Chương Uốn ngang phẳng Khái niêêm định nghĩa: Mặt phẳng quán tính trung tâm: mặt phẳng tạo nên trục thẳng ( có trục đường thẳng ) trục quán tính trung tâm mặt cắt ngang Khi tải trọng nằm măêt phẳng quán tính trung tâm vuông góc với trục thanh, nôêi lực măêt cắt ngang có hai thành phần ( momen uốn lực cắt ngang ), trục sẽ bị uốn cong vẫn đường cong phẳng nằm măêt phẳng quán tính trung tâm, biến dạng uốn ngang phẳng Thanh chủ yếu chịu uốn gọi dầm Khi nôêi lực măêt cắt ngang chỉ có môêt thành phần momen uốn chịu uốn túy P C D B A a P b a l a P -P Pa Các đoạn dầm CA BD chịu uốn ngang Đoạn dầm AB chịu uốn túy Măêt cắt ngang các dầm thường găêp có trục đối xứng Trục dầm trục đối xứng các măêt cắt ngang tạo thành măêt phẳng đối xứng măêt phẳng quán tính y trung tâm dầm Nếu tải trọng nằm măêt phẳng đối xứng O vuông góc với trục dầm sẽ gây biến dạng uốn ngang phẳng P P Q q M z x y z x Trong chương ứng suất biến dạng dầm chịu biến dạng uốn ngang phẳng xác định dựa điều kiêên sau : Trục dầm đường thẳng, mặt cắt ngang có trục đối xứng Dầm có mặt phẳng đối xứng trục dầm trục đối xứng mặt cắt ngang tạo Ngoại lực (lực tập trung hay lực phân bố) nằm mặt phẳng đối xứng vuông góc với trục dầm, các momen tác dụng mặt phẳng đối xứng dầm 3.Chỉ tính đến ứng suất mặt cắt ngang dầm, ứng suất pháp các thớ dọc có giá trị không đáng kể bỏ qua Sơ đồ tính dầm đoạn thẳng trùng với trục dầm chịu tác dụng ngoại lực 4.Tải trọng tác dụng lên dầm tải trọng tĩnh Giả thuyết tính toán dầm chịu uốn túy Giả thuyết măêt cắt phẳng : Măêt cắt ngang phẳng vuông góc với trục dầm sẽ di chuyển vẫn phẳng vuông góc với trục dầm bị uốn cong biến dạng M Giả thuyết về các thớ dọc : Trong quá trình biến dạng Các thớ dọc không kéo, ép lẫn Chiều dài các thớ dọc thay đổi từ co ngắn chuyển thành bị kéo dài tồn môêt lớp thớ dọc không thay đổi chiều dài gọi lớp trung hòa Giao tuyến lớp trung hòa măêt cắt ngang Gọi đường ( trục )trung hòa M ρ dφ σmin x y h Mx σz = y; Jx y y σ ( z) = E y ; ε y ( z) = ; z ρ ρ + b y σmax O O’ dz Mxy σz = ; (8.1) Jx Jx ; (8.2) M x ymax M x Wx = σ max = = ; ymax Jx Wx bh bh Hình chữ nhật : Wx = ; Jx = ; 12 πd πd Hình tròn: Wx = ; Jx = ; 32 64 Hình chữ I, chữ U : tra bảng (8.3) (8.4) 8.1.4 Điều kiện bền Dạng hợp lý mặt cắt ngang (8.5) Mặt cắt nguy hiểm cần kiểm tra mặt cắt có momen uốn dương (hoặc âm) có trị số tuyệt đối lớn Vật liệu dẻo ( ứng suất cho phép theo kéo nén nhau): ( ) Mặt cắt có hình dáng hợp lý phải tận dụng cao khả làm việc vật liệu Các ứng suất các điểm nguy hiểm đồng thời đạt tới giá trị ứng suất kéo ứng suất nén cho phép Mz Mx yn = [σ ] n ( 8.7 ) σ max = yk = σ k ; σ = Jx I [ ] z Vật liệu giòn α ‹ 1; yk ‹ │yn│ yk [ σ ] k = = α Vật liệu