I Trnh Vn Quang \ i \ C s Phng phỏp Phn t Hu han Truyn nht c s PHNG P H P PHN T HU HN TRONG TRUYN n h i t TC GI PGS.TS Trnh Vn Quang Nh xut bn Th Gii -2013 LI NểI U ua nhiu nm ging dy Lý thuyt Truyn nhit cho Chng trỡnh Cao hc C khớ cng nh tham gia v hng dn cỏc ti khoa hc, chỳng tụi nhn thy mt ti liu v phng phỏp tớnh nhit mi l ht sc cn thit phc v cho cụng tỏc ging dy v nghiờn cu Cun sỏch C s phng phỏp Phn t hu hn Truyn n h it" c biờn son nhm ỏp ng phn no yờu cu trờn Q Mụn hc C s truyn nhit chng trỡnh i hc cựa cỏc nc tiờn tin hin ch mi dng phng phỏp Sai phõn hu hn, cũn phng phỏp Phn t hu hn (PTHH) cha c cp n Vỡ th, tớnh nhit, phng phỏp PTHH cũn l mi Trờn c s mt s bi ging cho chng trỡnh cao hc ngnh c khớ, qua kinh nghim s dng phng phỏp s cỏc ti nghiờn cu gii cỏc bi toỏn nhit thc t, cng nh tham kho cỏc ti liu v ngoi nc, chỳng tụi biờn son cun C sphỡgphỏp PTHH Truyn nhit Cun sỏch bao gm chng: Chng trỡnh by khỏi quỏt v cỏc phng thc truyn nhit v túm tt cỏc kt qu gii bi toỏn dn nhit bng phng phỏp gii tớch; Chng nờu cỏc khỏi nim c bn v cỏc loi PTHH v cỏc i lng c trng ca chỳng; Chng cp n phng phỏp thit lp phng trỡnh ma trn c trng ca PTHH dn nhit n nh õy l phn lý thuyt toỏn quan trng nht phng phỏp PTHH tớnh nhit; Chng i vo gii mt s bi toỏn dn nhit n nh bng phng phỏp PTHH; Chng thit lp phng trỡnh c trng dn nhit khụng n nh, cỏc cỏch ri rc theo thi gian ca bi toỏn, t ú gii mt s bi toỏn dn nhit khụng n nh bng phng phỏp PTHH Cun sỏch cú th c tham kho lm ti liu ging dy cho chng trinh cao hc ngnh c khớ, ng lc, chng trỡnh i hc chuyờn ngnh nhit - lh, nng lng v cng cú th phc v cho cụng tỏc nghiờn cu v nhit cỏc lnh vc xõy dng cng trỡnh, luyn kim Vi suy ngh vit sỏch cho bn c s dng c thun tin nht, chỳng tụi c gng trỡnh by cỏc mt cỏch chi tit bn c cú th d dng theo dừi v t ú dng nghiờn cu cỏc bi toỏn thc t Hy vng rng cun sỏch s hu ớch v thit thc vi bn c Mc dự rt cn trng quỏ trỡnh biờn son, nhung chc rng cun sỏch cũn cú nhng khim khuyt, chỳng tụi rt mong nhn c gúp ý ca bn c v ng nghip Mi úng gúp xin gi v B mụn K thut nhit, Khoa C khớ, Trng i hc GTVT H Ni hoc a ch quangnhiet@yahoo.com.vn Chỳng tụi xin chõn thnh cỏm n! TC GI PGS.TS T rn h V n Q uang MC LC LI NểI U CHNG M 1.1 Khỏi q u ỏ t 1.2 Phng trỡnh vi phõn dn nhit v iu kin on tr 10 1.3 im qua m t s bi toỏn dn nhit c b n 13 1.4 Cỏc khú khn ca phng phỏp gii tớ c h 25 1.5 Túm tt c h n g 25 CHNG PHNG PHP PHN T HU HN 2.1 Gii thiu khỏi q u ỏ t 26 2.2 Phõn t m t chiu bc n h t 30 2.3 Phõn t m t chiu bc h a i 33 2.4 Phõn t hai chiu tam giỏc bc n h t 38 2.5 Ta khu vc i vi phn t tam giỏc bc n h t 44 2.6 Cỏc phn t tam giỏc bc hai, bc b a 46 2.7 Phn t hai chiu ch nht bc nht 50 2.8 Cỏc phn t ba chiu .54 2.9 Phn t ng tham s, phn t quy chiu 60 2.10 Túm tt ch n g 74 BI T P CHNG 75 CHNG THIT LP PHNG TRèNH C TRNG CA PHN T HU HN 3.1 Phng phỏp thit lp phng trỡnh c trung ca phn t' .77 3.2 Phng phỏp bin phõn, phng trỡnh Euler - Lagrange 91 3.3 Thit lp phng trỡnh c trng ca phng trỡnh vi phõn dn nhit theo phng 3.4 phỏp bin p h õ n 101 Thit lp phng trỡnh c trng ca phng trỡnh vi phõn dn nhit theo phng phỏp G alerkin 109 3.5 Xỏc nh phim hm bi toỏn dn nhit qua c ỏ n h 112 3.6 Túm tt