www.VNMATH.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN THỊ HỒNG PHƢỢNG THUẬT TOÁN FRAME – STEWART GIẢI BÀI TOÁN THÁP HÀ NỘI TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN THỊ HỒNG PHƢỢNG THUẬT TOÁN FRAME – STEWART GIẢI BÀI TOÁN THÁP HÀ NỘI TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60 46 01 Người hướng dẫn khoa học: PGS TS TẠ DUY PHƢỢNG THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chƣơng TỔNG QUAN VỀ TRÒ CHƠI THÁP HÀ NỘI §1 Lịch sử trò chơi Tháp Hà Nội §2 Sơ lược toán tháp Hà Nội tổng quát, toán cải biên vấn đề toán học liên quan 15 Chƣơng 2: TRÒ CHƠI THÁP HÀ NỘI 21 §1 Trò chơi tháp Hà Nội thuật giải đệ qui 21 §2 Giải toán tháp Hà Nội biểu diễn hệ đếm số 26 §3 Đồ thị Hà Nội 34 §4 Giải toán Tháp Hà Nội máy tính 38 Chƣơng 3: BÀI TOÁN THÁP HÀ NỘI VỚI BỐN CỌC (Trò chơi Reve-The Reve’s Puzzle) 39 §1 Trò chơi Tháp Hà Nội với bốn cọc 39 §2 Tính số bước chuyển tối ưu trò chơi Tháp Hà Nội với bốn cọc 43 Chƣơng 4: BÀI TOÁN THÁP HÀ NỘI TỔNG QUÁT 52 §1 Tính số S p (n) thuật toán Frame-Stewart cho trò chơi Tháp Hà Nội tổng quát 52 §2 Đánh giá S p (n) 68 §3 Sự tương đương số thuật toán giải toán Tháp Hà Nội tổng quát 70 KẾT LUẬN 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO 79 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com LỜI NÓI ĐẦU Trò chơi (Bài toán) Tháp Hà Nội phổ biến rộng rãi Paris năm 1883 nhà toán học Edouard Lucas, toán tiếng giới, nghiên cứu nhiều nhà toán học khoa học máy tính, chuyên gia giáo dục y học, đưa vào nhiều giáo trình tin học sách trò chơi toán học ví dụ điển hình thuật toán đệ qui lập trình bản, chưa ý nghiên cứu Việt Nam Mặc dù trò chơi Tháp Hà Nội có mặt nhiều trang WEB giáo trình tiếng Việt, số lượng viết tiếng Việt giới thiệu trò chơi toán Tháp Hà Nội tạp chí sơ lược (xem [1]-[6]), chưa có nghiên cứu tiếng Việt toán Tháp Hà Nội, tính riêng số báo nghiên cứu toán Tháp Hà Nội lĩnh vực Toán-Tin học có đến 450 với khoảng 250 với đầu đề có cụm từ "The Tower of Hanoi", đăng 100 tạp chí khoa học uy tín (trong [5] thống kê số lượng báo khoa học viết Tháp Hà Nội 464 bài) Đó chưa kể đến viết sử dụng toán Tháp Hà Nội khoa học giáo dục y học Trò chơi Tháp Hà Nội thú vị đến mức dùng làm đề tài số luận án Tiến sĩ luận văn cao học Một hội thảo khoa học quốc tế [21] với tên gọi Workshop on the Tower of Hanoi and Related Problems tổ chức năm 2005 Bài toán Tháp Hà Nội không thú vị chỗ mang tên Hà Nội, thủ đô Việt nam, mà hấp dẫn nhà Toán-Tin học liên quan đến nhiều vấn đề giải thuật đệ qui, hệ đếm, tam giác Pascal, thảm Sierpinski, lý thuyết đồ thị chu trình Hamilton, ôtômát hữu hạn, độ phức tạp tính toán, Bài toán Tháp Hà Nội gợi ý cho nhiều nghiên cứu khoa học máy tính toán học Luận văn Thuật toán Frame-Stewart giải toán Tháp Hà Nội tổng quát có mục đích trình bày tổng quan thuật toán quan trọng giải toán Tháp Hà Nội