Đang tải... (xem toàn văn)
tài liệu nghiên cứu khoa học về dãy số, đưa ra lí thuyết, phương pháp giải và một hệ thống các bài tập từ cơ bản đến nâng cao về dãy số. một tài liệu dùng cho học sinh tự học, ôn tập, ôn thi học sinh giỏi, thi Olympic toán, đồng thời là tài liệu cho sinh viên tham khảo về phương pháp nghiên cứu khoa học.
MỤC LỤC 1 MỞ ĐẦU Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài Dãy số có vai trò quan trọng toán học nhiều lĩnh vực khác sống Ngay từ học tiểu học học sinh bắt đầu làm quen với số toán dãy số tìm quy luật dãy số đơn giản, tính tổng dãy số Trong chương trình trung học phổ thông nay, vấn đề dãy số đưa vào chương III đại số giải tích 11 (ban nâng cao) Học sinh bắt đầu tìm hiểu khái niệm dãy số, giới hạn dãy số, hai dãy số đặc biệt cấp số cộng cấp số nhân số toán liên quan đến dãy số Ở bậc đại học, sinh viên tiếp tục tìm hiểu, nghiên cứu sâu dãy số học phần toán học cao cấp Trong toán học, dãy số có vị trí đặc biệt không đối tượng để nghiên cứu mà đóng vai trò công cụ đắc lực mô hình rời rạc giải tích lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn Dãy số phần quan trọng đại số Đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán học quốc tế (IMO) hay kỳ thi Olympic toán sinh viên trường đại học cao đẳng toàn quốc, toán dãy số thường xuất nhiều thường đánh giá mức độ khó Vì vậy, dãy số thu hút quan tâm giáo viên toán, học sinh chuyên toán sinh viên ngành toán Hiện có nhiều tài liệu viết vấn đề dãy số Các dạng toán dãy số đa dạng phong phú bao gồm toán tìm số hạng tổng quát dãy số, khảo sát hội tụ hay phân kỳ dãy số, toán tính tổng dãy số Bên cạnh đó, số dạng toán phương trình hàm, giải thông qua công cụ dãy số Để giải toán dãy số đòi hỏi người làm toán phải có kiến thức tổng hợp số học, đại số, giải tích đòi hỏi sáng tạo tư lôgic cao Tính cấp thiết đề tài Như trình bày trên, có nhiều tài liệu viết vấn đề dãy số, dạng toán dãy số đa dạng phong phú Tuy nhiên, tài liệu dãy số dường giới thiệu kiến thức sở để nghiên cứu hàm số, chuỗi số ứng dụng dãy số chưa giới thiệu nhiều Trong tài liệu, tập dãy số chưa có phân loại phân dạng cụ thể Chính vậy, mạnh dạn chọn đề tài “Khai thác số dạng toán dãy số” để nghiên cứu Nhóm thực đề tài hi vọng tài liệu 2 tham khảo tốt cho học sinh yêu thích toán, sinh viên chuyên ngành toán quan tâm đến dãy số bạn sinh viên chuẩn bị tham gia vào kì thi Olympic toán sinh viên Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài - Khai thác số dạng toán dãy số như: tìm số hạng tổng quát, tìm giới hạn - Đưa số ứng dụng dãy số giải phương trình hàm, số toán chứng minh bất đẳng thức dãy số - Đưa hệ thống ví dụ minh họa cho dạng toán dãy số Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 4.1 Đối tượng nghiên cứu: dãy số 4.2 Phạm vi nghiên cứu: tìm số hạng tổng quát, tính giới hạn dãy số, ứng dụng dãy số Nội dung nghiên cứu Đề tài gồm chương: Chương 1: Dãy số 1.1 Các khái niệm 1.2 Giới