ch n g 114 CHNG GII MT S BI TON DN NHIT ềN NH BNG PHNG PHP PHN T HU HN ] Dan nhit qua vỏch phng mt lúp 115 4.2 Dn nhit qua vỏch phang nhiu l p 118 4.3 Dn nhit qua vỏch phng cú ngun nhit bờn tro n g 120 4.4 Dan nhit qua vỏch tr 130 4.5 Dn nhit qua vỏch tr cú ngun bờn tro n g 137 4.6 Dn nhit qua cú tit din khụng i 143 4.7 Dan nhit qua cỏnh cú tit din thay i 149 4.8 Dan nhit hai chiu qua phn t tam giỏc n 154 4.9 Dan nhit qua phn t tam giỏc lp ghộp 158 4.10 Dn nhit hai chiu qua phn t ch nht n 173 4.11 Dan nhit hai chiu qua phn t ch nht lp g h ộp 179 4.12 Bi toỏn dn nhit ba chiu 190 4.13 Cỏc bi toỏn hỡnh cú trc i x n g 191 4.14 Túm tt c h n g 194 BI TP CHNG .195 CHNG DN NHIT KHễNG N NH 5.1 Khỏi n i m 199 5.2 Phng phỏp G alerk in 200 5.3 Phng phỏp bin p h õ n 202 5.4 Ri rc theo thi g ia n 204 5.5 Ri rc theo thi gian bng phng phỏp sai phõn hu h n 207 5.6 Ri rc theo thi gian bng phng phỏp phn t hu h n 210 5.7 Tng kt m t s cụng thc ri rc theo thi g i a n 214 5.8 Dan nhit khụng n nh qua vỏch p h a n g 215 5.9 Dn nhit khụng n nh qua th a n h 218 5.10 Dn nhit khụng n nh qua vỏch tr 222 5.11 Dn nhit khụng n nh qua phn t tam g iỏ c 226 5.12 Dan nhit khụng n nh qua phn t ch n h t 241 5.13 Túm tt c h n g 259 BI TP CHNG 260 HNG DN GII BI TP 263 TI LIấU THAM KHO 337 Chng M U 1.1 KHI QUT 1.1.1 Vai trũ ca truyn nhit k thut v t nhiờn Truyn nhit l quỏ trỡnh truyn nng lng di dng nhit gia cỏc vt th hoc gia cỏc khu vc khỏc vt th Cú th gp hin tng nhit khp ni, t cỏc vic i sng hng ngy nh un nu, lm mỏt hay si m khụng khớ phũng n cỏc hin tng t nhiờn nh nng, ma, giụng bóo u gn vi cỏc quỏ trỡnh nhit núi chung v truyn nhit núi riờng Trong hu ht cỏc quỏ trỡnh cụng ngh, t hot ng ca cỏc loi ng c nhit nh ng c t trong, ng c tua bin, ng c phn lc n lm mỏt ng c in, lm mỏt cỏc b phn ca cỏc thit b in t, luụn cú mt quỏ trỡnh truyn nhit Bi vy, cú th núi hin tng nhit núi chung v truyn nhit núi riờng cú vai trũ rt quan trng i sng, k thut v t nhiờn Trong k thut thng ny sinh l lm khng ch c nhit lm vic cc i ca thit b bo m hot ng bỡnh thng ca thit b, hoc khng ch c chờnh nhit cc b cỏc khu vc ca vt th bo m bin dng nhit cc b gii hn cho phộp khụng gõy nờn rn nt phỏ hựy vt th iu ú ch cú th thc hin c kim soỏt c quỏ trỡnh truyn nhit ca thit b v vt th 1.1.2 Cỏc phng thc truyn nhit, cỏc nh lut truyn nhit c bn Nhit Cể th truyn t ni ny ti ni khỏc theo cỏc phng thc khỏc Mi phng thc truyn nhit cú nhng c im v c cu riờng Cú ba phng thc truyn nhit c bn l dn nhit, to nhit i lu, bc x nhit a Dn nhiờt Dan nhit xy bờn vt th hoc gia cỏc vt th tip xỳc gia chỳng cú s chờnh lch nhit Dn nhit c thc hin thụng qua quỏ trỡnh truyn dao ng ca cỏc phn t vi mụ cu to nờn vt th Quỏ trỡnh dn nhit cú th xy cht rn, cht lng v c cht khớ Trong kim loi, dn nhit c thc hin ch yu nh quỏ trỡnh truyn dao ng ca cỏc in t t Trong cht in mụi, dn nhit xy nh súng n hi truyn dao ng nhit Trong cht lng v cht khớ, dn nhit c thc hin nh quỏ trỡnh khuch tỏn cỏc phõn t Lng nhit truyn qua mt n v din tớch mt n v thi gian c gi l mt dũng nhit, ký hiu l q (W/m2) Mt dũng nhit truyn i dn nhit tuõn theo nh lut Fourier: Trong ú: q l vộc t mt dũng nhit; k l h s dn nhit (W/mK); T/n l gradient nhit vi n