với số cọc Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Luận văn gồm phần mở đầu, bốn Chương phần tài liệu tham khảo Chương Tổng quan trò chơi Tháp Hà Nội Chương Bài toán Tháp Hà Nội cổ điển Chương Bài toán Tháp Hà Nội với bốn cọc Chương Bài toán Tháp Hà Nội tổng quát Chương giới thiệu tổng quan Trò chơi Tháp Hà Nội Lời giải Bài toán Tháp Hà Nội cho ba cọc trình bày Chương Sau 100 năm, trò chơi Tháp Hà Nội có cải biên tổng quát hoá (trò chơi Tháp Hà Nội xoay vòng, trò chơi Tháp Hà Nội song song, trò chơi Tháp Hà Nội với nhiều cọc, ) Những cải biên tổng quát hóa dẫn đến vấn đề toán học thú vị, chí dẫn tới nhiều toán chưa có lời giải Trong luận văn này, tập trung trình bày Chương Chương lời giải toán Tháp Hà Nội, Thuật toán đệ qui dạng Frame-Stewart giải toán Tháp Hà Nội tổng quát Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình PGS.TS Tạ Duy Phượng Em xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy xin cảm ơn Thầy cung cấp nhiều tài liệu đồng thời cho phép sử dụng Bản thảo sách Thầy Tháp Hà Nội Em xin cảm ơn Thầy Cô Đại học Thái Nguyên Viện Toán học tận tình giảng dạy em suốt trình học cao học Tôi xin cảm ơn khoa Toán trường ĐHSP Thái Nguyên, khoa Sau Đại học trường ĐHSP Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho thực kế hoạch học tập Xin cảm ơn người thân, đồng nghiệp, bạn bè cổ vũ động viên suốt trình làm luận văn Thái Nguyên, 19.8.2010 Nguyễn Thị Hồng Phượng Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Chƣơng TỔNG QUAN VỀ TRÒ CHƠI THÁP HÀ NỘI §1 Lịch sử trò chơi Tháp Hà Nội Bìa sách E Lucas xuất Paris năm 1895, có trang (179-183) viết trò chơi Tháp Hà Nội 1.1 Truyền thuyết Theo truyền thuyết, liên tục suốt ngày đêm, nhà tu hành tòa tháp Brahma thành Bernares (Ấn Độ) phải chuyển 64 đĩa vàng từ cọc sang cọc khác tòa tháp Các đĩa có kích thước khác lúc Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com đầu đặt ba cọc tòa tháp theo thứ tự đĩa nhỏ trên, đĩa lớn Đĩa chuyển sang cọc khác, lần di chuyển đĩa Do tính dễ vỡ, đĩa lớn không đặt lên đĩa nhỏ Trong trình di chuyển, đặt đĩa lên cọc trung gian Khi công việc hoàn thành, tòa tháp đổ, lúc thời điểm kết thúc vũ trụ với tiếng nổ khủng khiếp! 1.2 Lịch sử Dựa truyền thuyết tháp Brahma, có thể, theo truyền thuyết tồn tháp cổ đồng dạng với tháp Brahma vùng đất phật giáo linh thiêng gần Hà Nội (Bắc Ninh?, Vĩnh Phúc?), Việt Nam, nhà toán học người Pháp Edouard Lucas (quê Amiens) phổ biến Trò chơi Tháp Hà Nội Paris năm 1883 với tên giả giáo sư N Claus Năm 1884, Parvile [14] trình bày lời giải toán Tháp Hà Nội tiết lộ giáo sư N Claus tên giả nhà nghiên cứu lí thuyết số tiếng Eduard Lucas Trên bìa hộp đựng trò chơi sản xuất năm 1883 sách L’Arithméique Amusante, xuất Paris năm 1895 (sau Ông mất), Edouard Lucas viết ([12], trang 179): “…la Tour d’Hanoi, véritable cassetête annamite…” (Tháp