hạn dãy số 1.3 Các dấu hiệu hội tụ dãy số 1.4 Dãy truy hồi Chương 2: Số hạng tổng quát dãy số 2.1 Phương pháp quy nạp 2.2 Phương pháp sử dụng đẳng thức 2.3 Phương pháp sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân 2.4 Phương pháp sai phân 2.5 Phương pháp lượng giác 2.6 Phương pháp ma trận Chương 3: Giới hạn dãy số 3.1 Tính giới hạn dãy số 3.2 Xét tính hội tụ dãy số Chương 4: Ứng dụng dãy số 4.1 Giải phương trình hàm 4.2 Một số toán bất dẳng thức dãy số 3 Phương pháp nghiên cứu Từ việc nghiên cứu tài liệu dãy số, nhóm đề tài tổng hợp phân loại phương pháp tìm số hạng tổng quát tính giới hạn dãy số Thông qua việc nghiên cứu dãy số, nhóm đề tài nghiên cứu ứng dụng dãy số vào dạng toán khác Trên sở lí thuyết nghiên cứu, nhóm đề tài xây dựng hệ thống ví dụ tập minh họa Để khai thác dạng toán số hạng tổng quát dãy số, sử dụng số phương pháp phương pháp quy nạp, phương pháp sai phân, phương pháp truy hồi,… Để khai thác dạng toán giới hạn dãy số hội tụ dãy số, sử dụng phương pháp kẹp giữa, phương pháp sai phân,… 4 CHƯƠNG 1: DÃY SỐ Trong chương trình bày khái niệm dãy số: định nghĩa dãy số, giới hạn dãy số, định lý liên quan đến giới hạn dãy số số tiêu chuẩn hội tụ dãy số Các khái niệm chương trích dẫn từ tài liệu tham khảo[1], [3], [4], [6] 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Định nghĩa dãy số thực Định nghĩa 1.1 - Một ánh xạ u từ tập số nguyên dương N* vào tập hợp số thực R gọi dãy số thực (dãy số vô hạn) u : ¥* → ¡ n a u ( n) Dãy số thường viết dạng khai triển u1 , u2 , , un , un = u ( n ) u1 un , gọi số hạng đầu, số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số { un } n∈Ν {un } ( un ) n∈Ν Kí hiệu: , , m∈ ¥* - Mỗi ánh xạ u xác định tập M = {1,2,3,…, m} với gọi dãy số hữu hạn u1 , u2 , , um u1 um Dạng khai triển số hạng đầu, số hạng cuối 1.1.2 Dãy số bị chặn {un } Dãy số gọi là: - dãy số bị chặn tồn số M cho: un < M , ∀n un > m ∀n - dãy số bị chặn tồn số m cho: , - dãy số bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn Nhận xét: 5 - dãy số bị chặn tồn số M > cho: u n ≤ M , ∀n 1.1.3 Dãy số đơn điệu {un } Dãy số thực gọi là: - dãy đơn điệu tăng nếu: un ≤ un +1 , ∀n - dãy đơn điệu tăng nghiêm ngặt nếu: un ≥ un+1 , ∀n - dãy đơn điệu giảm nếu: un < un+1 , ∀n un > un+1 , ∀n - dãy đơn điệu giảm nghiêm ngặt nếu: - dãy số thực tăng giảm gọi đơn điệu, tăng nghiêm ngặt giảm nghiêm ngặt gọi đơn điệu nghiêm ngặt Nhận xét: { un } , { } { un + } - Nếu dãy tăng (tương ứng giảm) dãy tăng (tương ứng giảm) { un } , { } - Nếu dãy tăng (tương ứng giảm) số hạng không { u v } n n âm dãy tăng (tương ứng giảm) - Một dãy số không tăng không giảm {un } un = (−1) n , n ∈ N Ví dụ: Dãy xác định 1.1.4 Dãy dãy số thực {un }: u1 , u2 , , un Cho dãy {u n } Dãy k từ dãy với số thỏa mãn: n1 < n2 < n3 {un } 1.2 Giới hạn dãy số 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.2 6 gọi dãy trích a) Dãy (un ) gọi hội tụ đến l (hay có giới hạn l) un − l < ε , ∀n > n0 ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N cho lim u = l {un } n →+∞ n Kí hiệu: dãy gọi dãy hội tụ Dãy số không hội tụ gọi dãy phân kì lim u = {un } n →+∞ n n → +∞ Nếu dãy gọi vô bé b) Giới hạn vô (un ) - Dãy gọi có giới hạn dương vô nếu: ∀A > 0, ∃n0 ∈ N , ∀n > n0 ⇒ un > A lim un = +∞ n →+∞ Kí hiệu: (un ) - Dãy gọi có giới hạn âm vô nếu: ∀A > 0, ∃n0 ∈ N , ∀n > n0 ⇒ u n < − A lim un = −∞ n →+∞ Kí hiệu: (un ) - Dãy gọi dãy vô lớn nếu: ∀A > 0, ∃n0 ∈ N , ∀n > n0 ⇒ un > A Nhận xét: - Dãy bé (un ) gọi dãy vô lớn dãy - Dãy có giới hạn 1 un dãy vô ±∞ phân kì +∞ - Mọi dãy tiến đến bị chặn −∞ - Mọi dãy tiến đến bị chặn 1.2.2 Một số tính chất giới hạn: Định lý 1.1: Nếu dãy số hội tụ giới hạn 7 Chứng minh: lim u = a1 , nlim u = a2 a1 = a2 n →+∞ n →+∞ n Giả sử: Ta phải chứng minh: a −a ε= a1 − a2 > ε Chọn Ta có: (1) ∀ε > Khi ε ∀n > n1; un − a1 < lim un = a1 , ∃n1 n →+∞ cho ε ∀n > n2 ; un − a2 < lim un = a2 , ∃n2 n →+∞ cho n = max(n1 , n2 ) Chọn Ta có: ε ε a1 − a2 = a1 − un + un − a2 ≤ a1 − un + un − a2 < + = ε 2 (2) a1 − a2 = ⇒ a1 = a2 ⇒ Từ (1) (2) suy đpcm Định lý 1.2: Mọi dãy dãy hội tụ dãy hội tụ có giới hạn dãy Chứng minh: lim u = a ∀ε > 0; ∃n0 ; ∀n > n0 : un − a < ε n →+∞ n Giả sử: Khi {u } nk Xét k dãy {un } ∀k > n0 ; nk ≥ k ≥ n0 ⇒ un − a < ε ⇒ n→+∞ lim un = a k Khi Định lý 1.3: Nếu dãy {un } k lim un = a dãy hội tụ n →+∞ dãy lim un = a n →+∞ Chứng minh: lim u = a ∀ε > 0; ∃n0 ; ∀n > n0 : un − a < ε n →+∞ n Giả sử: Khi 8 { un } hội tụ un − a < ε , ∀n > n0 u n − a ≤ un − a ⇒ Mà lim un = a { un } n →+∞ Do dãy hội tụ Định lý 1.4: Mọi dãy hội tụ dãy bị chặn Chứng minh: lim u = a lim un = a n →+∞ n n →+∞ Giả sử: Theo tính chất ta có ε =1 Chọn lim u = a ∃n0 ; ∀n > n0 : un − a < ⇒ un < a + 1; ∀n > n0 n →+∞ n Từ có M = max{ u1 , u2 , , un , a + 1} Đặt Ta có un ≤ M , ∀n ∈ N * Do dãy {un } bị chặn Định lý 1.5: Giả sử dãy a) Dãy { b) Dãy { un + } un } {un } hội tụ hội tụ Khi đó: lim(un + ) = lim un + lim n →+∞ n →+∞ hội tụ n →+∞ dãy n →+∞ n →+∞ un lim u = a, ∃n1 n →+∞ n hội tụ ∀n > n1 ; un − a < ε ∀n > n2 ; − b < ε cho lim = b, ∃n2 n →+∞ lim n →+∞ Chứng minh: lim u = a, lim = b n →+∞ n n →+∞ a) Giả sử: ∀ε > Khi n →+∞ n →+∞ lim(un ) = lim un lim lim = b ≠ c) Nếu {vn } cho un un nlim = →+∞ nlim v →+∞ n Chọn Ta có: n0 = max( n1 , n2 ) (un + ) − (a + b) ≤ un − a + − b < ε ε + = ε , ∀n > n0 2 lim(un + ) = a + b = lim un + lim Do đó: n →+∞ n→+∞ n→+∞ lim un = a, lim = b n →+∞ b) Giả sử: Dãy Đặt {vn } n →+∞ hội tụ nên bị chặn Do ∃M > : < M , ∀n M = max ( M , a ) Khi ∀ε > ε 2M ε ∃n2 , ∀n > n2 : − b < 2M ∃n1 , ∀n > n1 : un − a < n0 = max ( n1 , n2 ) ∀n > n0 : un − ab = un − avn + avn − ab ≤ un − a + a − b < lim(un ) = ab = nlim u lim v →+∞ n n →+∞ n n →+∞ Do lim u = a, lim = b ≠ n →+∞ n n →+∞ c) Giả sử: Chọn: b b ε = lim v = b , ∃ n : v − b < , ∀n > n1 n n n→∞ b b − < − b ⇒ > b − , ∀n > n1 Do đó: 10 ≠ 0, ∀n > n1 10 ε ε M + M =ε 2M 2M CHƯƠNG 4: ỨNG