-***** - CHUYấN TON H thc Vi-ột v mt s bi toỏn liờn quan THC HIN: THY GIO NGUYN CAO CNG Chuyên đề Toán 9: Hệ thức Vi ét số toán liên quan H THC VI ẫT V MT S BI TON LIấN QUAN I- Lí THUYT C BN 1- nh lớ Vi-ột Nu phng trỡnh ax2 + bx + c = ( a 0) (1) cú hai nghim x1 v x2 thỡ: b x1 x a x x c a Chng minh: Do x1 v x2 l hai nghim ca pt (1) nờn: a(x - x1).(x - x2) = ax2 + bx + c vi x ax2 - ax1x - ax2x + ax1x2 = ax2 + bx + c ax2 - (ax1+ ax2)x + ax1x2 = ax2 + bx + c b x1 x a ax1 ax b ax1x c x x c a 2- Chỳ ý: Nu hai s cú tng S v tớch P thỡ hai s ú l hai nghim ca phng trỡnh: x2 -Sx + P = iu kin tn ti hai s ú l: S2 - 4P > II- CC DNG BI TP C BN DNG 1: p dng h thc Vi-ột vo tỡm giỏ tr ca tham s m phng trỡnh tho iu kin T cho trc * Bi toỏn c bn: Tỡm giỏ tr ca tham s m phng trỡnh bc hai ax2 + bx + c = ( a 0) (I) Cú nghim tho iu kin T cho trc * Phng phỏp: phng trỡnh (I) cú nghim ta phi cú: (*) b x1 x a Khi ú theo h thc vi-ột ta cú: x x c a tỡm giỏ tr ca tham s m ta gii h phng trỡnh: b x1 x a c so sỏnh vi iu kin (*) v kt lun bi toỏn x1 x a Điều kiện T Bi toỏn 1: Cho phng trỡnh x2 - 2m x + 2m -1 = (1) >> Truy cp trang http://tuyensinh247.com/ ụn luyn thi vo 10 Toỏn Vn Anh tt nht! Chuyên đề Toán 9: Hệ thức Vi ét số toán liên quan Tỡm m phng trỡnh cú nghim x1 ,x2 tho x1 = x2 Bi gii: phng trỡnh (2) cú nghim ta phi cú: ' m 2m m2 2m m với m Khi ú phng trỡnh cú hai nghim x1 ,x2 theo h thc Vi-ột ta cú: (*) x1 x 2m Kt hp vi iu kin x1 = x2 (**) x1 x 2m 2m 4m Thay vo (*) ta cú: 2x x 2m x ;x1 3 2m 4m Thay vo (**) ta cú: 2m 8m2 18m 3 3 Gii phng trỡnh n m ta c : m1 ; m2 (tho ) 3 Vy m1 ; m2 thỡ phng trỡnh cú nghim x1 ,x2 tho x1 = x2 Bi toỏn 2: Cho phng trỡnh x2 -mx + m + = (2) Tỡm m phng trỡnh cú nghim x1 ,x2 tho x1x2 + 2(x1 + x2) - 19 = Bi gii: phng trỡnh (2) cú nghim ta phi cú: = m2 - 4m - (*) m 2 (**) m 2 x1 x m Khi ú phng trỡnh cú hai nghim x1 ,x2 theo h thc vi-ột ta cú: x1 x m T x1 x2 + 2(x1 + x2) - 19 = m + + 2m - 19 = 3m = 18 m = ( Tho (**)) Vy m = l giỏ tr cn tỡm *Lu ý: Trong quỏ trỡnh tỡm iu kin phng trỡnh cú nghim nu iu kin l mt phng trỡnh hay bt phng trỡnh m ta gii nú gp khú khn , chng hn nh bi trờn iu kin l m2 - 4m - thỡ ta cú th khụng gii phng trỡnh hay bt phng trỡnh ú Sau tỡm c m thỡ thay vo xem cú tho khụng Vớ d bi trờn tỡm c x = ta thay vo (*) ta cú: = - 4.6 - = > , vy m = tho (*) Bi toỏn 3: Cho phng trỡnh x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = (3 ) Tỡm cỏc giỏ tr ca m phng trỡnh cú