Casio cho người bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389) KÍNH LÚP TABLE Tập 6: Casio Cho người bắt đầu – Đoàn Trí Dũng –    ĐTDx     Trưởng Nhóm nghiên cứu phát triển Casio Việt Nam Casio cho người bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389) Kỹ thuật 1: Phá biểu thức Kỹ thuật 1.1: Kỹ thuật phá biểu thức biến: Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau: x2  x    x  1 x   Bình phương hai vế phương trình ta có: x2  x     x  1  x   2 Thay x = 100 vào hai vế:  4  x  x   102070609  100  2.100  7.100  600   x  x  x  x    x  1  x  1  1009899  100  100  100   x  x  x      Do đó: x2  x     x  1  x  1  x 2  2x3  x2  6x   x3  x2  x  Kỹ thuật 1.2: Kỹ thuật phá biểu thức biến: Cách 1: Sử dụng CALC: Ví dụ: Rút gọn biểu thức:  x  y  1 2x  y   Chú ý tách ta có x2  (Tính đầu cuối thôi, bản) hay x  1000, y  vào  x  y  1 2x  y    2x2  ta có: 100  x  y  1 2x  y  3  2x2   1010.0399  1000  10  0.04  0.0001    x  y  1 2x  y  3   2x     1000  1000   100 100 100  x  y  1 2x  y     2x    x  xy  y  y 2   x  xy  y  y 2 Cách 2: Giảm biến (An toàn hiệu quả):   Ví dụ: Rút gọn biểu thức: x2  y  y  Gán y  100 ta có: x  y2  y    x 2  9902   x4  19804x2  98049604 19804  y  y   Tự tách biểu thức:  98049604  y  y  y  y    Vậy x2  y  y      x4  y  y  x2  y  y  5y  y  Casio cho người bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389) Kỹ thuật 2: Chia đa thức không chứa Kỹ thuật 2.1: Chia đa thức biến: Ví dụ: Rút gọn biểu thức: x5  x4  x3  x2  23x  x  3x  x  x4  x3  x2  23x  Thay x = 100 vào biểu thức x5  x4  x3  x2  23x  ta được:  1009793  100  100  200  x  3x  x  x  x3  x2  23x   x  3x   x3  x2  2x  x  3x  Kỹ thuật 2.2: Chia đa thức biến: Ví dụ: Rút gọn biểu thức: x3  x2 y  xy2  y2  xy  x  y xy Cách 1: Sử dụng CALC: Thay x  1000, y  ta có kết quả: 100 x3  x2 y  xy  y  xy  3x  y  1000013.01 xy 1 3  x2  xy  y  100 100 Hay nói cách khác phân tích đa thức nhân tử ta kết  10002  1000  x3  2x2 y  xy  y  xy  3x  3y   x  y  x  xy  y   Cách 2: Sơ đồ Hoorne (Chậm mà chắc): x3  200 x2  10103x  10300 Gán y  100 ta được: x  100 Lập sơ đồ Hoorne: 200 10103 x 100 103 100 x3  200 x2  10103x  10300  x2  100 x  103 x  100 Hay x3  2x2 y  xy  y  xy  3x  3y   x  y  x  xy  y  10300 Vậy   Casio cho người bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389) Kỹ thuật 3: Khai Kỹ thuật 3.1: Khai biến không chứa căn: Rút gọn biểu thức: x4  6x3  11x2  6x  Gán x  100 ta có: x4  6x3  11x2  6x   10301  x  x  Kỹ thuật 3.2: Khai biến có chứa căn: Rút gọn biểu thức:  x4  2x2  x  x    x  x   1  x1 Gán x  ta có: x4  2x2  x  x  x   11.41421356  10  Gán x  ta có: x4  2x2 x   18.73205081  17    x   x    x   A  x   x   x      x   x  CALC 100 ta có: Vậy x4  2x2  x  x2  Xét x4  x2  x  x2    x4  x2  x  x2  x   x   10001  1002   x2  Kỹ thuật 3.3: Khai biến không chứa căn: Rút gọn biểu thức: Gán x  1000, y  x4  2x2 y  y  2x  2y  1 ta có: 100 x4  x2 y  y  2x2  y   1000001.01  1000    