DỤNG CỦA DÃY SỐ Dãy số có nhiều ứng dụng giải phương trình hàm, sử dụng dãy số chứng minh bất đẳng thức, sử dụng dãy số xây dựng số nghiệm phương trình nghiệm nguyên, sử dụng dãy số để giải phương trình… Trong đề tài đề cập đến ứng dụng dãy số việc giải phương trình hàm số ví dụ sử dụng dãy số chứng minh bất đẳng thức 4.1 Giải phương trình hàm n ∑ a f ( x) + g ( x) = 4.1.1 Phương trình hàm dạng Xét phương trình hàm i =1 i f n ( x ) = f ( f ( ( f ( x)) ) 42 43 n ∑ a f ( x) + g ( x ) = i =1 i i i , với có f ( x) n f chữ a1 , a2 , an ( với hàm cần tìm; số cho trước) Cách giải f Giả sử hàm số thỏa mãn đề Với x thuộc tập xác định hàm số f ( x), un ta xây dựng dãy số sau: u0 = x, u1 = f (u0 ), u2 = f (u1 ) = f ( f ( x)), , un +1 = f (un ), ∀n ∈ ¥ Tìm số hạng tổng quát dãy Thử lại kết luận un , từ suy u0 , suy f : [ 0; +∞ ) → [ 0; +∞ ) u1 = f ( x) Ví dụ 4.1: Tìm tất hàm thỏa mãn f ( x) + f ( f ( x)) = x, ∀x ≥ (1) Giải x ∈ [ 0; +∞ ) un Với ta xây dựng dãy sau: u0 = x, u1 = f (u0 ), u2 = f (u1 ) = f ( f ( x)), , un +1 = f (un ), ∀n ∈ ¥ 102 102 Do un = f (un−1 ) ∈ [ 0; +∞ ) un ≥ 0, ∀n ∈ ¥ nên un + + un +1 − 2un = 0, ∀n = 0,1, Trong (1) lấy x = un λ2 + λ − = Phương trình đặc trưng cos nghiệm -2 Do n un = α + β (−2) , ∀n = 0,1,2, Cách 1: 2n 1 ≤ u2 n ⇒ ≤ α + β ⇒ β ≥ −α ÷ 2 2n n +1 ≤ u2 n+1 ⇒ ≤ α − β 2n n +1 1 ⇒ β ≤ α ÷ 2 2n 1 1 −α ÷ ≤ β ≤ α ÷ , ∀n = 0,1,2, 2 2 ⇒ (2) β =0 n → +∞ Từ (2) cho sử dụng nguyên lý kẹp ta Cách 2: u0 = x, u1 = f ( x) Do nên x = α + β x + f ( x) x − f ( x ) ⇔ ( α;β ) = ; ÷ f ( x ) = α − β 3 Do un = Nếu x − f ( x) > u2 n+1 < 0, Vậy x + f ( x) x − f ( x) + ( −2) n , ∀n = 0,1,2, 3 lim u2 n+1 = −∞ từ (3) ta có n →+∞ mâu thuẫn x − f ( x) < x lấy tùy ý khoảng suy tồn [ 0;+∞ ) f ( x) = x, ∀x ∈ [ 0; +∞ ) Thử lại thấy thỏa mãn Vậy có hàm số thỏa mãn đề là: 103 (3) 103 nên n∈¥ cho f ( x) = x, ∀x ≥ f : [ 0; +∞ ) → [ 0; +∞ ) Ví dụ 4.2: Tìm tất hàm số thỏa mãn f ( f ( x)) + f ( x) − 21x = 2014, ∀x ∈ [ 0; +∞ ) (1) Giải f Giả sử hàm số thỏa mãn đề bài, ta có (1) x ∈ [ 0; +∞ ) un x Với ta cố định xây dựng sau: u0 = x, u1 = f (u0 ), u2 = f (u1 ) = f ( f ( x)), , un +1 = f (un ), ∀n ∈ ¥ un ∈ [ 0; +∞ ) x Từ (1) thay ta un + + 4un +1 − 21un = 2014, ∀n = 0,1, 2, λ + 4λ − 21 = −7 Phương trình đặc trưng có nghiệm đó: n n un = α + β ( −7) + a, ∀n = 0,1,2, β với số, 2014 1007 a + 4a − 21a = 2014 ⇔ a = − =− 16 a số thỏa mãn phương trình 1007 ⇒ un = α 3n + β (−7) n − , ∀n = 0,1, Vì un = f ( un −1 ) ∈ [ 0; +∞ ) Do với n∈¥ nên un ≥ 0, ∀n ∈ ¥ ta có 2n 1007 1007 3 ≤ 2n ⇒ ≤ α + β − ⇒ β ≥ −α ÷ + 8.7 n 7 2n 2n n +1 ≤ u2 n+1 ⇒ ≤ α n +1 1007 3 − ⇒ β ≤ α ÷ 7 − 1007 8.7 n+1 Bởi 2n n +1 1007 3 3 −α ÷ + ≤ β ≤ α ÷ 2n 8.7 7 7 104 − 1007 , ∀n = 0,1, 8.7 n+1 104 Từ cho n → +∞ sử dụng nguyên lý kẹp ta 1007 un = α 3n − , ∀n = 0,1,2 β =0 Vậy Do ta có uo = α − Vì x 1007 1007 1007 1007 = x, u1 = f ( x) = 3α − = 3 x + ÷− 8 f lấy tập xác định hàm số 1007 f ( x) = x + , ∀x ∈ [ 0; +∞ ) nên Thử