ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THU HÀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN QUAN HỆ BIẾN PHÂN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG Hà Nội – Năm 2015 Mục lục Mở đầu Kiến thức sở 1.1 Kiến thức tôpô giải tích hàm 1.1.1 Không gian véctơ 1.1.2 Không gian tôpô 1.1.3 Không gian véctơ tôpô 1.1.4 Không gian metric 1.1.5 Không gian véctơ định chuẩn 1.2 Ánh xạ đa trị 1.2.1 Định nghĩa ánh xạ đa trị 1.2.2 Tính liên tục ánh xạ đa trị 1.2.3 Một số định lý tương giao ánh xạ đa trị điểm bất động Bài toán quan hệ biến phân 2.1 Phát biểu toán số ví dụ 2.2 Sự tồn nghiệm toán quan hệ biến phân 2.2.1 Định lý 2.2.2 Tiêu chuẩn dựa tương giao tập 2.2.3 Tiêu chuẩn dựa định lý điểm bất động compact 16 Sự tồn nghiệm toán quan hệ biến phân tính lồi 3.1 Nguyên lý giải hữu hạn 3.2 Ánh xạ tương giao đóng 3.2.1 Bài toán minimax 3.2.2 Bài toán điểm yên ngựa 3.2.3 Bài toán điểm bất động 3.2.4 Bài toán cân Nash 3.2.5 Bài toán cân chiến lược trội 6 10 11 12 12 15 17 17 21 21 22 28 32 32 33 34 34 35 35 36 Bài 4.1 4.2 4.3 toán quan hệ biến phân tính chất KKM Quan hệ KKM tổng quát Bài toán quan hệ biến phân tính chất KKM Ứng dụng vào số toán 4.3.1 Bài toán bao hàm thức biến phân 4.3.2 Bất đẳng thức Ky Fan minimax tổng quát với hàm C tựa lõm 4.3.3 Bất đẳng thức véctơ minimax Ky Fan véctơ tổng quát với C - P - tựa lõm 4.3.4 Trò chơi đa mục tiêu tổng quát trò chơi n - người không hợp tác tổng quát 4.4 Kết luận KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo 38 38 41 45 45 48 49 51 52 53 54 Mở đầu Để đưa chứng minh đơn giản chứng minh ban đầu phức tạp định lý điểm bất động Brower (1912), ba nhà toán học Balan Knaster, Kuratowski, Mazurkiewicz chứng minh kết quan trọng giao khác rỗng hữu hạn tập đóng không gian hữu hạn chiều (1929), kết sau gọi bổ đề KKM Năm 1961, Ky Fan mở rộng bổ đề không gian vô hạn chiều, kết gọi Nguyên lý ánh xạ KKM Vào năm 2008, GS Đinh Thế Lục sử dụng quan hệ KKM vào toán mới, toán "Quan hệ biến phân", nhằm nghiên cứu toán tổng quát theo nghĩa số lớp toán quen thuộc toán tối ưu tuyến tính, toán tối ưu phi tuyến, toán cân bằng, toán tựa cân bằng, toán bao hàm thức biến phân, toán bao hàm thức tựa biến phân, toán bất đẳng thức biến phân biến đổi toán Bài toán quan hệ biến phân phát biểu sau: Cho A, B, Y tập khác rỗng, S1 : A A, S2 : A B, T : A × B Y ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng R(a, b, y) quan hệ phần tử a ∈ A, b ∈ B , y ∈ Y Hãy tìm điểm a ∈ A cho (1) a điểm bất động ánh xạ S1 , tức a ∈ S1 (¯); ¯ ¯ a (2) Quan hệ R(¯, b, y) với b ∈ S2 (¯) y ∈ T (¯, b) a a a Mục đích luận văn trình bày tồn nghiệm toán quan hệ biến phân trường hợp toán có tính chất KKM tính lồi dựa theo báo [3] , [4] , [5] Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm bốn chương: Chương Kiến thức sở Chương giới thiệu sở lý thuyết cho ba chương sau, nhắc lại số kiến thức giải tích hàm, trình bày số khái niệm tính liên tục ánh xạ đa trị Chương Bài toán quan hệ biến phân Mục đích chương trình bày tồn nghiệm toán quan hệ biến phân dựa tính chất tương giao KKM định lí điểm bất động Chương Sự tồn nghiệm toán quan hệ biến phân tính lồi Mục đích chương trình bày tồn nghiệm toán quan hệ biến phân tính lồi