UBND TNH BC NINH S GIO DC V O TO CHNH THC THI TUYN SINH VO LP 10 THPT CHUYấN NM HC 2016 - 2017 Mụn thi: Toỏn (Dnh cho thớ sinh thi chuyờn Toỏn, chuyờn Tin) Thi gian lm bi: 150 phỳt (khụng k thi gian giao ) Ngy thi: 11 thỏng nm 2016 Cõu (2,5 im) P ( x) = x4 + 5x3 + 5x2 - 5x - a) Phõn tớch a thc b) Rỳt gn biu thc: Q= x- thnh nhõn t 4( x - 1) + x + 4( x - 1) ổ ữ ữ ìỗ ỗ1ữ ữ ỗ ố x - 1ứ x - 4( x - 1) vi x > v x Cõu (2,0 im) 2( 2x 1) - 5x - = 3x - a) Gii phng trỡnh b) Cho bn s thc a,b,c,d khỏc tha cỏc iu kin sau: a,b l hai nghim ca 2 phng trỡnh x - 10cx - 11d = 0; c,d l hai nghim ca phng trỡnh x - 10ax - 11b = Tớnh giỏ tr ca biu thc S = a + b + c + d Cõu (1,0 im) 3a4 + 3b4 + c3 + M = a + b + c ( ) Cho ba s thc dng a,b,c Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc Cõu (3,0 im) (C ) tõm O, bỏn kớnh R v dõy cung AB < 2R T A, B v hai tip tuyn Ax, By vi ng trũn (C ) Ly im M bt kỡ thuc cung nh AB (M khụng trựng vi A Trờn ng trũn v B ) Gi H , K , I ln lt l chõn cỏc ng vuụng gúc h t M xung AB, Ax v By a) Chng minh rng MH = MK MI b) Gi E l giao im ca AM v K H , F l giao im ca BM v HI Chng minh rng ng thng EF l tip tuyn chung ca hai ng trũn ngoi tip cỏc tam giỏc MEK v MFI c) Gi D l giao im th hai ca hai ng trũn ngoi tip cỏc tam giỏc MEK v MFI Chng minh rng M di chuyn trờn cung nh AB thỡ ng thng DM luụn i qua mt im c nh Cõu (1,5 im) ( bc - 1) chia ht cho a, a) Tỡm ba s nguyờn t a,b,c tha cỏc iu kin: a < b < c, ( ca - 1) ( ab- 1) chia ht cho c chia ht cho b v b) Cỏc nh khoa hc gp ti mt hi ngh Mt s ngi l bn ca Ti hi ngh khụng cú hai nh khoa hc no cú s bn bng li cú bn chung Chng minh rng cú mt nh khoa hc ch cú ỳng mt ngi bn Ht - (é thi cú 01 trang) H tờn thớ sinh: S bỏo danh: UBND TNH BC NINH S GIO DC V O TO HNG DN CHM THI TUYN SINH VO LP 10 THPT CHUYấN NM HC 2016 2017 Mụn thi: Toỏn (Dnh cho thớ sinh thi chuyờn Toỏn, chuyờn Tin) Cõu 1.a ỏp ỏn im 1,0 ( ) ( )( ) P ( x) = x + 5x + 6x - x + 5x + = x + 5x + x - 2 2 = ( x - 1) ( x + 1) ( x + 2) ( x + 3) 0,5 0,5 1.b 1,5 Q= = ( x - 1) - 4( x - 1) + + ( x - 1) + 4( x - 1) + ( x - 2) ( ) x - 1- + ( x - 2) * Nu < x < thỡ * Nu x > thỡ ( Q= Q= ) x - 1+1 2 1- x- ì = x- x- ì x- x - 1- + x - + x - ì x- x- x - 1+ x - 1+1 x - 2 ì = 2- x x - 1- x x - - 1+ x - + x - 2 ì = x- x- x- 2.a 0,5 0,5 0,25 0,25 1,0 2( 2x 1) - 5x - = 3x - 4( 2x 1) - 5x - = 3x - ộ (5x - 6) - 5x - + 9ự + ộ(3x - 8) - 3x - + 1ự =0 ỳ ỳ ỷ ỷ ( 5x - - 3)2 + ( 3x - - 1)2 = ỡù 5x - - = ù ùớ x = ùù 3x - - = ùợ Vy phng trỡnh cú nghim x = 2.b 0,5 0,5 1,0 x2 - 10cx - 11d = 0( 1) ; c,d Vỡ a,b l hai nghim ca phng trỡnh l hai nghim x - 10ax - 11b = 0( 2) ca phng trỡnh nờn theo h thc Viột ta cú ỡù a + b = 10c ( 3) ùù ùù c + d = 10a ( ) ù ùù ab = - 11d ( 5) ùù ùù cd = - 11b ( 6) ợ ( 3) ,( 4) ta cú 9( a + c) = b + d ị S = 10( a + c) T ( 5) ,( 6) ta cú ac = 121 T 0,25 0,25 ( 1) nờn a2 - 10ac - 11d = 0; c l nghim ca M a l nghim ca phng trỡnh 2) a2 + c2 - 20ac - 11( b + d) = ( c 10 ac 11 b = phng trỡnh nờn Suy ra, 2 ( a + c) - 22ac - 99( a + c) = ( a + c) - 99( a + c) - 2662 = ộa + c = - 22,t/ m ờa + c = 121, t/ m Vi a + c = - 22 ị S = - 220 Vi a + c = 121 ị S = 1210 0,25 0,25 1,0 ( p dng BT Cụsi ta cú Tng t 3b + 4b ( ị M ( a + b + c) ( a + b + c) 4( a + b + c) = 0,5 ) 3 hay 3a + 4a 4a3 + 4b3 + c3 ị a3 + b3 ( a + b) ( a + b) + c ( a + b + c) 2a + a + 2a + 2a 4a ị M ( a - b) ( a + b) M ) 4 0,5 Du bng xy v ch a = b = 1,c = 4.a 1,0 Hỡnh v cõu a) ỳng 0,25 (O, R ) nờn Ta cú t giỏc AHMK , BHMI ni tip v Ax, By l tip tuyn ca ã ã ã ã ã H = MHI ã MIH = MBH = MAK = MHK Tng t MK Do ú, hai tam giỏc MIH , MHK ng dng ị MI MH = ị MH = MI MK MH MK 4.b 0,5 0,25 1,0 ã ã ã ã Theo chng minh trờn MBA = MHK , MHI = MAB ã ã ị EHF + EMF = 1800 ị T giỏc MEHF ni tip 0,25 0,25 ã ã ã ã ã ã ã Suy EHM = EFM M EHM = HBM = HIM ị EFM = FIM T ú suy EF l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip D MFI Tng t EF l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip D MEK Vy EF l tip tuyn chung ca hai ng trũn núi trờn 4.c 0,25 0,25 1,0 ã ã ã ã ã MFE = MHE = MBH ị MFE = MBH ị EF / / AB Gi C l giao im ca DM v EF , Q l giao im ca DM v AB Vỡ EF l tip tuyn chung ca hai ng trũn ngoi tip tam giỏc MEK v MFI nờn ùỡù CE = CM ì CD ị CE = CF ùù CF = CM ìCD ùợ CE MC CF = = ị QA = QB QA MQ QB M Vy Q l trung im ca on AB c nh nờn Q l im c nh 5.a 0,5 0,5 0,75 (ab - 1)M c ị ( ab + bc + ca - 1) M c T gi thit ta cú ( ab + bc + ca - 1) Ma, ( ab + bc + ca - 1) Mb Tng t a,b,c a,b,c Vỡ l s nguyờn t phõn bit nờn ụi mt nguyờn t cựng ú ( ab + bc + ca - 1) Mabc ị (vỡ 0,25 ab + bc + ca - abc a 2,b 3,c ị ab + bc + ca - > ) Nu a ị abc 3bc > ab + bc + ca > ab + bc + ca - (mõu thun) Do ú a = ( 2b - 1) Mc,( 2c - 1) Mb Tng t suy ( 2b + 2c - 1) Mbc ị 2b + 2c - bc Khi ú Nu b ị bc 5c > 2b + 2c - (mõu thun) Do ú b = c ị c = Suy ra, ab - = 5M a = 2,b = 3,c = a = 2,b = 3,c = Th li tha bi toỏn Vy 5.b 0,25 0,25 0,75 Gi k l s bn ca nh khoa hc cú nhiu bn nht ti hi ngh Nu cú hai hoc nhiu hn nh khoa hc cú s lng bn bng k thỡ ta ly mt ngi bt kỡ Gi s ú A , A , , Ak l nh khoa hc A Gi cỏc bn ca nh khoa hc A l A , A , , Ak Tt c cỏc nh khoa hc khụng cú nhiu hn k ngi bn vỡ ta gi thit k ln nht v cng cú ớt nht mt bn l A , cng khụng cú ngi no s A1, A2, , Ak cú s bn bng vỡ theo gi thit thỡ ó cú bn chung A thỡ khụng th cú s bn bng A , A , , Ak Suy ra, ch cú th cú s bn l 1,2, , k Tc l cú mt ngi A1, A2, , Ak ch cú ỳng mt bn (ú chớnh l A ) 0,25 0,25 0,25 Chỳ ý: - Cỏc cỏch lm khỏc nu ỳng cho im ti a, im thnh phn giỏm kho t phõn chia trờn c s tham kho im thnh phn ca ỏp ỏn - Cỏc trng hp khỏc t chm thng nht phng ỏn chm