Phng phỏp gii toỏn i s CHNG I: CN BC HAI - CN BC BA I CN BC HAI - CN THC BC HAI Cn bc hai s hc Cn bc hai ca mt s khụng õm a l s x cho x = a S dng a cú ỳng hai cn bc hai l hai s i nhau: S dng kớ hiu l kớ a , s õm hiu l a = S cú ỳng mt cn bc hai l chớnh s 0, ta vit Vi s dng a, s a l cn bc hai s hc ca a S cng l cn bc hai s hc ca Vi hai s khụng õm a, b, ta cú: a < b a< b Cn thc bc hai Vi A l mt biu thc i s, ta gi A l cn thc bc hai ca A A xỏc nh (hay cú ngha) A ly giỏ tr khụng õm A A2 = A = A neỏu A neỏu A < DNG 1: TèM IU KIN A Cể NGHA Phng phỏp: A cú ngha A cú ngha g(x) A cú ngha A > cú ngha v g(x) Chỳ ý: Nu bi yờu cu tỡm TX thỡ sau tỡm c iu kin x, cỏc em biu din di dng hp Nu |f(x)| a thỡ f(x) a hoc f(x) -a ( vi a>0) Nu |f(x)| a thỡ -a f(x) a ( vi a>0) Bi Vi giỏ tr no ca x thỡ mi cn thc sau cú ngha: a) 3x b) 2x c) x + d) 3x + e) 9x f) 6x HD: a) Biu thc cú ngha khi: -3x ú x Cỏc cõu khỏc lm tng t: GV: Nguyn Chớ Thnh 0975705122 Nhn dy kốm hc sinh L6-L12 Dy trc chng trỡnh cho hc sinh i du hc b) x Bi c) x d) x e) x Phng phỏp gii toỏn i s f) x Vi giỏ tr no ca x thỡ mi cn thc sau cú ngha: x + x2 x2 a) 2x d) x + x2 b) x + e) 2x + x c) x f) x +1 + x2 HD: a) Biu thc cú ngha khi: b) Biu thc cú ngha khi: c) Biu thc cú ngha : d) x< e) x> úx >2 f) Biu thc cú ngha khi: x+1 1) x d) x + x + x (2 x 0) x2 + x2 4x + ( x < 2) x * Rỳt gn cỏc biu thc sau: 2 a) A= 4a + 4a 2a b)B= x y x xy + y c)C= x + x x + 16 x 4x2 + x 10 x + 25 2x x5 d)D= e) E= ( x 4)2 + x2 f)F= x4 x x + 16 2 2 Bi Cho biu thc A = x + x x x a) Vi giỏ tr no ca x thỡ A cú ngha? b) Tớnh A nu x Bi Cho s dng x , y, z tho iu kin: xy + yz + zx = Tớnh: A=x (1 + y )(1 + z2 ) + x2 +y (1 + z2 )(1 + x ) + y2 +z (1 + x )(1 + y ) + z2 P S Bi 1: a) x+3+ = x+3+|x-3|=x+3-(x-3)=6 b) c) d) x (vỡ x nờn |x-3|=-(x-3) ) Bi 2: GV: Nguyn Chớ Thnh 0975705122 Dy trc chng trỡnh cho hc sinh i du hc Nhn dy kốm hc sinh L6-L12 Phng phỏp gii toỏn i s a) -2a =|1-2a|-2a Nu 1-2a ú a 1/2 thỡ A=(1-2a)-2a=1-4a Nu 1-2a1/2 thỡ A=-(1-2a)-2a=-1 b)B=x-2y-|x-2y|: B=0 nu x 2y; B=2x nu x5 thỡ D=2x-2; Nu x thỡ E=1 Nu hay |x|< thỡ E=-1 f) F= |x-4| + ; Nu x>4 thỡ F= x-3; Nu x 0) = A ( A 0, B > 0) B DNG 1: THC HIN PHẫP TNH Bi Thc hin cỏc phộp tớnh sau: a) 12 + 27 + 75 48 b) 3( 27 + 48 75) c) ( 2 ) d) ( + ( e) ( f) Bi ) ( 1+ 11 + 3+ 11 2) 7) + 3+ ) 2 Thc hin cỏc phộp tớnh sau: 2+ a) c) ( + ) ( 2) ( ) ( 10 ) 15 d) + 15 3+2 e) 13 160 53 + 90 Bi 21 12 b) 62 f) + 12 + 18 128 Thc hin cỏc phộp tớnh sau: a) 125 80 + 605 25 12 + d) Bi 192 ( + 2) e) + 3+ f) ( + 1) ( 1) 3 Thc hin cỏc phộp tớnh sau: 10 + 10 + + a) d) b) 15 216 + 33 12 c) ( + ) 10 + 2 2+ + 2+ 3 12 + 27 30 + 162 c) b) 18 48 e) + 2+ + GV: Nguyn Chớ Thnh 0975705122 Dy trc chng trỡnh cho hc sinh i du hc ( f) + 2) 54 Nhn dy kốm hc sinh L6-L12 Phng phỏp gii toỏn i s Bi Thc hin cỏc phộp tớnh sau: a) A = 12 12 + b) B = + 10 + + 10 + c) C = + + P S Bi 1: a) 13 Bi 2: Chỳ ý: a) Bi 3: b) 3 b) d) + e) 10 f) e) f) ( 42 3 = = a) b) Bi 4: a) Bi 5: c) 11 b) 36 1) = 2 c) d) c) d) c) d) e) 10 f) 14 2 Chng t A < 0, B > 0, C > Tớnh A , B , C A = ; B = + , C = 10 DNG 2: RT GN BIU THC V TNH GI TR BIU THC Bi Rỳt gn cỏc biu thc: 15 a) 35 14 b) + + + + 16 Bi x+ y x c) + 12 c) 10 + x + xy f) a +a b b b a ab Rỳt gn cỏc biu thc sau: x x+y y a) 15 10 + e) y + xy 2+ 3+ d) 10 + 15 y ( x y ) x x +1 b) ( y2 ) y +1 ( x 1)4 x + x +1 ( x 0) ( x 1, y 1, y > 0) GV: Nguyn Chớ Thnh 0975705122 Dy trc chng trỡnh cho hc sinh i du hc Nhn dy kốm hc sinh L6-L12 