lại thấy thỏa mãn Vậy có hàm số thỏa mãn đề f ( x) = x + 1007 , ∀x ∈ [ 0; +∞ ) f ( x) = f ( g ( x)) 4.1.2 Phương trình hàm dạng f ( x) = f ( g ( x)) g f Xét phương trình hàm dạng , hàm số cho trước, hàm số cần tìm với giả thiết liên tục tập xác định Cách giải f Lấy a giá trị tùy ý thuộc thuộc tập xác định hàm số xây dựng ( xn ) +∞ n =1 x1 = a ( xn ) dãy số thích hợp với Hơn dãy thỏa mãn đồng thời f (a) = f ( x1 ) = f ( x2 ) = = f ( xn ) = f ( xn +1 ) = Dãy ( xn ) hội tụ b f Sử dụng tính liên tục hàm số để suy ( xn ) +∞ n =1 f (a ) = f (b) f Do đo Chú ý: thường ta xây dựng dãy số sau: x1 = a, xn +1 = g −1 ( xn )(∀n = 1,2, ) x1 = a, xn+1 = g ( xn ) 105 105 hàm (với g −1 ( xn ) = {y:g(y)=x n } Ví dụ 4.3: Tìm tất hàm số khoảng (0; +∞) f : (0; +∞) → (0; +∞) f cho hàm liên tục 2x + f ( x) = f ÷, ∀x ∈ (0; +∞) x + Giải f a>0 Giả sử hàm số thỏa mãn đề Với , ta xây dựng dãy số sau: + xn x1 = a, xn +1 = , ∀n = 1,2, + xn f (a ) = f ( x1 ) = f ( x2 ) = = f ( xn ) = f ( xn +1 ) = Đặt b = −1 b= xn +1 − b = = + 2b 4+b Ta có + xn + 2b + b + xn + 2bxn − − xn − 8b + 2bxn − = + xn 4+b (4 + b)(4 + xn ) xn − b (4 + b)(4 + xn ) n 7 7 xn +1 − b < xn − b < ÷ xn −1 − b < < ÷ x1 − b 16 16 16 xn > 0, ∀n ∈ ¥ * nên 7 < , ∀n ∈ ¥ * (4 + b)(4 + xn ) 16 n −1 106 ( xn ) +∞ n =1 7 xn − b < ÷ a − b 16 106 mà Do b>0 lim xn = b n → +∞ n →+∞ Cho suy f (0; +∞) Vì liên tục nên ta có: f (a ) = lim f (a) = lim f ( xn ) = f (lim xn ) = f ( − 1) n →∞ Vậy với a ∈ (0; +∞) n→∞ n→∞ f (a) = f ( − 1) f , tức không đổi khoảng (0; +∞) Thử lại thấy thỏa mãn Vậy tất hàm số cần tìm có dạng: f ( x) = C , ∀x ∈ (0; +∞) (với C số dương) Ví dụ 4.4: a ∈ ¡ \ { − 1;1} f ( x) Cho Tìm tất hàm số xác định liên tục (0; +∞) cho f ( xα ) = f ( x), ∀x ∈ (0; +∞) (1) Giải f Giả sử hàm số thỏa mãn đề bài, ta có (1) α < ( xn )+∞ a>0 n =1 Trường hợp 1: Lấy tùy ý, xét dãy sau: x1 = a, xn+1 = xnα , ∀n = 1,2, Khi từ (1) ta có f (a ) = f ( x1 ) = f ( x1α ) = f ( x2 ) = f ( x2α ) = f ( x3 ) = = f ( xn ) n −1 xn = ( xn −1 )α = ( xn − )α = = ( x1 )α = aα n−1 f Mà hàm số liên tục nên ta có ( ) ( f (a ) = lim f ( xn ) = f lim xn = f lim aα n →+∞ Vậy n →+∞ ) = f (1) f (a ) = f (1), ∀a > α > Trường hợp 2: 107 n →+∞ n −1 Lấy a>0 tùy ý, xét dãy 107 ( xn )+∞ n =1 sau: x1 = a, xn+1 = xnα , ∀n = 1,2, Trong (1) thay x x α1 f ( x) = f x ÷, ∀x ∈ (0; +∞) Khi α1 f ( xn +1 ) = f xn ÷ = f ( xn ) = f ( xn −1 ) = = f ( x1 ) = f (a ) α α2 xn = ( xn −1 ) = ( xn− ) = = ( x1 ) α n−1 =a n −1 f Mà hàm số liên tục nên ta có: ( ) α f (a) = nlim f ( x ) = f lim x = f lim a n n n→+∞ ÷ = f (1) →+∞ n →+∞ Vậy n −1 f (a ) = f (1), ∀a > Do f ( x ) = C , ∀v > (C số bất kỳ) Thử lại thấy thỏa mãn 2x g ( x) = + x2 Ví dụ 4.5: Cho f ( −1;1) Hãy tìm tất hàm số xác định, liên tục khoảng thỏa mãn hệ thức (1 − x ) f ( g ( x)) = (1 + x ) f ( x ), ∀x ∈ ( −1;1) Giải (1 − x ) f ( g ( x )) = (1 + x )2 f ( x ), ∀x ∈ (−1;1) ⇔ (1 − x ) f ( g ( x )) = (1 − x ) f ( x ), ∀x ∈ (−1;1) 2 (1 + x ) ⇔ 2x φ = φ ( x), ∀x ∈ ( −1;1), ÷ 1+ x 4.1.3 Phương trình hàm dạng 108 φ ( x) = (1 − x ) f ( x) với af ( x ) + bf ( g ( x)) = h( x ) 108 Xét phương trình hàm dạng af ( x) + bf ( g ( x)) = h( x) g ( x) , h( x) f với a,b số thực, hàm số biết, hàm số cần tìm Cách giải x1 f ( x) Lấy giá trị tùy ý thuộc tập xác định hàm số xây dựng dãy số ( xn ) sau: xn +1 = g ( xn ), ∀n = 1, 2, Nếu ( xn ) dãy số tuần hoàn giải phương trình hàm phương pháp Nếu dãy ( xn ) hội tụ (thường xuất trường hợp giả thiết cho f hàm số liên tục) áp dụng phương pháp chuyển qua giới hạn 1 ¡ \ ;− f 3 3 Ví dụ 4.6: Tìm tất hàm số xác định cho x +1 1 f ( x) + f ÷ = x, ∀x ∈ ¡ \ ; − − 3x 3 3 (1) Giải f x1 Giả sử hàm số thỏa mãn đề bài, ta có (1) Lấy giá trị tùy ý 1 ¡ \ ;− 3 3 , ta xây dựng dãy số x +1 xn+1 = n , ∀n = 1,2, − xn ( xn ) sau: Ta có x2 = 109 x1 + x +1 x −1 x +1 , x3 = = , x4 = = x1 − x1 − x2 + x1 − x3 109 ( xn ) Vậy được: dãy số tuần hoàn chu kỳ Trong (1) thay x f ( x1 ) + f ( x2 ) = x1 f ( x2 ) + f ( x3 ) = x2 f (x ) + f (x ) = x 3 Giải hệ với ẩn f ( x1 ) ta 1 x1 − x1 + x13 + x12 − x1 + f ( x1 ) = ( x1 + x3 − x2 ) = x1 + − ÷= 2 + x1 − 3x1 x12 − 1 ¡ \ ;− 3 3 x1 Do lấy tùy ý Thử lại ta kết luận: Có hàm số thỏa mãn đề x3 + x − x + 1 f ( x) = , ∀x ∈ ¡ \ ; − 18 x − 3 3 Ví dụ 4.7: Giải phương trình hàm x −1 f ( x) + f ÷ = + x, ∀x ≠ 0,1 x ( xn ) n Giải Ta xây dựng dãy số sau: x −1 x1 ∈ ¡ \ {0,1}, xn = n−1 , ∀n ≥ xn−1 x2 = Khi Như x1 − x −1 −1 x −1 , x3 = = , x4 = = x1 x1 x2 x1 − x3 ( xn ) n dãy tuần hoàn chu kỳ x = xi Trong (1) thay (với i=1,2,3) ta f ( x1 ) + f ( x2 ) = + x1 f ( x2 ) + f ( x3 ) = + x2 f (x ) + f (x ) = + x 3 110 110 x1 , x2 , x3 ta Giải hệ phương trình ta 1 1 f ( x1 ) = x1 + + ÷ 2 x1 − x1 1 1 f ( x1 ) = x1 + + ÷, x1 ∈ ¡ \ {0,1} 2 x1 − x1 x1 ∈ ¡ \ {0,1} Vì tùy ý, nên Thử lại, ta thấy nghiệm thỏa mãn toán f :¡ → ¡ x=0 Ví dụ 4.8: Tìm hàm số liên tục thỏa mãn nf (nx) = f ( x) + nx, ∀x ∈ ¡ (trong Giải n >1 số tự nhiên cố định đó) f Giả sử hàm số thỏa mãn yêu cầu toán f (0) = x=0 Trong (1) lấy nx f ( x) = g ( x) + , ∀x ∈ ¡ n −1 Đặt g g (0) = Khi hàm số liên tục tai 0, n2 x nx n g ( nx) + = g ( x) + + nx, ∀x ∈ ¡ n − n − ⇔ ⇔ ⇔ Với 111 n3 x n3 x ng (nx ) + n − 1 = g ( x) + n − , ∀x ∈ ¡ g (nx) = g ( x) = x1 ∈ ¡ g ( x), ∀x ∈ ¡ n 1 g ÷, ∀x ∈ ¡ n n (x ) k xét dãy (2) xk +1 = +∞ k =1 sau: 111 xk , ∀k = 1,2, n (1) k 1 xk +1 = x1 ÷ , lim xk = n n→+∞ Trong (2) thay x x1 , x2 , , xk −1 ta được: k −1 1 1 g ( x1 ) = g ( x2 ) = ÷ g ( x3 ) = = ÷ g ( xk ) n n n k −1 1 g ( x1 ) = ÷ g ( xk ), ∀k = 1,2, n Vậy g g ( x1 ) = g (0) = k → +∞ Do hàm liên tục nên cho ta được: x1 g ( x) = 0, ∀x ∈ ¡ ¡ Do lấy tùy ý nên nx f ( x) = , ∀x ∈ ¡ n −1 Do ta có Sau thử lại ta kết luận: Có hàm số thỏa mãn đề nx f ( x) = , ∀x ∈ ¡ n −1 4.2 Một số toán bất đẳng thức dãy số (an ) Ví dụ 4.9: Cho dãy số thực dương thỏa mãn bất đẳng thức 2014 an2013 ≥ an−1 + an − + + a1 , ∀n ≥ Chứng minh tồn số ≥ với giá trị n