x2  y  100 Kỹ thuật 3.4: Khai biến chứa căn: Rút gọn biểu thức: Gán x  y  : Gán x  2, y  : x2   y   x    x  1 xy  x2   y   x    x  1 xy   3.414213562   x2   y   x    x  1 xy   4.732050808    x  y   xy    Chú ý rằng:  Do xét:  x  2, y   xy    x2   y   x    x  1 xy   xy  CALC x  1000, y  x2   y   x    x  1 xy   xy   1001  x  1 : 100 Casio cho người bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389) Kỹ thuật 4: Rút gọn biểu thức dãy số Rút gọn biểu thức: 1 2 100 Bấm máy tính: x  1 33 x    x  1 x x2     n  1 n  n n 1 1 1 10 100 n Kỹ thuật 5: Điều kiện phương trình lượng giác Ví dụ: Biết x   k  Kết hợp với điều kiện sin x  , tan x  Bấm TABLE với:  F  X   sin  X  tan  X   Chọn Start =   có x  3 + 1.9 (Để không lặp lại nghiệm ban đầu sau vòng 2 ) End = Step =  có k 3 Loại giá trị gây F  X   Như 3 2 5  k 2 , x   k 2 Do x  3 Chú ý hai nghiệm hợp 2  k thành x  có Casio cho người bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389) Kỹ thuật 6: Chia đa thức chứa Kỹ thuật 6.1: Chia đa thức biến căn: Xét   x3  x2  x2  x 1 1 CALC  Chú ý x = x x1 x     Do ta hiểu rằng:   x3  x2  x2  x 1 1 x x1 Trong A biểu thức chưa biết Xét  x 1 1 x x1   x  x  x2  Vậy  x3  x2  x2  2    x  CALC 100 10101 = x2  x  x 1 1 x x1  x  x  x2   A x1  x   x2  x    x    x  x  x2  x   x  Kỹ thuật 6.2: Chia đa thức biến chứa căn: Phân tích nhân tử: x2  y  x   x x2  y  Bước 1: Đặt y  100 , ta được: x2  99  2x  2x x2  100  Sử dụng công cụ SOLVE ta được: x  5.116450524 Bước 2: Sử dụng công cụ CALC thay giá trị x  5.116450524, y  100 vào thức ta được: x2  y  11.23290105 Chú ý rằng: 2x  10.23290105 Do ta có đánh giá: x2  y  x  Vậy biểu thức cần tìm là:  Xét phép chia  x2  y  x  x2  y  2x   2x x2  y   x2  y  2x  :  Casio cho người bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389) CALC x  1, y  ta kết    x2  y CALC x  0, y  ta kết    x2  y x2  y  x   x x2  y  Xét  x2  y  2x   x  y CALC x  1000, y  Vậy x2  y  2x   2x x2  y      3x  3x   x  x CALC kết 24.29150262  19   19  x   3x  3x   x    x   x2   x x 2 x3 3  2 x3 CALC kết 6.414213562     x  CALC kết 11.732050808  10   10  x  3x  3x   x  2   x   x2   x 2 x3  x x 2 x3 3 CALC 100 kết 10001  x2   Vậy:  x 2 x3 3 Xét  x   x2  CALC kết    x   Xét   x2  y  2x  1  x  y Kỹ thuật 6.3: Chia đa thức biến chứa nhiều căn: Chia đa thức: kết 100  3x  3x   x    x   x2   x  x2   x   x x 2 x3 3 Kỹ thuật 6.4: Chia đa thức biến chứa nhiều căn: Chia đa thức: x2  xy  x x  y  x y  xy  y x2  x  y  CALC x  y  ta kết    x  y  CALC x  2, y  ta kết    x  y  CALC x  2, y  ta kết    x  y Tìm quy luật: x  xy  x x  y  x y  xy  y x2  x  y  Ax xy Casio cho người bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389) Xét x  xy  x x  y  x y  xy  y x2  x  y x xy  CALC x  0, y  kết 2 y  CALC x  0, y  kết 3 y  CALC x  0, y  kết 5 y Vậy xét tiếp x  xy  x x  y  x y  xy  y CALC x  1000, y  x2  x  y kết 100  x xy  y   Do đó: x2  xy  x3 x  y  x2 y  xy  y2  x x  y  y x2  x  y