Hà Nội, trò chơi trí tuệ người Annam), ông lại gọi trò chơi trò chơi Tháp Hà Nội chưa có câu trả lời thật rõ ràng Rất (theo Edouard Lucas), trò chơi Tháp Hà Nội “đã xuất Đông Á từ kỷ 19 trước Các đĩa làm sứ Trung Quốc, Nhật Bản Đông Kinh (Bắc Kì, Việt Nam)” Tuy nhiên, nay, nhà lịch sử có lẽ chưa tìm thấy đĩa sứ trò chơi tháp Hà Nội châu Á Những hộp đựng trò chơi cũ hộp đựng đĩa sản xuất Pháp năm 1883 Theo David G Pool [15], trích dẫn theo P J Hilton [10], tồn tháp gần Hà Nội (Việt Nam) lí để E Lucas đặt tên cho trò chơi Trò chơi Tháp Hà Nội Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Có giả định rằng: “nhà toán học đến thăm Việt Nam, ngắm cảnh Hồ Gươm bị quyến rũ vẻ đẹp Tháp Rùa nên đặt tên Bài toán Tháp Hà Nội” Nếu có tư liệu khẳng định nhà toán học tiếng E Lucas đến Hà Nội từ trước năm 1883 (Pháp chiếm Hà Nội năm 1882) thật thú vị Tuy nhiên, lúc E Lucas khỏi quân đội dạy học, có khả ông đến Hà Nội Cũng có lẽ Cột cờ Hà Nội gợi ý cho E Lucas đặt tên trò chơi Tháp Hà Nội: “The Flag Tower of Hanoi may have served as the inspiration for the name” Cột cờ Hà Nội có đáy gồm ba khối vuông xây chồng lên Trò chơi Tháp Hà Nội đơn giản gồm ba đĩa tròn xếp chồng lên Cột cờ Hà Nội xây năm 1805-1812, Tháp Rùa xây năm 1886, trò chơi Tháp Hà Nội xuất Paris 1883 Có thể Pháp chiếm Hà Nội đề tài thời Paris vào năm 1882-1883, điều gợi ý E Lucas đặt tên cho trò chơi Tháp Hà Nội? Trò chơi Tháp Hà Nội vừa phổ biến đón nhận rộng rãi đơn giản hấp dẫn Mặc dù chưa có câu trả lời rõ ràng lí E Lucas đặt tên cho trò chơi trò chơi Tháp Hà Nội, người Việt Nam tự hào cần quan tâm trò chơi Dưới bìa hộp đựng trò chơi Tháp Hà Nội sản xuất lần Paris năm 1883 hai tờ hướng dẫn qui tắc chơi Đây tư liệu quí lịch sử trò chơi Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Bìa hộp đựng trò chơi Tháp Hà Nội đƣợc bán lần đầu Paris năm 1883 Trên tờ bìa có hình tháp 10 tầng, tre, người Annam (Việt Nam) ghi rõ: La Tour d’Hanoϊ, Veritable casse-téte Annamite Jeu, rapporté du Tonkin par le professeur N Claus (de Siam) du college Mandarin Li-SouSian (Tháp Hà Nội, Trò chơi trí tuệ người Annam, giới thiệu giáo sư N Claus (ở Siam), trường trung học Li-Sou-Sian) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 66 Vì i  n  x số chia tối ưu Bổ đề 1.4 Với a, b  ,  a  b ta có a  ab  Bổ đề 1.5 Cho f ( x)  x  x  1 3  g ( y )   y   Khi g ( f ( x))  x với 2  xR Chứng minh Theo Bổ đề 1.5 ta có 3  g ( f ( x))   f ( x)     x  x  1  1   x  1   x  2   Mặt khác, x   nên x  x   Do theo bất đẳng thức Cauchy ta có x  x  1  x   x  1  x  x  1  3  x    x  2 3 3   Suy  x  x  1    x  Vậy x   x  x  1    x  2 2   3  Chứng tỏ x   g ( f ( x))   x  x  1    x hay g ( f ( x))  x 2  Bổ đề 1.6 3  Cho g ( y ) :  y   Khi g ( y)  x  Cx21  y  Cx2 2  Chứng minh Ta có Cx21  y  Cx2   x  1 x    y  x  x  1 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 