/ NGUYỄN QUỐC BẢO TRẦN NHẤT DŨNG NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT NGUYỄN QUỐC BẢO - TRAN NHÂT DŨNG Biên soạn PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỦU HẠN LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH TẬP MỘT (In lổn thứ hai có điếu chỉnh bổ sung) D ùng cho sinh viên, học viên cao học, nghiên cứu sinh chuyên ngành cơ, kỹ thuật thuộc khói ngành xây diíng, kiên trúc, giao thông, thuỷ lợi, mó địa chất ar Thích hợp cho moi đói tượng quan tám đến lý thuyết kỹ thuật lập trình với phấn từ hữu hạn NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT HÀ NỘI Phương pháp phần tứ hữu hạn (PP PTHH) phương pháp tính hình thành phát trién vòng vài chục năm trở lại dây, yéu cấu tính toán bậi toán thực té thường dõi hỏi khối lượng tính toán lớn, việc ứng dụng p p PTHH trước đáy gập kháng khó khăn Chỉ có xuất máy tính cá nhàn (PC) với tiến to lớn công nghệ thông tin năm gần dây thật cho phép phương pháp tính dược ứng dụng cách phô biên rộng rãi Cùng với việc tính giói dại lượng học két càu biến dạng; ứng suất; chuyển v ị p p PTHH sở cùa lĩnh vực mó hoá toán thiết kê Thông qua phát triển cùa kỹ thuật dổ hoạ trén máy tính người ta có the mô hoá hoạt động kết càu; giá dịnh vò so phương án tính toán dế từ dó chọn lựa giải pháp tối ưu Điều cho phép giấm chi phí thời gian thực thí nghiệm theo phương pháp truyền thông Cùng với sụ tiến bó cùa khoa học kỹ thuát máv tính dã trờ thành mót bó phán quen thuôc không thê thiêu hoạt dọng nghiên cứu nhu ứng dung thực tién Theo dó, ngày xuất nhiều chương trình tính toán sứ dụng p p PTHH với phạm vi ímg dụng ngày phong phú da dang : tính toán k ế t cấu; tính toán nhiệt; tính tuổi thọ công trình; m ó p h ỏ n g ; tối ưu hoá v.v Đói với thực tè Việt Nam p p PTHH dã dược nghiên cứu ứng dụng khoáng vài chục nám trở lại dày với sô lượng người tham gia nghiên cứu ngày tăng nhanh, phạm vi ứng dụng ngày phong phú, da dạng Đè đáp ứng nhu cầu học tập nghiên cứu p p PTHH - nắm bắt khía cạnh, cốt lõi theo trình tự LOGIC tạo diếu kiện cho bạn đọc có thê vận dụng để lập trình tìm lời giải cho toán cụ thể, dã cô gắng tìm hiểu bién soạn tài liệu Đáy tài liệu dược biên soạn chủ yếu phục vụ dối tượng nghiên cứu sinh vién, kỹ sư thuộc ngành kỹ thuật, kết cáu công trình, khí, giao thông, thuỷ lợi, mỏ dịa chất Ngoài sách hỗ trợ tốt cho dối tượng nghiên cứu sinh, học viên cao học, PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH thuộc khói Kỹ thuật công trình Cơ kỹ thuật - Là đôi tượng dã trang bị tốt kiến thức vé lý thuyết ma trận, vê đại số tuyến tính tin học đại cương Đây cuôn sách trình bày theo kiểu giáo trình với diễn giòi lý thuyết cô đọng dẻ hiểu, có phần ví dụ minh hoạ giải thuật để người đọc vận dụng Toàn nội dung sách dược trình bày tổng sô 12 chương, xuất thành tập Táp : gồm chương chương đấu dành cho việc nghiên cứu lý thuyết chung p p PTHH Chương cấu trúc giói thuật cùa chương trình tính minh hoạ Chương trình bày lý thuyết tính giai toán phẩng (2D) không gian (3D) Táp : gồm chương trình bày dạng toán diến hình p p PTHH : toán phẳng; toán ứng suất chiều; tám chịu uốn; toán kết cấu vỏ V.V cuối phấn mã nguồn toàn chưmg trình tính theo lý thuyết dã trình bày chương trước Đê tiện cho bạn dọc trình tim hiểu sách