WWW.VNMATH.COM GIỚI HẠN HÀM SỐ (Trích tạp chí THTT) LaTeX: phong36a@gmail.com 02/10/2012 Mục lục Giới hạn hàm số dạng vô định 0 1.1 Dạng 1: Dạng vô định hàm phân thức đại số 0 1.2 Dạng 2: Dạng vô định hàm phân thức chứa thức bậc hai 0 1.3 Dạng vô dịnh hàm phân thức chứa thức bậc 0 1.4 Dạng 4: Dạng vô định hàm phân thức chứa thức bậc cao 0 1.5 Dạng 5: Dạng vô định hàm phân thức chứa thức không bậc 1.6 Dạng 6: Dạng vô định hàm hàm số lượng giác 0 1.7 Dạng 7: Dạng vô định hàm số mũ hàm số logarit 1.8 Dạng 8: Áp dụng định nghĩa đạo hàm Giới hạn hàm số dạng ∞ 2.1 Dạng vô dịnh ∞ 2.2 Dạng vô định ∞ − ∞ 2.3 Dạng vô định 1∞ 2.4 Dạng vô định 0.∞ ∞ , ∞ − ∞, 1∞ , 0.∞ ∞ vô định 2 3 4 6 7 Một số dạng toán liên quan 3.1 Dạng 1: Xét tính liên tục hàm số điểm 3.2 Dạng 2: Tính đạo hàm hàm số điểm 7 WWW.VNMATH.COM Giới hạn hàm số dạng vô định 1.1 Dạng 1: Dạng vô định 0 hàm phân thức đại số f (x) f (x), g(x) hàm đa thức khác nhận x = x0 nghiệm g(x) f (x) (x − x0 )f1 (x) f1 (x) fk (x) fk (x0 ) Cách giải: Ta có lim = lim = lim = = lim = Với x→x0 g(x) x→x0 (x − x0 )g1 (x) x→x0 g1 (x) x→x0 gk (x) gk (x0 ) điều kiện fk2 (x0 ) + gk2 (x0 ) x3 + x2 − Thí dụ 1: Tính lim x→1 x − x3 + x2 + x − Bài tập tự luyện Tìm giới hạn sau: 2x4 − 5x3 + 3x2 + x − 8x3 − a lim1 b lim x→1 3x4 − 8x3 + 6x2 − x→ 6x − 5x + √ √ 2x3 − (4 + 1)x2 + (4 + 2)x − √ √ c lim √ x→ x3 − (2 + 1)x2 + (2 + 2)x − Tìm lim x→x0 1.2 Dạng 2: Dạng vô định hàm phân thức chứa thức bậc hai Tìm lim x→x0 f (x) − a g(x) f (x0 ) = a g(x0 ) = f (x) − a = x→x0 g(x) f (x) − a2 (x − x0 )f1 (x) f1 (x) f1 (x0 ) lim = lim = lim = x→x0 g(x)( f (x) + a) x→x0 ( 2a.g1 (x0 ) f (x) + a)(x − x0 )g1 (x) x→x0 ( f (x) + a)g1 (x) f (x) − a f1 (x) − f2 (x) f1 (x) − f2 (x) , lim , lim Chú ý: Việc tìm giới hạn lim x→x0 x→x0 g(x) g(x) − b x→x0 g1 (x) − g2 (x) hoàn toàn tương tự √ x+8−3 Thí dụ 2: Tính lim x→1 x + 2x √− √ x+ x−1−1 √ Thí dụ 3: Tính lim x→1 x2 − Chú ý: Khi tìm giới hạn hàm phân thức chứa bậc dạng ta tách thành tổng phân thức dạng nhân lượng liên hợp Bài tập tự luyện Tính các√giới hạn √ sau: x + − 2x x−1 √ a lim √ b lim √ x→2 x→1 x + + x3 − 3x √ x − − 43 − x x − + x − 3x + x + √ c lim x→2 2x − Cách giải: Khi thực phép nhân biểu thức liên hợp f (x) + a ta lim WWW.VNMATH.COM 