nghim x1 ,x2 tha : A = 10 x1x2 + x12 + x22 t giỏ tr nh nht, tỡm giỏ tr ú Bi gii: m Phng trỡnh (3 ) cú nghim ' = m2 - (*) m Khi ú phng trỡnh cú hai nghim x1 ,x2 theo h thc Vi-ột ta cú: >> Truy cp trang http://tuyensinh247.com/ ụn luyn thi vo 10 Toỏn Vn Anh tt nht! Chuyên đề Toán 9: Hệ thức Vi ét số toán liên quan x1 x m 2m x1 x 2m 10 T A = 10 x1x2 + x1 + x22 = (x1 + x2 )2 + x1x2 = (2m + )2 + 8(2m +10) = 4m2 + 24m + 84 = ( 2m + 6)2 + 48 48 Min A = 48 2m + = hay m = -3.( tmk*) Vy m =-3 thỡ A t giỏ tr nh nht v MinA = 48 Bi toỏn : Gi x1 ,x2 l hai nghim ca phng trỡnh: 2x2 + 2(m + 1) x + m2 + 4m + = (4 ) Tỡm giỏ tr ln nht ca M = x1x2 2x1 2x Bi gii: Phng trỡnh (4 ) cú nghim ' = -m2 - 6m - m2 6m m m m * Khi ú phng trỡnh cú hai nghim x1 ,x2 theo h thc Vi-ột ta cú: x1 x m m2 4m x1 x m2 4m T M = x1x2 2x1 2x = x1x2 x1 x2 = 2m 2 m2 8m = m 8m m2 8m vỡ vi m thỡ 2 2 m + 8m + < 2 9 M = m m 2 2 Max M = m hay m = -4 ( tmk*) Vy m = - thỡ M t giỏ tr ln nht v MaxM = Bi toỏn : Cho phng trỡnh x2 - mx + m -1 = (5 ) a/ Chng minh rng phng trỡnh luụn cú nghim vi m b/ Gi x1 , x2 l hai nghim ca phng trỡnh Tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca 2x1x P x x 2 x x Bi gii: 2 a/ Cú = m - 4m + = (m - 2) vi m Vy phng trỡnh (5) luụn cú nghim vi m b/ Khi ú phng trỡnh cú hai nghim x1 ,x2 theo h thc Vi-ột ta cú: x1 + x = m x1 x = m - 2x1x 2m 2m T P x1 x 2 x1x m2 m >> Truy cp trang http://tuyensinh247.com/ ụn luyn thi vo 10 Toỏn Vn Anh tt nht! Chuyên đề Toán 9: Hệ thức Vi ét số toán liên quan m P 2P 2m m2 P 2m 2P tn ti P thỡ phi tn ti m vy phng trỡnh n m trờn phi cú nghim hay: 'm 2P P P 2P P Min P = m=-2.( tm) Max P = m=1.( tm) Vy giỏ tr ln nht ca P bng Giỏ tr nh nht ca P bng * Nhn xột: i vi nhng biu thc ch cha cỏc nghim ca phng trỡnh cho trc mun tỡm giỏ tr ln nht hay giỏ tr nh nht ta lm theo trỡnh t sau: +Trc ht ta phi tỡm iu kin phng trỡnh cú nghim +Bin i biu thc xut hin tng hai nghim v tớch hai nghim +T ú ỏp dng h thc Vi -ột thay vo c biu thc ch cha tham s m Ta tin hnh tỡm GTNN, GTLN ca biu thc vi n m Bi toỏn 6: Cho phng trỡnh x2 - 2(m + 1) x + m -1 = (6 ) a/ Chng minh rng phng trỡnh luụn cú hai nghim phõn bit vi m b/ Gi x1 , x2 l hai nghim ca phng trỡnh Chng minh rng biu thc: A x1 x2 x2 x1 khụng ph thuc vo giỏ tr ca m Bi gii: a/ Cú ' = m m m m m vi m Vy phng trỡnh (6 ) luụn cú hai nghim phõn bit vi m b/ Khi ú phng trỡnh cú hai nghim x1 ,x2 theo h thc Vi-ột ta cú: x1 x 2m x1 x m T A x1 x x x1 x1 x 2x1x 2m m Vy giỏ tr ca biu thc A khụng ph thuc vo giỏ tr ca m 2 DNG 2: H thc Vi-ột s tng giao hm s * Phng phỏp: Cho hm s: y = ax2 ( a 0) (P) v : y = mx + n (d) Honh giao im ca (d ) v (P) l nghim ca phng trỡnh: ax2 = mx + n ax2 - mx - n = (II) +/ Nu phng trỡnh (II) cú hai nghim phõn bit thỡ (d) ct (P) ti hai im phõn bit +/ Nu phng trỡnh (II) cú nghim kộp thỡ (d) tip xỳc vi (P) +/ Nu phng trỡnh (II) vụ nghim thỡ (d ) khụng cú im chung vi ct (P) Bi toỏn : Cho hm s y = x2 (P) v y = 3x + m2 (d) a/ Chng minh rng vi bt kỡ giỏ tr no ca m thỡ (d) luụn ct (P) ti hai im phõn bit b/ Gi y1 , y2 l tung cỏc giao im ca (d) v (P) Tỡm m : y1 + y2 = 11y1y2 Bi gii: >> Truy cp trang http://tuyensinh247.com/ ụn luyn thi vo 10 Toỏn Vn Anh tt nht! Chuyên đề Toán 9: Hệ thức Vi ét số toán liên quan a/ Honh giao im ca d v P l nghim ca phng trỡnh: x2 = 3x + m2 x2 - 3x - m2 = (7) Xột 4m với m nờn phng trỡnh (7) cú hai nghim phõn bit vi mi m , chng t (d) ct (P) ti hai im phõn bit b/ Khi ú honh giao im ca (d) v (P) l nghim ca phng trỡnh (7) Gi hai nghim ú l x1 ,x2 , theo h thc Vi-ột ta cú: x1 x x1 x m Ta cú cỏc tung tng ng l: y1 = x12 ; y2 = x22 T y1 + y2 = 11y1y2 ta cú: x12 + x22 =11x12.x22 (x1 + x2) - 2x1x2 -11 (x1x2) = +2m2 - 11m4 = 11m4 - 2m2 - = m2 111m2 m2 m (tm) Vy vi m = l giỏ tr cn tỡm Bi toỏn : Cho hm s y x (P) a/ Gi A v B l hai im phõn bit thuc th cú honh l v -2 Vit phng trỡnh ng thng AB b/ ng thng y = x + m - (d) (d) ct (P) ti hai m phõn bit Gi x1 , x2 l honh hai giao im y Tỡm m x1 x2 20 x12 x2 Bi gii: 1 a/ A (P) , xA = y A 12 ; B (P) , xB = - y B 2 2 Vy A 1; ; B 2; Phng trỡnh ng thng AB l: 1 y y x x y x (AB ) 2 b/ Honh giao im ca (d) v (P ) l nghim ca phng trỡnh : x x m x 2x 2m (8) Do (d) ct (P) ti hai m phõn bit pt (8) cú hai nghim phõn bit > ' = - 2m > m (*) x1 x Gi hai nghim ú l x1 ,x2 , theo h thc vi-ột ta cú: x1 x 2m T x12 x2 20 x12 x 2 x1 x 2x1x x1 2x 2 20 Thay vo ta cú: 2m 2m 20 4m2 12m 16 2 >> Truy cp trang http://tuyensinh247.com/ ụn luyn thi vo 10 Toỏn Vn Anh tt nht! Chuyên đề Toán 9: Hệ thức Vi ét số toán liên quan m Gii phng trỡnh tỡm c kt hp vi iu kin (*) ta cú m = -1 tho m4 iu kin bi toỏn nờn vi m = -1 l giỏ tr cn tỡm Bi toỏn : Cho hm s y x (P) v im M (1; -2) a/ Vit phng trỡnh ng thng (d) i qua M v cú h s gúc m b/ Chng minh rng (d) luụn ct (P) ti hai im phõn bit vi mi m c/ Gi xA ; xB l honh ca A v B Tỡm m x A x B x A x B t giỏ tr nh nht Tỡm giỏ tr ny Bi gii: a/ ng thng cú h s gúc m cú dng : y = mx + b ng thng ú i qua im M (1; -2) nờn ta cú: -2 = m + b b = - m -2 Vy ng thng cn tỡm l: y = mx - m - (d) b/ Honh giao im ca (d) v (P ) l nghim ca phng trỡnh : x2 mx m x 2mx 2m (9) 2 Xột ' = m2 +2m + = m với m , ú (d) ct (P) ti hai m phõn bit vi m c/ Khi ú xA ,xB l nghim ca phng trỡnh (1) , theo h thc Vi-ột ta cú: x1 x 2m x1 x 2m T xA xB x A x B x A x B (x A x B ) 2m 2m 4m 8m 2m Vy Min ( x A x B x A x B ) = -4 2m + = hay m = -1 Kt lun: Vi m = -1 thỡ x A x B x A x B giỏ tr nh nht, giỏ tr ú bng -4 DNG 3: Lp phng trỡnh bc hai mt n * Phng phỏp: Bc 1: Tớnh tng hai nghim v tớch hai nghim Bc 2: Nu hai s cú tng S v tớch P thỡ hai s ú l hai nghim ca phng trỡnh: x2 -Sx + P = iu kin tn ti hai s ú l: S2 - 4P > Bi toỏn 10: Lp phng trỡnh bc hai bit hai nghim ca nú l: + c/ m v m -1 Bi gii : a/ Cú x1 = x2 = -6 Ta cú tng hai nghim l: x1 x2 a/ v - b/ Tớch hai nghim l: x1x2 >> Truy cp trang http://tuyensinh247.com/ ụn luyn thi vo 10 Toỏn Vn Anh tt nht! Chuyên đề Toán 9: Hệ thức Vi ét số toán liên quan Vy phng trỡnh cn lp l: x2 5x cú hai nghim x1 = v x2 = -6 Cỏc phn khỏc tng t Bi toỏn 11: Cho phng trỡnh x2 2x cú hai nghim x1 v x2 x x2 Hóy lp phng trỡnh bc hai bit hai nghim ca nú l: x2 x1 Bi gii : a/ Ta cú : ' = 1. nờn phng trỡnh cú hai nghim x1 v x2 Phng trỡnh cn lp cú: 2 x1 x x1 x 2x1x 14 Tng hai nghim l: x x1 x1 x 5 14 x x Tớch hai nghim l: Vy phng trỡnh cn lp l: y y x x1 * Lu ý : lp c phng trỡnh bc hai mt n cú hai nghim cho trc thỡ cũn cỏch khỏc na chng hn: phng trỡnh cú nghim x = a v x = b l ( x - a)( x - b) = x2 a b x ab (Vn dng phng trỡnh tớch ), xong lp phng trỡnh bc hai mt n s dng nh lớ vi-ột o a s hc sinh d hiu v dng tt hn DNG 4: Gii h phng trỡnh i xng loi I (H phng trỡnh i xng loi I l h phng trỡnh m thay i vai trũ hai n cho thỡ h phng trỡnh khụng thay i) x y 25 Bi toỏn 12 : Gii h phng trỡnh xy 12 Bi gii: x y 25 x y 2xy 25 x y 49 x y xy 12 xy 12 xy 12 xy 12 x y t * Nu thỡ x v y l nghim ca phng trỡnh t 7t 12 (tm) xy 12 t x y t * Nu thỡ x v y l nghim ca pt : t 7t 12 (tm) xy 12 t x x x x ; ; Vy hpt ó cho cú bn nghim l: ; y y y y x y 2xy 19 x y 3xy 35 Bi gii: 5S 2P 19 S t x + y = S v xy = P ta cú: S 3P 35 P 12 Bi toỏn 13 : Gii h phng trỡnh >> Truy cp trang http://tuyensinh247.com/ ụn luyn thi vo 10 Toỏn Vn Anh tt nht! Chuyên đề Toán 9: Hệ thức Vi ét số toán liên quan x y Thay vo n ph ta cú x v y l hai nghim ca phng trỡnh: xy 12 t (tm) t t 12 t x x Vy hpt ó cho cú hai nghim l: ; y y Bi toỏn 14: Cho h phng trỡnh x xy y m 2x xy 2y m a/ Gii h phng trỡnh vi m = b/ Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m h phng trỡnh cú nghim nht Bi gii: x y xy x xy y a/ Khi m = thay vo pt ta cú h: 2x xy 2y x y xy S P t x + y = S v xy = P ta cú: 2S P Cng v vi v sau ú chuyn v ta cú: S S 2P Gii phng trỡnh n S ta tỡm c: S x y +/ Nu S1 P1 = -3 vy ta cú: thỡ x v y l nghim ca phng trỡnh xy t (tm) t 2t t x y +/ Nu S P2 = vy ta cú: thỡ x v y l nghim ca phng trỡnh xy t 4t (phương trình vô nghiệm) x x ; Vy hpt ó cho cú nghim l: y y x y xy m x xy y m b/ Ta cú 2x xy 2y m x y xy m S P m t x + y = S v xy = P ta cú: 2S P m Cng v vi v sau ú chuyn v ta cú: S 2P 2m (10) h phng trỡnh cú nghim nht thỡ phng trỡnh (10) n S phi cú nghim nht( Do a , nờn nghim nht l nghim kộp) >> Truy cp trang http://tuyensinh247.com/ ụn luyn thi vo 10 Toỏn Vn Anh tt nht! Chuyên đề Toán 9: Hệ thức Vi ét số toán liên quan ' = Ta cú ' = + 2m = m ( tm) Vy vi m thỡ h phng trỡnh cú nghim nht * Kt lun : Phng phỏp chung gii cỏc h phng trỡnh trờn s dng nh lớ x y S Vi-ột o bng cỏch bin i h phng trỡnh v dng ú x v y l nghim xy P ca phng trỡnh t S t P hoc a v dng h phng trỡnh cú cha x y S v xy P , gii phng trỡnh hoc h phng trỡnh n S v P trờn v xỏc nh c nghim xca h phng trỡnh III- BI TON VN DNG Bi toỏn 1: Cho phng trỡnh x2 - 2(m + ) x + m + = a/ Gii phng trỡnh vi m = b/ Trong trng hp phng trỡnh cú nghim x1 ,x2 , hóy tỡm h thc liờn h gia x1 ,x2 khụng ph thuc vo m c/ Tỡm giỏ tr nh nht ca x12 x2 Bi toỏn 2: Cho phng trỡnh x2 + (2m - )x - m = a/ Chng minh rng phng trỡnh luụn cú nghim vi m b/ Gi x1 , x2 l hai nghim ca phng trỡnh Tỡm giỏ tr ca m A x12 x2 6x1x2 cú giỏ tr nh nht Bi toỏn : Cho hm s y x (P) v im M (1; -2) a/ Chng minh rng ng thng i qua M v cú h s gúc m luụn ct (P) ti hai im phõn bit A v B vi mi m b/ Gi xA ; xB l honh ca A v B Tỡm m x A x B 2x A x B x A x B t giỏ tr nh nht Tỡm giỏ tr ny Bi toỏn : Cho hm s y 2x2 6x m * vi m l tham s a/ Khi m = tỡm x y = b/ Tỡm m ng thng y = x + ct th hm s (*) ti hai im phõn bit Tỡm tung trung im ca on thng ni hai giao im ú Bi toỏn : Gii h phng trỡnh: x y xy x xy y a/ b/ 4 xy5 x y 17 x x y y 18 c/ x y y x 72 x y Bi toỏn 6: Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m h phng trỡnh cú nghim x y3 m x y xy m Bi toỏn 7: Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m h phng trỡnh vụ x y m nghim >> Truy cp trang http://tuyensinh247.com/ ụn luyn thi vo 10 Toỏn Vn Anh tt nht! 10