Casio cho người bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389) Kỹ thuật 7: Quy tắc tìm liên hợp Trong phương trình, bất phương trình Kỹ thuật 7.1: Nghiệm hữu tỷ nguyên đơn: x2  x   F  x   x2  x   Start = 1, End = 7, Step = 0.5 Thấy nghiệm x = Nghiệm đơn qua mốc hàm đổi dấu Nguyên tắc xử lý:  Trục với số tương ứng nhận  Truy ngược dấu    ax  b x  x1   Sử dụng có nghiệm  ax  b Giải hệ    ax  b  x  x2  Ví dụ 1: Giải phương trình: x2   x   x      Cách 1:  x2       x  2 x     F  x   x6   3   x6 2  x6     0 x 1 1  23 x    2  x 1 1  Vì điều  23 x   kiện x  , chọn Start = 1, End = 5, Step = 0.5 Ta có MaxF(x)  0.087  Chọn MaxF(x) = F  x  Start = 1, End = 5, x 1 1 Step = 0.5 Ta có MaxF(x) = Casio cho người bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389)  1 Vậy ta lấy   3 x6     1   x  2 x     3           x  2 x         x  2 x     Cách 2:        lấy 2 x6 4  x6  x 6    1   Khi đó: x 1 1           1  x   1  2 x6 4    x 1   0 3 x 1 1 2 x6 4   x6 1 x 1     (Quá đủ nhé) x 1 1 x6 1   x6   23 x      a  b  sử dụng truy ngược a Vậy  Nếu x    sử dụng liên hợp x 1   a b  a b a   x 1 1  x 1 x 1   a  a  b  a Nếu a  b  sử dụng truy ngược Vậy x   nên ta sử dụng liên hợp truy ngược sau:  x6 2  x6 2  3 a b a b x   x   43 x  x2   x   x    x2   x   x          x  5x   x   x   x   x    x   2 x   x   x   1    x    x   x    (Quá đẹp trai!)    x    4x      x    x   x       x   4x     x6 2 3 3 Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 2x2  x   21x  17  x  x2  x2  x  2x2  x   21x  17  Casio cho người bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389)      x2  3x    x2  x   x    3x   21x  17         x2  x    x  1  x  3x   x  3x    x  3x   2 x2  x   x  x2  x   x   3x  1   21x  17     3x   21x  17  x2  3x   3x   21x  17 0   x  3x      x2  x   x  3x   21x  17  Kỹ thuật 7.2: Nghiệm hữu tỷ không nguyên đơn:    0    x   x  5x  3x  F  x    x   x  5x  3x Start = –1, End = 1, Step = 0.5 Thấy nghiệm x = Thấy hàm đổi dấu x từ 0.5 sang Chọn giá trị khoảng chẳng hạn 0,7 Ta quay lại Mode SHIFT SOLVE Tìm nghiệm x = 0.6 = Nghiệm đơn hàm có đổi dấu Nguyên tắc xử lý:  Trục với số tương ứng nhận  Truy ngược dấu    ax  b x  x1   Sử dụng có nghiệm  ax  b Giải hệ    ax  b  x  x2  11 Casio cho người bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389) Kỹ thuật 7.3: Nghiệm hữu tỷ nguyên kép: x2  x   2x   F  x   x2  x   2x  Start = 0.5, End = 7, Step = 0.5 Thấy nghiệm x = Nghiệm kép qua mốc hàm số quay dấu cũ ban đầu Nguyên tắc xử lý:    ax  b x  x0  Cách 1: Đặt  ax  b Giải hệ:   'a  x  x0  Cách 2: Sử dụng ghép đẳng thức Cách 3: Sử dụng AM – GM Cách 4: Chia đa thức máy tính Casio sau tìm liên hợp       Kỹ thuật 7.4: Nghiệm hữu tỷ không nguyên kép: 9x2  3x   6x   F  x   x  3x   x  Start = 0, End = 5, Step = 0.5 Có lẽ phương trình cho lại vô nghiệm sao? Thực tế nghiệm kép không nguyên TABLE không nhìn thấy (trừ ăn may) Với loại nghiệm nên kiểm tra SOLVE SOLVE x = x  nghiệm kép