1.3 Dạng vô dịnh hàm phân thức chứa thức bậc f (x) − a f (x0 ) = a g(x0 ) = x→x0 g(x) Cách giải: Thực phép nhân biểu thức liên hợp f (x) + a f (x) + a2 3 f (x) + a f (x) ± a ; lim Chú ý: Việc tìm giới hạn dạng lim ; x→x0 x→x0 g(x) g(x) ± b 3 f (x) ± a f1 (x) ± f2 (x) lim ; lim ; x→x0 g(x) − b x→x0 g1 (x) − g2 (x) f1 (x) ± f2 (x) lim hoàn toàn tương tự x→x0 g1 (x) ± g2 (x) √ 4x − ĐS: Thí dụ 4: Tính lim x→2 √ x−2 3 x + x2 + x + Thí dụ 5: Tính lim x→−1 x+1 Bài tập tự luyện: Tính giới√ hạn sau: √ √ 2x − − x 2x − + x2 − 3x + √ b lim √ a lim x→1 x→1 x−1 x − + x2 − x + Tìm lim 1.4 hàm phân thức chứa thức bậc Dạng 4: Dạng vô định cao √ n + ax − Dạng thường gặp: Tìm lim x→0 x √ tn − n n x → t → Cách giải: Đặt t = + ax → t = + ax → x = a √ n a a(t − 1) + ax − Khi lim = lim n = x→0 t→1 t − x √ n + 5x − Thí dụ 6: Tính lim x→0 x Bài tập tự luyện: Tính giới hạn sau: √ √ √ 4 2x + − 4x − − 2−x−1 b lim c lim a lim x→1 x→1 x→0 x x−1 x−1 1.5 Dạng 5: Dạng vô định hàm phân thức chứa thức không bậc Cách giải: Thêm bớt số hạng thích hợp, tách thành hai giới hạn dạng vô định 0 √ √ 1+x− 38−x Thí dụ 7: Tính lim (Hướng dẫn: thêm bớt tử số) x→0 √ x √ + 2x − + 3x Thí dụ 8: Tính lim (Hướng dẫn: thêm bớt 1+x tử số) x→0 x2 Bài tập tự luyện:√Tính giới hạn √ sau: √ √ 3 8x + 11 − x + + x2 − − 2x b lim a lim x→0 x→2 √ x2 − 3x√ +2 x + x√2 √ + 4x − + 6x 2x − + x − c lim d lim x→0 x→1 x2 x−1 WWW.VNMATH.COM √ (x2 + 2004) − 2x − 2004 e lim x→0 x √ (x2 + 2001) − 5x − 2001 f lim x→0 x 1.6 hàm hàm số lượng giác Dạng 6: Dạng vô định sin x =1 x sin u(x) x tan x Hệ quả: lim = (nếu lim = 0); lim = 1; lim =1 x→a u(x) x→a x→0 sin x x→0 x Thí dụ 9: Tìm limπ ( − tan x) Làm theo cách x→ cos x √ sin x − cos x Thí dụ 10:Tìm limπ x→ sin 3x Bài tập tự luyện: Tính giới hạn sau: √ √ sin x − − cos x cos 2x ; b) limπ a) lim x→0 x→ tan x − x √ cos4 x − sin4 x − 1 − cos x √ c) lim d) lim x→0 x→0 tan2 x x2 + − π √ cos ( cos x) − 2x + + sin x e) lim g) lim √ x x→0 x→0 3x + − − x sin2 − cos 3x cos 5x cos 7x − |1 + sin 3x| √ h) lim i) lim x→0 x→0 sin2 7x − cos x √ − cos x cos 2x tan x − m) lim k) limπ x→0 x→ sin x − x2 Định lí: lim x→0 1.7 Dạng 7: Dạng vô định Định lý: lim x→∞ 1+ x x = e; hàm số mũ hàm số logarit lim (1 + x) x = e; x→∞ eax − ebx x→0 x π ln tan + ax Thí dụ 12: Tính lim x→0 sin bx ln (sin x + cos x) Thí dụ 13:Tính lim x→0 x Bài tập luyện tập : Tính giới hạn sau: esin 2x − esin x e2x − √ a lim ; lim √ x→0 x→0 sin x 1+x− 1−x 2 e3x cos2 x − 3x − cos x c lim ; d lim x→0 x→0 x x2 √ −2x2 cos x−cos 3x e − 1+x e − cos 2x e lim ; g lim x→0 x→0 ln (1 + x2 ) x2 Thí dụ 11 : Tính lim ln + x = 1; x→0 x lim ex − = x→0 x lim WWW.VNMATH.COM 1.8 Dạng 8: Áp dụng định nghĩa đạo hàm f (x) − f (x0 ) x→x0 x − x0 √ (x2 + 2010) − 9x − 2010 Thí dụ 14 :Tìm A = lim x→0 x √ − 2x + + sin x √ Thí dụ 15 :Tìm B = lim x→0 3x + − Bài tập tự luyện: Tính giới hạn √ sau: √ √ − 2x + + sin x 2x − + x − √ a lim ; b lim x→1 x→0 x−1 3x + − √ esin 2x − esin x tan x − ; d limπ c lim x→0 x→ sin x − sin x √ e−2x − + x2 e lim x→0 ln (1 + x2 ) Một số √ √ đề thi 2x − − x Bài 1: lim (HVNH-98) x→1 x√− x3 − 3x − Bài 2: lim (ĐHQG-98) x→1 √ x − √ 1+x− 38−x (ĐHQG KA-97) Bài 3: lim x→0 √ x √ 2x − + x − (ĐHSP II KA-99) Bài 4: lim x→1 x−1 − cos2 2x Bài 5: lim (ĐH ĐN KD-97) x→0 x sin x − |1 + sin 3x| √ Bài 6: lim (ĐHQG KB 97) x→0 − cos x Bài 7: lim − cot x (ĐHL-98) x→0 sin 2x tan x − sin x (HVKTQS-97) Bài 8: lim x→0 x3 π cos cos x Bài 9: lim (ĐHTN-KA-97) x x→0 sin2 − sin 2x − cos 2x Bài 10: lim x→0 + sin 2x − cos 2x tan(a + x) tan(a − x) − tan2 a Bài 11: lim (ĐHTN-98) x→0 x2 98 − cos 3x cos 5x cos 7x (ĐHAN KA00) Bài 12: lim x→0 83 sin2 7x √ − 2x + + sin x (ĐHGTVT 98) Bài 13: lim √ x→0 √ 3x + − − x + x2 − cos x Bài 14: lim (ĐHTM-99) x→0 √ x2 − cos x √ (ĐHHH-97) Bài 15: lim x→0 − cos x √ √ + tan x − + sin x Bài 16: lim (ĐHHH 00) x→0 x3 sin 2x sin x e −e Bài 17: lim (ĐHHH 99) x→0 sin x Ta có f (x0 ) = lim WWW.VNMATH.COM x +x −2 (ĐHQG KD-99) x→1 sin(x − 1) √ e−2x − + x2 lim (GTVT 01) 2) x→0 ln(1 + x √ √ 2x + − x2 + (ĐHQG-00) lim x→0 √ sin√ x − x − x2 + (TCKT-01) lim x→1 √ x2 − 1√ + 2x − + 3x lim (ĐH Thủy Lợi -01) x→0 x2 lim tan 2x tan π4 − x (ĐHSP II-00) π x→ 3x − cos x (ĐHSP II-00) lim x→0 x2 cos x − sin4 x − (ĐHHH-01) lim √ 2+1−1 x→0 x √ √ x+1+ 3x−1 lim (TK-02) x→0 x x6 − 6x + (TK-02) lim x→1 (x√ − 1)2 − 2x2 + lim (ĐHBK-01) x→0 − cos x Bài 18: lim Bài 19: Bài 20: Bài 21: Bài 22: Bài 23: Bài 24: Bài 25: Bài 26: Bài 27: Bài 28: Giới hạn hàm số dạng vô định 2.1 Dạng vô dịnh ∞ , ∞ − ∞, 1∞, 0.