liên hệ vận dụng lập trình máy tính, toàn sách hệ thông ký hiệu, quy ước vé hệ toạ độ; VẾ ma trận; vé vectơ V.V trình bày theo dáng "chuẩn" cùa học kết cấu (ví dụ: { A } - vectơA; [ K ] - ma trận K) Riêng phấn thé dâu pháy dộng, thống nhát toàn tài liệu thè theo chuẩn Anh - Mỹ, nghĩa sử dụng dấu chấm ( ) thay cho dấu phảy ( , ) Cách thé chủ yếu tạo tính tiện dụng liên hệ lập trình dối chiêu két quà PC, cách số thực hầu hết máy tinh vấn lối kiêu Anh - Mỹ (ví dụ: viết theo kiểu Việt Nam tliì số Vi có trị số sau Pi-3,14159265; viết theo kiểu Anh Mỹ Pi=3.l4159265) Sau lần xuất thứ nhát, năm 2003, sách dược độc giả gần xa nông nhiệt dón nhận cổ vũ Sách thức nhiều trường dại học nước chọn làm tài liệu giảng dạv môn học PTHH Đáp lại yéu mến dộng viên đọc giá, cho tái bán 02 tập sách Trong lấn xuất bán có hiệu chinh bổ sung sô thông tin cho phù hợp với phát triển công nghệ thông tin năm gân dày Hy vọng nội dung thông tin 02 tập sách vẩn quà hữu ích cho dọc già Tuy nhiên kiên thức có hạn, nội dung cần trình bày rộng lớn phức tạp, chắn lấn xuất không thẻ tránh khỏi thiếu sót dáng tiếc, xin thông cảm mong nhận dược ý kiến dóng góp xây dựng bạn đọc gần xa NGƯỜI BIÊN SOẠN PHƯƠNG PH Á P P T H H - LÝ T H U Y Ế T VÀ LẬ P TR ÌN H _ MỤC LỤC Lời nói đẩu Chương : Nhập môn 1.1 Điéu kiện cân 1.2 Điéu kiện biên 1.3 Xấp xỉ nghiệm 1.3.1 Xấp xỉ hàm 1.3.2 Phương pháp sai phân hữu hạn 1.3.3 Phương pháp phần tử hữu hạn Chương : Các nguyên lý học kết cấu 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Các điéu kiện cân Quan hệ biến dạng chuyển vị Các quan hệ vật liệu tuyến tỉnh Nguyên lý công khả đĩ Các nguyên lý lương Áp dụng cho phương pháp phán tử hữu hạn Chương : Tính chất phấn tử 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 Mỏ hình chuyển vị Qaan hệ bâc tự nút tọa dộ tổng quát Yêu cáu hội tụ Hệ toạ độ "tự nhiên" Hãm dáng Ưng suất biến dạng phần tử Ma trận dộ cứng phần tử Quy rút tĩnh học Chương : Phấn từ đồng tham số 4.1 Phán tử tham SỐ hai chiếu 4.2 Tính ma trận dộ cứng phần tử dóng tham số 4.2.1 Tích phân số 4.2.2 Tính tích phân số máy 4.2.3 Tính toán nhanh dộ cứng phán tử 4.3 Tiêu chuẩn hội tụ cho phần tử đống tham sô' Chương : Phương pháp dộ cứng trực tiếp 5.1 Sắp xếp phần tử - phương pháp dộ cứng trực tiếp 5.2 Khử Gauss phép phân tích ma trận Trang 7 10 10 14 18 21 21 25 27 33 41 54 55 56 58 59 61 66 83 85 91 93 94 102 103 104 113 115 117 119 127 PHƯƠNG PHÁP PTHH ■ LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH 5.2.1 5.2.2 Phân tích ma trận Choleski ([L][D][L]T) Các bước phân tích PTHH Chương : Chương trinh PASSFEM 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 Chương trinh Chương trình PASSíN Chương trinh FELIB Chương trinh COLUMH Chương trinh CADNUM Chương trinh PASSEM Chương trình PASOLV Chương trinh PASLOD Chương trinh DISP Ghép chương trinh Nhập số liệu Chương : Phân tích kết cấu khung 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 Phán tử dần chiéu Phán tử dàn chiéu Phần tử dấm chiéu Phán tử chiéu Biến dạng trượt dấm Phán tử bù BEAM2 Chương trinh cho phấn tử dàn chiếu Chương trinh cho phán tử chiéu 7.9 Thủ tục cho phán tửbièn Tài liệu tham khảo 131 139 143 143 146 150 153 156 157 159 160 161 162 166 169 170 177 179 199 211 222 226 228 231 235 