l phỏp tuyn mt ng nhit H s dn nhit l i lng c trng kh nng dn nhit ca vt liu Tr s h s dn nhit ca mt s vt liu in hỡnh nh sau: Vt liu H s dn nhit (W/mK) Kim loi Bc nguyờn cht ng nguyờn cht Nhụm nguyờn cht St nguyờn cht Hp kim Thộp khụng g Nhụm hp kim Phi kim loi Nha G Cht lng Nc Cht khớ Khụng khớ khụ 410 385 200 73 16 168 0,6 0,2 0,6 0,025 b To nhit lu To nhit i lu l phng thc truyn nhit xy gia b mt vt rn v cht lng hoc khớ, gia chỳng cú chờnh lch nhit v tip xỳc vi Do cỏc phn t cht lũng tip xỳc vi b mt vt rn trao i nhit vi b mt vt bng dn nhit, lp cht lng sỏt b mt vt thay i nhit v mt lm xut hin chuyn ng to thnh dũng i lu, ng thi mang nhit i Chuyn ng ú c gi l i lu t nhiờn Chuyn ng ca cht lng tỏc ng ca cỏc lc c hc t bờn ngoi nh bm, qut, khuy c gi l i lu cng bc To nhit i lu cng xy rt mnh cỏc quỏ trỡnh cht lng sụi hay ngng t Mt dũng nhit truyn i bng to nhit i lu tuõn theo nh lut Newton Richman: ( 1.2) q = h.w-T m) õy, q (W /m 2), l m t dũng nhit, h l h s to nhit i lu (W /m 2K); T w v Ta tng ng l nhit b m t v nhit mụi tr n g cht lng Tr s h s toỏ nhit in hỡnh cỏc cht lng nh sau: Cht lng H s to nhit (W/m2K) 15 15-250 Cỏc cht khớ (lng l) Cỏc cht khớ (chy) Cỏc chõt lng (lng l) Cỏc chõt lng (chy) Cỏc cht lng si Cỏc chõt lng ngng 100 100-200 2000 - 35.000 2000 - 25.000 c Bc x nhit Bc x nhit l quỏ trỡnh truyn nhit bng súng in t gia cỏc vt th Mi vt th c cu to bi cỏc thnh phn vi mụ mang in, luụn trng thỏi chuyn ng nờn to súng in t, lan truyn khụng gian gi l bc x in t Khi p vo b mt vt th khỏc, mt phn bc x in t b vt ú hp th bin thnh nhit Quỏ trỡnh truyn nng lng nhit bng súng in t ú c gi l trao i nhit bc x Mi vt luụn tn ti nhit T > 0K, nờn luụn phỏt bc x nhit v ng thi cng hp th cỏc tia bc x nhit t cỏc vt khỏc chiu ti, bi vy quỏ trỡnh trao i nhit bc x l quỏ trỡnh hai chiu, nhng vt cú nhit cao hn nng lng b mt i bi bc x s ln hn nng lng nhn c bi hp th Khi cỏc vt cú nhit bng nhau, quỏ trỡnh trao i nhit bc x gia chỳng xy nhng th cõn bng ng, tc l mi vt cú nng lng bc x bng nng lng hp th vo nờn nng lng v nhit ca vt ú khụng thay i Nng lng truyn i bng bc x t b mt vt en tuõn theo nh lut Stefan Boltzomann: (1.3) õy, Eo l nng sut bc x ca vt en, (W/m2); o l hng s Stefan Boltzomann o = 5,669.10'8 (W/m2K4); T l nhit tuyt i (K) Nng lng bc x t b mt cỏc vt xỏm nh hn nng lng bc x t b mt vt en, xỏc nh bi: (1.4) õy, E l nng sut bc x cựa vt xỏm, (W/m2); e l hng s phỏt x ca vt xỏm, cũn gi l en ằ Lng nhit trao i bng bc x gia hai b mt v c xỏc nh bi: Q = FeF(: ( T * - T * ) (1.5) Fg l yu t k n bn cht ca hai b mt, Fg l yu t k n nh hng hỡnh hc ca hai b mt bc x 1.2 PHNG TRèNH VI PHN DN NHIT V IấU KIN N TR 1.2.1 Phng trỡnh vi phõn dn nhit e xỏc nh nhit vt th cn phi thit lp mi quan h ca nhit vi cỏc to v thi gian, ú chớnh l phng trỡnh vi phõn dn nhit Tỏch mt phõn t hỡnh hp vt th t to xyz Phõn t cú kớch thc dxdydz, Hỡnh 1.1 Kho sỏt dn nhit qua phõn t theo cỏc hng X, y, z sau thi gian dx: Theo hng x: Lng nhit vo phõn t qua mt th nht: dQx = qdydidr ( 1.6) Lng nhit phõn tụ qua mt th hai: (1.7) Lng nhit phõn tụ nhn c theo hng x: ( 8) dQx =dQxl-d Q x2 Vi q = -k ' ừx s Cể: dO = k dx.dy.d.