dẻo α = 1; yk =│yn│ yn [ σ ] n Thép I NO30; F = 46,5 cm2 , Wx = 472 cm3; mặt cắt hình vuông diện tích Wx= 52,9 cm3 (nhỏ gần lần) W đánh gíá khả chống uốn mặt cắt β =3 F I NO 30 β = 131,26; hình vuông diện tích β=14,70 Thí dụ 8.1 Xác định tải trọng cho phép P đặt dầm NO 20 có gối đỡ bản lề hai đầu cho hai trường hợp đặt dầm khác hình vẽ Biết l=8m; vật liệu có ứng suất cho phép [σ ] = 16kN / cm NO 20: Wz=152 cm3 , Wy = 20,5 cm3 a/ 0,5l P b/ y Điều kiện bền dầm: A M max Pl = ≤ [σ ] W 4W 4W [σ ] P≤ l 4.152.16 b/ [ P ]1 = = 1216kN 4.20,5.16 = 164kN c/ [ P ] = C l B z c/ + Mmax=Pl/4 [P1]/[P2] = 1216/164 = 7,41 z y Các thành phần lực bổ sung: ∆ Q1 = Q1 (α − α ) = 53 ,3 (1 − ) = − 53 ,3 kN ; ∆ Q = Q (α − α ) = − 106 , ( − 1) = − 106 , kN ; ∆ M = M (α − α ) = 84 (1 − ) = − 84 kN ; ∆ M = M (α − α ) = 84 ( − 1) = 84 kN ; α1VA=106,6 1,58 ΔQ1=53,3 ΔQ2=106,7 P=120 α3VB=213,4 q=40kN/m ΔM1=84 1,0 0,42 1,0 ΔM2=84 0,71 k2 k1 p1=m1 x=p p2 0,79 p3=m2 α1VA=106,6 1,58 ΔQ1=53,3 ΔQ2=106,7 P=120 α3VB=213,4 q=40kN/m ΔM1=84 1,0 0,42 1,0 ΔM2=84 0,71 k2 0,79 p3=m2 p2 k1 p1=m1 x=p Phương trình độ võng cho mặt cắt đoạn cuối: p3 p13 m12 EI z y = EI z yo + EI zϕo x + α1VA − ∆Q1 − ∆M − 6 (a) k14 − k24 p23 p33 m22 −q − P − ∆Q2 + ∆M 24 6 Khi x = 0; y = ; yO = Khi x = 6; y = 0; p = 6; p1 = m1 = 4,42; k1 = 4; k2 = 3; p2 = 1,5; p3 = m2 = 0,79 Thay các giá trị vào ( a ) ta xác định EI zϕo = −318kNm Mặt cắt dầm : x = 3m; p = 3m; p1 = m1 = 1,42 m; k1 = 1m; k2 = (a) EIzy = 546 kNm3 546.103 y = fc = = 1,54cm = 15,4mm 20.10 17710 (vượt quá trị số cho phép 2,6%) 6.9 Ảnh hưởng lực cắt đến độ võng dầm chịu uốn Phương trình vi phân gần đúng đường đàn hồi (chỉ tính ảnh hưởng momen uốn): dx M z ( x) (6 29) y' ' = EI z Do biến dạng trượt trục sẽ quay Q góc nhỏ γo Độ chênh dyQ = dxtgγ ,⇒ dyQ γO = tgγ ≈ γ ; dx dyQ τ o τo =− γ o - góc lệch trục dầm: γ o = − dx G G Q dyQ (a) Trong ( a ) vế phải có dấu trừ vì ứng suất tiếp dương lại tạo góc trượt âm G - mođun trượt vật liệu làm dầm Q τ o ứng suất tiếp điểm nằm đường trung hoà,τ o = α Mặt cắt hình chữ nhật α = 1, 5; F Mặt cắt hình tròn đặc α = 1, 38; hình chữ nhật rỗng α = F/Ft; F- diện tích toàn mặt cắt; Ft - diện tích phần thẳng đứng mặt cắt (a) dyQ Q = −α dx GF (6 30) d yQ dx α dQ (6 31) =− GF dx Độ võng tổng cộng : y = yM + yQ y’’ = y’’M + y’’Q ; M z ( x) α dQ y' ' = − EI z GF dz (6 32) Tích phân hai vế phương trình (6 32) xác định các hằng số tích phân theo các điều kiện biên sẽ xác định độ võng góc xoay Thí dụ 10 Xét dầm đơn giản có gối đỡ bản lề hai đầu chịu tải trọng phân bố đều với cường độ q, chiều dài dầm l ql q ql M z ( x) = x − x ; Q = − qx ; 2 q αq y' ' = ( xl − x ) + EI z GF q αq y= (− x + 2lx ) + x + C1 x + C2 24 