nếu:   d x  3x   x  1 0  dx x      d   d x  3x   x  0   dx x  3x   x  x   0.1  dx x   0.1     3          Casio cho người bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389)       d x  3x   x  1 0 dx x d x  3x   x   2.42  dx x   0.1 d x  3x   x   3.5  dx x   0.1 Nguyên tắc xử lý:    ax  b x  x0   Cách 1: Đặt  ax  b Giải hệ:   'a  x  x0   Cách 2: Sử dụng ghép đẳng thức  Cách 3: Sử dụng AM – GM  Cách 4: Chia đa thức máy tính Casio sau tìm liên hợp Chú ý: Có thể kiểm tra điều kiện bội cách sau: d f  x 0  xa  dx   d   d f x    x  a  0.1 dx f  x  x  a  0.1   dx              Kỹ thuật 7.5: Nghiệm vô tỷ: x3  x  x   F  x   x3  x  x  Start =  2, End = 7, Step = 0.5 Thấy có nghiệm x khoảng – 1.5 13 Casio cho người bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389) Chọn giá trị khoảng ví dụ 1.3 SHIFT SOLVE với x = 1.3 Thu x = 1.499238715 Nguyên tắc xử lý:  Tìm liên hệ thức với x  Chia đa thức máy  Liên hợp ngược Ví dụ: Giải bất phương trình sau: x4  x2 x1   x   x   x  x  5x   Dùng máy tính Casio dò nhân tử: x  x  , x  x  Xét phép chia đa thức chứa căn:  2x4  2x2 x  1   x   x   x3  x2  5x  x1  2x  x  x  x            CALC x  kết    x   CALC x  kết    x  Tìm quy luật:  x4  x2  x  1   x   x   x  x  5x    x1    A x x1 2x  x  x  x        x4  x2 x  1   x   x   x  x  5x  x1  2x  x  x  x   Xét      x x1 CALC 100 kết 10102  x2  x   2x4  2x2  x  1   x   x   x  x  5x    x1    x x   x2  x  2x  x  x  x   Vậy        Casio cho người bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389) Kỹ thuật 8: Các phương pháp nhân liên hợp Trong hệ phương trình Kỹ thuật 8.1: Ép tích liên hợp với căn: Ví dụ 1: Sử dụng phương pháp phân tích nhân tử giải phương trình hai biến sau: 2x2  5xy  y  x  3y   5y   Phân tích Bước 1: Đặt y  100 , ta được: 2x2  500x  20000  x  301  501  Sử dụng công cụ SOLVE ta được: x  200  2.100  y Bước 2: Sử dụng công cụ CALC thay giá trị x  200, y  100 vào thức ta được:  x  y   501    y   501  Do nhân tử cần tìm là:  x  3y   5y   Đến ý liên hợp ngược:  x  3y   5y    x  3y   5y   x  y   Do ta cần tách nhân tử  x  y  từ biểu thức x2  5xy  y Điều hoàn toàn không khó khăn bởi: 2x2  5xy  y   x  y  2x  y  Chú ý: Công đoạn phân tích nhân tử hai biến không chứa thực cách khác sau: Đặt y  100 , ta được: 2x2  500x  20000 Sử dụng máy tính cầm tay giải phương trình bậc ta thu nghiệm:  x1  200  2.100  y 100 y  2 Do ta viết lại sau:  x2  50  15 Casio cho người bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389) 2x2  5xy  y   x  y  2x  y  Bài giải Điều kiện xác định: x  3y   0,5y   Ta có: 2x2  5xy  y  x  3y   5y     x  y  2x  y        x  3y   5y    x  3y   5y   2x  y    x  3y   y     x  y   y    x  y   1  x  3y   5y  x  3y   Đến toán phân tích nhân tử thành công Ví dụ 2: Sử dụng phương pháp phân tích nhân tử giải phương trình hai biến sau: x  y   x3   x2  y  1   Phân tích Bước 1: Đặt y  100 , ta được: x  101  x3   101x2   Sử dụng công cụ SOLVE ta được: x  101  