-d x a * dx) Hỡnh 1.1 Phõn t th tớch ta x,y,z 10 (1.9) Tng t nh vy theo hng y v theo hng z, phõn tụ nhn c: ar dQ = ( 10) dx.dy.dz.dT V ( clQ = dTx dx.dy.dz.dr ( 11) ừz Theo c ba hng X, y, z lng nhit phõn t nhn c l: , ếT ' k dx ừx dQ = dQX + dQ) + dQz = N a ' , ar d ' dy AC - V y yy dx.dy.dz.dr ( 12) dz H s dn nhit phcmg trỡnh trờn l mt vộc t Trong trng hp tng quỏt h s dn nhit cú th l mt ten s: k k XX xy k xz k yx kyy k)< k k zy k zz IX (1.13) Nu bờn vt th cú ngun sinh nhit qv (W/m3), lng nhit ngun sinh phõn t kho sỏt sau thi gian ỏx l: qv dxdydz.d T ( 14 ) Lng nhit phõn t nhn dn nhit v ngun nhit bờn sinh sau thi gian dx l: ễT_ ừx dT , ếT ụx : dy y dy dz 'z z + 4v dxdydzdr (1.15) Do nhn lng nhit trờn, ni nng phõn t sau thi gian di s thay i l: p.dx.dy.dz.c p (1.16) d Theo nh lut bo ton nng lng thỡ tng nng lng phõn t nhn c dn nhit theo ba hng v ngun nhit sinh s bng bin i ni nng ca phõn t: ừ_ , ếT k ụx x ụx T dy K - + % - p-c, L ễT dz ừz (1.17) Phng trỡnh (1.17) c gi l phng trỡnh vi phõn dn nhit Neu vt liu l ng hng, ngha l h s dn nhit k l khụng i theo cỏc hng, phng trỡnh vi phõn dn nhit c vit thnh: T_ ễT =a f d 2T ụ 2T 2T dx2 ừy2 ụz2 ) qv (1.18) crp 11 N Ă= - - ; b //,=-; w , = - - +^ a a (B5.62) b Khi chuyn tam giỏc sang ta quy chiu, ta cỏc nỳt h ta gc v h ta quy chiu nh sau: Bng 5.13 T a cỏc nỳt cc b ta gc v ta quy chiu Nỳt cc b Ta gc (x,y) Ta quy chiu (n) X] yi x2 a y2 b x3 y3 b ni Ăil n2 Tè3 1 C ỏc hm ni suy theo bin ầ, T ta quy chiu - D in tớch tam giỏc 2A = "l o" , *1 n = 1 rh 1 1 vy A = (B5.63) C ỏc h s ca hm ni suy cng c xỏc nh theo cụng thc chung n h t a gc T ax = *2^3 - *3^2 ; ô, = ÊĂ , - Ê , = - = 1; (B5.64) = Ê,7: -Ê , 7, = 0.0 - 1.0 = =>2 -y* ; T 0 0 - 0.1 = 0; a2 = i,ri r & a, cú a2 = x* y - x\y* ; b2 = y , - y r b2 = y \ c b\ =rJ2 - n , = 01= 1; b2 = rh ~ n ỡ = fe, T -0 (B5.65) = 1; = /7, ~ r>2 = - = c, = Cể c2 = *, * c, = - = -1 = - 1; cj = - = - = 0; (B5.66) = - =1-0 = Vy cỏc hm ni suy theo bin 4, t| l N' = 2^a' +b^ + cM = l ~ ỗ ' ri' v = - - [ a + ố2ớ + c27 ] = r (B5.67) ^/1 ^3 = " h + ^ + c,/7] = 325 o hm ca hm ni suy theo bin quy chiu a/v, ễN L = -1; ễN2 = 1; ~d dN dri ếN2 dr] = (B5.68) ếN2 - = 0; d = -l dr) Phộp bin i t bin x,y sang bin ,,r| Q uan h hm s X = X (ầ,r|) v y = y (ầ,r|) c xỏc nh theo nguyờn tc hm ni suy t a (2.163) x = Nỡ (x, y)x, + N 2{x , y)x2 + Nt (x, y)x, y = Nt ( X , y)yĂ + N2(x, y)y2 + Nk (x, y)y2 Trong ú N |(x ,y ), N 2(x,y) v N 3(x,y) l hm ni suy t a cng l hm ni suy nhit ta gc N h n g g i s hm ni suy nhit tro n g t a gc cha bit, m ch bit hm ni suy ta quy chiu Nj(ầ,T]), Nj(ầ,r|) v N k(ầ,r|) thỡ thay cỏc hm ni suy ú vo cụng thc trờn K hi ú X v y l hm ca ầ v r\ nh cụng thc (B5.69): *1) = Nx(, rj)xỡ + N2(Ê, )x + 7V3(, rj)x3 (B5.70) y(> n) = Nl (> n)y{ + N2( , rj)y2 + /v3(Ê, /7)y3 T trờn xỏc nh c cỏc hm X * ( Ê ? ) = ( - - *7).0 + ( rj) = v y theo bin ầ v r\ + (/7)0 = a s - );0 + x = a, y = b; chớnh l nỳt ta gc N ỳt ta quy chiu Ê, = 0, T = -ằ X = 0, y = b; chớnh l nỳt ta gc T ớnh Jacobien J C ụng thc tớnh J ó bit chomg ừx J = dy di dx dy ễẻJ drj (B5.72) Do quan h X = X (,r\) v y = y (ầ,q) ó bit tro n g (B 5.71) nờn tớnh o hm s c Jacobien w = ếx d dy ếx d-q dy drĂ a b b (B5.73) 326 C ng cú th tớnh J theo cỏch khỏc khụng bit mi quan h X = X (^, t) v y = y (ầ/n) nh sau T (B 5.70) ly o hm ca X v y ln lt theo v T dx(,) _ dN t f 'T j ) d d dN2(,r/) ' dNtf.rj) d xi.T) _ ễ N l {,T) ếN ^n ) (B5.74) ễầ ếNX.n) - - - X H - - X H - X- ễ7] 07] 07] dy(;9rj) _ d N l (Ă,rĂ) dN2('7j) ^ (Ê ,/ ) _ - + = H y d d ' (B5.75) drj d (B5.76) d d y ( , r j ) _ N t (t,7j) dN tf'ij) ếN^,rj) - X - , - 3*1 + -a - >2 + ~ J 7Z - >3 07] 07] 07] 07] (B5.77) T ú cú cụng thc tớnh Jacobien sau ụx dN (,rj) ừx 07] d_ 07] _ J = d4 dy [ % Vi tam giỏc trờn cú: Xớ ==0 , x2 = a; X3 = ; yi ==0 ; y2 = b y3 = b Vi cỏc hm ni suy theo Bằ Nt -1 - - ; N2 = ớ; T d N tf.T f) > - x: i=l d > ếT ^ d N ,(,n ) L V y' ,=1 77 X (B5.78) y (B5.79) N, = (B5.79) cú cỏc o hm ếN d dNt - ếN d ếN, ễ7] i; ệ7] V, 1- - nu;* d /v , n d] (B5.80) 11 Thay (B 5.80) vo (B 5.74),(B 5.75), (B5.76), (B5.77) c: = ( - l) o +1 ,a + 0.0 = a ụ (B5.81) dx = (-l).o + o.a + 1.0 = (B5.82) d} ^ - = (-).0 + l.b + 0.b = b d (B5.83) = (-l).0 + 0.b + .b = b dri (B5.83) T ú cng cú Jacobien nh (B5.73): ừx M ếT1 d_ dy d ếT d a b b (B5.85) 327 5.Tớnh cỏc o hm ca hm ni suy ta gc (x,y) theo ta quy chiu C ụng thc o hm theo bin gc x,y ca hm ni suy 'ừN.' 'd N.I ] dx [ ' ' ếN ễN.i dy (B5.86) drj nh tr ca Jacobien d e t y ] = det a b b (B5.87) = ab N ghch o ca Jacobien [']" - dy ừy ừr ~ừ b -b dx ab a ừx d e t[/] ~~drj (B5.88) ~d Theo (B 5.86) s cú 'dNl 'ừNt ' ừx ếN1 b -b ab a ^ b -b ab a l| b -b ab a o| 8Nl a b \ ( - l ) + ( - l) (B5.89) ếT] y :| Ê 'ừN1 b -b ab a dx ếN2 d ếN2 ừy ếT) 'ừN2 'ừN2 ' -b ếN, ab a ếNè y ab K )+ (-/? ) o _ J_ ab ( - l) + a.0 \ I b lj a a b \ 0.0 + a I (B5.90) ab\0 o =J_ớft.0+(-i).l =J _ ớ-i -b b dx _ J_ (B5.91) ab { a drl Vy o hm cựa hm ni suy [B] w - ừNt ếN2 dN, dx ếN{ ụx ừn2 dx ếN^ ừy dy _ dy b -b ab -a a (B5.92) Cui cựng cú thnh phn [B]T[B] m a trn cng ca tam giỏc -a b B\r[Bè= ab -b a b -b ab -a a 328 a 2b.2 ar -a2 b2 -b2 -a2 - b2 a + b' (B5.93) So sỏnh (B 5.93) vi (B 5.106) sau ny s tớnh thy kt qu tớnh [/? ] [ ] n h 5.11 C huyn sang ta quy chiu y Hỡnh B5.8 Phn t tam giỏc â ta gc (x,y) v ta quy ch iu ( ỗ r|) - T a cỏc nỳt h ta gc v h ta quy chiu Bng 5.14 T a cỏc nỳt cc b ca tam giỏc h ta gc v h ta quy chiu Nỳt cc b Ta gc (x,y) Ta quy chiu (ầ,r|) Cỏc hm ni suy theo bin Xi yi i 0 *2 a X? a 12 ni y* 0 ys b ^3 T ta quy chiu - Din tớch tam giỏc: cỏc ta quy chiu ging tam giỏc nờn din tớch tam giỏc cng vy: 2A = ỡ ớ, V, n2 0" = 1 1 Ê vy A - (B 5.94) C ỏc hm ni suy cng ging nh hm ni suy ca tam giỏc : N ^ l--m N2 = ; N ,= (B 5.95) t o hm cỏc hm ni suy ễN, ' - 1; ễN, ếN2 = 1; = -1 ; 34 d] 34 ếN2 dNx ễN2 d] 34 - 0- (B5.96) =1 T Phộp bin i Xỏc nh X, y theo bin quy chiu, theo cụng thc: x(^]) = N ( 1])x + N 2( yT])x2 + N ỡ ( i T])x y ( ) =N l ( , T])yx + N 2(,r])y2 +N3(Ê,77)y3 329 (B 5.97) Thay cỏc tr s ta xi, yi ( i = 1,2,3) B ng 5.14 vo (B 5.97), t ú xỏc nh c cỏc hm X v y theo bin v r\ x{ ỡ 7]) = ( \ - - 77).0 + ()a + (])a = .a + T].a y(Ê, 77) = ( l - Ê - 7 ) + (Ê)0 + ( 77)6 = 77.6 Vy phộp bin i l x { t ri) = a + ari\ y ( yrj) = bTj (B 5.98) Thc vy: N ỳt ta quy chiu ^1 = 0, r |i = - ằ X = 0, y = chớnh l nỳt ta ^2 = l,T l = - > x = a, y = chớnh l nỳt ta ^3 = 0, r |3 = > X = a, y = b chớnh l nỳt ta gc x,y N ỳt ta quy chiu gc N ỳ t ta quy chiu 4A gục H ỡnh B5.9 T phn t tam giỏc â ta ta quy chiu (ớT ), suy tam giỏc t a gc (x,y) Jacobien ca phộp bin i tam giỏc o hm (B 5.98) c ừ_ d dy drj dx d] (B 5.99) b nh tr ca J: det [J] = ab N ghch o ca J ừy tn ụx det[y] d dx _ 77 d b ab a a (B 5.100) o hm ca hm ni suy t a gc (x,y) theo ta quy chiu ' ụni ] ừx ếN.1 y , ếN1 ' ễN1 b S ếN.I ~ ab - a [d a ễN.1 dr! 330 (B 5.101) C th ' ễNx' b ~~ ab a ế a ừNt ừy b J_ ab -a a ab [(-Ê/)(- l) + a ( - l ) t ụx dNt CL> 'ừNt ' b ( - l) + ( - l) (B 5.102) ừn ớol - i - 'ừN2 ếN2 b d _ _ ab a a ếN2 ab dx dN2 y dn ' ừN ' ớa/v ] b ab - a a ụx ừn3 b d ếN3 dy -a a M +0;= H a l + a.Oj /? [ - a /? - j 7.0+0 _ o ab [- + lj ab [a (B 5.103) (B 5.104) d M a trn [B]: M- dN] ừn2 a/V3 Sx Jt JC J_ -b b ễN, ayv2 a/v3 ab -a a ừy dy dy (B 5.105) Cui c ự n g th n h phn [B]T[B] ca m a trn cng \-b B IB b ab 0 a ab a -b [0 b -a a (ubf r b2 ' -b2 -b2 b2 + a -a2 -a2 a2 (B 5.106) So sỏnh (B 5.106) vi (B 5.93) thy kt qu tớnh [ f i] [ f l] nh T trờn cho thy, xỏc nh thnh phn ca ma trn cng ca tam giỏc cú th khụng cn xỏc nh hm ni suy ta gc, m xỏc nh ta quy chiu P h n t c h n h õ t 5.12 C ụ n g thc tớnh m a trn nhit dung ca phn t ch nht N \T [c] = j p c [ / v ] [ N ] d V = \ p c ằ1 [/V, V V N, N} Nt ] d V N, N (B 5.107) = J p-cV " N2Nt N& k N3N2 N NA n 2n } N N.N, 331 " A dV n ]n < n; * Tinh N 2dxdy l o t : N,2 = - ( a - x ) ( b - y ) =-^ - y (ỷ - a x + x 2){b2 -2 fry + ;y2) = (a2b2 - l a b 2X + b2X l a 2by + Aabxy - Ibyx2 + a 2y - l a x y + x 2y 2) - a2b2 [ f JoJo N 2dxdy = } ' (a2b2ab- l a b b + b2 b-2a~ b a + 4ab aV 2 ft3 - a ft3 +a a - a 3 ,3 2 2b b1 a2 fl3 ft3 +) 3 3 , a b2 U- ,3 ,3 a3 b a3 b1 ab a b ab _ /^ 3 a ^ J i , J a ^ ^ ( (a ft3 b - aa 3f bt1 33 H +, aaft b 4+-C al 3ft3 - bl -+,1 - - + 3 a2b 33 33 Vy cú aft ( 1) - Tớnh ; = ^ - ( a - jc) j c i f t - y V = - - - (aft2JC- 2abxy 4- axy2 - b 2x2 -\-2byx1 - x 2y2) aft "2u2 n: h nốn a 2ft2 /ằa aft (-) 18 J*J' NN dxdy ; - T ớnh iVj/V3 = - ( a - x } ( b - y } x y = ^ (abxy - bx2y - axy1 + x 2y 2) nờn ab n , w = ( 3) 36 J* a Nỡ N4dxdy ; Tớnh NiNt > = ( - x) (b - y ) (a - x ) y = ^ (a2by - n a - Tớnh + 2axy2 - X 1y ) ( 4) 18 N = |" j c ( f t - y ) ] a2ft2 L v = ^ /J ( b 2X - b x 2y + X 2y ) nờn aft a T ớn h S 0 0 0 0 0 N2 N,N 0 NN, dx (B 5.114) K X2 ; nờn ( 7) \ N : dx Jo v 3a /V3 /V4 = ( a x - x 1) ; nờn a2 -fl cũn 11 ( 8) N ,N d x = (a- ) = a2 /V42 = (a2 - a x + x 2)', nờn a2 f u -5 y a Cl ( 9) N d x = - ( a a - a - + ) = Jo a2 3 0 0 /C = a/z 0 0 (B 5.115) 0 0 12 d i lu trờn cnh 41 : = K 2d ằWMô-ằ S ; N, = 0 N 0 0 0 0 N *l = ab dy V ix = ; th ỡ N = (b2 - b y + y 2) ; n ố n b2 ' ' ' ( 10) f b Nrdy = - ( b 2b - b + ) J2 - r " ,2 b3 N = \ nờn \ N d y = - = bJo b2 335 ( 12) Bi vy 0 hb 0 0 0 0 0 (B 5.116) 336 T i liờu th am kho [1 ] R oland w Lew is, Perumal N ithiarasu, Kankanhalli N S eetharam u Fundam entals o f the Finite E lem ent M ethod for Feat and Fluid Flow John W iley & Sons, 2004 [2 ] R w Lew is, K M organ H.R Thom as, K N Seetharam u The Finite Elem ent M ethod in H eat T ransfer A nalysis John W iley & Sons, 1996 [3 ] J C haskalovic Finite Elem ent M ethods for Engineering Sciences Springer, 2008 [4] Susanne c B renner, L Ridgw ay Scott The M athem atical T heory o f Finite E lem ent M ethods Springer, 2008 [5 ] J.N Reddy A n Introduction to The Finite Element M ethod - Solutions m anual M cG raw H ill, N ew Y ork, 2006 [ ] J.p H olm an H eat Transfer M rG R A W -H ill.Inc, 1997 [7] N g u y n Bn Cỏc phng phỏp tớnh truyn nhit Bi g ing cao hc H BK N ang, 2001 [8 ] T rn ớch T hnh, N gụ N h Khoa Phng phỏp phn t hu hn N x b K hoa hc v K thut, 2007 [9 ] T rn h V n Quang Phng phỏp PTH H Truyn nhit Bi g ing Cao hc C khớ H G T , 2009 [1 ] T rnh V n Q uang K ho sỏt trng thỏi nhit kt cu bờtụng dng hp bng PP PTH H ti N C K H cp C s, nghim thu 2010 [1 ] T rnh V n Q uang Kho sỏt trng thỏi nhit mt ng bờ tụ n g xi m ng bng p p PTHH T p c u ng Vit nam, s 12-2009 [12] K ho sỏt tr ng nhit vt nung quỏ trỡnh nung ti h ng dn sinh viờn N C K H t gii V ifotec v gii ca T chc S hu trớ tu th gii W IP O - 2005 [13] T rnh Vn Q uang K h o sỏt bin dn g n h it ca cu k in bờ tụ n g ln tro n g th i k x õy d ng Tp c u ng Vit N am , s 10,11-2004 [14] T rn h Vn Q uang ỏnh giỏ trng thỏi nhit ỏo ng bờtụng bng phng phỏp s Tp C u ng V it nam, s 10-2002 [1 ] KOHCTpyKHHx C A O p a TeMnepaTypHbie HanpjDKeHHfl rHApoTexHHHecKHX coopyaceHHH B eTOHHbix H >Kejie3o6eTOHHbix rocy/tapcTBHHoe OHepreTHHecKoe H3/TeJlbCTBO MoCKBa 1959 [1 ] T rnh Vn Q uang K thut nhit dnh cho sinh viờn ngnh cụ n g trỡnh N xb K hoa hc K thut, 2007 337 NH XUT BN TH GII Tr s chớnh ti H Ni: S 46 Trn H ng o, H N i, V it N am T: 84-4 38253841 / 38262996 - F a x :8 -4 38269578 Chi nhỏnh ti Tp H Chớ Minh: S N guyn Th M inh Khai, Q l, Tp H Chớ M inh, V it N am T: 84-8 38220102 Em ail: thegioi@ hn.vnn.vn W ebsite: w w w thedoipublishers.com c S PHNG PHP PHN T HU HN TRONG TRUYN NHIT TC GI PGS.TS Trnh Vn Quang Chu trỏch nhim xut bn: Giỏm c Trn on Lõm Biờn tp: ễng Trn on Lõm Thit k bỡa: Trnh Vn Quang K thut vi tớnh: Phm ớch LIấN KT XUT BN V PHT HNH CễNG TY TNHH MTV XUT NHP KHU SCH BO VIT NAM - XUNHASABA 32 H B T r n g , H N i, V i t N a m T : 84-4 9 / F ax: 84-4 8 E m ail: x u n h a sab a @ h n v n n v n - W eb site: w w w x u n h a sa b a c o m v n 9117 o 117 o giỏ: 85.000 [...]... Các phương pháp gần đúng trong tính nhiệt thường dùng là phương pháp Sai phân hữu hạn, phương pháp Thể tích hữu hạn và phương pháp Phần tử hữu hạn Phương pháp Sai phân hCru hạn đã được trình bày trong giáo trình đại học, nên ở đây không đề cập đến mà đi vào phương pháp Phần tử hữu hạn 25 Chương 2 PHƯƠNG PHÁP PHÀN TỬ HỮU HẠN 2.1 GIỚI THIỆU KHÁI QUÁT Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một công cụ... phổ biến nhất được sử dụng trong kỹ thuật tính nhiệt là các phương pháp Sai phân hữu hạn, Thể tích hữu hạn và Phần tử hữu hạn ngoài ra còn có phương pháp Phần tử biên giới - Phương pháp Sai phân hữu hạn (SPHH) là phương pháp số tương đối đơn giản và ổn định Nội dung của phương pháp này là biến đổi một cách gần đúng các vi phân riêng thành các số gia, khi đó đạo hàm riêng của phương trình vi phân chủ... dụng - Phương pháp thể tích hữu hạn (TTHH) có tinh tế hơn phương pháp SPHH và trở nên phổ biến trong kỹ thuật tính nhiệt và động học dòng chảy (Patankar 1980) Trong tính nhiệt, phương pháp TTHH dựa trên cơ sở cân bằng năng lượng của phân tố thể tích Kỹ thuật thể tích hữu hạn tập trung vào điểm giữa phân tố thể tích rất tương tự với phương pháp SPHH (Malan et al 2002) 26 - Phương pháp phần íừ hữu hạn (PTHH)... hệ số của nhiệt độ trong phần tử gọi là ma trận độ cúng; ỊrỊ là véc tơ nhiệt độ hai nút trong phần tử; Ị/Ị là véc tơ phụ tải nhiệt tại nút Bước 4: Lắp ghép các phương trình phần tử đề nhận được phương trình tương thích của hệ Để tìm đặc tính của toàn cục của hệ thống, chúng ta bắt buộc phải kết hợp tất cả các phương trình ma trận của các phần tử riêng lẻ, thủ tục đó gọi là lắp ghép các phần tử Đó là... lưới các phần tử hữu hạn Các phần tử khi rời rạc có thể được chọn có hình dạng khác nhau Trong loại bài toán một chiều, các phần tử được chọn là các đoạn thẳng Trong loại bài toán hai chiều, các phần tử được chọn là các hình phảng, có thể là tam giác, tứ giác, chữ nhật Trong loại bài toán ba chiều, phần tử được chọn là các hình khối, như khối tứ diện, lập phương, hình hộp, lăng trụ Đặc biệt là trong. .. nghiệm trong vật thể thành một số hữu hạn các điểm nút, rồi xác định nhiệt độ của phần tử tại các nút đó thay cho việc tính nhiệt độ trên toàn miền Như vậy phương pháp SPHH đã xấp xỉ các phương trình vi phân đạo hàm riêng thành các phương trình đại số Kết quả thiết lập được hệ phương trình đại số gồm n phương trình tương ứng với n nút cần tim giá trị nhiệt độ Mức độ chính xác cùa nghiệm trong phương pháp. .. tăng số điểm nút Phương pháp SPHH rất hữu hiệu trong việc giải nhiều bài toán truyền nhiệt phức tạp mà phương pháp giải tích gặp khó khăn Bởi vậy trong các giáo trình truyền nhiệt hiện đại, phương pháp SPHH được trình bày khá kỹ cho chương trình đại học (Incropera 1996, Holman 1997 ) Tuy nhiên, khi gặp phải vật thề cỏ hình dạng bất quy tắc hoặc điều kiện biên giới bất thường, phương pháp SPHH cũng có... - Phương pháp phần íừ hữu hạn (PTHH) là phương pháp số để giải các bài toán được mô tả bởi các phương trình vi phân đạo hàm riêng cùng với các điều kiện biên cụ thể Cơ sở của phương pháp này là rời rạc miền nghiệm liên tục và phức tạp của bài toán thành các miền con gọi là các phần tử hữu hạn Tuỳ theo yêu cầu của bài toán mà các miền con tức các phần tử hữu hạn này có cấu trúc khác nhau, tinh xảo và... Nj Giá trị hàm nội suy bên trong phần tử Thay đồi nhiệt độ bên trong phần tử dx Đạo hàm của hàm nội suy bên trong phần tử dNi i i dx Hình 2.1 Sự thay đổi của các hàm nội suy, nhiệt độ và các đạo hàm của các hàm nội suy bên trong phần tử tuyến tính 32 Có thể thấy thay đổi điền hình của nhiệt độ là tuyến tính, đạo hàm của các hàm nội suy là hằng số bên trong mỗi phần từ Ma trận hàm nội suy [N] và ma... trị tại các nút của trường biến số Trong bài toán nhiệt, từ nhiệt độ các nút đã tìm được, có thể tính gradient nhiệt độ, dòng nhiệt không gian, hay biến dạng nhiệt 2.2 PHÂN TỬ MỘT CHIỀU BẬC NHẤT 2.2.1 Phân bố nhiệt độ Phần tử bậc nhất có nhiệt độ là hàm bậc nhất của toạ độ: T = (Xi+a2x (2.3) Gọi hai nút của một phần tử là i và j tương ứng với hai toạ độ Xj và Xj, nhiệt độ tại hai nút đó sẽ là: Tì =