Phng phỏp gii toỏn i s Bi Rỳt gn v tớnh: a b +1 a) : b a + vi a = 7,25; b = 3,25 b) 15a 8a 15 + 16 vi c) 10a 4a 10 + vi a= + a= + 2 2 d) a + a a a vi a = P S Bi 1: a) b) c) x e) d) + Tỏch 16 = + a b y f) ab Bi 2: x xy a) b) x +1 1 < y < c) x nu v x nu y > a ; b Bi 3: a) c) b) d) DNG 3: GII PHNG TRèNH Bi a) Gii cỏc phng trỡnh sau: 9x d) 2x 2x =2 x 7x + S: a) x= b) = 7x + e) x =2 c) x 20 + 3 x = ;x = b) vụ nghim c) 2 4x2 = 2x + x x 45 = d) x = e) x = DNG 4: CHNG MINH BT NG THC Bi a) Bi So sỏnh cỏc s: v b) + v 7+ c) 2005 + 2007 v 2006 Cho cỏc s khụng õm a, b, c Chng minh: GV: Nguyn Chớ Thnh 0975705122 Dy trc chng trỡnh cho hc sinh i du hc Nhn dy kốm hc sinh L6-L12 Phng phỏp gii toỏn i s S: Cho phng trỡnh: x 2(m 2) x + m 3m + 5= a) Gii phng trỡnh vi m = b) Tỡm cỏc giỏ tr ca m phng trỡnh cú mt cỏc nghim bng c) Tỡm cỏc giỏ tr ca m phng trỡnh trờn cú nghim kộp S: x 2(m + 3) x + m2 + 3= Cho phng trỡnh: a) Gii phng trỡnh vi m = v m = b) Tỡm m phng trỡnh cú mt cỏc nghim bng c) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim phõn bit S: Xỏc nh m mi cp phng trỡnh sau cú nghim chung: 2 a) x + mx + = v x + x + m = 10 11 2 b) x (m + 4) x + m + = v x (m + 2) x + m + = S: Khụng gii phng trỡnh, hóy nhm nghim cỏc phng trỡnh sau: a) x 10 x + 16 = b) x 15 x + 50 = c) x x + = d) x x + 10 = e) x x = f) x x 20 = 2 g) x + x = h) x + x + = i) x x + = S: Lp cỏc phng trỡnh bc hai cú cỏc nghim l cỏc cp s sau: a) 10 v d) S: 12 b) 10 v v e) + v f) 10 72 v 10 + Vi cỏc phng trỡnh sau, tỡm m phng trỡnh cú mt cỏc nghim bng nghim cũn li: a) x + x + m = 0; x0 = b) 15 x + mx = 0; x0 = x 2(3m + 1) x + 2m2 2m 5= 0; x0 = c) S: 13 c) v Cho phng trỡnh: d) x0 x 2(m + 1) x + m2 + 5m = 0; x0 = (m + 1) x + 4mx + 4m = a) Gii phng trỡnh vi m = b) Vi giỏ tr no ca m thỡ phng trỡnh cú hai nghim phõn bit GV: Nguyn Chớ Thnh 0975705122 Dy trc chng trỡnh cho hc sinh i du hc Tỡm Nhn dy kốm hc sinh L6-L12 Phng phỏp gii toỏn i s x = x2 c) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim thoó iu kin S: 14 2x2 x + m + = Cho phng trỡnh: a) Gii phng trỡnh vi m = b) Vi giỏ tr no ca m thỡ phng trỡnh cú mt cỏc nghim bng c) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim S: 15 x1, x2 thoó iu kin x1 = x2 x 2(m 1) x + m + = Cho phng trỡnh: a) Gii phng trỡnh vi m = b) Vi giỏ tr no ca m thỡ phng trỡnh cú hai nghim phõn bit c) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim S: 16 Gi s x1, x2 B = x13 + x23 ; a) x + mx + = S: ; 1 C= + x1 x2 D= ; x12 x22 x1 = x2 Cho phng trỡnh: x 2(m + 4) x + m = a) Tỡm m biu thc A = x12 + x2 x1 x2 b) Tỡm m biu thc B = x1 + x2 x1x2 C = x12 + x22 x1x2 x22 x12 t giỏ tr nh nht t giỏ tr ln nht t giỏ tr ln nht Tỡm m mi phng trỡnh sau cú cỏc nghim a) mx 2(m 2) x + m = ; + c) x (m 3) x + 2m + = b) x + x + m = c) Tỡm m biu thc S: 18 thoó iu kin l cỏc nghim ca mi phng trỡnh sau tớnh giỏ tr ca cỏc biu thc: A = x12 + x22 17 x1, x2 x1, x2 tho h thc ó cho: x12 + x22 = 1 x1 + x2 + = x x x 2( m 2) x + m + m = b) ; 2 2 c) x 2(m 1)x + m 3m = ; S: 19 x12 + x22 = x 2(m 1) x + m 3m = Cho phng trỡnh: a) Tỡm m phng trỡnh cú mt cỏc nghim bng Tỡm nghim cũn li GV: Nguyn Chớ Thnh 0975705122 Dy trc chng trỡnh cho hc sinh i du hc Nhn dy kốm hc sinh L6-L12 Phng phỏp gii toỏn i s b) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim c) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc S: 20 x1, x2 x12 + x22 = tho A = x12 + x22 x (2a 1) x 4a = Cho phng trỡnh: a) Chng minh rng phng trỡnh luụn cú