Giải 2014 Ta có an ≥ a12013 , ∀n ≥ C >0 cho 2014 Suy 2014 a12013 ≥ (n − 2)a12013 + 1, ∀n ≥ 2014 lim a12013 = +∞ Do Suy 112 an > nC , n →+∞ 112 2014 ∃n0 : a12013 ≥ 1, ∀n ≥ n0 ∃n0 : an ≥ 1, ∀n ≥ n0 ⇒ an 1 a2 ; a1 ; ; ; = C , n0 4 (*) Đặt an ≥ nC Giả sử Khi (*) ta có a an ≥ nC , ∀n = 1, 2, , n0 n ≤ n1 (n1 ≥ n ) với giá trị n +1 ≥a 2014 2013 n +1 ≥ an + an −1 + + a1 ≥ [ n + (n − 1) + + 1] C n(n + 1) n C ≥ (n + 1)2 C ≥ ≥C÷ 2( n + 1) ⇒ an+1 ≥ ( n + 1)C = Theo nguyên lý quy nạp suy điều phải chứng minh Ví dụ 4.10: (un ) +∞ n =1 Cho dãy số vô hạn thỏa mãn điều kiện sau: ≤ un ≤ un − 2un+1 + un + ≥ 0, ∀n = 1, 2, ≤ u (un − u n +1 ) ≤ 2, ∀n = 1,2, Chứng minh Giải un − 2un +1 + un + ≥ 0, ∀n = 1, 2, Theo giả thiết ta có un − un+1 ≥ un+1 − un + , ∀n = 1, 2, m ≥ n ≥1 Từ suy với ta có: u1 − u2 ≥ u2 − u3 ≥ u3 − u4 ≥ un − un +1 ≥ um − um +1 Dãy bất đẳng thức viết lại dạng sau 113 113 (1) u1 − u2 ≥ un − un +1 u − u ≥ u − u n n +1 u3 − u4 ≥ un − un +1 un −1 − un ≥ un − un+1 un − un+1 ≥ un − un+1 Cộng vế n bất đẳng thức ta có: u1 − un+1 ≥ n(un − un +1 ) (2) Một lần nữa, từ (1) ta có un − un +1 ≥ un − un+1 u − u ≥ u − u n +1 n +1 n+ n un − un +1 ≥ un+ − un+3 un − un +1 ≥ um −1 − um un − un +1 ≥ um − um+1 (m + − n) Cộng vế bất đẳng thức ta có: ( m − n + 1)(un − un+1 ) ≥ (un − um+1 ) Vì ≤ u1 ≤ 2,0 ≤ un+1 ≤ Với u1 − un+1 ≤ nên n(un − un +1 ≤ 2, ∀n = 1, 2, Do từ (2) suy (4) m ≥ n, theo (3) ta có u − um+1 −2 un − un +1 ≥ n ≥ m − n +1 m − n +1 Vì (5) với (5) m = n, n + 1, n + 2, nên từ (4) suy −2 un − un +1 = lim( u − u ) ≥ lim = n n + m →∞ m →∞ m − n +1 Từ (4) (6) ta có điều phải chứng minh 114 (3) 114 (6) KẾT LUẬN Đề tài hoàn thành mục tiêu đề thuyết minh đề cương Những kết mà đề tài thực là: - Khai thác số dạng toán dãy số như: tìm số hạng tổng quát, tính giới hạn dãy số, xét tính hội tụ dãy số nghiên cứu số ứng dụng dãy số giải phương trình hàm, sử dụng dãy số chứng minh bất đẳng thức - Đề tài đưa hệ thống gồm 80 ví dụ khai thác dạng toán dãy số có 30 ví dụ số hạng tổng quát dãy số 40 ví dụ giới hạn dãy số Tuy nhiên, bên cạnh đề tài hạn chế chưa khái quát hết tất phương pháp tính giới hạn dãy số nghiên cứu số ứng dụng dãy số Nhóm nghiên cứu mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn để đề tài hoàn thiện 115 115 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Tô Văn Ban (2006), Giải tích tập nâng cao, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [2] Nguyễn Tài Chung (2013), Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên khảo dãy số, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [3] Nguyễn Văn Khuê - Phạm Ngọc Thao - Lê Mậu Hải - Nguyễn Đình Sang (1997), Toán học cao cấp tập 1(a1), Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [4] Trần Đức Long - Nguyễn Đình Sang - Hoàng Quốc Toàn (2001), Giáo trình Giải tích tập 1, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Văn Mậu (2006), Một số toán chọn lọc dãy số, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [6] Nguyễn Mạnh Quý - Nguyễn Xuân Liêm (2006), Giáo trình phép tính vi phân tích phân hàm biến số, Nhà xuất Đại học sư phạm Hà Nội [7] Jean- Marie Monier (2006), Giáo trình giải tích tập 1, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [8] Các trang web toán học: www.maths.vn, www.vnmath.com, www.diendantoanhoc.net 116 116 [...]