EI z 2GF Điều kiêên biên: y(x = 0) = y(x = l) = ql αql C1 = − − 24 EI z 2GF C2 = (b) ql  x  − x3 x  αql  x  y=   + − 1 −  1 − 24 FEI z  l  l l  2GF  l  5ql αql 5ql =− − =− 384 EI z 8GF 384 EI z x=0,5l ymax x  l (c)  48αEI z  1 +  5GFl   h I  z Mặt cắt hình chữ nhật tỷ số có bậc   l Fl 2 h/l < 1/5 bỏ qua ảnh hưởng lực cắt đến độ võng Dầm rỗng (mặt cắt rỗng:các mặt cắt ghép cột điện cao thế, các tháp, các dầm dàn) I z có bậc xấp xỉ đơn vị, ảnh hưởng lực cắt đáng kể.Fl 6.10 Khái niệm dầm bền Thay đổi kích thước mặt cắt ngang dầm dọc theo trục dầm tương ứng với sự thay đổi momen uốn, ta có thể đạt tình đó ứng suất thớ dầm mặt cắt đều đạt tới giá trị ứng suất cho phép Những dầm gọi dầm bền Ứng suất điểm nằm xa trục trung hoà mặt cắt dầm có độ bền đều phải thoả mãn điều kiện: M z ( x) σ= = [σ ] = const ; Wz ( x ) (a) Mz(x); Wz(x) momen uốn, momen chống uốn mặt cắt có hoành độ x Mặt cắt hình chữ nhật M z ( x) Px bx hx2 Wz ( x ) = = = [σ ] [σ ] (b) Có thể thoả mãn điều kiện bằng cách biến đổi hay cả hai kích thước bx hx tương ứng với sự biến đổi momen uốn dọc theo trục dầm P x 6P bx = x h [σ ] h b1 Px = ; [σ ] bx bx h l b Trường hợp mặt cắt hình chữ nhật có chiều cao không đổi bề rộng biến đổi: B A x Q P 3P = τ max = = ≤ [τ ] ; F F 2b1h Phương trình đường đàn3 hồi: bx = b h b1 Bề rộng mặt cắt đầu B dầm cần xác định từ điều kiện bền cắt tác dụng lực ngang P l bx x=l Pl b = bl = h [σ ] B A b Khi x = 0, b0 = 0; P 3P b1 = 2h[τ ] EI z ( x) y ' ' = M z ( x) bh x x I z ( x) = = I z ;I momen 12 l l quán tính cực đại z Momen uốn dầm công xôn: Mz(x) = - Px x EI z y ' ' = − Px, ⇒ EI z y ' ' = − Pl = M max = const ; l Mz Pl Độ cong cả = = − = const hai dầm ρ EI z EI z Dầm bền đều uốn cong theo cung tròn EI zϕ = EI zϕo − Mm = EI zϕo − Plx, m2 x2 EI z y = EI z yo + EI zϕo x − M = EI z y o + EI zϕo x − Pl 2 x = l, φ = y = yo = − Pl EIzϕo = Pl2 , EI z hay Pl3 f= 2EIz l3 EIz yo = −P , (6 33) x P f l/2 P/2 h l b Trong ôtô thường sử dụng làm các lò xo lá bx Dầm có mặt cắt hình chữ nhật chiều cao h không đổi bề rộng A biến đổi bx có gối đỡ bản lề hai đầu chịu lực tập trung dầm P/2 Có thể coi dầm bền đều gồm nhiều lá lò xo riêng biệt tách từ dầm bền đều ghép lại hình vẽ Độ võng các lò xo lá xác định gần đúng theo công thức f = βf1 với β= 1,25 - 1,4 ( f1 - độ võng dầm có mặt cắt không đổi) h l l h b B P b P Dầm bền đều có mặt cắt hình chữ nhật với bề rộng b không đổi bề cao biến đổi (c) b hx bhx2 Px P = , hx = x [σ ] b[σ ] x Dầm có mặt cắt hình tròn: 0,1d x3 d x3 = Px [σ ] Px = 0,1[σ ] Đường kính dầm biến đổi theo quy luật parabôn bậc ba P CÁC BIẾN DẠNG CƠ BẢN P1 y P1 Qy z P2 P2 Nx x Kéo ( nén ) P1 y y Mx Xoắn y P1 z P2 Căt ( trượt ) x z x z Mz P2 x Uốn