Chương Sự tồn nghiệm toán quan hệ biến phân tính chất KKM Mục đích chương trình bày tồn nghiệm toán quan hệ biến phân tính chất KKM Luận văn cố gắng trình bày cách có hệ thống (với chứng minh chi tiết hơn) tồn nghiệm toán quan hệ biến phân đề cập báo [3] , [4] , [5] Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Tạ Duy Phượng - Viện Toán học, Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam, người thầy tận tình hướng dẫn hoàn thành công việc nghiên cứu này Tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2012 - 2014, lời cảm ơn sâu sắc Xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè động viên nhiều giúp hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả luận văn Nguyễn Thu Hà Chương Kiến thức sở Trong chương này, ta trình bày số kiến thức giải tích hàm khái niệm không gian metric, không gian tôpô, không gian véctơ tôpô, khái niệm ánh xạ đa trị, tính liên tục ánh xạ đa trị, (theo [1] [2]) cần thiết cho việc trình bày nội dung chương sau 1.1 1.1.1 Kiến thức tôpô giải tích hàm Không gian véctơ Định nghĩa 1.1.1 (Xem [1], trang 181) Ký hiệu R tập số thực Các phần tử R gọi số (hay đại lượng vô hướng) Một không gian véctơ V trường R tập hợp V không rỗng mà xác định hai phép cộng véctơ phép nhân với số định nghĩa cho tiên đề sau thỏa mãn: Phép cộng véctơ có tính chất kết hợp: Với u, v, w ∈ V : u + (v + w) = (u + v) + w; Phép cộng véctơ có tính chất giao hoán: Với v, w ∈ V : v + w = w + v; Phép cộng véctơ có phần tử trung hòa: Với v ∈ V, có phần tử ∈ V, gọi véctơ không: v + = v; Phép cộng véctơ có phần tử đối: Với v ∈ V, tồn w ∈ V : v + w = 0; Phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng véctơ: Với α ∈ R, v, w ∈ V : α(v + w) = αv + αw; 6 Phép nhân véctơ phân phối với phép cộng số: Với α, β ∈ R, v ∈ V : (α + β)v = αv + βv; Phép nhân số phân phối với phép nhân véctơ: Với α, β ∈ R; v ∈ V : α.(β.v) = (α.β)v; Phần tử đơn vị R có tính chất: Với v ∈ V : 1.v = v.1 = v Định nghĩa 1.1.2 (Xem [1], trang 256) Cho X không gian véctơ Tập C ⊆ X gọi tập lồi với x, y ∈ C với λ ∈ [0, 1] (1 − λ)x + λy ∈ C (nói cách khác, C chứa đoạn thẳng nối hai điểm thuộc nó) Định nghĩa 1.1.3 (Xem [1], trang 262) Cho X không gian véctơ, x1 , x2 , , xk ∈ k X số λ1 , λ2 , , λk thỏa mãn λj ≥ 0, j = 1, , k λj = Khi đó, j=1 k λj xj , gọi tổ hợp lồi véctơ x1 , x2 , , xk ∈ X x= j=1 Định nghĩa 1.1.4 (Xem [1], trang 262) Giả sử S ⊂ X Bao lồi S, kí hiệu convS tập hợp tổ hợp lồi điểm S Định nghĩa 1.1.5 Cho X không gian véctơ Một tập C ⊆ X gọi nón với λ ≥ 0, x ∈ C λx ∈ C Một nón gọi nón lồi đồng thời tập lồi Như vậy, tập C nón lồi có tính chất sau: (i) λC ∈ C với λ ≥ 0, (ii) C + C ⊆ C 1.1.2 Không gian tôpô Định nghĩa 1.1.6 (Xem [1], trang 372)(Không gian tôpô) Cho tập X = ∅ Một họ τ tập X gọi tôpô X thỏa mãn tính chất sau: (i) ∅, X ∈ τ ; (ii) Giao số hữu hạn phần tử thuộc τ thuộc τ ; (iii) Hợp số tùy ý phần tử thuộc τ thuộc τ Một tập X với tôpô τ X , gọi không gian tôpô (X, τ ) Định nghĩa 1.1.7 (Xem [1], trang 373) Cho hai tôpô τ1 τ2 Ta nói τ1 yếu τ2 (hay τ2 mạnh τ1 ) τ1 ⊂ τ2 , nghĩa tập mở tôpô τ1 tập mở τ2 Định nghĩa 1.1.8 (Xem [1], trang 376) Cho (X, τ ) không gian tôpô • Tập G ⊂ X gọi tập mở X G ∈ τ • Tập F ⊂ X gọi tập đóng X X\F ∈ τ Định