67  x  1 x   suy g  y   x  x  1 x   số nguyên nên Thật vậy, hai số y  x  1 x   suy từ y  2 3  x  x  1 x    x  x   2 y 1   2 Trước tiên ta chứng minh rằng, y  3   2y   x    2  g  y  x 2y  Bây giả sử y  3   x   y    x (do x số tự nhiên), hay 2  x  x  1 3   f ( x) Vì g ( y )   y   hàm tăng 2  theo Bổ đề 1.5 ta có g ( f ( x))  x nên y  f ( x) suy g ( y )  g ( f ( x))  x Kết hợp hai bất đẳng thức ta có g ( y)  x  Cx21  y  Cx2 Hệ 1.4 Trong toán Tháp Hà Nội với bốn cọc với n đĩa bất kì, số chia tối ưu 1  i  n   2n   2  Chứng minh Xây dựng hàm g :    cho g ( y)  x  Cx21  y  Cx2 Khi g ( y)   x  Cx21  y  Cx22 Theo Định lí 1.3 ta tìm số i xác định 3 1   i  n   x  1  n   g  n      n   2n     n   2n   2 2     số chia tối ưu Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 68 §2 Đánh giá S p (n) Như ta biết, số lần chuyển đĩa cho toán ba cọc S3 (n)  2n  1, nên tăng theo hàm mũ n tăng Tuy nhiên, trường hợp số cọc p  , phân tích thuật toán Frame- Stewart, Stockmeyer 1994 [19] phát rằng, thật đáng ngạc nhiên, độ phức tạp thuật toán mũ (sub-   cho k  Đánh giá Xiao Chen exponential), cỡ  n2 n Jian Shen (2004) Szegedy (1999) xét Dưới trình bày kết Stockmeyer [19] Bổ đề 2.1 Kí hiệu  x số nguyên gần số thực x Khi tk 1  n  tk k   2n , t k  k (k  1) số Pascal Chứng minh Ta có k  2n  k  12   tk 1  2n  k  1  k  k   2n  k  k  4 1  n  tk   tk 1  n  tk 8 Dấu bắt đẳng thức cuối tất số tk 1, n, tk số nguyên Nhận xét từ Bổ đề suy  2n giá trị tối ưu tham số i thuật toán Định lí 2.1 Giả sử    2n   1 2n , tức     Khi S4 (n)  2        2 2n   n   1,   2      3                 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 69 Chứng minh Giả sử k   2n   2n   Sử dụng Hệ 1.1 1.2 tính tổng ta có  k (k   S4 (n)   i 2i 1   tk  n  2k 1    k  1 2k  1    n  2k 1   i 1  2   3   k  2n  k  3k   n   2    1  2n  1 4     k 2 2n     n      Đây điều phải chứng minh  Mặc dù       2   2      3             có dạng     1 phức tạp, hai gần với     Hàm    đạt giá trị cực 2 tiểu      2  1.0615 e ln đạt cự đại 23  0.0573 Hàm    giảm chặt từ cực đại  1.0164 ln 32    1 11  0.9723   Nếu n  tk số tam đến cực tiểu 2 16 giác ta có lim   Như vậy, M (n)  n 2n   n   xấp xỉ tốt cho số Trong trường hợp, M (n) luôn không xa 6.2% so với n2 2n với n đủ lớn Ta nhận xét n2 2n thật tăng nhanh Krishnamoorthy Biswas chứng minh M (n)  O Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên  n n , n2 n  http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 70 §3 Sự tƣơng đƣơng số thuật toán giải toán Tháp Hà Nội tổng quát Trong §1 ta xét tỉ mỉ thuật toán truy hồi giải toán Tháp Hà Nội tổng quát (thuật toán Frame-Stewart, thực thuật toán Stewart đề nghị năm 1942) Frame (1941) đưa thuật toán khác với thuật toán Stewart Sau này, số tác giả đưa số thuật toán truy hôi tương tự thuật toán Stewart Frame Trong § trình bày chứng minh [11] khẳng