100   y  Bước 2: Sử dụng công cụ CALC thay giá trị x  101, y  100 vào thức ta được:  x   1015.036945    x  y  1   1015.036945  Do nhân tử cần tìm là:  x3   x2  y  1   Đến ý liên hợp ngược:  x3   x2  y  1    5y    x3   x2  y  1   x2  x  y  1 Tuy nhiên khác với Ví dụ 1, toán ta tách nhân tử x2  x  y  1 từ biểu thức  x  y  1 bên Chính ta cần Casio cho người bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389) nhân hai vế với x , điều hoàn toàn có sở điều kiện xác định toán x  Chú ý: Trong tập tương tự, nhóm biểu thức nhân thêm vào cần phải khẳng định nhóm biểu thức khác với giá trị x , y điều kiện xác định, không xuất nghiệm ngoại lai không mong muốn Bài giải Điều kiện xác định: x  1, x2  y  1  Ta có: x  y   x3   x2  y  1    x2  x  y  1  x2     x3   x2  y  1   x3   x2  y  1   x3   x2  y  1   x2   x3   x2  y  1      x3   x2  y  1    x3   x2  y  1    Đến toán phân tích nhân tử thành công Kỹ thuật 8.2: Ép tích liên hợp với đa thức hai biến: Ví dụ 3: Sử dụng phương pháp phân tích nhân tử giải phương trình hai biến sau: x2  y  2x   2x x2  y  Phân tích Bước 1: Đặt y  100 , ta được: x2  99  2x  2x x2  100  Sử dụng công cụ SOLVE ta được: x  5.116450524 Bước 2: Sử dụng công cụ CALC thay giá trị x  5.116450524, y  100 vào thức ta được: x2  y  11.23290105 Chú ý rằng: 2x  10.23290105 Do ta có đánh giá: x2  y  x  Vậy biểu thức cần tìm là: 17 Casio cho người bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389)   x2  y  x  Chú ý liên hợp ngược:    x2  y  2x  x  y  x   y  3x  x  Bài giải Điều kiện xác định: x  y  Ta có: x2  y  2x   2x x2  y     x2  y  2x   2x  2x  1  x  y  3x  x   x     x  y  2x  1 x2  y  x     x2  y  2x    x2  y  2x     x2  y  2x   2x   x2  y  2x   x2  y   Đến toán phân tích nhân tử thành công Ví dụ 4: Sử dụng phương pháp phân tích nhân tử giải phương trình hai biến sau: x  y   x  y  y   2xy  Phân tích Trong toán trước phân tích cách sử dụng SOLVE để truy tìm nhân tử liên hợp, ví dụ đề cập dạng toán phân tích nhân tử mà ý tưởng tác giả muốn sử dụng phương pháp đánh giá Tuy nhiên hóa giải cách phân tích nhân tử thông qua chức TABLE kết hợp SOLVE: Bước 1: Đặt y  100 , ta được: x  99  x  101 99  200x  Sử dụng công cụ SOLVE ta thu được: x  200  2.100  y Bước 2: Tuy nhiên điều cần kiểm chứng tính chất bội nghiệm Nghiệm hữu tỷ rơi vào trường hợp nghiệm bội, vậy: Sử dụng công cụ TABLE với: F  x   x  99  x  101 99  200x Lựa chọn START = 195, END = 205, STEP = để kiểm tra, ta nhận thấy rõ Casio cho người bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389) rang nghiệm x  200  y nghiệm bội kép Tất nhiên nghiệm thu thong qua cách sử dụng phương pháp đánh giá (Hầu toán bội kép đánh giá được) Tuy nhiên điểm yếu phương pháp đánh giá phải sử dụng đến yếu tố bất đẳng thức Trong chuyên đề “Ép tích” này, tập trung vào phương pháp phân tích nhân tử, để hóa giải toán trên, ta tìm nhân tử giống cách tìm nhân tử nghiệm kép cho phương trình vô tỷ biến Đặt ax  b  x  