nghim vi mi giỏ tr ca a b) Tỡm h thc liờn h gia hai nghim x1, x2 khụng ph thuc vo a A = x12 + x22 c) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc S: 21 Cho phng trỡnh: mx 2(m + 1) x + m = a) Xỏc nh m phng trỡnh cú cỏc nghim b) Tỡm h thc gia S: 22 Cho phng trỡnh: x1, x2 24 tho x1 + x2= m khụng ph thuc vo m mx (m + 3) x + 2m + = a) Tỡm m phng trỡnh cú hiu hai nghim 23 x1, x2 x1, x2 bng x,x b) Tỡm h thc liờn h gia khụng ph thuc m S: Vi mi phng trỡnh sau, tỡm m phng trỡnh: i) Cú hai nghim trỏi du ii) Cú hai nghim dng phõn bit iii) Cú ỳng mt nghim dng a) x 2(m 1) x + m + = 2 b) x 2(m 1) x + m 3m = c) x + (2m 1) x + m = S: d) (m 4) x 2(m 2) x + m = Cho phng trỡnh: x + (2m 1) x + m = x ,x x x2 = 11 a) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim phõn bit tho b) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim õm phõn bit c) phng trỡnh cú hai nghim S: x1, x2 , tỡm h thc gia x1, x2 khụng ph thuc vo m III PHNG TRèNH QUY V PHNG TRèNH BC HAI Phng trỡnh trựng phng Phng trỡnh trựng phng l phng trỡnh cú Dng ax + bx + c = ( a ) GV: Nguyn Chớ Thnh 0975705122 Dy trc chng trỡnh cho hc sinh i du hc Nhn dy kốm hc sinh L6-L12 Phng phỏp gii toỏn i s 2 Cỏch gii: t t = x (t 0) , a v phng trỡnh bc hai at + bt + c = Phng trỡnh bc bn dng: ( x + a)( x + b)( x + c)( x + d ) = m vi a + b = c + d Cỏch gii: t t = x + (a + b) x , a v phng trỡnh bc hai (t + ab)(t + cd ) = m 4 Phng trỡnh bc bn dng: ( x + a) + ( x + b) = c Cỏch gii: t t=x+ a+b , a v phng trỡnh trựng phng theo t 4 2 Chỳ ý: ( x y ) = x x y + x y xy + y Phng trỡnh bc bn dng: Cỏch gii: Nhn xột x = khụng phi l nghim ca phng trỡnh a x + ữ+ b x ữ+ c = x x Vi x , chia v ca phng trỡnh cho x ta c: x , a v phng trỡnh bc hai theo t t Phng trỡnh cha n mu thc Cỏch gii: Thc hin cỏc bc sau: Bc 1: Tỡm iu kin xỏc nh ca phng trỡnh Bc 2: Quy ng mu thc hai v ri kh mu thc Bc 3: Gii phng trỡnh va nhn c Bc 4: Trong cỏc giỏ tr tỡm c ca n, loi cỏc giỏ tr khụng tho iu kin xỏc nh, cỏc giỏ tr tho iu kin xỏc nh l nghim ca phng trỡnh ó cho Phng trỡnh tớch Phng trỡnh tớch l phng trỡnh cú dng A.B = t=x A = A.B = B = Cỏch gii: Phng trỡnh cha cn thc ã g( x ) f ( x ) = g( x ) f ( x ) = g( x ) t = f ( x ), t af ( x ) + b f ( x ) + c = at + bt + c = ã Phng trỡnh cha du giỏ tr tuyt i Cỏch gii: Cú th dựng cỏc phng phỏp sau b giỏ tr tuyt i: Dựng nh ngha hoc tớnh cht giỏ tr tuyt i t n ph 2 Phng trỡnh dng A + B = A = A2 + B2 = B = Cỏch gii: 10 Tỡm m phng trỡnh cú nghim phõn bit: GV: Nguyn Chớ Thnh 0975705122 Dy trc chng trỡnh cho hc sinh i du hc Nhn dy kốm hc sinh L6-L12 Phng phỏp gii toỏn i s - Nhm mt nghim x0 ri a phng trỡnh v dng: (x-x 0)(ax2+bx+c)=0 phng trỡnh cú nghim phõn bit thỡ : f(x) = ax2+bx+c=0 phi cú hai nghim phõn bit khỏc x0 Suy ra: => m 11 Tỡm m phng trỡnh ax +bx +c=0 (1) cú nghim: - t t=x2 (t 0) Suy at2+bt+c=0 (2) phng trỡnh (1) cú nghim thỡ phng trỡnh (2) phi cú hai nghim dng phõn bit Suy ra: => m Gii cỏc phng trỡnh sau: a) x + x 12 = d) 5x 3x + =0 16 b) 12 x x + 30 = c) 8x x = e) x + x = f) x 13 x + 36 = g) x + 5x + = S: a, x=1,-1 b, vụ nghim c, x=1,-1 d, x=1/2; -1/2;; e, Gii cỏc phng trỡnh sau: a) x ( x + 1)( x + 2)( x + 3) = 24 b) ( x + 1)( x + 4)( x + x + 6) = 24 4 c) ( x + 1) + ( x + 3) = 2 d) ( x + 2) ( x + x ) = x + ữ 16 x + ữ+ 26 = x x2 e) x + ữ x ữ+ = x x2 f) HD: a, (x2+3x)(x2+3x+2)=24 t t= x2+3x (1) Suy t(t+2)=24 ú t=-6 hoc t= Thay t=-6 vo (1) ta c: x2+3x=-6 (vụ nghim) Thay t=4 vo (1) ta c x2+3x=4 ú x=1; -4; b, x= 