Bài Toán câu cuối thi vào lớp 10 THPT MỘT SỐ BÀI TOÁN CÂU CUỐI TRONG ĐỀ THI VÀO LỚP 10 Bài 1: Chứng minh giá trị biểu thức E = x + x + 36 x + 10 x + (với x số tự nhiên) không số nguyên Giải Do x không số tự nhiên nên: (4x + 1)2 = 16x2 + 8x + < 36x2 + 10x + < (6x + 2)2 = 36x2 +24x + ⇒ 4x + < 36x + 10x + < x + ⇒ (2x + 1)2 < 4x2 + 36x + 10x + < 4x2 + 6x + < (2x + 2)2 ⇒ 2x + < 4x + 36 x + 10 x + < 2x + ⇒ x2 + 2x + = (x + 1)2 < ⇒ x+1< 2 4x + 36 x + 10 x + < x + 2x + < (x + 2) x + 4x + 36 x + 10 x + < x + ⇒ x + < E < x + 2, giá trị E nằm hai số tự nhiên liên tiếp Vậy E số nguyên Bài 2: Cho ba số thực a, b, c với abc ≠ a + b + c = Chứng minh rằng: 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c Giải 1 1 1 2 1 1 Ta có  + + ÷ = + + + + + = 2+ 2+ + a b c a b c ab bc ca a b c 2(a + b + c) abc 1 1 1 Với abc ≠ a + b + c = 0, ta có  + + ÷ = + + Suy a 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c b c a b c (đfcm) Bài 3: Cho a, b, c số hữu tỉ đôi khác Chứng minh rằng: S= 1 + + số hữu tỉ 2 (a − b) (b − c ) (c − a) Giải Ta có (a – b) + (b – c) + (c – a) = a – b ≠ 0, b – c ≠ 0, c – a ≠ Áp dụng kết 3, ta có 1 1 1 + + + + 2 = a−b b−c c −a (a − b) (b − c ) (c − a) Do số a, b, c số hữu tỉ đôi khác nhau, nên S số hữu tỉ Bài 4: Tính tổng gồm 2014 số hạng sau: P = 1+ 1 + + 22 32 1+ 1 + +…+ 32 42 1+ 1 + 2014 20142 Giải Mỗi số hạng tổng có dạng: Đậu Thiết Hiếu - THCS Nghĩa Thuận - tx Thái Hòa - Nghệ An Bài Toán câu cuối thi vào lớp 10 THPT 1+ 1 + = (n − 1) n 1 1 + 1+ − (n = 3, … , 2014) 2 = (n − 1) (−n) n −1 n 1   1  1  − Ta có P = 1 + − ÷ + 1 + − ÷ + … + 1 + ÷  3  4  2013 2014  1 2012 Tổng có 2012 số hạng nên: P = 2012 + − = 2012 2014 2014 1+ Bài 5: Tìm số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y −1 + z −1 = ( x + y + z) Giải x + y −1 + z −1 = ( x + y + z ) Từ Nhân hai vế với 2, chuyển vế ta được: (x - x + 1) + (y - - y − + 1) + (z - - z − + 1) = ⇔ ( ) ( x −1 + ) ( y −1 −1 +  x −1 = x =   z − −1 ⇔  y −1 = ⇔  y =  z =   z − = ) Vậy số thực phải tìm x = 1; y = 2; z = Bài 6: Cho số dương a, b, c với a ≠ c, ( Chứng minh rằng: b+( a+ Từ a + b = ( a+ b− c ) ) c) a− c b− a+ b≠ c,a+b= a= a+ b− c 2 = a− c b− c Giải ( a + b − c) - b = ( a + b − c) = ( a +2 b − c) ( a − c) b = ( a + b − c) - a = ( a + b − c) = ( a + b − c) ( b − c) a+( a − c) Thay a b vào , b+( b − c) ( a +2 b −2 c) ( a − c) a − c ta được: = ( a +2 b −2 c) ( a − c) b − c Suy ( 2 2 b (b dương) a (a dương) 2 (đfcm) Bài 7: Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = a + b + c = Đậu Thiết Hiếu - THCS Nghĩa Thuận - tx Thái Hòa - Nghệ An ) Bài Toán câu cuối thi vào lớp 10 THPT Chứng mnh rằng: a b c + + = 1+ a 1+ b 1+ c (1 + a )(1 + b)(1 + c) Giải Đặt x = a ; y = b ; z = c x2 + y2 + z2 = x + y + z = (x + y + z)2 = 22 ⇔ x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 22 ⇔ 2(xy + yz + zx) = 22 – = ⇔ xy + yz + zx = 1 + a = xy + yz + zx + x2 = (x + y)(x + z) + b = xy + yz + zx + y2 = (y + z)(y + x) + c = xy + yz + zx + z2 = (z + x)(z + y) Do x y z a b c + + = ( x + y) ( x + z) + ( y + z) ( y + x ) + ( z + x ) ( z + y) 1+ a 1+ b 1+ c ( xy + yz + zx ) = x + y y + z x + z = (1 + a)(1 + b)(1 + c) (đfcm) ( )( )( ) Bài 8: Tìm số thực a, b, c thỏa mãn: a − b2 + b − c + c − a = Chứng minh rằng: a + b + c = Giải Vì – b ≥ 0; – c ≥ 0; – a ≥ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm, ta có: 2 a + − b2 b2 + − c2 c2 + − a2 ≥ a − b2 ; ≥ b − c2 ; ≥ c 1− a2 2 2 2 2 a +1− b b +1− c c +1− a Mà + + = ≥ a − b2 + b − c + c − a 2 2 a = − b a = − b    2 Dấu xẩy khi: b = − c ⇔ b = − c ⇔ a2 + b2 + c2 =  c = − a 2  c = − a Bài 9: Cho hai số dương x, y thỏa xy = 3 26 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y − 3x + y Giải 27 = (1) Áp dụng bđt Cosi ta có: x + y ≥ xy 26 13 26 13 3x + y ≥ 3xy = ⇔ 3x + y ≤ ⇔ − 3x + y ≥ − (2) 26 26 13 Từ (1) (2) suy ra: P = x + y − 3x + y ≥ − ⇔ P = x + y − 3x + y ≥ 3 Vậy MinP = 3 x = y  x = 1( x > 0) ⇔   xy = y = Bài 10: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x + x +3 − + 2016 với x > 4x x +1 Đậu Thiết Hiếu - THCS Nghĩa Thuận - tx Thái Hòa - Nghệ An Bài Toán câu cuối thi vào lớp 10 THPT Giải Với x > 0, ta có: x +3 x +3 − + 2016 = (4 x − + ) + (4 − ) + 2014 4x x +1 4x x +1 A = 4x +  1   x − x + 1 = (2 x ) − 2.2 x +  + 2014 + x +1 x (2 x )     = (2 x − x )2 + (2 x − 1) + 2014 ≥ 2014 x +1  =0 2 x − x ⇒ A = 2014 ⇔  ⇔x= 2 x − =  1 1 + + + + 1+ 2+ 3+ 120 + 121 1 + + B = 1+ 35 Bài 11: Cho A = Chứng minh rằng: B > A Giải 1 1 + + + + A = = 1+ 2+ 3+ 120 + 121 Ta có: = 1− + ( 1+ ) ( 1− ) ( 2− 2+ )( 2− ) + + ( 120 − 121 120 + 121 1− 2− 120 − 121 + + + −1 −1 −1 = − + − + + 121 − 120 = - + 11 = 10 2 = > = k +1 − k Với k ∈ N * , ta có: k k+ k k + k +1 1 + + Do đó: B = + 35 )( 120 − 121 = ( ( ⇒ B > − + − + − + − − 35 + 36 ) 2( − (1) ) ) + 36 = ( −1 + ) = 10 Từ (1) (2) suy ra: B > A Bài 12: Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn x + y + z = 1 Chứng minh xy + xz ≥ Giải Vì x + y + z = nên suy x = – (y + z) Đậu Thiết Hiếu - THCS Nghĩa Thuận - tx Thái Hòa - Nghệ An ) Bài Toán câu cuối thi vào lớp 10 THPT Mặt khác: 1 11 1 1 + ≥ ⇔  + ÷ ≥ ⇔ + ≥ x x dương (*) xy xz x y z y z Thay x = – (y + z) vào (*) ta có: 2    1 1  + ≥ − ( y + z) ⇔ − + y + − + z ≥ ⇔  − y ÷ + − z÷ ≥0  y ÷  z y z y z    Luôn với x, y, z dương, dấu xảy khi: y = z = 1, x = Đậu Thiết Hiếu - THCS Nghĩa Thuận - tx Thái Hòa - Nghệ An