định thuật toán tương đương theo nghĩa số lần chuyển đĩa tối ưu thuật toán 3.1 Các thuật toán truy hồi Giả sử H p (n) số bước chuyển nhỏ cần thiết để giải toán Tháp Hà Nội với n đĩa p cọc Chỉ với p  n  p đĩa toán Tháp Hà Nội với nhiều cọc không tầm thường, ta chứng minh (Chương 2) H3 (n)  2n  hiển nhiên H p (n)  2n  n  p (lần lượt lấy đĩa từ nhỏ tới lớn từ cọc nguồn đặt vào cọc, nhấc đĩa cuối từ cọc nguồn đặt vào cọc đích, sau lại xếp đĩa vào cọc đích theo thứ tự từ lớn đến bé, xem Nhận xét 2.1 Chương 3) Do trường hợp tầm thường p  n  p ta kí hiệu tất hàm xem xét xác định H p (n) Vì lí kĩ thuật, ta coi H (1)  H (n)  n  Thuật toán Frame (1941) Đầu tiên tất n đĩa nằm cọc nguồn P1 Ta chia n  đĩa nhỏ thành p  nhóm đĩa có kích thước liên tiếp Chuyển n1 đĩa nhỏ (trên cùng) từ cọc nguồn P1 sang cọc trung gian P2 cách sử dụng tất Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 71 p cọc Chuyển n2 đĩa nhỏ (tiếp theo) từ đĩa nguồn P1 sang đĩa trung gian P3 cách sử dụng p  cọc (không sử dụng cọc P2 cọc P2 chứa n1 đĩa nhỏ nhất) Tiếp tục chuyển nhóm đĩa từ cọc nguồn sang cọc trung gian cách bước ta sử dụng cọc so với bước trước Nhóm đĩa cuối chuyển từ cọc nguồn P1 sang cọc trung gian Pp1 cách sử dụng ba cọc trung gian lại Đĩa lớn (thứ n ) chuyển từ cọc nguồn P1 sang cọc đích Pp Sau ta chuyển tất nhóm đĩa sang cọc đích theo thứ tự ngược lại Như vậy, toán tìm số lần chuyển nhỏ n đĩa từ cọc nguồn sang cọc đích trở thành Bài toán 3.1 Với p  n  p tìm cực tiểu Fp (n) đại lượng Fp  n1   Fp1  n2    F3 n p 2   với điều kiện n1  n2   n p2   n , ni   , i  1, 2, , p  Bài toán dạng nới lỏng toán Frame ban đầu: Bài toán 3.2 Với p  n  p , tìm cực tiểu Fp (n) đại lượng Fp  n1   Fp 1  n2    F3  n p 2   với điều kiện n1  n2   n p2   n , n1  n2   np2 , ni   Như vậy, so với toán 3.1, thuật toán Frame (Bài toán 3.2) đòi hỏi thêm điều kiện đơn điệu số đĩa: n1  n2   np2 Dưới đây, để thuận tiện, ta nhắc lại Thuật toán Stewart (1941) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 72 Đầu tiên tất n đĩa nằm cọc nguồn P1 Chia đĩa thành hai nhóm Nhóm thứ gồm n1 đĩa nhỏ nhóm thứ hai gồm n  n1 đĩa lại Chuyển n1 đĩa nhỏ từ cọc nguồn P1 sang cọc trung gian P2 cách sử dụng tất p cọc Chuyển n  n1 đĩa lại từ cọc nguồn P1 sang cọc đích Pp cách sử dụng p  cọc (không sử dụng cọc P2 ) Cuối chuyển n1 đĩa từ cọc P1 sang cọc đích Pp , sử dụng tất p cọc Bài toán 3.3   Với p  n  p , tìm S p (n) : 2S p  n1   S p 1  n2  n1  n2  n , ni   , i  1,2 Thuật toán Stewart tổng quát hóa sau Kí hiệu Ap (n) số bước chuyển cần thiết Bài toán theo thuật toán có tính đến tất phép chia n đĩa sau Bài toán 3.4 Với p  n  p , giả sử Ap (n) cực tiểu số 2 A (n )  A (n )   A (n 2 A (n )  A (n )   A (n 2 A (n )  A (n ) n  n  n,  p p 1 p 2 )  n1   n p 2   n  p p 1 p 2 ) n1   n p 2  n   p p  ni   Một phiên 3.4 đòi hỏi tính đơn điệu phép chia n