0; x= -5; c, t t=x+2 suy : (t-1)4+(t+1)4=2 ú ( t4-4t3+6t2-4t+1) +( t4+4t3+6t2+4t+1)=2 ú 2t4+12t2=0 ú t=0 Suy x+2=0 ú x=-2 d, t x2+4x=t /S: x= e, t hay Thay vo x + ữ 16 x + ữ+ 26 = x x2 Ta c phng trỡnh: 3(t2-2) -16t+26=0 t=10/3 hoc t=2 Vi t=10/3 suy : => x=3; 1/3 Tng t vi t=2 cỏc em t gii d, Gii cỏc phng trỡnh sau: 2 a) ( x x ) 2( x x ) = 2 b) ( x + x + 2) + x + 16 x + 11 = GV: Nguyn Chớ Thnh 0975705122 Dy trc chng trỡnh cho hc sinh i du hc Nhn dy kốm hc sinh L6-L12 Phng phỏp gii toỏn i s c) ( x x )2 8( x x ) + 12 = d) (2 x + 1) 8(2 x + 1) = 2x 2x ữ ữ+ = x+2 f) x + 2 e) ( x + x + 4) 4( x + 2) 77 = S: Gii cỏc phng trỡnh sau: 2x 3x = a) x x 2 + = 1+ x d) 3x 27 S: Gii cỏc phng trỡnh sau: 4x x +1 = b) x + x 2x 5 = c) x x x x + x x+3 + =6 e) x x 2x x+3 +3= 2x f) x 2 a) (4 x 25)(2 x x 9) = 2 2 b) (2 x 3) 4( x 1) = c) x (3 x 1) x + = 3 d) x + x + x + = e) x + x + x + = S: Tỡm m cỏc phng trỡnh sau cú nghim phõn bit: 3 2 a) x (2m + 1) x + 3(m + 4) x m 12 = b) x + (2m 3) x + (m 2m + 2) x m = HD: a, (x-1)(x2-2mx+m+12)=0 (1) phng trỡnh (1) cú nghim thỡ f(x)= x 2-2mx+m+12=0 phi cú nghim phõn bit khỏc Suy ra: ú ú Tỡm m cỏc phng trỡnh sau cú nghim phõn bit: 2 a) x (2m + 1) x + m = S: Gii cỏc phng trỡnh sau: a) x 14 x = b) ( x 1)( x + 3)( x + 5) = m b) x + x = x + c) x + x + = x + x + 2 d) x + x x + = 3x S: Gii cỏc phng trỡnh sau: a) x = x b) x +2 x = 2 2 d) x + x x + = x + e) x x = x + 14 S: a) x = b) c) x = 1; x = 10 f) x x + 11x = c) f) 3x + x + = 2x2 + 6x +1 = x + 2 Gii cỏc h phng trỡnh sau: (a v Dng A + B = ) GV: Nguyn Chớ Thnh 0975705122 Dy trc chng trỡnh cho hc sinh i du hc Nhn dy kốm hc sinh L6-L12 Phng phỏp gii toỏn i s x + y + z = x + y + z2 = 12 b) x + y + z = 27 xy + yz + zx = 27 a) S: a, Nhõn phng trỡnh vi ri tr cho ta c: 2x2+2y2+2z2-2xy-2xz-2zy=0; suy (x-y)2+(x-z)2+(z-y)2=0 ú x=y=z Thay vo x2+y2+z2=27 ta c: 3x2=27 ú x=y=z = b, Nhõn (x+y+z)=6 vi ta c: 2x+2y+2z=12 ri ly x2+y2+z2=12 tr theo v ta c: x2+y2+z2-(2x+2y+2z)=12-12 ú( x2-2x+1)+(y2-2y+1)+(z2-2z+1)=0 IV GII TON BNG CCH LP PHNG TRèNH Bc 1: Lp phng trỡnh a) Chn n s v nờu iu kin thớch hp ca n s b) Biu th cỏc d kin cha bit qua n s c) Lp phng trỡnh biu th tng quan gia n s v cỏc d kin ó bit Bc 2: Gii phng trỡnh Bc 3: i chiu nghim ca phng trỡnh (nu cú) vi iu kin ca n s tr li Dng 1: Toỏn v quan h gia cỏc s Tỡm hai s bit rng hai ln s th nht hn ba ln s th hai l v hiu cỏc bỡnh phng ca chỳng bng 119 S: (12;5), (19,2; 15,8) Tỡm mt s t nhiờn cú hai ch s, tng cỏc ch s bng 11, nu i ch hai ch s hng chc v hng n v cho thỡ s ú tng thờm 27 n v S: Tỡm mt s cú hai ch s, bit rng s ú gp ln ch s hng n v ca nú v nu s cn tỡm chia cho tng cỏc ch s ca nú thỡ c thng l v s d l S: Nu t s ca mt phõn s c tng gp ụi v mu s thờm thỡ giỏ tr ca phõn s bng Nu t s thờm v mu s tng gp thỡ giỏ tr phõn s bng 24 Tỡm phõn s ú S: Nu thờm vo t v mu ca mt phõn s thỡ giỏ tr ca phõn s gim Nu bt vo c t v GV: Nguyn Chớ Thnh 0975705122 Dy trc chng trỡnh cho hc sinh i du hc Nhn dy kốm hc sinh L6-L12 Phng phỏp gii toỏn i s mu thỡ phõn s tng Tỡm phõn s ú S: Dng 2: Toỏn chuyn ng Mt canụ i xuụi dũng 45 km, ri ngc dũng 18 km Bit rng thi gian i xuụi dũng lõu hn thi gian i ngc dũng l gi v tc i xuụi ln hn tc i ngc l km/h Tớnh tc canụ lỳc i ngc dũng S: x = 12; x = Mt ụtụ i t A n B mt thi gian nht nh Nu xe chy vi tc 35 km/h thỡ n chm mt gi Nu xe chy vi tc 50 km/h thỡ n sm hn gi Tớnh quóng ng AB v thi gian d nh i lỳc u S: Mt ngi i xe mỏy t A n B cỏch 120 km vi tc d nh trc Sau c quóng