ì ĩ ì Pì P Pì PP P số ò ì ì ử ởt số tự ìợ số ợ t t t số Pữỡ tr t t t r ỹ r ỹ tt t ữỡ ữỡ tr t t t t ữỡ tr t t t t ữỡ tr t t t t ữỡ tr t t t ữỡ t ữỡ tr t t t ởt số q t ữỡ tr t số ởt số t q ữỡ tr ữỡ tr t ữỡ tr t ữỡ tr ữủ Pữỡ tr ữỡ tr t ữỡ tr t ữỡ tr ữủ õ tự q tọ trữợ t t Pữỡ tr ỏ ữỡ tr t ởt tr ỳ t t ổ q ữỡ tr t t t r ữủ ỳ t t s s số số ỳ t số số ữỡ tr t ữ sỹ r số ỵ tt ữớ t ỵ tt t t ữ ữỡ số r t ữỡ tr t t t tỹ t ữỡ tr t t t õ ự t số õ t õ ởt t ợ ữ tr ý t s ọ tổ r t ổ õ t qt t t ữỡ tr t t t s ự t ữỡ tr ợ ố s ởt t t ổ s tr q tr ổ t s ọ ữủ ữỡ ữỡ ởt số tự ữỡ t ữỡ tr t t t ữỡ ởt số t q t tọ sỹ trồ ỏ t ỡ s s tợ tớ ữợ ụ ữ t trỏ tr sốt q tr t ự ú ù t t ụ ỷ ỡ t t tợ Pỏ t ỡ t ổ t t ủ t õ t t ỡ ổ q t ụ t tốt t t tr sốt tớ t t t trữớ ỹ ố ũ õ ố ữ tớ tr ỏ õ tr ọ ỳ t sõt t rt ữủ sỹ õ ỵ t ổ ụ ữ ỗ ữủ t ỡ t ỡ t tỹ r rữớ ữỡ ởt số tự ìợ số ợ t t t ố ữủ ởt ữợ số số ổ ỗ tớ ổ t t ởt ữợ số số ổ ỗ tớ ổ ữủ ữợ số ợ t ữợ số ữợ ú ỵ ữợ số ợ t t d ụ ữợ số ợ t t q ữợ r ữợ số ợ t số ữỡ ởt số ữủ ởt ữợ số số a1 , a2 , a3 , , an ổ ỗ tớ ổ ữợ ộ số õ ởt ữợ số số a1, a2, a3, , an ổ ỗ tớ ổ ữủ ữợ số ợ t a1 , a2 , a3 , , an ữợ số a1 , a2 , a3 , , an ữợ sỹ tỗ t ữợ số ợ t số số a1 , a2 , a3 , , an ổ ỗ tớ ổ õ tỗ t ữợ số ợ t a1 , a2 , a3 , , an t q r số a2 + b2 = a = bq + r r < |b| t r t t tt t t ữợ số ợ t số ữỡ số số ỳ số ổ t ộ số ỳ t ởt số ỳ t t số ỳ t ổ tự t t sỷ {Ck } số ỳ [a0 ; a1 , a2 , , an ] õ t õ ố s Ck Ck1 (1)k1 = ợ k n qk qk1 Ck Ck2 = ak (1)k ợ k n qk qk2 t ợ Ck số ỳ [a0; a1, a2, , an] t õ t tự s C1 > C3 > C5 > C0 < C2 < C4 < ộ C2j1 ợ ỡ ộ C2i t ợ k = 0, 1, , n t (pk , qk ) = tự pk , qk tố ũ t a0, a1, a2, ổ số > ợ i ợ ộ t Ck = [a0 ; a1 , a2 , , ak ] õ tỗ t ợ lim Ck k+ t số ổ t ữủ ởt t ữợ ởt số ổ Pữỡ tr t t t Pữỡ tr t t t õ a1 x1 + a2 x2 + + an xn = c tr õ số , c Z, n i=1 a2i = số xi Z, i = 1, 2, , n t ữỡ tr t t t Ax + By = C (1) õ d = (A, B) |C (x0 , y0 ) ởt ữỡ tr (1) t ữỡ tr (1) ữủ ổ tự B x = x0 + t d y = y0 A t , t Z d t ữỡ tr (1) q t d = (A, B) ởt r (x0 , y0 ) ữỡ tr (1) r ỹ r ỹ tt t t ữỡ tr t t t a1 x1 + a2 x2 + + an xn = c Pữỡ tr (5) õ d = (a1 , a2 , , an ) |c ữỡ tr (5) õ t õ s õ ổ số ữỡ tr t t t 6x + 15y + 10z = ữỡ ữỡ tr t t t t ữỡ tr t t t a1 x1 + a2 x2 + + an xn = c ợ số , c Z+ số xi Z+ , i = 1, 2, , n õ ữỡ tr ổ õ ỳ ữỡ x = (x1 , x2 , , xn ) ứ t õ t số xi (c + ) (a1 + a2 + + an ) , i = 1, 2, , n õ ỡ t t ữỡ x = (x1 , x2 , , xn ) ữỡ tr t ởt số xi õ ữủt q tr õ t õ õ t số ỏ tứ ữỡ tr ữỡ ữỡ tr t t t 6x + 15y + 10z = 200 số Pữỡ tr õ t ữỡ (x, y, z) ỗ (5, 2, 14) , (5, 4, 11) , (5, 6, 8) , (5, 8, 5) , (5, 10, 2) , (10, 2, 11) , (10, 4, 8) , (10, 6, 5) , (10, 8, 2) , (15, 2, 8) , (15, 4, 5) , (15, 6, 2) , (20, 2, 5) , (20, 4, 2) , (25, 2, 2) ữỡ t ữỡ tr t t t r ữỡ ú t s ự t ữỡ tr t t t t t ữỡ tr t t t t ữỡ tr t t t õ a1 x1 + a2 x2 + + an xn < c f (x) c, f (x) > c, f (x) c ợ f (x) = a1 x1 + a2 x2 + + an xn tr õ số , c Z số xi Z, i = 1, 2, , n, õ t ữỡ tr (9) tữỡ ữỡ ợ n i=1 a2i = a1 x + a2 x + + an x n = m tr õ t số m Z, m < c ữ t ữỡ tr t t t ữủ ữ ữỡ tr t t t ự t số ú t t t ữỡ tr t t t 342x 123y 13 số tờ qt t ữỡ tr (11) x = 9k + 41t y = 25k + 114t , t, k Z, k t ữỡ tr t t t 6x + 9y + 18z < số tờ qt t ữỡ tr (12) x = k + 3u + 3t y = k + 4u + 2t z = k 3u 2t tr õ k, u, t Z, k t ữỡ tr t t t 6x + 15y + 10z > số tờ qt t ữỡ tr (13) x = 4m + 25u + 15t y = m + 6u + 4t z = 4m 24u 15t tr õ m, u, t Z, m t ữỡ tr t t t 2x + 4y + 6z 10t số tờ qt t ữỡ tr (14) x = k 2u 3v + 5w y= z= t= u v w tr õ k, u, v, w Z, k t ữỡ tr t t t t ữỡ tr t t t õ b a1 x + a2 x + + an x n c tr õ số , b, c Z số xi Z, i = 1, 2, , n õ t ữỡ tr (15) tữỡ ữỡ ợ a1 x + a2 x + + an x n = m n i=1 a2i = tr õ t số m Z, b m c ữ t ữỡ tr t t t ữủ ữ ữỡ tr t t t ự t số ú t t t ữỡ tr t t t < 12x + 15y 10 số tờ qt t ữỡ tr (17) x = k + 5t y = k 4t tr õ k {1; 2; 3} , t Z t ữỡ tr t t t 12 < 6x 18y + 54z 17 số t ữỡ tr (18) ổ t ữỡ tr t t t < 4x + 10y 20z < 20 số tờ qt t ữỡ tr (19) x = 3k 5u + 5t y = k 4u + 2t z = k 5u + 2t tr õ k, u, t Z, k t ữỡ tr t t t 6x + 8y + 2z + 4t 28 số tờ qt t ữỡ tr (20) x= u y= v z = k 3u 4v 2w t= w tr õ k, u, v, w Z, k 14 ữỡ t ữỡ tr t t t t t ữỡ tr t t t a1 x + a2 x + + an x n c ợ số , c Z+ số xi Z+ , i = 1, 2, , n õ t ữỡ tr ổ õ ỳ ữỡ x = (x1 , x2 , , xn ) ứ t õ t số xi (c + ) (a1 + a2 + + an ) , i = 1, 2, , n õ ỡ t t ữỡ x = (x1 , x2 , , xn ) t ữỡ tr t ởt số xi õ ữủt q tr õ t õ õ t số ỏ tứ t ữỡ tr ữỡ t ữỡ tr t t t 3x + 4y + z + 2t 14 số t ữỡ tr õ t ữỡ (x, y, z, t) ỗ (1, 1, 1, 1) , (1, 1, 1, 2) , (1, 1, 1, 3) , (1, 1, 2, 1) , (1, 1, 2, 2) , (1, 1, 3, 1) , (1, 1, 3, 2) , (1, 1, 4, 1) , (1, 1, 5, 1) , (1, 2, 1, 1) , (2, 1, 1, 1) , (2, 1, 2, 1) ởt số q t t t ởt số q ữỡ t ữỡ tr t t t < 4x + 10y 20z < 20 số ữỡ tờ qt t ữỡ tr (22) x = 3k 5l y= k + 2a z = k l+ a tr õ l, a Z, l < 3k k , a > , l a < k, k = 0, 1, , t ởt trữớ õ s ọ tr õ số s ọ ộ ổ ỵ õ tữỡ ự ọ õ q õ s ỗ tớ t õ ộ ữủ t t q số ữủ số s ọ ũ ổ t ữủ số ữ tt s tờ số ữủ t số t õ tữỡ ự ợ ữỡ (x; y; z; t) tr t (1; 1; 1; 1) (1; 1; 2; 1) (1; 1; 3; 1) (1; 1; 4; 1) (1; 1; 5; 1) (1; 1; 1; 2) (1; 1; 2; 2) (1; 1; 3; 2) (2; 1; 1; 1) (2; 1; 2; 1) (1; 2; 1; 1) (1; 1; 1; 3) t S = S(x, y, z, t) = 6x + 8y + 2z + 4t tữỡ ự tọ (x; y; z; t) {(1; 1; 5; 1), (1; 1; 3; 2), (2; 1; 2; 1), (1; 2; 1; 1), (1; 1; 1; 3)} t r tỹ P t ộ P ộ õ ọ r õ ữỡ tỹ tr s số t ọ r ổ ữủt q ứ õ ữỡ số t r ọ r t số r õ t ữỡ P t r s ọ r số t t t t ổ ọ õ t ộ tọ ỗ ộ ỗ ộ õ ỗ ọ õ ữỡ t ổ tr s số t ọ r ổ ữủt q ỗ ứ õ ữỡ số t ọ r t số õ t ữỡ t ổ tr ọ õ ọ õ t số t ọ r t ỗ t ữỡ tr t số ợ m Z trữợ t õ [a0 ; a1 , a2 , , ak ] > m a0 m ữỡ tũ ỵ i = 1, 2, 3, [a0 ; a1 , a2 , , ak ] < m a0 m ữỡ tũ ỵ i = 1, 2, 3, t ữỡ tr t s [a0 ; a1 , a2 , a3 ] > [b0 ; b1 , b2 ] < a0 Z, a1 , a2 , a3 Z+ b0 Z, b1 , b2 Z+ < [c0 ; c1 , c2 , c3 ] < c0 Z, c1 , c2 , c3 Z+ d0 Z, d1 , d2 , d3 , d4 Z+ [d0 ; d1 , d2 , d3 , d4 ] số (25) (a0 ; a1 ; a2 ; a3 ) tr õ a0 Z, a0 2, Z+ , i = 1, 2, (26) (b0 ; b1 ; b2 ) tr õ b0 Z, b0 2, bi Z+ , i = 1, (27) (c0 ; c1 ; c2 ; c3 ) tr õ c0 = 2, ci Z+ , i = 1, 2, (28) (d0 ; d1 ; d2 ; d3 ; d4 ) tr õ d0 Z, d0 4, di Z+ , i = 1, 2, 3, ữỡ ởt số t q r ữỡ ú t s t ởt số t q t ữỡ tr t t t ữỡ tr ữỡ tr t ữỡ tr t ữỡ tr ữủ số ữỡ tr cos x =0 tr (2015; 2015) số Pữỡ tr õ x tr (2015; 2015) (x, y) ữỡ tr (2x + y) = sin cos (x + y) = t x, y tở (6; 10) số ữỡ tr õ (x, y) ỗ (0, 5) , (6, 5) , (2, 3) , (4, 3) , (2, 9) , (4, 9) , (4, 3) , (2, 3) , (4, 9) , (8, 3) , (2, 9) , (8, 9) , (0, 1) , (6, 1) ợ x, y tở (6; 10) Pữỡ tr ữỡ tr t ữỡ tr t ữỡ tr ữủ õ ữợ tờ qt (x1, x2, , xn) ữỡ tr ữỡ tr t ữỡ tr t ữỡ tr ữủ ữợ ứ ữỡ tr ữỡ tr t ữỡ tr t ữỡ tr ữủ t t số tr tờ qt (x1 , x2 , , xn ) t ữỡ tr ữỡ tr sin 2015x > cos 445x sin(2x + y) = cos(x + y) = ợ x y 10 số õ (x;y) tọ ỗ + (b + t)2 x= x = + (a + t)2 y= x= + t2 + (c + t)2 y= + t2 y = + t2 x = + (d + t)2 y = + t2 tr õ a, b, c, d, t Z, a 6, b 5, c 5, d ữỡ tr sin(2x + y) = cos(x + y) = tr [6; 6] tọ x y 10 số t õ (x; y) ỗ 35 11 ; , 31 11 ; tự q tọ trữợ P tự q ởt > i R ợ n xi ợ x > ữủ tự q i = 1, 2, , n õ f (x) = ởt n i=1 i = i=1 ú ỵ P tự q f (x) t tr ọ t t x = P tự nq > i, i R ợ i = 1, 2, , n õ f (x, y) = q n xi y i ợ x > 0, y > ữủ tự i=1 n i = i=1 i = i=1 ú ỵ P tự q f (x, y) t tr ọ t t x = y = r s t t i , i Z t tự q f (x) = x1 + 2x2 + 3x3 + 5x4 + 7x5 (1 ; ; ; ; ) s + + 23 + > số = 2m a + 3b + 9c = m a 4b 8c = a = b = c tr õ m, a, b, c Z, m < ợ m = 5, a = 1, b = 2, c = t õ t s t số tỹ ữỡ tũ ỵ ự r 2x18 + 5x2 + 3x + + 21 18 x x t tự q f (x, y) = x1 y + 2x2 y + 3x3 y (1 ; ; ) (1 ; ; ) s tọ ỗ tớ tự s + 42 33 > 0, 32 + số (1 ; ; ) = (9m 7a; 3m + 2a; m + a) , (1 ; ; ) = (4n + 11b; n + 2b; 2n 5b) tr õ m, n, a, b Z, m 1, n ợ m = 1, n = 3, a = 1, b = t õ tự q f (x, y) = y 10 3x2 + 2x y + x16 y4 õ tr ọ t f (x, y) = f (1, 1) = t x = b a , y = t t õ t s 2 t a, b số tỹ ữỡ tũ ỵ tr ọ t tự M= 64b10 a5 b 12a2 + + a16 32 b tự q f (x) = ax2 + bx4 + c x2 ợ a, b, c số ữỡ số (a, b, c) s tr ọ t f (x) ổ ữủt q số õ số (a, b, c) tọ t ỗ (1, 1, 3) , (2, 1, 4) , (1, 2, 5) , (3, 1, 5) , (2, 2, 6) , (1, 3, 7) , (4, 1, 6) ợ t õ tự q f (x) = x2 + x4 + x t ữủ t s x2 t số tỹ ữỡ t tr ợ t tự f (x) = 9x2 x x tự q f (x, y) = ax2 y + b x5 y3 y +c +d x y x ợ a, b, c, d số ữỡ số (a, b, c, d) s 2a + b + 3c + 2d < 40 số õ số (a, b, c, d) tọ t ỗ (1, 2, 3, 5) , (4, 1, 4, 9) ợ (a, b, c, d) = (1, 2, 3, 5) t õ tự q f (x, y) = x2 y + 2y 3x5 5y + + x y x õ tr ọ t f (x, y) = f (1, 1) = 11 t x = a, y = b t t t ữủ t s t a, b số tỹ ữỡ ự r 2a2 b + b3 192a5 10b + + 44 a b4 a t ởt tớ t t trữớ ỹ ố ữủ t ổ t t ữợ sỹ ữợ t t ợ t t ữỡ tr t t t t ữủ ởt số t q s r ữủ ởt õ tố ỳ tự ỡ ỡ s t ữỡ tr t t t tỹ t ữỡ tr t t t õ ự t số ữ r ữủ ữỡ tr t t t õ ỡ s ữ r t ữỡ tr t t t ụ ữ t ữỡ tr t t t tỏ ữ r ởt số t q t ữỡ tr t t t õ t ũ ổ t s ọ rt ỳ ũ tr q tr t rt ố s õ tr ọ ỳ t sõt rt ữủ ỳ ỵ õ ỵ t ổ ữủ t ỡ t ỡ t ụ ữỡ tr t t t t s ỹ ố P t ỡ số số ỗ ữù s ọ t tr Pữỡ tr tr P ố t tự r ụ ũ ởt số số ồ ũ ụ số