đĩa Bài toán 3.5 Với p  n  p , tìm cực tiểu Ap (n) số (trong ni   ) 2 A (n )  A (n )   A (n 2 A (n )  A (n )   A (n   2 A (n )  A (n ) n  n  p p 1 p 2 )  n1   n p 2   n, n1  n2   p p 1 p 2 ) n1   n p 2  n, n1  n2    p p 1 2    n, n1  n2 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 73 Định nghĩa 3.1 Nếu p  2,3 n  p đặt (định nghĩa) Fp (n)  Fp (n)  Ap (n)  Ap (n)  S p (n)  M p (n) 3.2 Chứng minh Ap (n)  Fp (n)  S p (n) Chúng ta bắt đầu hai Bổ đề hàm Ap (n) Mặc dù Bổ đề 3.1 hiển nhiên Bổ đề 3.2 chủ yếu xét trường hợp tầm thường, nhiên cần chứng minh hai Bổ đề này, số “điều hiển nhiên” toánTháp Hà Nội thường đưa đến kết luận sai lầm Bổ đề 3.1 Với p  n  ta có Ap (n)  2n  Chứng minh Với n  p Bổ dề theo định nghĩa Ap (n) Với p  n  ta có A3 (n)  2n   2n  Cuối cùng, với p  n  p ta có Ap (n)  Ap (n1 )  Ap1 (n2 )   Ai1(npi )  Ai(n pi1) , n1  n2   npi1  n  i  p  Theo qui nạp ta có Ap (n)   2n1  1    2n p i  1   2n p i 1    n1   n p i  n p i 1    n1   n p i  n p i    p  i    2n   n1   n p i    p  i   2n  Bổ đề chứng minh Bổ đề 3.2 Với n  1, p3 i, n1, , npi1 với  i  p 1 n  n1  n2   n pi1 : Ap (n)  Ap (n1 )  Ap1 (n2 )   Ai1(npi )  Ai(n pi1) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 74 Chứng minh Trường hợp p  n  p : Khẳng định suy trực tiếp từ định nghĩa số Ap (n) Trường hợp p  : Từ  i  p  suy i  Ta phải chứng minh A3 (n)  A3 (n1 )  A2 (n2 ) , n  n1  n2 (3.1) Nếu n2  (3.1) suy biến Vậy n2  ta phải chứng minh A3 (n)  A3 (n  1)  A2 (1) Theo định nghĩa ta có:   (3.1)  M (n)  2M (n1 )  M (n2 )  2n   2n1   Hiển nhiên Trường hợp cuối cùng: n  p p  Ta chứng minh truy hồi theo n Nếu n   n  n1  n2   n pi1  p  i  (vì ni  với i ) Như vậy, p  i  Mặt khác ta lại có p  i  p  n  nên suy p  i  Do n1  n2  Như phải Ap (2)  Ap (1)  Ap1 (1) , hiển nhiên theo định nghĩa n  p Ap (2)  M p (2)  2.2   ; Ap (1)  M p (1)  ; Ap1 (1)  M p1 (1)  Như vậy, trường hợp n  chứng minh Theo qui nạp ta suy ra: Ap (n1 )   Ap 1 (n2 )   Ai1 (n pi )  Ai(n pi 1 )   Ap (n1 )  Ap1 (n  n1 ) Do khẳng định chứng minh ta Ap (n1 )  Ap1 (n  n1 )  Ap (n) Do n  p nên theo định nghĩa ta có Ap (n)  M p (n)  2n  Vậy theo Bổ đề 3.1: Ap (n1 )  Ap 1 (n  n1 )   2n1  1   n  n1     n1  n  n1    n1  3  2n   Ap (n) Bổ đề 3.2 chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 75 Mệnh đề 3.3 Với p  n  ta có Ap (n)  S p (n) Chứng minh Ta chứng minh qui nạp theo n Cụ thể hơn, ta chứng minh khẳng định với n  và, n cố định với 4 p  n Với n  , ta cần xét p  Tính toán đơn giản trực tiếp trường hợp ta có A4 (4)  S4 (4)  Bây ta giả sử khẳng định với  m  n Giả sử p số nguyên thỏa mãn  p  n Theo giả thiết qui nạp, với n1, n2   , n1  n2  n ta có Ap (n1 )  Ap1 (n2 )  2S p (n1 )  S p1 (n2 ) Như vậy, tập mà theo xác định S p (n) (như cực tiểu nó) tập tập, mà theo xác định Ap (n) (như cực tiểu nó) Từ suy Ap (n)  S p (n) Còn lại cần phải chứng