𝑣 ≥ 𝑁𝑣 › Giả sử 𝑥0 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑣 chọn thỏa 𝑥𝑖 ∈ 𝐴𝑘𝑖 ; 𝜌(𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 ) < 2−𝑖 𝜀 › Ta có : X không gian đủ {𝑥𝑣 } Suy ra: 𝑥𝑣 → 𝑥 ∈ 𝑋 › Ta có: 𝐴𝑘𝑣 ⊂ ∪𝑘≥𝑘𝑣 𝐴𝑘 › Do 𝑥 ∈ 𝐴 › Ngược lại: 𝑥 ∈ 𝐴 ta có: ∀𝑘0 ≥ 𝑁0 : x ∈ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ∪𝑘≥𝑘𝑣 𝐴𝑘 tìm ℎ0 ≥ 𝑁(𝜀): 𝜌(𝑥, 𝐴ℎ0 ) ≤ 𝜀 ⇒ 𝜌(𝑥, 𝐴𝑘0 ) ≤ 𝜌(𝑥, 𝐴ℎ0 ) + 𝜌(𝐴ℎ0 , 𝐴𝑘0 ) ≤ 2𝜀 ⇒ 𝐴 ⊂ (𝐴𝑘0 )2𝜀 Vậy: 𝑑(𝐴𝑘 , 𝐴) ≤ 2𝜀; ∀𝑘 ≥ 𝑘0 Hay 𝑑(𝐴𝑘 , 𝐴) → 𝑘ℎ𝑖 𝑘 → +∞ Dễ thấy: A compact nên 𝐴 ∈ 𝐾 Bổ đề 1: › Trong không gian metric X, ánh xạ liên tục S:  X DK › X S ( D)  K Hay: D compac thì S(D) compact 13 TIỂU LUẬN GIẢI TÍCH HÀM NÂNG CAO 14 Hệ quả: › Một tập không gian metric compact ảnh tập Cantor qua ánh xạ liên tục 7.4 LƯỢC ĐỒ HÀM LẶP Lược đồ hàm lặp IFS: › Một ánh xạ P: D → D gọi phép co nếu:  0  c  c :      P( x), P( y )   c. ( x, y ), x, y  D › Nếu A tập D thì P(A)=A’ đồng dạng với A › P: gọi phép đồng dạng › Một họ phép co gọi một lược đồ hàm lặp IFS ⇒ x ∈ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ∪𝑘≥𝑘𝑣 𝐴𝑘 Bổ đề 2: › Si : X → X ánh xạ co theo tỉ lệ ci ∈ (0,1) tức là:  Si ( x),Si ( y)   ci  ( x, y), x, y  X thì S : К → К ánh xạ co theo tỉ lệ c = max{c1, …., cm}: d S(A),S(B)   c.d(A,B), A,B  K Định lý 21: Cho: › (X,ρ) đủ › Họ ánh xạ co Si: compact D→D Thì ∃! F(bất biến) ∈ К › › E∈К : Si(E)⊂E ∀i = 1, … , m thì d (S ( E), F )  (k  ) k S (E)  E Trong đó:Sk: lặp thứ k S k ( E )  S  S k 1 ( E )  (k  1) Chứng minh: › Ánh xạ Si phép co theo tỉ lệ 𝑐𝑖 ∈ (0,1) thì ánh xạ 𝑆: 𝐾 → 𝐾 phép co theo tỉ lệ TIỂU LUẬN GIẢI TÍCH HÀM NÂNG CAO 15 𝑐 = 𝑚𝑎𝑥{𝑐1 , … , 𝑐𝑚 } (BĐ2) › Suy ra: ánh xạ có điểm bất động F (định lí 13) Hay tập ánh xạ 𝑆: 𝐷 → 𝐷 Và 𝑑(𝑆 𝑘 (𝐸), 𝐹) → 𝑘ℎ𝑖 𝑘 → +∞ Định lý 22: Cho: › Compac 𝐸(≠ ∅) ⊂ 𝑅𝑛 › Mỗi δ >0 Tồn phép đồng dạng S1,…,Sm mà tập bất biến F thỏa: d(E,F) < δ Chứng minh: › E Lấy họ hình cầu 𝐵1 , … , 𝐵𝑚 phủ E có bán kính không 𝛿⁄4 tâm ⇒ 𝐸 ⊂∪𝑚 𝑖=1 𝐵𝑖 ⊂ 𝐸𝛿⁄ Với i lấy phép đồng dạng co Si với tỉ lệ co c[...]... 𝑘0 Hay 𝑑(𝐴𝑘 , 𝐴) → 0 𝑘ℎ𝑖 𝑘 → +∞ Dễ thấy: A compact nên 𝐴 ∈ 𝐾 Bổ đề 1: › Trong một không gian metric X, một ánh xạ liên tục S:  X DK › X S ( D)  K Hay: D compac thì S(D) compact 13 TIỂU LUẬN GIẢI TÍCH HÀM NÂNG CAO 14 Hệ quả: › Một tập con của một không gian metric là compact khi và chỉ khi nó là ảnh của một tập Cantor qua một ánh xạ liên tục 7 .4 LƯỢC ĐỒ HÀM LẶP Lược đồ hàm lặp IFS:... › Cho tập A trong không gian metric (X,ρ) Với mỗi x ∈ X, đặt: › Tập δ-bao của A: A :  x  X :  ( x, A)    › Khoảnh cách Hausdorff:  ( x, A)  inf  ( x, y) : y  A d ( A, B)  inf   0: A  B , B  A  Định lý 20: Khoảng cách Hausdorff là một metric trong họ К các tập compact không rỗng của X Nếu X là không gian metric đầy đủ thì với metric ấy К trở thành một không gian metric đầy đủ... dàng kiểm tra › Ta cm tính chất thứ 4: › Giả sử X là không gian metric đủ, xét dãy {𝐴𝑘 } ⊂ K cơ bản › Ta có : mỗi 𝜀 > 0 tồn tại N(𝜀) để 𝑑(𝐴𝑘 , 𝐴ℎ ) ≤ 𝜀 𝑘ℎ𝑖 𝑘 ≥ ℎ > N(𝜀) › Kí hiệu: N(𝑣) ≔ N(2−𝑣 𝜀) hay 𝑑(𝐴𝑘 , 𝐴ℎ ) ≤ 2−𝑣 𝜀 𝑘ℎ𝑖 𝑘 ≥ ℎ > N(𝑣) › Lấy dãy tăng {𝑘𝑣 } sao cho 𝑘𝑣 ≥ 𝑁𝑣 › Giả sử 𝑥0 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑣 đã chọn thỏa 𝑥𝑖 ∈ 𝐴𝑘𝑖 ; 𝜌(𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 ) < 2−𝑖 𝜀 › Ta có : X là không gian đủ và {𝑥𝑣 } cơ bản Suy ra: 𝑥𝑣... , … , 𝐵𝑚 phủ E có bán kính không quá 𝛿 4 và tâm trong ⇒ 𝐸 ⊂∪𝑚 𝑖=1 𝐵𝑖 ⊂ 𝐸𝛿⁄ 4 Với mỗi i lấy phép đồng dạng co Si với tỉ lệ co c