Đối tượng nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn tìm lời giải số cho toán lý thuyết trường nói chung học vật rắn biến dạng nói riêng Phương pháp phán tử hữu hạn áp dụng đặc biệt thành công lĩnh vực học vủt rắn biến dạng, ẩn số cần tìm chuyển vị, biến dạng, ứng suất điếm kết cấu Trong không gian chiểu tổng quát, ùn sô tạo lên trường chuyến vị, biên dạng ứng suất toán đặt toán lý thuyết trường, ẩn sỏ cần tìm dược gọi chung biến trường Đế có thê nhận lời giải, trước hêt cần xác dịnh quan hệ học (các điểu kiện ràng buọc) chúng với ngoại tải tác dụng hệ Các điểu kiện ràng buộc thường phủn thành : Điếu kiện trường : điều kiện viết cho trường thông sô kết cấu Điểu kiện biên viết cho trường thòng số biên kết cấu (với toán dộng cẩn tới điều kiện dẩu) 1.1 Đ IẾ U K IỆ N C Â N B Ằ NG Điểu kiện cân bang, vể toán, hình thành theo phương pháp phương trình vật lý - toán (phương trình đạo hàm riêng) Điéu kiện cân hình thành cách sử dụng phép tính biến phân 1.1.1 Phương trình đạo hàm riêng Phương trình đạo hàm riêng mỏ tà điểu kiện trường hệ thường dược hình thành từ điều kiện cân tĩnh học điểu kiện liên tục chuyên vị Các phương trình đạo hàm riêng có thê nhân đtrợc cách sứ dụng phương trình Euler-Lagrange nguyên lý biến phân trình bày chương NHẬP MÒN Chẳng hạn sức vật liệu, toán uốn dầm mô tả phương trình vi phân bậc E1 (Ị\v_ = p ( 1) dxA vv - độ võng dầm, nghiệm cần tìm phương trình Trong trường hợp mỏng đẳng hướng, phương trình đạo hàm riêng viết cho biên vv - chuyển vị đứng tấm, có dạng : â Aw T âxA ^ â Aw ; â Aw r "t -7 â x 2â y âyA p ( 2) — — D Với : Eli* D= 12(1 - ụ 1) E - môđun đàn hồi; ỊẤ - hệ số poisson; h - độ dày 1.1.2 Tiếp cận biên phân phương pháp tiếp cận này, việc giải toán dán tới tìm cực trị phiếm hàm mô tà làm việc cùa kết cấu Phiếm hàm mô tả có thê tổng hay lượng bù hệ Trong biến phân, ta biết đê tìm cực trị phiếm hàm ta cho biến phan bậc không Áp dụng cho hệ, điểu dãn tới phương trình cân phương trình liên tục toán, biến trường phải thoả mãn Chẳng hạn đẳng hướng, chịu tải phân bỏ cường độ p cho bời phiếm hàm : Eh' ( õ*w ( l - / i 2) JJ u * â*w - * d y 1) 2(1 - M ) Ở 2W õ w ( d w V I h S lẼ ỹ Kd x d y ; - JJ w p d x d y (1.3) •dxdy PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH Nghiêm chuyển vị w phải dẫn tới giá trị dừng (cực trị) phiếm hàm /7, đồng thời phải thoả mãn điều kiện biên động học Trong chương II trình bày ngắn gọn việc áp dụng phép tính biến phân đẻ hình thành toán kết cấu Để xem xét đáy đủ vấn đề áp dụng nguyên lý lượng vào phân tích kết cấu dầm, khung, chịu uốn bạn đọc có thê tham khảo chương [2; 3; 4; 5] sách 1.2 Đ IẾ U K IỆN BIÊN toán học vật rắn biến dạng, để giải được, bên cạnh điểu kiên trường, phải kê đến điều kiện biên Các điều kiện biên có thê động học - nghĩa chuyển vị đạo hàm chuyên vị phải tuân thủ, tĩnh học nghĩa nội lực hay ứng suất phải tuân thủ Khi giải toán động cần thêm điều kiện ban đầu Trên hình l l minh hoạ dầm conson AB chịu tải phân bô Coi chuyên vị đứng w biến trường Biến phải thoả mãn phương trình vi phân cân (điểu kiện trường) EI d*w dx* =p X Nghiệm phương trình phải đồng thời thoả mãn điều kiện biên đầu mút A B sau : ■ Điều kiện biên động học A - Chuyên vị điểm A bầng J I,í =0 = NHẬP MÒN 10 - Lực cắt