nghĩa 1.1.9 (Xem [1], trang 375) Lân cận điểm x không gian tôpô X tập bao hàm tập mở chứa x Nói cách khác V lân cận x có tập mở G cho x ∈ G ⊂ V Định nghĩa 1.1.10 Một họ V = V : V lân cận điểm x ∈ X gọi sở lân cận điểm x với lân cận U điểm x, tồn lân cận V ∈ V cho x ∈ V ⊂ U Định nghĩa 1.1.11 (Xem [1], trang 376) Cho không gian tôpô (X, τ ), A tập X Đối với phần tử x ∈ X ta gọi: (i) x điểm A tồn lân cận x nằm A (ii) x điểm biên A lân cận x chứa điểm A điểm không thuộc A Định nghĩa 1.1.12 (Xem [1], trang 377) Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Ta gọi phần A hợp tất tập mở nằm A o Phần A tập mở lớn nằm A Nó ký hiệu A intA Định nghĩa 1.1.13 (Xem [1], trang 377) Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Ta gọi bao đóng A giao tất tập đóng chứa A ¯ Bao đóng A tập đóng nhỏ chứa A Nó ký hiệu A clA Định nghĩa 1.1.14 (Xem [1], trang 383) Cho X không gian tôpô M ⊂ X M tập compact phủ mở M chứa phủ hữu hạn Định nghĩa 1.1.15 (Xem [1], trang 377) Cho X , Y hai không gian tôpô Một ánh xạ f từ X vào Y gọi liên tục điểm x0 với lân cận V f (x0 ) tồn lân cận U x0 cho f (U ) ⊆ V Ánh xạ f gọi liên tục X liên tục điểm x ∈ X Định nghĩa 1.1.16 (Xem [1], trang 382) Không gian tôpô (X, τ ) gọi không gian Hausdorff (hay T2 − không gian) cặp điểm x khác y X tồn lân cận U x V y cho U ∩ V = ∅ Định nghĩa 1.1.17 Tập I khác rỗng gọi định hướng xác định quan hệ ” ≥ ” thỏa mãn tính chất sau: (i)) Với α, β, γ ∈ I cho: α ≥ β, β ≥ γ α ≥ γ; (ii) Nếu α ∈ I α ≥ α; (iii) Với α, β ∈ I tồn γ ∈ I cho: γ ≥ α, gamma ≥ β Khi ta nói tập I định hướng quan hệ ” ≥ ” kí hiệu (I, ≥) viết tắt I Định nghĩa 1.1.18 Cho I tập định hướng quan hệ ” ≥ ” Khi ánh xạ x xác định I nhận giá trị tập X gọi lưới (hay dãy suy rộng) X Ta viết xi = x(i) kí hiệu lưới (xα )α∈I Nếu miền giá trị lưới không gian tôpô X (xα )α∈I gọi lưới không gian tôpô Định nghĩa 1.1.19 Cho I tập định hướng quan hệ ” ≥ ” X không gian tôpô Khi lưới (xα )α∈I gọi hội tụ không gian tôpô đến điểm x tôpô τ với lân cận U x tồn α0 ∈ I cho với α ∈ I mà α ≥ α0 xα ∈ U Kí hiệu: lim xα = x hay xα → x α→∞ 1.1.3 Không gian véctơ tôpô Định nghĩa 1.1.20 (Xem [1], trang 387) Ta nói tôpô τ không gian véctơ X tương hợp với cấu trúc đại số, phép toán đại số X liên tục tôpô đó, tức là: x + y hàm liên tục hai biến x, y Cụ thể, với lân cận V điểm x + y có lân cận Ux x lân cận Uy y cho x ∈ Ux , y ∈ Uy x + y ∈ V αx hàm liên tục hai biến α, x Cụ thể, với lân cận V αx có số ε > lân cận U x cho α ∈ (α − ε, α + ε) α x ∈ V Một không gian véctơ X, có tôpô tương hợp với cấu trúc đại số gọi không gian véctơ tôpô (hay không gian tôpô tuyến tính) Ta định nghĩa quan hệ R sau: R (a, b) ϕ (a, b) ≤ γ Khi ϕ hàm tựa - lõm γ suy rộng b R KKM tổng quát (ii) Hàm tựa - lõm chuyển đổi chéo (diagonal transfer ) Hàm ϕ (a, b) : A × A → R gọi tựa lõm chuyển đổi chéo b A với tập hữu hạn {b1 , , bn } A tồn tương ứng {a1 , , an } A cho tập I ⊆ {1, , n} a ∈ conv {aj : j ∈ I} ta có minj∈I φ (a, bj ) ≤ φ (a, a) Ta định nghĩa quan hệ R sau: R (a, b) ϕ (a, b) ϕ (a, a) Khi ϕ tựa lõm chuyển đổi chéo b R KKM tổng quát Hệ 4.1.1 Cho X không gian véctơ tôpô lồi địa phương Khi toán (VR) có nghiệm điều kiện sau thỏa mãn: (i) A tập khác rỗng, compact; (ii) S1 (a) = A với