ng AB, ngi ú tng tc thờm 10 km/h trờn quóng ng cũn li Tỡm tc d nh v thi gian xe ln bỏnh trờn ng, bit rng ngi ú n B sm hn d nh 24 phỳt S: Mt canụ xuụi t bn sụng A n bn sụng B vi tc 30 km/h, sau ú li ngc t B tr v A Thi gian xuụi ớt hn thi gian i ngc gi 20 phỳt Tớnh khong cỏch gia hai bn A v B Bit rng tc dũng nc l km/h v tc riờng ca canụ lỳc xuụi v lỳc ngc bng S: Mt canụ xuụi mt khỳc sụng di 90 km ri ngc v 36 km Bit thi gian xuụi dũng sụng nhiu hn thi gian ngc dũng l gi v tc xuụi dũng hn tc ngc dũng l km/h Hi tc canụ lỳc xuụi v lỳc ngc dũng S: Dng 3: Toỏn lm chung cụng vic Hai i cựng o mt mng Nu mi i lm mt mỡnh c mng thỡ thi gian tng cng hai i phi lm l 25 gi Nu hai i cựng lm chung thỡ cụng vic hon thnh gi Tớnh xem mi i lm mt mỡnh xong c mng bao lõu? S: 10 gi v 15 gi Hai ngi th cựng lm chung mt cụng vic gi 12 phỳt thỡ xong Nu ngi th nht lm gi v ngi th hai lm gi thỡ c hai ngi ch lm c cụng vic Hi mt ngi lm cụng vic ú my gi thỡ xong? GV: Nguyn Chớ Thnh 0975705122 Dy trc chng trỡnh cho hc sinh i du hc Nhn dy kốm hc sinh L6-L12 Phng phỏp gii toỏn i s S: Nu m c hai vũi nc chy vo mt b cn thỡ sau gi 55 phỳt s y b Nu m riờng tng vũi thỡ vũi th nht lm y b nhanh hn vũi th hai l gi Hi nu m riờng tng vũi thỡ mi vũi chy bao lõu y b? S: gi v gi Nu vũi A chy gi v vũi B chy gi thỡ c h Nu vũi A chy gi v vũi B chy gi 30 phỳt thỡ c h Hi nu chy mt mỡnh mI vũi chy bao lõu mi y h (gi thit h ban u khụng cú nc0 S: Hai vũi nc cựng chy vo mt b thỡ sau gi y b Nu mi vũi chy mt mỡnh cho y b thỡ vũi II cn nhiu thi gian hn vũi I l gi Tớnh thi gian mi vũi chy mt mỡnh y b? S: Dng 4: Toỏn cú ni dung hỡnh hc Mt a giỏc li cú tt c 170 ng chộo Hi a giỏc ú cú bao nhiờu cnh? n(n 3) S: 20 cnh S ng chộo ca n-giỏc l Mt khu hỡnh ch nht cú chu vi l 280 m Ngi ta lm li i xung quanh (thuc t vn) rng m Tớnh kớch thc ca vn, bit rng t cũn li trng trt l 4256 m S: Cho mt hỡnh ch nht Nu tng chiu di lờn 10 m, tng chiu rng lờn m thỡ din tớch tng 2 500 m Nu gim chiu di 15 m v gim chiu rng m thỡ din tớch gim 600 m Tớnh chiu di, chiu rng ban u S: Cho mt tam giỏc vuụng Nu tng cỏc cnh gúc vuụng lờn cm v cm thỡ din tớch tam giỏc 2 tng 50 cm Nu gim c hai cnh i cm thỡ din tớch s gim i 32 cm Tớnh hai cnh gúc vuụng S: Dng 5: Cỏc Dng khỏc Trong mt phũng cú 80 ngi hp, c sp xp ngi u trờn cỏc dóy gh Nu bt i hai dóy gh thỡ mi dóy gh cũn li phi xp thờm hai ngi mi ch Hi lỳc u cú my dóy gh v GV: Nguyn Chớ Thnh 0975705122 Dy trc chng trỡnh cho hc sinh i du hc Nhn dy kốm hc sinh L6-L12 Phng phỏp gii toỏn i s mi dóy gh c xp bao nhiờu ngi ngi? S: 10 dóy gh v mi dóy gh xp ngi Mt phũng hc cú mt s dóy gh tng cng 40 ch ngi Do phi xp 55 ch nờn ngi ta kờ thờm dóy gh v mi dóy gh thờm ch Hi lỳc u phũng cú my dóy gh? S: 4;10 Trong thỏng giờng hai t sn xut c 720 chi tit mỏy Trong thỏng hai, t I vt mc 15%, t II vt mc 12% nờn sn xut c 819 chi tit mỏy Tớnh xem thỏng giờng mi t sn xut c bao nhiờu chi tit mỏy? S: Nm ngoỏi tng s dõn ca hai tnh A v B l triu ngi Dõn s tnh A nm tng 1,2%, cũn tnh B tng 1,1% Tng s dõn ca c hai tnh nm l 4.045.000 ngi Tớnh s dõn ca mi tnh nm ngoỏi v nm nay? S: V H PHNG TRèNH BC HAI (*) Dng 1: H bc hai gii bng phng phỏp th hoc cng i s T phng trỡnh bc nht rỳt mt n theo n Th vo phng trỡnh bc hai a v phng trỡnh bc hai mt n S nghim ca h tu theo s nghim ca phng trỡnh bc hai ny Gii cỏc h phng trỡnh sau: x + 4y2 = x + 2y = a) d) x xy + y + x + 3y = x y = y + x2 = 4x 2x + y = g) h) S: Gii cỏc h phng trỡnh sau: a) 2( x + y )2 3( x + y ) = x