điếm B O - Mỏmen uốn tai điểm B bang E l -— , = dxì ' dïw I E I -— dx 1 = Trong mục 2.3.2 dẫn phương pháp hình thành toán phép tính biến phân áp dụng phương trình Euler-Lagrange để nhận phương trình vi phân cân 1.3 XẤP XỈ NGHIỆM Trong tính toán thực tế, nghiệm giải tích - nghiêm biếu diễn biểu thức toán học xác định giá trị biên trường vị trí vật thể, thường nhận sỏ trường hợp mà điều kiện hình học, vật liệu tải trọng đơn giản Đối với toán có hình dạng, tính chất vật liệu, điều kiện biên tải trọng phức tạp thường khó không thê nhận nghiệm giải tích Vì tính toán thực tế thường sử dụng phương pháp số cho lời giải xấp xi, ba phương pháp gần sau phố biến : Xấp xi hàm Phương pháp sai phùn hữu hạn Phương pháp phần tứ hữu hạn Dưới đáy dẫn ngắn gọn tư tướng hai phương pháp đáu Mỗi phương pháp có ưu nhược điểm riêng Phương pháp thứ ba - phương pháp phần tử hữu hạn coi kê thừa tư tường hai phương pháp trờ thành phương pháp sô mạnh nhất, vạn ứng dụng thực tê ngày rộng rãi vói phát triển cúa thê hệ máy tính 1.3.1 Xấp xỉ hàm Trong tư tường phương pháp gần này, hàm cán tìm hàm thoà mãn điều kiện biên xấp XI cho biến trường cần tìm điểm bất kỳ, tổ hợp tuyến tính sô hữu hạn hàm chọn trước Tiếp vấn đề xác định biến trường chuyển thành toán xác định tham sô tổ hợp cùa hàm xấp xỉ tham sô xác định từ điểu kiện nguyên lý biên phân Các phương pháp biến phân cổ điển quen thuộc Rayleigh-Ritz, Galerkin phương pháp khử sai sô điểm dựa 223 P H Ư Ơ N G P H Á P P T H H - LÝ T H U Y Ế T V À L Ậ P T R ÌN H p /, phép chuyên toạ độ phép chuyển tịnh tiến thực theo trình tự sau ym Xét phép chuyên cho riêng F x ta thấy Fx chuyển tới / tạo nên lực F, / thời tạo nên mômen quay xung quanh trục Iym ỉ im vái giá trị giá trị tương ứng Fx.e -Fx.ey Tương tự chuyên lực Fy Fz làm xuất cặp mômen quanh trục Ix„, Ixm, Iym Các mômen Ms, My, M z có tác dụng độc lập với điểm đặt lực Cuối lực tác dụng / sinh lực tác dụng p sau: \ Fxi = F xp Fy, - F , p FZI - F ip * M xi = M xọ ■ Fyret +Fxpey M vi = Myp + F xpez -Fzpex M-J = M zp * F xpey +Fypex i (7 ) 224 P H Á N T ÍC H K Ế T C Ả U K H U N G 0 Fx Fy F * - 'Ù , 0 0 Fx 0 0 F, 0 Fz -e 0 ùx ey -e, M y 0 M e* e Mv M / r e> ( 139a) (7.139b) b ì= h V e l u = -l 6, sinộ= -6 ey V = l cos = ex un = u, + 0,, e vr = V, + ỡ„ e, + wr = H», + = - e.j (7.140) e, ớ; , e T [...]... Hình 1. 5 - Rời rạc hoá tấm tựa khớp dơn giản (d) 17 PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH Rút gọn phương trình (d) trên ta được: 2 4 m>8 - 1 6 w>9 - 8 m',3 = - 1 6 h’8 + 2 0 h’9 + 2 w' 13 = - 3 21 tvs + 8 h>, - 2 0 »VI3 = Giải phương trình trên ta dược : PX* D w 13 = 1. 0 312 5 0,75 PX* 0.5468 PsV D Theo số liệu đã cho ta có : Eh3 D 2 x 10 7 x 0 .12 3 12 (1 - p = 6.0 ) A = 2946.3 kN m 12 (1 - 0 1 5 ) 2 1. 0... sự PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH 19 phát triển như vũ bão của công nghệ máy tính, một sô lượng lớn các bộ chương trình đã ra đời đê phủn tích phđn từ hữu hạn và ngày càng chiếm vị trí trọng yếu trong linh vực kỹ thuật này Dưới đAy trình bày ngắn gọn tư tường phương pháp Phương pháp phán tử hữu hạn khái quát những đạc điểm tốt nhất cùa 2 phương pháp xấp xi đã nói trên Đặc biệt nội dung phương. .. niệm rời rạc trong phương pháp này đã hình thành cơ sờ của phương pháp phần từ hữu hạn 1. 