... chẽ hơn Trong một số bài toán đơn giản ta có thể dự đoán được công thức tổng quát của dãy số bằng cách cho một vài giá trị đầu của dãy số dựa vào công thức truy hồi đã cho Sau đó ta dùng phương pháp quy nạp chứng minh công thức tổng quát của dãy số Ví dụ 2.2: Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau : u1 = 3, un+1 = 2un ( n ≥ 1) , Giải Bằng cách thử trực tiếp một vài giá trị đầu của dãy số ta dự đoán Ta... thức truy hồi về dạng của cấp số cộng hoặc cấp số nhân thì bài toán trở nên khá là đơn giản 2.3.1 Sơ lược về cấp số cộng, cấp số nhân Định nghĩa 2.1: un = un −1 + d ∀n ≥ Dãy số (un) có tính chất , 2, d là số thực không đổi gọi là cấp số cộng d: gọi là công sai của cấp số cộng; u1 gọi là số hạng đầu, un gọi là số hạng tổng quát của cấp số cộng un = u1 + (n − 1)d Định lý 2.1: Cho cấp số cộng (un) Ta có:... Ví dụ 2.5: Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) u1 = 2 3 2 un +1 = un + 6un + 12un + 6 21 21 n −1 v13 = a 3n −1 −1 2 3n−1 b α + ÷ 3a n −1 Giải Áp dụng bài toán 2.2 có u n = 43 − 2 2.3 Phương pháp sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân Cấp số cộng, cấp số nhân là một trong những nội dung của chương trình toán học phổ thông Trong một số bài toán xác định số hạng tổng quát của dãy số nếu ta đưa... ≤ ε , ∀p ≥ 0 {un } là dãy cauchy {un } - Dãy là dãy Cauchy khi và chỉ khi nó hội tụ Chứng minh: ⇒ Giả sử dãy Vậy ⇐ {un } hội tụ đến giới hạn a Khi đó: ε ∀ε > 0, ∃n0 , ∀n > n0 : un − a < 2 ε ε ∀m, n > n0 ; un − um ≤ un − a + a − um < + = ε 2 2 {un } là 1 dãy cơ bản Giả sử {un } là 1 dãy cơ bản Khi đó chuẩn hội tụ Weierstrass dãy {un } là một dãy bị chặn Do đó theo tiêu có một dãy con hội tụ đến giới... (1) đúng với mọi số tự nhiên n thuộc N* 2.1.2 Sử dụng phương pháp quy nạp tìm số hạng tổng quát của dãy số Phương pháp quy nạp là một phương pháp rất có hiệu quả trong việc đi tìm số hạng tổng quát của dãy số Nó là một trong những công cụ đắc lực cho việc tìm công thức tổng quát của dãy số Sau khi tìm được công thức tổng quát của dãy số ta thường dùng phương pháp quy nạp để làm cho bài toán thêm chặt... n < a + ε ⇒ vn − a < ε , ∀n > n2 lim vn = a Vậy n →+∞ 1.3 Các dấu hiệu hội tụ dãy số Định lý 1.8: (Tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass) a) Nếu b) Nếu 12 {un } {un } lim un = sup { un } n →+∞ dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ và dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ và 12 n ≥1 lim un = inf { un } n ≥1 n →+∞ cũng hội Chứng minh: {un } a) Vì dãy bị chặn trên nên nó có cận trên đúng a = sup un ; a