y = x 2y + = 2y x2 = d) x + y = 36 ( x 2)( y 3) = 18 b) g) S: Gii cỏc h phng trỡnh sau: x xy = 24 x y = 3x y + = e) xy = 3( x + y) x + 3y = 2 3x y + y = c) x + y = f) xy + x + y + = x y = x + xy + y = i) 5( x y )2 + 3( x y ) = x + 3y = 12 b) x2 y = xy+2= e) ( x y)2 = 49 x + y = 84 x + y = x + xy + = c) x y = x y = 40 f) x ( x 8) + 3y( y + 1) = h) x ( x 8) + 5y( y + 1) = 14 GV: Nguyn Chớ Thnh 0975705122 Dy trc chng trỡnh cho hc sinh i du hc Nhn dy kốm hc sinh L6-L12 a) xy x + x = x xy + y x = xy + x y = d) xy 3x + y = Phng phỏp gii toỏn i s x + y xy = x + y + xy 11 = xy + y x = x + y xy y = b) c) x + y x y = x + y2 + x + 4y = e) f) xy + x y = xy x + y = S: Dng 2: H i xng loi f ( x, y) = (I) g( x , y ) = (vi f(x, y) = f(y, x) v g(x, y) = g(y, x)) H cú Dng: (Cú ngha l ta hoỏn v gia x v y thỡ f(x, y) v g(x, y) khụng thay i) t S = x + y, P = xy a h phng trỡnh (I) v h (II) vi cỏc n l S v P Gii h (II) ta tỡm c S v P Tỡm nghim (x, y) bng cỏch gii phng trỡnh: X SX + P = Gii cỏc h phng trỡnh sau: a) x + xy + y = 11 2 x + y xy 2( x + y ) = x y 13 + = y x x + y = d) b) x + y = 2 x + xy + y = 13 c) x + x y + y = 17 x + y + xy = e) xy + x + y = 2 x + y + x + y = x + x y + y = 481 x + xy + y = 37 f) S: Gii cỏc h phng trỡnh sau: a) x + y + xy = 11 2 x + y + 3( x + y) = 28 b) xy + x + y = 19 x y + xy = 84 d) e) S: Gii cỏc h phng trỡnh sau: a) ( x + 1)( y + 1) = 10 ( x + y)( xy 1) = ( x y)2 ( x y ) = 2 5( x + y ) = xy d) S: x + y + x + y = 2 x + y + xy = c) x xy + y = 2 x xy + 3y = 13 ( x + 1)( y + 1) = f) x ( x + 1) + y( y + 1) + xy = 17 x + xy + y = + x + y2 = b) e) x + xy + y = x + xy + y = x + xy + y = 19( x y )2 x xy + y = 7( x y ) c) x y + y x = 30 x x + y y = 35 GV: Nguyn Chớ Thnh 0975705122 Dy trc chng trỡnh cho hc sinh i du hc Nhn dy kốm hc sinh L6-L12 Phng phỏp gii toỏn i s Dng 3: H i xng loi f ( x, y) = (I) f ( y, x ) = (1) (2) H cú Dng: (Cú ngha l hoỏn v gia x v y thỡ (1) bin thnh (2) v ngc li) Tr (1) v (2) v theo v ta c: f ( x , y ) f ( y, x ) = (I) f ( x, y) = (3) (1) Bin i (3) v phng trỡnh tớch: x = y (3) ( x y ).g( x , y ) = g( x , y ) = Nh vy, f ( x, y) = x = y f ( x , y ) = g( x, y) = (I) Gii cỏc h trờn ta tỡm c nghim ca h (I) Gii cỏc h phng trỡnh sau: x = x + y y = 3y + x a) x + = 3y y + = 3x x y = x + y y x2 = 2y + x b) x + xy + y = x + xy + y = d) S: Gii cỏc h phng trỡnh sau: e) x + = y y + = 2x a) x = 3x + 8y y = 3y + x b) x = x + y y = y + x x = x + 3y y = y + x d) S: Gii cỏc h phng trỡnh sau: a) x + y = x y + = x y e) y x 3y = x x y 3x = y b) GV: Nguyn Chớ Thnh 0975705122 Dy trc chng trỡnh cho hc sinh i du hc x2y + = y2 xy + = x c) f) x y = x + y 2 y x = y + x x = x + y y = 2y + x c) y2 + 3y = x2 x = x + y2 c) Nhn dy kốm hc sinh L6-L12 Phng phỏp gii toỏn i s 2 x = y + y y = x + x d) S: BI TP ễN CHNG IV x 2( m + 1) x + m = Cho phng trỡnh: a) Tỡm m phng trỡnh cú nghim trỏi du b) Chng minh rng phng trỡnh luụn cú nghim phõn bit x1, x2 vi mi m c) Chng minh biu thc M = x1 (1 x2 ) + x2 (1 x1 ) khụng ph thuc vo m S: Tỡm m phng trỡnh: a) x x + 2(m 1) = cú hai nghim dng phõn bit b) x + x + m = cú hai nghim õm phõn bit 2 c) (m + 1) x 2(m + 1) x + 2m = cú hai nghim trỏi du S: x ( a 1) x a + a = Cho phng trỡnh: a) Chng minh rng vi mi a, phng trỡnh trờn cú nghim trỏi du b) Gi hai nghim ca phng trỡnh l S: x1, x2 2 Tỡm giỏ tr ca a x1 + x2 t giỏ tr nh nht x2 + 4x + m + = Cho phng trỡnh: a) Tỡm iu kin ca m phng trỡnh cú nghim b) Tỡm m cho phng trỡnh cú hai nghim S: Cho