minh Ap (n)  S p (n) Nếu với n1, n2   , n1  n2  n đó, ta có Ap (n)  Ap (n1 )  Ap1 (n2 ) ta có điều phải chứng minh, trường hợp Ap (n) tập mà S p (n) đạt cực tiểu Bởi ta giả thiết Ap (n)  Ap (n1 )  Ap1 (n2 )   Ai1 (npi )  Ai(npi1) , n1  n2   npi1  n  i  p  (Nhận xét trường hợp riêng i2 ta có npi1  np1  A2 (np1 )  1.) Khi n2  n3   npi1  n  n1 Theo Bổ đề 3.2 ta có Ap1 (n  n1 )  Ap1 (n2 )   Ai1 (npi )  Ai(npi1) , Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 76 Và vậy, sử dụng giả thiết qui nạp, ta đến kết luận Ap (n)  Ap (n1 )  Ap1 (n  n1 )  2S p (n1 )  S p1 (n  n1 )  S p (n) Vậy Ap (n)  S p (n) Mệnh đề 3.4 Với p  n  ta có Ap (n)  Fp (n) Chứng minh Ta chứng minh qui nạp theo n Mệnh đề 3.3 Với n  ta có F4(4)  2 F4(n1 )  F3(n2 )  n1  n2   4  2 A4 (n1 )  A3 (n2 )  n1  n2  3  2 A4 (1)  A3 (2)  1;2 A4 (2)  A3 (1)  1  2 1  3  1,2   1  1   A4 (4) Giả thiết Ap (m)  Fp (m) với  m  n Tập mà theo ta xác định Fp (n) (như cực tiểu nó) tập tập theo ta xác định Ap (n) (như cực tiểu nó), với n1, n2 , , n p2 thỏa mãn n1  n2   n p2   n ta có 2Fp (n1 )   2F3(np2 )   Ap (n1 )   A3 (np2 )  Do Fp (n)  Ap (n) Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại, sử dụng phương pháp qui hoạch động sau Theo Mệnh đề 3.3 ta viết Ap (n)  Ap (n1 )  Ap 1 (n20 ) n1  n20  n Áp dụng lần lý luận này, ta có Ap 1 (n20 )  Ap 1 (n2 )  Ap 2 (n30 ) n2  n30  n20 Vậy Ap (n)  Ap (n1 )  Ap 1 (n2 )  Ap 2 (n30 ) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 77 Quá trình thực đến nào? Chúng ta phân biệt hai trường hợp Trƣờng hợp Ap (n)  Ap (n1 )   Ai1 (n p i )  Ai(n 0p i 1 ) với i  n 0p i 1  Đặt r  max k nk  1 nhận xét r  p  i Khi ta có: Ap (n)  Ap (n1 )   Ai1 (n p i )  Ap r (1)   Ai1 (1)  Ai(1)  Ap (n1 )    Ap r 1 (nr )  Ap r (nr1 )   2 Ap r 1 (1)   Ai(1)  Ai1 (1)  Ap (n1 )   Ap r 1 (nr )  Ap r (nr1 )  2 Ap r 1 (1)   Ai(1)  Ai1 (1)  Ap (n) Nhận xét tính toán đổi biến đẳng thức thứ hai giá trị Apr (1), , Ai(1) Apr 1 (1), , Ai1 (1) i   Do ta có mâu thuẫn Chứng tỏ trường hợp Trƣờng hợp Ap (n)  Ap (n1 )   Ai1 (n p i )  Ai(n 0p i 1 ) với i  n 0p i 1  Ta có Ap (n)  Ap (n1 )   A3 (n 0p 2 )   Fp (n1 )   F3( n 0p 2 )   Fp ( n) Vậy Mệnh đề 3.4 chứng minh Kết hợp Mệnh đề 3.3 Mệnh đề 3.4 ta phát biểu Hệ 3.5 Với p  n  ta có Ap (n)  Fp (n)  S p (n)  H p (n) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 78 KẾT LUẬN Trong luận văn này, Chương trình bày sơ lược lịch sử phát triển toán Tháp Hà Nội Chương trình bày chi tiết lời giải toán tháp Hà Nội với ba cọc, tập trung trình bày vấn đề quan trọng toán tháp Hà Nội tổng quát, công thức tính số lần chuyển tối ưu, độ phức tạp tính toán tương đương các thuật toán hồi qui dạng Frame-Stewart Mặc dù sơ lược chưa bao quát hết số lượng lớn viết riêng thuật toán Frame-Stewart giải toán tháp Hà Nội, hy vọng luận văn cho tranh tương đối rõ nét toán gợi ý quan tâm đến vấn đề thú