101 99 , để tìm giá trị a , b ta giải hệ phương trình:  ax  b  x  101 99  x  200  a     ax  b '  x  101 99 ' b  1    x  200  1  Nhân tử cần tìm  x   x  101 99  hay x   x  y  y  2        Tương tự ta tìm nhân tử thứ hai là: x  y  2 xy Chú ý: Việc tìm nhân tử thứ hai dễ dàng ta hiểu rằng, sau tạo nhân tử thứ nhất, tất phần lại tạo nhân tử thứ hai Chú ý liên hợp ngược:  x   x  y  y  x   x  y  y    x  y 2    x  y  2 xy x  y  2 xy   x  y   Để xây dựng nhân tử ta cần đến kỹ thuật đảo liên hợp ngược Bài giải Điều kiện xác định: xy  0, y  1, x  y         Ta có: x  y   x  y  y   2xy       1 x   x  y  y   x  y  2 xy  2 19 Casio cho người bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389)    x   x  y  y  x  y  2 xy  x  y  2 xy x  y  2 xy  2 1  x   x  y  y  x  y  2 xy   x  y   2  x   x  y  y  x  y  2 xy  x   x  y 1 y 1 x   x  y 1 y 1   x   x  y  y  x  y  2 xy  x   x  y  y    x   x  y  y  x  y  2 xy   x  y  y              x   x  y 1 y 1          x  1  y      2xy  x  y  y   Đến toán phân tích nhân tử thành công Chú ý:  Bản chất kỹ thuật tìm liên hợp với đa thức chứa hai biến kỹ thuật ép tích cho toán nhân tử biến biến bị tham số hóa “tạm thời”  Để giải tốt toán này, học sinh cần phải nắm vững kỹ thuật tìm nhân tử liên hợp gồm: o Tìm nhân tử trường hợp có nghiệm vô tỷ đơn o Tìm nhân tử trường hợp có nghiệm vô tỷ bội o Tìm nhân tử trường hợp có nghiệm hữu tỷ đơn o Tìm nhân tử trường hợp có nghiệm hữu tỷ bội o Tìm nhân tử trường hợp có đa nghiệm hữu tỷ Casio cho người bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389) Kỹ thuật 9: Ẩn phụ không hoàn toàn Kỹ thuật 9.1: Ẩn phụ không hoàn toàn giải phương trình vô tỷ:   Ví dụ: Giải phương trình sau: x2  Đặt x3  x   2x2  2x  ( 1) x3  x   t với t   t  x3  x  theo phương trình tổng quát ta tìm  phương trình cho có dạng sau :  t   x2  1 t  2x2  2x     x3  x  1  ( 2) Gán giá trị cho x  10 ( 2)   t  101t  223  1009  Tới ta tiến hành giải  với tham số  với ẩn t   101  4  223  1009     Xét hàm số f      101 101  4  223  1009   4  223  1009  Sử dụng TABLE tìm   ,  nguyên cho f     có giá trị hữu tỷ: Xét công cụ TABLE (mode 7) cho: F( X )  101  4X  223  1009X  Với giá trị:  START = 9  END =  STEP = Khi ta tìm giá trị X cho F(X) nhận giá trị hữu tỷ đồng thời X giá trị khác Dựa vào bảng giá trị TABLE trên, ta nhận thấy với X =  thì: F(X)  123  100  20   x2  2x  Vậy lựa chọn   thì:   x2  x  X 9 8 7 6 5 4 3 2 1 F(X) 587.4904… 525.0152… 462.8271… 401.0598… 339.9426… 279.9017… 221.8129… 167.7170… 123 101 115.5205… 156.7194… 209.4015… 266.8501… 326.5593… 387.4854… 449.1336… 511.2426… 573.6627… 21 Casio cho người bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389)   1  Do đó, ta lựa chọn:     123  x  x  f    123   Vậy với cách đặt ẩn phụ t   1 ta phương trình có     123  100  20   x2  x     x2  x  Vậy phương trình cho có dạng sau:        t   x  1 t   x  2x  3x        x  1   x  2x  3x     x  2x   t  x2  t  2x2  2x   x3  x   2 2 