phng trỡnh: x1, x2 x 2(m + 1) x + 2m + 10 = a) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim x1, x2 b) Trong trng hp phng trỡnh cú hai nghim m khụng ph thuc vo m 2 tho x1 + x2 = 10 x1, x2 , hóy tỡm mt h thc liờn h gia 2 c) Tỡm giỏ tr ca m biu thc A = 10 x1 x2 + x1 + x2 t giỏ tr nh nht S: Vi giỏ tr no ca m thỡ hai phng trỡnh sau cú ớt nht mt nghim chung: GV: Nguyn Chớ Thnh 0975705122 Dy trc chng trỡnh cho hc sinh i du hc Nhn dy kốm hc sinh L6-L12 x1, x2 Phng phỏp gii toỏn i s x (3m + 2) x + 12 = x + mx + = x + (3m + 1) x = x (9m 2) x + 36 = x +x+m=0 x + (7m 1) x 19 = a) b) c) S: y= x2 v ng thng (d): y = x + m Cho parabol (P): a) V parabol (P) b) Xỏc nh m (P) v (d) ct ti hai im phõn bit A v B c) Xỏc nh phng trỡnh ng thng (dÂ) song song vi ng thng (d) v ct (P) ti im cú tung bng S: x2 v im M (1; 2) Cho parabol (P): a) Vit phng trỡnh ng thng (d) i qua M v cú h s gúc l m b) Chng minh rng (d) luụn ct (P) ti hai im phõn bit A v B m thay i y= 2 c) Gi x A ; xB ln lt l honh ca A v B Xỏc nh m x A xB + x A xB t giỏ tr nh nht v tớnh giỏ tr ú S: Gii cỏc phng trỡnh sau: a) x + x x + x + = d) 10 11 12 13 1 = x ( x + 2) ( x + 1) 12 b) x ( x 1)( x + 2) + = x 16 10 x + = ữ 3 x c) x e) x + x 13x + = f) x x x + x 12 = g) x 3x 11x + = h) S: Gii cỏc phng trỡnh sau: x+2 10 = x( x 9) a) x + 3x x =3 b) x x + x S: Hai ụ tụ cựng hnh mt lỳc t hai tnh A v B cỏch 160 km, i ngc chiu v gp sau gi Tỡm tc ca mi ụ tụ bit rng nu ụ tụ i t A tng tc thờm 10 km/h s bng hai ln tc ụtụ i t B S: Mt ngi i xe p t A n B vi tc 9km/h Khi i t B v A ngi y i ng khỏc di hn km, vi tc 12km/h, nờn thi gian ớt hn thi gian i l 20 phỳt Tớnh quóng ng AB? S: Hai ca nụ cựng hnh t hai bn A, B cỏch 85 km, i ngc chiu v gp sau gi 40 phỳt Tớnh tc riờng ca mi ca nụ bit rng tc ca ca nụ xuụi dũng ln GV: Nguyn Chớ Thnh 0975705122 Dy trc chng trỡnh cho hc sinh i du hc Nhn dy kốm hc sinh L6-L12 14 15 16 17 Phng phỏp gii toỏn i s hn tc ca ca nụ ngc dũng l km/h (cú c tc dũng nc) v tc dũng nc l km/h S: Cú hai thựng ng du Thựng th nht cú 120 lớt, thựng th hai cú 90 lớt Sau ly thựng th nhỏt mt lng du gp ba lng du ly thựng th hai, thỡ lng du cũn li thựng th hai gp ụi lng du cũn li thựng th nht Hi ó ly bao nhiờu lớt du mi thựng? S: Hai trng A, B cú 250 HS lp d thi vo lp 10, kt qu cú 210 HS ó trỳng tuyn Tớnh riờng t l thỡ trng A t 80%, trng B t 90% Hi mi trng cú bao nhiờu HS lp d thi vo lp 10 S: Hai vũi nc cựng chy vo mt b khụng cú nc sau gi 55 phỳt thỡ y b Nu chy riờng thỡ vũi th nht cn ớt thi gian hn vũi th hai l gi Tớnh thi gian mi vũi chy riờng thỡ y b S: Hai t cựng lm chung mt cụng vic hon thnh sau 15 gi Nu t mt lm gi, t hai lm gi thỡ c 30% cụng vic Hi nu lm riờng thỡ mi t hon thnh bao lõu S: GV: Nguyn Chớ Thnh 0975705122 Dy trc chng trỡnh cho hc sinh i du hc Nhn dy kốm hc sinh L6-L12 [...]... THỰC HIỆN PHÉP TÍNH Bài 1 Thực hiện các phép tính sau: 125 − 4 45 + 3 20 − 80 a) c) 2 27 48 2 75 − − 4 9 5 16 b) d) ( 99 − 18 − 11 ) 11 + 3 22 3 9 49 25 − + 8 2 18 GV: Nguyễn Chí Thành 097 5705122 Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải toán Đại số 9  5 − 5  5 + 5  + 1÷  1 + ÷ ÷ ÷  e)  1 − 5  1 + 5 Bài 2 1 3− 2 f) 1 + 3+ 2 Thực hiện các... 125 + 3 216 ( 3 9 − 3 6 + 3 4) ( 3 3 + 3 2) Thực hiện các phép tính sau: 3 3 a) A = 2 + 5 + 2 − 5 3 3 b) B = 9 + 4 5 + 9 − 4 5 3 c) C = (2 − 3) 26 + 15 3 d) D = 3 3+ 9+ 125 3 125 − −3 + 9 + 27 27 ĐÁP SỐ: Bài 1: a) 2 +1 b) 3 −1 c) −3 3 d) 12 2 + 2 GV: Nguyễn Chí Thành 097 5705122 Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học e) 5 Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải toán Đại số 9 Bài 2: 3 1±... GV: Nguyễn Chí Thành 097 5705122 Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học 2 −3 7 C= a2 − 1 a2 − 9 = 5−2 6 c) Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải toán Đại số 9 d) D= 2 h −1 =2 2 h−2 E= e) 1 x+2 = 3 −1 2 f) F = 1 − a = 3 − 1 DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Bài 1 a) c) Giải các phương trình sau: x − 1 + 4 x − 4 − 25 x − 25 + 2 = 0 1 3 x −1 x −1 − 9 x − 9 + 24 = −17 2 64 b) 2 9 x 2 + 18 + 2 x 2 +... −3 b) 0 < x < 9; x ≠ 4 A= Bài 4 Cho biểu thức: a) Rút gọn A 2 x 9 1 1 khi x = 4 4 b) Tìm x để A < 1 a) Rút gọn A A= c) max A = a a −1 a a +1  1   a +1 a − 1 − + a− +   a− a a+ a  a   a − 1 a + 1  b) Tìm a để A = 7 c) Tìm a để A > 6 GV: Nguyễn Chí Thành 097 5705122 Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải toán Đại số 9 A= 2a + 2 a... "=" xảy ra  ab ≥ 0 min A = 1 khi 1 2 ≤x≤ 3 3 Bài 9: x ∈ { 49; 25;1;16; 4} Chú ý: A = 1+ 4 x − 3 Để A  Z thì x ∈ Z và x − 3 là ước của 4 Bài 10: Q= a) Bài 11: M= a) 2 x −1 a −1 a b) x ∈ {2;3} = 1− 1 a b) M < 1 GV: Nguyễn Chí Thành 097 5705122 Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải toán Đại số 9 Bài 12: P= a) x ≥ 1; x ≠ 2; x ≠ 3 Bài 13: a) B =... ) HD: y = f ( x ) = 2 − x + 1 Xét 9 3 2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) = − x + x − x + 6 trên đoạn [0;2] HD: Xét f ( x1) − f ( x2 ) Chứng tỏ hàm số luôn nghịch biến trên R Þ f (2) ≤ f ( x ) ≤ f (0) GV: Nguyễn Chí Thành 097 5705122 Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 10 Phương pháp giải toán Đại số 9 x −2 y = f (x) = x + 1 trong đoạn... · GV: Nguyễn Chí Thành 097 5705122 Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học · (d) cắt (d¢) Û a ¹ a¢ Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 · (d ) ⊥ (d ′) ⇔ a.a′ = −1 Phương pháp giải toán Đại số 9 5 Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) · Đường thẳng y = ax + b có hệ số góc là a · Gọi a là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) với tia Ox: 0 0 + a < 90 thì a > 0 + a > 90 thì a < 0 · Các đường... (d1)//(d2) ; (d1) ⊥ (d2) GV: Nguyễn Chí Thành 097 5705122 Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 18 19 Phương pháp giải toán Đại số 9 Cho hai đường thẳng (d1) : y = (k+1)x +3 và (d2) : y = (3- 2k)x + 1 Tìm k để (d1)//(d2) , (d1) cắt (d2) , (d1) cắt (d2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2;5) ; B(-1;-1) và C(4 ;9) a) Viết pt đường thẳng BC rồi suy ra ba điểm... biến trên R Û ( 1 2 ) 1 2 Cho hai hàm số f ( x ) = x và g( x ) = 3 − x  1 f (−3), f  − ÷, f (0), g(1), g(2), g(3)  2 a) Tính GV: Nguyễn Chí Thành 097 5705122 Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học b) Xác định a để 2 f (a) = g(a) Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải toán Đại số 9 ĐS: b) a = 1; a = − 3 2 f (x) = 2 Cho hàm số x +1 x −1 a) Tìm tập xác định của hàm số 2 ( ) b) Tính f... sánh: GV: Nguyễn Chí Thành 097 5705122 Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học 3 3 c) A = 5 6 và B = 6 5 Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải toán Đại số 9 3 3 a) A = 20 + 14 2 + 20 − 14 2 và B = 2 5 3 ĐS: a) A < B Chú ý: 20 ± 14 2 = ( 2 ± 2 ) DẠNG 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 3 Phương pháp: Bài 1 Giải các phương trình sau: 3 a) d) A = B ⇔ A = B3 3 2x + 1 = 3 b) x3 + 9 x2 = x + 3 x= e) 3 3 2 −