vị toán tháp Hà Nội, 1000 năm Thăng Long Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Trà Ân, Bài toán Tháp Hà Nội, Tạp chí Toán học Tuổi trẻ, số 280, tháng 10.2000 [2] Phạm Trà Ân, Bài toán Tháp Hà Nội-Cái nhìn từ lý thuyết Độ phức tạp tính toán, Tạp chí Thông tin Toán học, Tập Số 2, tháng năm 2002, trang 10-13 [3] Vũ Đình Hòa, Bài toán Tháp Hà Nội, Tạp chí Toán Tuổi thơ 2, Số 68, tháng 10.2008 [4] Tạ Duy Phượng, Trò chơi Tháp Hà Nội-Lịch sử toán tổng quát, Tạp chí Toán học Tuổi trẻ, số 280, tháng 1.2010 [5] Tạ Duy Phượng, Trò chơi Tháp Hà Nội toán liên quan (Bản thảo), 150 trang [6] Nguyễn Xuân Tấn, Bài toán “Tháp Hà Nội”-một toán hóc búa trăm năm nay, Tạp chí Thông tin Toán học, Tập Số 1, tháng năm 2002, trang 2-4 [7] Henry Ernest Dudeney, The Canterbury Puzzles (and other curious problems), Thomas Nelson and Sons, Ltd., London, 1907; New York, E P Dutton and Company, 1908 [8] Otto Dunkel, Editorial note concerning advanced problem 3918, Amer Math Monthly 48 (1941), 219 [9] J S Frame, Solution to advanced problem 3918, Amer Math Monthly 48 (1941), 216-217 [10] P J Hilton, private communication [11] Sandi Klavžar, Uroš Milutinović, and Ciril Petr, On the Frame-Stewart algorithm for the multi-peg Tower of Hanoi problem, Discrete Appl Math 120 (2002), no 1-3, 141-157 MR1912864 (2003c:05028) [12] Édouard Lucas, L’Arithméique Amusante: Introduction aux Récréations Mathematicques, Gauthier-Villars, Paris, 1895, pp 179-183 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 80 [13] Sergey Novikov, Upper estimates of complexity of algorithms for multipeg Tower of Hanoi problem, Annales Academiae Paedagogicae Cracoviensis, Folia 45 Studia Mathematica VI, 2007, pp 57-66 [14] Henri de Parville, Récréations mathématiques: La tour d’Hanoi et la question du Tonkin, La Nature, 12th year, 1st semester, no 565 (March 29, 1884), 285-286 [15] David G Poole, The towers and triangles of Professor Claus (or, Pascal knows Hanoi), Math Mag 67 (1994), 323-344 MR1307797 (95m:05023) [16] Michel Rand, On the Frame-Stewart algorithm for the Tower of Hanoi, pp 1-13, 2009 [17] B M Stewart, Advanced problem 3918, Amer Math Monthly 46 (1939), 363 [18] B M Stewart, Solution to advanced problem 3918, Amer Math Monthly 48 (1941), 217-219 [19] Paul K Stockmeyer, Variations on the four-post Tower of Hanoi puzzle, Congr Numer 102 (1994), 3-12 (Proceedings of the 25th Southeastern International Conference on Combinatorics, Graph Theory and computing) [20] Paul K Stockmeyer: The Tower of Hanoi: A Bibliography, Internet publication, Version 2.2, 22/10/2005, http://w.w.w.cs.wm.edu/~pkstoc/hpapers.html [21] Workshop on the Tower of Hanoi and Related Problems, September 18 September 22, 2005, Maribor, Slovenia [22] Các trang WEB viết trò chơi Tháp Hà Nội Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn