PDFaid.Com #1 Pdf Solutions diendantoanhoc.net [VMF] Bài viết nhỏ điểm Fermat - Torricelli tam giác Đỗ Quang Long - Nguyễn Minh Tuấn Điểm Torricelli hay gọi điểm Fermat điểm mà tổng khoảng cách từ điểm tới cạnh nhỏ Điểm , nhìn cách tam giác góc 120o , có mối liên hệ trực tiếp với toán Napoleon Trên hình vẽ tam giác ABC, dựng phía tam giác ACD,BCF,BDA Thì BD,CE,AE đồng qui T điểm Fermat tam giá ABC Trên hình vẽ ta thấy số tính chất đẹp : Tam giác PMN đều(Định lý Napoleon)(M,N,P tâm tam giác ) BD=CE=AF; AM,BN,CP đồng quy ( điểm Napoleon) Tam giác ABC tam giác DEF trọng tâm Trang diendantoanhoc.net [VMF] Một vài tính chất khác : 1) Giả sử BD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF D’ Tương tự có E’,F’ Thì ta có BD = BD’ + AF’ + CE’ ( hình vẽ phía ) 2) Lấy AF, BD, CE, điểm A’,B’,C’ cho AA BB CC + + = tam AF BD CE giác A’B’C’ Ta vào số tính chất điểm Fermat : Tính chất : Cho tam giác ABC, T điểm Torricelli tam giác CMR Đường thẳng đối xứng với AT qua BC, BT qua CA , CT qua AB đồng qui Trang diendantoanhoc.net [VMF] Hướng dẫn : Lấy A’,B’,C’ điểm đối xứng T qua BC, CA, AB Ta chứng minh đường thẳng đối xứng với AT qua BC, BT qua CA , CT qua AB đồng qui O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’ Thật giả sử đường thẳng đối xứng với BT qua CA , CT qua AB cắt O Do tính chất đối xứng qua BC nên OB A = 180o − AT B = 60o Tương tự có AC B = 60o Mà AC = AT = AB ⇒ AC B = AB C Do OC B = OB C Mà C AB = 2.BAC nên C OB = 240o − 2.A Ta có : BA C = BT C = 120o , C BA = 2.CAB, A CB = 2.BCA Nên C A B = 120o − A Nên B OC = 2.C A B Do O tâm ngoại tiếp tam giác A’B’C’ Tính chất : Đường thẳng Euler Tam giác ABT, BCT, CTA đồng qui Trang diendantoanhoc.net [VMF] Hướng dẫn Gọi G trọng tâm ta giác ABC Dựng tam giác ACD Gọi O1 tâm tam giác M trung điểm AC, J trọng tâm ta giác ATC Ta có BT qua C ATCD nột tiếp (O1 ) JO1 đường trẳng Euler tam giác ATC J O1 chia MT MD theo tỷ lệ 1:2 Nên O1 J qua G Do đường thẳng Euler tam giác ATC qua trọng tâm tam giác ABC Tương tự cho đường thẳng Euler BTC, BTA qua G nên chúng đồng quy Tính chất : Điểm Fermat điểm Isodymatic điểm liên hợp đẳng giác Trang diendantoanhoc.net [VMF] Ta giải thích số khái niêm: +) Đường tròn A-apollonian đường tròn qua điểm A,D,D’ Với AD AD’ phân giác góc A +) Điểm Isodymatic giao điểm đường tròn A-apollonian , B-apollonian, Capollonian nằm tam giác ký J Tương tự ta có Điểm Isodymatic giao điểm đường tròn A-apollonian , B-apollonian, C-apollonian nằm tam giác ký J’ +) điểm I J tam giác ABC liên hợp đẳng giác tia AI AJ đối xứng với qua phân giác góc A Tương tự với BI,BJ; CI CJ Ta quay vào toán Ta cần bổ đề tính chất đẹp điểm Isodymatic Bổ đề : Gọi M,N,P hình chiếu J xuống BC,CA,AB Không khó khăn ta xẽ cm tam giác MNP Bổ đề 2: Từ bổ đề tính chất điểm Fermat T ta có : BIC + BJC = 180o + BAC Thật Ta có BJC = BP M + M N C = 180o − AP M + 180o − AN M = 60o + BAC BT C = 120o nên BIC + BJC = 180o + BAC Trang diendantoanhoc.net [VMF] Ta cần thêm tính chất hữu ích : điểm I J tam giác ABC liên hợp đẳng giác tam giác ABC : BIC + BJC = 180o + BAC, CIA + CJA = 180o + ABC, AIB + AJB = 180o + BCA Từ nhận xét bổ đề ta có đpcm Tính chất : Không khó khăn ta chứng minh tính chất đẹp sau: T điểm fermat tam giác ABC A’,B’,C’ điểm nằm cung BTC, ATC, BTA đường tròn ngoại tiếp tam giác BTC, ATC, BTA CMR a) Tam giác A’B’C’ b) Gọi O1 , O2 , O3 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ATB,TCA,TAB tam giác O1 O2 O3 đều, gọi O tâm tam giác Khi O tâm tam giác A’B’C’ Trang diendantoanhoc.net [VMF] Tính chất : Với điều kiện góc tam giác nhỏ 120o tam giác ABC có T điểm Fermat trong, tương tự điểm Fermat cách dựng tam giác phía với A, B, C hình vẽ Ta có AA1,BB1,CC1 đồng quy T’ T T’ có nhiều mối tính chất đẹp giới thiệu sau đây: a) Gọi M,N,P trung điểm BC,CA,Ab K trung điểm TT’ M,N,P,K thuộc đường tròn (K thuộc đường tròn Euler tam giác ABC ) b) Gọi G trọng tâm Tam giác ABC, I điểm liên hợp đẳng giác G Gọi H trực tâm tam giác ABC S trung điểm GH Thì ta có T,T’,S,I thẳng hàng Trang diendantoanhoc.net [VMF] c) (Định lý Lester) : Cho tam giác ABC không cân, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác , T T’ điểm Fermat, I tâm đường tròn Euler tam giác ( đường tròn điểm ) CMR O,T,T’,I thẳng hàng Tính chất : Một số đẳng thức bất đẳng thức điểm Fermat- Torricelli Cho tam giác ABC góc nhỏ 120o , T điểm Fermat trong, T’ điểm Fermat a) (T A.T B + T B.T C + T C.T A)(T A + T B + T C) = T A.a2 + T B.b2 + T C.c2 Trang diendantoanhoc.net [VMF] b) (T A + T B + T C)2 √ 3(BC.P A + CA.P B + AB.P C) c) Giả sử G trọng tâm, M điểm tam giác Thế M A3 + M B + M C M G2 + a2 + b + c (T A + T B + T C) d) Nếu S điểm Isodymatic nói trên, da khoảng cách từ S tới phân giác góc BAC, tương tự có db , dc Thế SA + SB + SC = F A + F B + F C + d2a d2 d2 + b + c SA SB SC 1 + + ≥ với R bán kính đường tròn nội tiếp tam giác TA T B T C R 2 cos(A) + cos(B) + cos(C) cos (A) cos (B) cos2 (C) + + ≥ f) TA TB TC 2R g) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp Thế e) |(a2 − b2 )(b2 − c2 )(c2 − a2 )| S∆OT T = √ (a2 − b2 )2 + (b2 − c2 )2 + (c2 − a2 )2 h) Gọi G trọng tâm tam giác , O xác định CMR GO2 + GT + GT = R2 R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác Một số tập khác Cho tam giác ABC với góc BAC = 60o , T điểm Fermat- Torricelli, M trung điểm BC CMR TA + TB + TC = 2.AM Cho tam giác ABC với góc BAC = 60o , T điểm Fermat- Torricelli, D nằm tia đối tia CT cho tam giác ATD Trung trực TA cắt BC O CMR QT trung trực BD Nếu T G = min{GA; GB; GC} = GA ( G trọng tâm tam giác ) CMR BAC = 120o Cho tam giác ABC, T điểm Fermat Dựng phía tam giác tam giác BCA1 , CAB1 , BAC1 Giả sử AA1 cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác A1 B1 C1 A’ Tượng tự có B’ C’ Giả sử A2 điểm đối xứng A’ qua A Tương tự có B2 , C2 Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, O’ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A2 B2 C2 CMR O,O’,T thẳng hàng Trang