∞ ∞ ∞ ∞ Cách giải : Để khử dạng vô định ∞ ta thường chia tử mẫu cho lũy thừa bậc cao ∞ biến √ x+ x Thí dụ : Tính lim √ x→+∞ x+1 x2 + 2x + √ Thí dụ : Tính lim x→+∞ x x + Bài tập tự luyện : Tính giới hạn: √ √ √ x+1 x+ 3x+ 4x √ √ ; b lim a lim √ x→+∞ x x + x→+∞ x 2x + 2.2 Dạng vô định ∞ − ∞ Cách giải: Thực phép nhân liên hợp để khử dạng vô định ∞ − ∞ Đôi phải thêm bớt số hạng để tách thành hai giới hạn dạng ∞ − ∞, thực phép nhân liên hợp √ Thí dụ 3: Tìm lim ( x2 − − x) x→+∞ √ √ Thí dụ : Tìm lim ( x3 + 3x2 − x2 − x + 1) x→+∞ Bài tập tự luyện: Tìm giới hạn sau: WWW.VNMATH.COM √ √ a lim ( x2 + x + − x2 − x + 1) √ √ b lim ( 4x2 + 3x − − 8x3 − 5x2 + 3) x→+∞ 2.3 Dạng vô định 1∞ f (x) g(x) Tìm lim x→+∞ Cách giải: Biến đổi lim t→+∞ 1+ t x , lim x→+∞ f (x) =1 g(x) f (x) = + , x → +∞ ⇔ t → +∞ Đưa giới hạn g(x) t t =e Thí dụ : Tìm lim x→+∞ Bài tập tự luyện: Tìm giới hạn: x 2x + a lim x→+∞ 2x − 2.4 x→+∞ x+3 x+1 x b lim x→+∞ x+3 x−1 x Dạng vô định 0.∞ Cách giải: Biến đổi đưa dạng ∞ ∞ x ) Tìm lim + (x3 + 1) x→−1 x −1 ∞ x+1 Tìm lim (x − 2) Thí dụ 7: (Đưa dạng x→+∞ ∞ x3 − x Bài tập tự luyện: Tìm giới hạn: x x−1 √ x+2 a lim+ (x2 − 16) b lim 3 x→+∞ x + x→4 x − 64 Thí dụ 6: (Đưa dạng Một số dạng toán liên quan 3.1 Dạng 1: Xét tính liên tục hàm số điểm Cách giải (Sử dụng định nghĩa) • Hàm số y = f (x) liên tục điểm x = x0 lim f (x) = f (x0 ) x→x0 • Đôi ta phải sử dụng đến tính liên tục phía điểm x = x0 Hàm số y = f (x) liên tục điểm x = x0 lim+ f (x) = lim− f (x) = f (x0 ) x→x0 x→x0 Thí dụ8: √ Tìm a để √ hàm số sau liên tục điểm x = :  x − + 2x − x = f (x) = x −  a x = x e x < Thí dụ 9: Cho f (x) = Hãy tìm a cho hàm số f (x) liên tục a + x x ≥ Bài tập tự luyện: Tìm m để hàm số f (x) liên tục: WWW.VNMATH.COM   tan x − cot x x = π 3x − π a f (x) = π  m x = x e x < b f (x) = mx − x ≥ 3.2 Dạng 2: Tính đạo hàm hàm số điểm Cách giải: Sử dụng định nghĩa đạo hàm hàm số điểm Thí dụ 10:Tính đạo hàm hàm số sau điểm x = 0:  etan x−sin x − x = y = f (x) = x  x = Bài tập tự luyện: ln (cos 2x) x = Tính đạo hàm hàm số sau điểm x = 0: y = f (x) = sin x x = x x ≤ Cho hàm số y = f (x) = ax + b x > Tìm a, b để f (x) có đạo hàm điểm x = x2 − 2|x + 3| liên tục x = −3 đạo hàm Chứng minh hàm số y = 3x − điểm —————– Hết ——————–