2      x2  2x  Khi đó, công thức nghiệm phương trình bậc 2, ta thu hai nghiệm sau :   x2   x2  2x  x2  x  t   2   x2   x2  2x  t   x1 2   Đến phương trình viết dạng nhân tử sau :  x2  x   t    t  x  1   2t  x  x   t  x  1          x2  x   x3  x  x   x3  x   Bài giải Điều kiên xác định x  x  1  x3  x   2x2  2x     x2  x   x3  x  x   x3  x     1    x     x3  x   x   x3  x     4      1 Vì  x     x3  x   0x  4  đó: Casio cho người bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389)    x3  x  x  x 1  x 1   x       x  1     x3  x   x2  2x    x      x   x  x   x3  x2  x       x2 x   x     Kỹ thuật 9.2: Ẩn phụ không hoàn toàn giải hệ phương trình vô tỷ:   y  x  y  x  y  3xy  Ví dụ : Giải hệ phương trình:   y   x2  y  y  x  (Trích đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Hưng Yên) Điều kiện: y  1 Ta có: 1  y  x2  y  x  y  3xy   x   y    x  y  1    x2  y  1  y  x2  y  x2  y  x  y  3xy  2  x2  y     x2  y  x  y    x  y   x2  y  x  y  Trường hợp 1: x2  y   x  y  x2  y   x  y  x  y  1   x2  y  x  y   x2  y  x  y   *  x2  y  x  y  , thay vào phương trình hai ta có:  y   y   3y     y 0 9 y  y   Trường hợp 2:   x2  x  (vô nghiệm) x2  y  x  y , kết hợp với phương trình hai ta có hệ:  1  x   y   2 x     2 1  x  2y  x  2y   y    1    ; Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm  x; y         Phân tích Việc tách nhân tử toán không đơn giản: 1  y  x2  y  x  y  3xy 23 Casio cho người bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389)    x2  y  x  y   x2  y  x  y   *  Để tách nhân tử thế, ta sử dụng kỹ thuật đặt ẩn phụ không hoàn toàn cho hai biến sau: Đặt t  x2  y , ta giả sử tồn số  cho: 1  y   x2  y  x  y  3xy      x2  y  1  y  x2  y   x2  y   x  y  3xy       t  1  y  t   x2  y   x  y  3xy   Phương trình bậc hai ẩn t , hai tham số x , y cần tìm hệ số  cho phương trình có biệt thức:     1  y   4  x2  y   x  y  3xy    đẳng thức theo giá trị x , y Để làm điều đó, ta gán giá trị sau: 9801 400000004 10302 , ta có:     100 10000 10000 25 Khi ta tìm giá trị  cho: Đặt x  100, y  9801 400000004 10302   10000 10000 25 có giá trị số hữu tỷ Để làm điều ta sử dụng công cụ quen thuộc TABLE: Xét công cụ TABLE (mode 7) cho: X F(X) 9 1798.9697… 9801 400000004X 10302X F( X )    8 598.9697… 10000 10000 25 7 1398.9697… Với giá trị: START = 9 , END = 9, 6 1198.9697… STEP = 5 998.9697… Khi ta tìm giá trị X cho F(X) nhận 4 798.9697… giá trị hữu tỷ đồng thời X khác 3 598.9697… Dựa vào bảng giá trị TABLE trên, ta 2 nhận thấy với X = thì: 398.9697… 1 198.9697…  2x  3y  F(X)  201.03  200   100 99 Vậy lựa chọn   thì: 100 201.03   2x  3y  401.0301… Khi phương trình có nghiệm: 601.0301…  Casio cho người bắt đầu – Đoàn Trí Dũng (0902.920.389)  y 1   y   2x  3y  t  t  2    y 1  y   2x  3y  t  t    2  Vậy t  x  y  t  x  y  801.0301… 1001.0301… 1201.0301… 1401.0301… 1601.0301… 1801.0301… Do phương trình viết lại thành:  t  x  y  t  x  y  1     x2  y  x  y   x2  y  x  y  25