3.3 Phương pháp phấn tử hữu hạn Argyris và Kelsey là những tác giả có đóng góp chù đạo trong phát triển các phương pháp ma trận cho phân tích kết cấu Trong các cỏng trình của mình, các tác giả trên đã đưa ra các dạng ma trận cho phương pháp lực và phương pháp chuyển vị trên cơ sờ ứng dụng các nguyên lý năng lượng cùa... công trình của Turner, Clough, Martin và Topp đã dẫn tới phát minh phương pháp phán tử hữu hạn Clough trong nhiều tác phẩm đã mô tà vật lý cho phương pháp và là người đầu tiên dùng thuật ngữ phần tử hữu hạn Từ đó hàng loạt các công trình đã ra đời trong 25 năm trở lại đây cả về nển tảng toán học lẫn các thế hệ phương pháp để giải các bài toán trường của phân tích kết cấu (xem các chương [10 ; 11 ; 12 ])... rị sổ trong phương trình (f) cho wmmi = H»u ta được : n m.» w =1. 0 312 5 = 1 0 312 5 X PX* D 6.0 X l o 4 2946 3 = 2 .1 X 10 -Ỉ »I = 2 .1 mm Mỏmen uốn M = -/) d*w dx1 r i n h sa: phi M â lw + M- ây1 n trung tâm cho Afxtại điểm 13 ta được _ , 2 h’ - 2 k' 1, = - D ị ỉ + fii) -8 -T = -2946 3 x ( l + 0 .16 ) 2x 0 7 5 - 2 x 1. 0 312 5 1. 0* = 3.8 813 kN m / m x 6 X 1 o 4 — ——r 2946 3 NHẬP MÒN 18 Từ lý thuyết tâm ta... trong phương pháp phần tử hữu hạn cũng giông như trong phương pháp sai phân hữu hạn Các tính chất của phần tử được xây dựng và tố hợp lại đê nhận nghiệm cho toàn bộ kết cấu Ví dụ trong mô hình chuyến vị, theo phân tích phần tử hữu hạn thường chọn một số hàm đơn giản - “ hàm dáng ” để xấp xi đường cong chuyên vị trong phần tử theo chuyển vị tại nút của phần tử Thủ tục này tựa như thủ tục đã dùng trong phương. .. phương pháp này được trình bày qua các khái niệm vật lý và vì thế nó hoàn toàn thích hợp với phương pháp tư duy của các kỹ sư xây dựng và kết cấu Tư tường cơ bản cùa phương pháp là vật thể hoặc kết cấu có thể phân chia thành các phần từ nhỏ hơn, có kích thước hữu hạn và được gọi là các "phần tử hữu hạn" Vật thể hay hệ kết câu ban đầu được coi là tập hợp các phán tử được nôi với nhau tại một số hữu hạn. .. Vì vậy phương pháp cổ điển dẫn tới phương trình (1. 6) ít được dùng trong các tính toán thực tế Dầu sao các khái niệm được sử dụng trong phương pháp Rayleigh-Ritz như thay thế biến trường bàng tổ hợp tuyến tính các hàm 3 biến, tìm các ẩn số tổ hợp bằng cực tiểu hoá thế năng đã được triệt đê áp dụng trong phương pháp phần tử hữu hạn để xây dựng tính chất phần tử 1. 3.2 Phương pháp sai phân hữu hạn Trước... cấu trong một thuật toán, trong phương pháp phần hữu hạn, lưu ý chủ yếu tới hình thành các tính chất phần tử Các thù tục tổ hợp phần tử, giải phương trình, tính ứng suất, biến dạng phán từ là như nhau cho mọi loại kết cấu Do đó phương pháp phần tử hữu hạn mở ra khả năng xây dựng các bộ chương trình có tính tổng quát, trong đó chứa thư viện các loại phẩn tử khác nhau và một khôi chung cho tất cả các... 4 2946.3 = 2 .11 7x 10 3( w) = 2 .11 7 Lấy 2 thành phần đầu của nghiệm dạng chuỗi cho Mx (xem thêm chương [3]) và thay sô với p = 0 .15 ta có : M x =0.04 219 2 X Pa 2 = 0.04 219 2 x 6 x 4 2 = 4.0504 kN m Im So sánh giá trị nhân được bằng phương pháp sai phân hữu hạn với các tính toán chính xác, chuyên vị tấm là phù hợp với lý thuyết và sai sô’ mômen max là 4 .18 % Rõ ràng là vói bước rời rạc Ả =1. 0 thì sai sô