a ∈ A; (iii) Ánh xạ đa trị S2 hàm nửa liên tục dưới; (iv) Quan hệ R quan hệ KKM tổng quát với điểm b ∈ A, R (·, b, ·) đóng với biến thứ biến thứ ba; (v) Với điểm b ∈ A, T (·, b) nửa liên tục theo biến thứ Chứng minh Giả sử U sở lân cận lồi điểm gốc không gian X Với U ∈ U xét toán quan hệ biến phân (V R)U với ánh xạ S2U (x) = (S2 (x) + U ) ∩ B Theo Bổ đề 2.2.1 Chương ta có PU (b) đóng Do đó, P (·) tương giao đóng Theo Định lí 4.1.1, (V R)U có nghiệm với U ∈ U Vì PR (b) đóng với b ∈ B, từ Bổ đề 2.2.2 Chương ta suy Q có giá trị nghịch ảnh mở, Q nửa liên tục Tương tự, ánh xạ S2U mở A × B nên ánh xạ đa trị S2U (x) ∩ Q (x) = (S2 (x) + U ) ∩ Q (x) nửa liên tục tôpô cảm sinh B Vì Q (a) ⊆ B với a ∈ A, S2U (x) ∩ Q (x) nửa liên tục tôpô X Bây ta xét tập AU = {x ∈ A : S2U (x) ∩ Q (x) = ∅} Vì (V R)U có nghiệm với U ∈ U nên AU = ∅ Ngoài ra, tính nửa liên tục S2U (x) ∩ Q (x) với tính compact A suy AU đóng Vì thế, AU giảm dần theo U, họ tập AU tập compact khác rỗng với U ∈ U có điểm chung, ký hiệu a Vậy a nghiệm toán (VR) 40 4.2 Bài toán quan hệ biến phân tính chất KKM Ở phần ta nghiên cứu tồn nghiệm toán quan hệ biến phân có tính chất KKM KKM suy rộng Trong phần ta nghiên cứu tồn nghiệm toán quan hệ biến phân tính chất KKM, theo [5] Định nghĩa 4.2.1 Cho E không gian véctơ tôpô Hausdorff , A tập khác rỗng E A gọi có tính chất điểm bất động ánh xạ liên tục f : A → A có điểm bất động Định nghĩa 4.2.2 Cho A, B tập khác rỗng không gian véctơ tôpô R (a, b) quan hệ phần tử a ∈ A, b ∈ B Với điểm b ∈ B , quan hệ R (., b) gọi biến phân đóng lưới {aα } hội tụ tới điểm a R (aα , b) với α quan hệ R (a, b) Tiếp theo nghiên cứu toán quan hệ biến phân tính chất KKM Định lý 4.2.1 Cho A tập khác rỗng compact không gian véctơ tôpô Hausdorff, A có tính chất điểm bất động R (a, b) quan hệ phần tử a ∈ A, b ∈ B Gỉa sử rằng: (i) Với điểm b ∈ A R (., b) đóng; (ii) Với tập hữu hạn {a1 , , an } A tồn ánh xạ liên tục ϕn : ∆n → A cho với λ = (λ1 , , λn ) ∈ ∆n tồn i ∈ J (λ) để R (ϕn (λ) , ) đúng, Ở ∆n = (λ1 , , λn ) ∈ Rn : n λi = 1, λi , J (λ) = {i ∈ {1, , n} : λi > 0} i=1 Khi tồn a∗ ∈ A cho R (a∗ , b) với b ∈ A Chứng minh Trước hết, với điểm b ∈ A ta ký hiệu: U (b) = {a ∈ A : R (a, b) không } Theo điều kiện (i) nên U (b) mở A Thật vậy, đặt W = A\U (b) Gỉa sử lưới {aα } ∈ W , {aα } hội tụ đến a Ta có R (aα , b) nên suy R (a, b) (vì R (·, b) biến phân / đóng) Từ suy a ∈ U (b) nên a ∈ W Vậy W tập đóng hay U (b) tập mở 41 Bây giờ, giả sử ngược lại, với a ∈ A tồn b ∈ A cho R (a, b) không Khi A = U (b), nghĩa {U (b)}b∈A phủ mở A b∈A Vì A khác rỗng, compact U (b) tập mở, nên tồn (b1 , , bn ) ⊂ A cho n A= U (bi ) i=1 Gọi {βi : i = 1, 2, , n} phân hoạch đơn vị họ phủ mở {U (bi ) : i = 1, 2, , n} A, tức {βi : i = 1, 2, , n} hàm liên tục thỏa mãn điều kiện sau đây: n ≤ βi (a) ≤ 1, βi (a) = 1; ∀a ∈ A, i = 1, 2, , n, i=1 a ∈ U (bi ) với i βi (a) = 0, R (a, bi ) / Theo điều kiện (ii), với {a1 , , an } ⊂ A có tồn ϕn : ∆n → A cho với λ = (λ1 , , λn ) ∈ ∆n tồn i ∈ J (λ) cho R (ϕn (λ) , ) Ở J (λ) = {i ∈ {1, , n} : λi > 0} Tiếp theo, ánh xạ ψ : A → A định nghĩa ψ (a) = ϕn (β1 (a) , , βn (a)) , ∀a ∈ A Vì A có tính chất điểm bất động, tồn a ∈ A cho a = ψ (a) = ϕn (β1 (a) , , βn (a)) Khi tồn i0 ∈ {i ∈ {1, , n} : βi (a) > 0} cho R (a, bi0 ) đúng, tức R (ψ (a) , bi0 ) Khi a ∈ U (bi0 ) tức βi0 (a) = / Điều mâu thuẫn với i0 ∈ J (β1 (a) , , βn (a)) , nghĩa βi0 (a) > Vậy điều giả sử sai Do tồn a∗ ∈ A cho R (a∗ , b) với b ∈ A Ta có định lý tồn nghiệm toán quan hệ biến phân tổng quát tính chất KKM Định lý 4.2.2 Cho A, B hai tập khác rỗng, compact không gian véctơ tôpô Hausdorff A có tính chất điểm bất động S1 : A A , S2 : A A, T : A×A A ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng R (a, b, y) quan hệ phần tử a ∈ A, b ∈ B y ∈ Y Giả sử rằng: (i) E := {a ∈ A : a ∈ S1 (a)} tập đóng; 42 −1 (ii) Với a ∈ A S2 (a) ⊂ S1 (a) S2 (b) tập mở A với b ∈ A; (iii) Với điểm b ∈ A, T (·, b) nửa liên tục dưới; (iv) Với điểm b ∈ A, R (·, b, ·) đóng; (v) Với tập hữu hạn {a1 , , an } A tồn ánh xạ liên tục ϕn : ∆n → A cho với λ = (λ1 , , λn ) ∈ ∆n tồn i ∈ J (λ) cho R (ϕn (λ) , , y) với y ∈ T (ϕn (λ) , ); Nếu ∈ S2 (ϕn (λ)) với i ∈ J (λ) ϕn (λ) ∈ S2 (ϕn (λ)), J (λ) = {i ∈ {1, , n} : λi > 0} Khi tồn a∗ ∈ A cho a∗ ∈ S1 (a∗ ) R (a∗ , b, y) với b ∈ S2 (a∗ ) y ∈ T (a∗ , b) Chứng minh Định nghĩa quan hệ biến phân ρ (a, b) phần tử a, b ∈ A bởi: ρ (a, b) b ∈ S2 (a) a ∈ S1 (a) R (a, b, y) ∀y ∈ T (a, b) / (I) Với điểm b ∈ A lưới {aα } hội tụ đến a mà ρ (aα , b) với α Ta có hai trường hợp: (1) Nếu b ∈ S2 (aα ) aα ∈ S2 (b) / / −1 −1 Từ giả thiết S2 (b) mở A với b ∈ A suy a ∈ S2 (b), tức / −1 b ∈ S2 (a) Vậy ρ (a, b) / (2) Nếu aα ∈ S1 (aα ) R (aα , b, y) ∀y ∈ T (aα , b) a ∈ S1 (a) theo điều kiện (i) Nếu tồn y ∈ T (a, b) cho R (a, b, y) không Từ giả thuyết T (·, b) nửa liên tục nên tồn yα ∈ T (aα , b) với yα → y Vì R (·, b, ·) đóng nên tập {(a, y) ∈ A × B : R (a, b, y) không } tập mở Do tồn α0 cho R (aα , b, yα ) không với α > α0 Điều mâu thuẫn với R (aα , b, y) với y ∈ T (aα , b) Vậy a ∈ S1 (a) R (a, b, y) với y ∈ T (aα , b) Vậy ρ (a, b) đúng, nghĩa ρ (·, b) đóng với điểm cố định b ∈ A (II) Theo điều kiện (v) với tập hữu hạn {a1 , , an } A, tồn ánh xạ liên tục ϕn : ∆n → A cho với λ ∈ ∆n , ∃i ∈ J (λ) cho R (ϕn (λ) , , y) với y ∈ T (ϕn (λ) , ) Vậy ta có hai trường hợp −1 (1) Nếu có i0 ∈ J (λ) cho ai0 ∈ S2 (ϕn (λ)) ,vậy ta có ϕn (λ) ∈ A\S2 (ai0 ) / Do ρ (ϕn (λ) , ai0 ) 43 (2) Nếu ∈ S2 (ϕn (λ)) với i ∈ J (λ), theo điều kiện (v) ta có ϕn (λ) ∈ S2 (ϕn (λ)) Theo điều kiện (ii) ta có S2 (φn (λ)) ⊂ S1 (φn (λ)) Vậy ϕn (λ) ∈ S1 (ϕn (λ)) với λ ∈ ∆n tồn i ∈ J (λ) cho R (ϕn (λ) , , y) với y ∈ T (ϕn (λ) , ) Suy ρ (ϕn (λ) , ai0 ) Như tập hữu hạn {a1 , , an } A, tồn ánh xạ đa trị ϕn : ∆n → A cho với λ = {λ1 , , λn } ∈ ∆n tồn i ∈ J (λ) cho ρ (ϕn (λ) , ) (III) Do đó, theo Định lý 4.1.1, tồn a∗ ∈ A cho ρ (a∗ , b) đúng, tức a∗ ∈ S1 (a∗ ) R (a∗ , b, y) với b ∈ S2 (a∗ ) y ∈ T (a∗ , b) Hệ 4.2.1 trường hợp đặc biệt Định lý 4.2.2 Hệ 4.2.1 Cho A tập khác rỗng, compact không gian véctơ tôpô Hausdorff A có tính chất điểm bất động Giả sử rằng: (i) E tập đóng; −1 (ii)Với a ∈ A S2 (a) ⊂ S1 (a) S2 (b) mở A với b ∈ A; (iii) Với điểm b ∈ A, R (·, b) đóng; (iv) Mỗi tập hữu hạn {a1 , , an } A tồn ánh xạ liên tục ϕn : ∆n → A cho λ = (λ1 , , λn ) ∈ ∆n tồn i ∈ J (λ) cho R (ϕn (λ) , ) đúng; Nếu ∈ S2 (ϕn (λ)) với i ∈ J (λ) ϕn (x) ∈ S2 (ϕn (λ)), J (λ) = {i ∈ {1, , n} : λi > 0} Khi tồn a∗ ∈ A cho a∗ ∈ S1 (a∗ ) R (a∗ , b) với b ∈ S2 (a∗ ) Tiếp theo ta nêu định lý KKM tổng quát Định nghĩa 4.2.3 Cho A tập khác rỗng, compact không gian véctơ tôpô Hausdorff Ánh xạ đa trị F : A A gọi ánh xạ KKM tổng quát tập hữu hạn {a1 , , an } ⊂ A tồn ánh xạ liên tục ϕn : ∆n → A cho với λ = (λ1 , , λn ) ∈ ∆n tồn i ∈ J (λ) cho ϕn (λ) ∈ F (ai ) Chú ý 4.2.1 Nếu ϕn (λ) = λ1 a1 + + λn an ánh xạ KKM ánh xạ KKM xét Chương Định lý 4.2.3 Cho A tập khác rỗng, compact không gian véctơ tôpô Hausdorff , ánh xạ đa trị F : A A ánh xạ KKM tổng quát có giá trị đóng A có tính chất điểm bất động Khi F (a) = ∅ a∈A 44 Chứng minh Áp dụng Định lý 4.2.1, R (a, b) a ∈ F (b) Tiếp theo định lý tổng quát tương giao Ky Fan Định lý 4.2.4 Cho A tập khác rỗng compact không gian véctơ tôpô Hausdorff , A có tính chất điểm bất động B ⊂ A × A thỏa mãn điều kiện sau: (i) Với b ∈ A, {a ∈ A : (a, b) ∈ B} tập mở A; (ii) Với tập hữu hạn {a1 , , an } A tồn ánh xạ liên tục ϕn : ∆n → A cho với λ = (λ1 , , λn ) ∈ ∆n tồn i ∈ J (λ) để (ϕn (λ) , ) ∈ B / ∗ ∈ A cho (a∗ , b) ∈ B với b ∈ A Khi ∃a / Chứng minh Định nghĩa quan hệ biến phân R (a, b) bởi: R (a, b) (a, b) ∈ B / Ta có từ điều kiện (i), với b ∈ A, tập {a ∈ A : (a, b) ∈ B} tập mở A nên với b ∈ A, tập {a ∈ A : (a, b) ∈ B} tập đóng A / Giả sử lưới {aα } ∈ A, {aα } hội tụ đến a Ta có R (aα , b) (aα , b) ∈ B mà tập {a ∈ A : (a, b) ∈ B} tập đóng / / / A nên (a, b) ∈ B suy R (a, b) Vậy R (·, b) đóng với b ∈ A Theo điều kiện (ii), với tập hữu hạn {a1 , , a2 } A tồn ánh xạ đa trị ϕn : ∆n → A cho với λ ∈ ∆n tồn i ∈ J (λ) để R (ϕn (λ) , ) Do theo Định lý 4.2.1 R (a∗ , b) với b ∈ A, nghĩa ∃a∗ ∈ A cho (a∗ , b) ∈ B với b ∈ A / 4.3 4.3.1 Ứng dụng vào số toán Bài toán bao hàm thức biến phân Cho A, B, Y tập không gian véctơ tôpô Hausdorff F : A × A×Y Z, G : A × A × Y Z , S1 : A A, S2 : A A, T : A × B Y ánh xạ đa trị Bài toán bao hàm thức biến phân (I) Tìm a∗ ∈ A cho a∗ ∈ S1 (a∗ ) ∈ F (a∗ , b, y) với b ∈ S2 (a∗ ) y ∈ T (a∗ , b) Bài toán bao hàm thức biến phân (II) Tìm a∗ ∈ A cho a∗ ∈ S1 (a∗ ) F (a∗ , b, y) ⊂ G (a∗ , b, y) với b ∈ S2 (a∗ ) y ∈ T (a∗ , b) 45 Bài toán bao hàm thức biến phân (III) Tìm a∗ ∈ A cho a∗ ∈ S1 (a∗ ) F (a∗ , b, y)∩G (a∗ , b, y) = ∅ với b ∈ S2 (a∗ ) y ∈ T (a∗ , b) Định lý 4.3.1 Cho A, B hai tập khác rỗng, compact không gian véctơ tôpô Hausdorff, A có tính chất điểm bất động Giả sử điều kiện (i) (iii) Định lý 4.2.2 và: (1) Với điểm b ∈ A, {(a, y) ∈ A × B : ∈ F (a, b, y)} đóng; (2) Với tập hữu hạn {a1 , , a2 } A, tồn ánh xạ liên tục ϕn : ∆n → A cho với λ = (λ1 , , λn ) ∈ ∆n tồn i ∈ J (λ) cho ∈ F (ϕn (λ) , , y) với y ∈ T (ϕn (λ) , ) ; Nếu ∈ S2 (ϕn (λ)) với i ∈ J (λ) ϕn (λ) ∈ S2 (ϕn (λ)) Khi toán bao hàm thức biến phân (I) có nghiệm tức tồn a∗ ∈ X cho a∗ ∈ S1 (a∗ ) ∈ F (a∗ , b, y) với b ∈ S2 (a∗ ) y ∈ T (a∗ , b) Chứng minh Áp dụng Định lý 4.2.2, quan hệ R (a, b, y) ∈ F (a, b, y) Hệ 4.3.1 Giả sử điều kiện (1) Định lý 4.3.1 thay điều kiện sau: (a) (a, y) → F (a, b, y) đóng Khi tồn a∗ ∈ A cho a∗ ∈ S1 (a∗ ) ∈ F (a∗ , b, y) với b ∈ S2 (a∗ ) y ∈ T (a∗ , b) Chứng minh Với điểm b ∈ A, lưới {(aα , yα )} {(a, y) ∈ A × Y : ∈ F (a, b, y)} hội tụ đến (a, y) ∈ F (aα , b, yα ) Từ giả thuyết (a, y) → F (a, b, y) đóng nên ∈ F (a, b, y) Vậy {(a, y) ∈ A × Y : ∈ F (a, b, y)} đóng Định lý 4.3.2 Cho A, B hai tập khác rỗng, compact không gian véctơ tôpô Hausdorff A có tính chất điểm bất động Giả sử điều kiện (i) - (iii) Định lý 4.2.2 và: (1) Với điểm b ∈ A, {(a, y) ∈ A × Y : F (a, b, y) ⊂ G (a, b, y)} đóng; (2) Với tập hữu hạn {a1 , , a2 } A tồn ánh xạ liên tục ϕn : ∆n → X cho với λ = (λ1 , , λn ) ∈ ∆n tồn i ∈ J (λ) để F (ϕn (λ) , , y) ⊂ G (ϕn (λ) , , y) với y ∈ T (ϕn (λ) , ); Nếu ∈ S2 (ϕn (λ)) với i ∈ J (λ) ϕn (λ) ∈ S2 (ϕn (λ)) 46 Khi toán bao hàm thức biến phân (II) có nghiệm, tức tồn a∗ ∈ A cho a∗ ∈ S1 (a∗ ) F (a∗ , b, y) ⊂ G (a∗ , b, y) với b ∈ S2 (a∗ ) y ∈ T (a∗ , b) Chứng minh Áp dụng Định lý 4.2.2, quan hệ R (a, b, y) F (a, b, y) ⊂ G (a, b, y) Hệ 4.3.2 Giả sử điều kiện (1) Định lý 4.3.2 thay điều kiện sau: (a) Ánh xạ (a, y) → F (a, b, y) nửa liên tục dưới, (a, y) → G(a, b, y) ánh xạ đóng Khi tồn a∗ ∈ A cho a∗ ∈ S1 (a∗ ) F (a∗ , b, y) ⊂ G(a∗ , b, y) với b ∈ S2 (a∗ ) y ∈ T (a∗ , b) Chứng minh Với điểm b ∈ A, lưới {(aα , yα )} {(a, y) ∈ A × Y : F (a, b, y) ∩ G (a, b, y)} hội tụ đến (a, y) F (aα , b, yα ) ⊂ G(aα , b, yα ) Với u ∈ F (a, b, y), (a, b) → F (a, b, y) nửa liên tục nên tồn uα ∈ F (aα , b, yα ) ⊂ G(aα , b, yα ) cho uα → u Vì (a, b) → G (a, b, y) đóng nên u ∈ G (a, b, y) Do F (a, b, y) ⊂ G (a, b, y) Vậy {(a, y) ∈ A × Y : F (a, b, y) ⊂ G (a, b, y)} tập đóng Định lý 4.3.3 Cho A, B hai tập khác rỗng, compact không gian véctơ tôpô Hausdorff A có tính chất điểm bất động Giả sử điều kiện (i) - (iii) Định lý 4.2.2 và: (1) Với điểm b ∈ A, {(a, y) ∈ A × Y : F (a, b, y) ∩ G (a, b, y) = ∅} tập đóng; (2) Với tập hữu hạn {a1 , , a2 } A tồn ánh xạ liên tục ϕn : ∆n → A cho với λ = (λ1 , , λn ) ∈ ∆n tồn i ∈ J (λ) để F (ϕn (λ) , , y)∩ G (ϕn (λ) , , y) = ∅ với y ∈ T (ϕn (λ) , ); Nếu ∈ S2 (ϕn (λ)) với i ∈ J (λ) ϕn (λ) ∈ S2 (ϕn (λ)) Khi toán bao hàm thức biến phân (III) có nghiệm, tức tồn a∗ ∈ A cho a∗ ∈ S1 (a∗ ) F (ϕn (λ) , , y) ∩ G (ϕn (λ) , , y) = ∅ với y ∈ S2 (a∗ ) z ∈ T (a∗ , b) Chứng minh Áp dụng Định lý 4.2.2, quan hệ R (a, b, y) F (a, b, y) ∩ G (a, b, y) = ∅ Hệ 4.3.3 Giả sử điều kiện (1) Định lý 4.3.3 thay điều kiện sau: (a) (a, y) → F (a, b, y) ∩ G (a, b, y) ánh xạ đóng 47 Khi tồn a∗ ∈ A cho a∗ ∈ S1 (a∗ ) F (a∗ , b, y) ∩ G (a∗ , b, y) = ∅ với b ∈ S2 (a∗ ) y ∈ T (a∗ , b) Chứng minh Với điểm b ∈ A, với lưới {(aα , yα )} {(a, y) ∈ A × B : F (a, b, y) ∩ G (a, b, y) = ∅} hội tụ đến (a, y) đó, (a, y) → F (a, b, y) ∩ G (a, b, y) tập đóng nên tồn uα ∈ F (aα , b, yα ) ∩ G(aα , b, yα ) cho uα → u ∈ F (a, b, y) ∩ G(a, b, y) Như {(a, y) ∈ A × Y : F (a, b, y) ∩ G (a, b, y) = ∅} tập đóng 4.3.2 Bất đẳng thức Ky Fan minimax tổng quát với hàm C - tựa lõm Định nghĩa 4.3.1 (Xem [5]) Cho X không gian tôpô A, Y ⊂ X Hàm f : X ×Y → R gọi C - tựa lõm A tập hữu hạn {a1 , , an } A tồn ánh xạ liên tục ϕn : ∆n → Y cho f (ϕn (λ) , ϕn (λ)) ≥ f (ϕn (λ) , xi ) i∈J(λ) với λ = (λ1 , , λn ) ∈ ∆n Dưới định lý tồn nghiệm bất đẳng thức Ky Fan tổng quát Định lý 4.3.4 Cho A tập khác rỗng, compact không gian véctơ tôpô Hausdorff A có tính chất điểm bất động S1 : A A, S2 : A A ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng, hàm f : A × A → R hàm nhận giá trị thực Giả sử điều kiện (i) - (iii) Hệ 4.2.1 (1) Với điểm b ∈ A, a → f (a, b) hàm nửa liên tục dưới; (2) Với a ∈ A, f (a, a) ≤ 0; (3) Với tập hữu hạn {a1 , , an } A tồn ánh xạ liên tục ϕn : ∆n → A cho với λ ∈ ∆n ta có f (ϕn (λ) , ϕn (λ)) ≥ f (ϕn (λ) , ) ; i∈J(λ) Nếu ∈ S2 (ϕn (λ)) với i ∈ J (λ) ϕn (λ) ∈ S2 (ϕn (λ)) Khi tồn a∗ ∈ S1 (a∗ ) cho f (a∗ , b) ≤ với b ∈ S2 (a∗ ) Chứng minh Định nghĩa quan hệ biến phân R (a, b) R (a, b) f (a, b) ≤ Theo giả thiết, với điểm b ∈ A, a → f (a, b) nửa liên tục dưới, nên R (·, b) đóng với điểm cố định b ∈ A Theo điều kiện (3), với tập hữu hạn {a1 , , an } A, tồn ánh xạ liên tục ϕn : ∆n → Y cho với λ ∈ ∆n tồn i ∈ J (λ) cho 48 f (ϕn (λ) , ϕn (λ)) ≥ f (ϕn (λ) , ) i∈J(λ) Với a ∈ A, f (a, a) ≤ nên tồn i ∈ J (λ) cho f (ϕn (λ) , ) ≤ 0, tức R (ϕn (λ) , ) Mọi điều kiện Hệ 4.2.1 thỏa mãn Do tồn a∗ ∈ S1 (a∗ ) cho R (a∗ , b) với b ∈ S2 (a∗ ) , hay tồn a∗ ∈ S1 (a∗ ) cho f (a∗ , b) ≤ với y ∈ S2 (x∗ ) Hệ 4.3.4 Cho A tập khác rỗng, compact không gian véctơ tôpô Hausdorff A có tính chất điểm bất động Hàm f : A × A → R thỏa mãn điều kiện sau đây: (i) Với điểm b ∈ A, a → f (a, b) hàm nửa liên tục dưới; (ii) Với điểm a ∈ A, b → f (a, b) C - tựa lõm A; (iii) Với điểm a ∈ A, f (a, a) ≤ 0; Khi tồn a∗ ∈ A cho f (a∗ , b) ≤ với b ∈ A 4.3.3 Bất đẳng thức véctơ minimax Ky Fan véctơ tổng quát với C - P tựa lõm Dưới tổng quát bất đẳng thức minimax Ky Fan véctơ với C- tựa lõm, từ ta thu bất đẳng thức minimax Ky Fan véctơ với C - P- tựa lõm Định nghĩa 4.3.2 Cho X không gian tôpô, Z không gian véctơ tôpô Hausdorff với nón P lồi, nhọn, đóng, khác rỗng, intP = ∅ A, Y ⊂ X Hàm f : X × Y → Z gọi C − P - tựa lõm A với tập hữu hạn {x1 , , xn } A, tồn ánh xạ liên tục ϕn : ∆n → Y, cho với λ = (λ1 , , λn ) ∈ ∆n , tồn i ∈ J (λ) để f (ϕn (λ) , ϕn (λ)) ∈ f (ϕn (λ) , xi ) + P Định nghĩa 4.3.3 Hàm giá trị véctơ f : X → Z gọi P - liên tục x0 ∈ X với lân cận mở V gốc Y tồn lân cận mở U x0 X cho với x ∈ U f (a) ∈ f (x0 ) + V + P Hàm f gọi P - liên tục X f P - liên tục điểm X Định lý 4.3.5 Cho A tập khác rỗng, compact không gian véctơ tôpô Hausdorff A có tính chất điểm bất động Cho f : A × A Y ánh xạ đa trị Giả sử điều kiện (i) - (iii) Hệ 4.2.1 49 (1) Với điểm b ∈ A, ánh xạ a → f (a, b) P - liên tục; (2) Với a ∈ A, f (a, a) ∈ intP ; / (3) Với tập hữu hạn {a1 , , an } A, tồn ánh xạ liên tục ϕn : ∆n → A cho với λ ∈ ∆n tồn i ∈ J (λ) cho f (ϕn (λ) , ϕn (λ)) ∈ f (ϕn (λ) , ) + P Nếu ∈ S2 (ϕn (λ)) với i ∈ J (λ) ϕn (λ) ∈ S2 (ϕn (λ)) Khi tồn a∗ ∈ S1 (a∗ ) cho f (a∗ , b) ∈ intP với y ∈ S2 (a∗ ) / Chứng minh Định nghĩa quan hệ biến phân R (a, b) bởi: R (a, b) f (a, b) ∈ intP / Với điểm b ∈ A, lưới {aα } A mà R (aα , b) aα → a Giả sử R (a, b) không đúng, f (a, b) ∈ intP Vậy tồn lân cận mở V điểm gốc Y cho f (a, b) + V ∈ intP Với điểm b ∈ A, ánh xạ a → f (a, b) P - liên tục, nên tồn lân cận mở U a A cho với a ∈ U ta có f (a , b) ∈ f (a, b) + V + P ⊂ intP + P ⊂ intP Từ suy tồn α0 cho f (aα , b) ∈ intP với α > α0 Điều mẫu thuẫn với giả thuyết R (aα , b) Vậy R (·, b) đóng b ∈ A Hơn nữa, theo điều kiện (3), với tập hữu hạn {a1 , , an } A tồn ánh xạ liên tục ϕn : ∆n → A cho với λ = {λ1 , , λn } ∈ ∆n , tồn i0 (λ) ∈ J (λ) cho f (ϕn (λ) , ϕn (λ)) ∈ f ϕn (λ) , ai0 (λ) + P Nếu tồn λ0 ∈ ∆n cho R (ϕn (λ0 ) , yi ) không với i ∈ J (λ0 ) f (ϕn (λ0 ) , ) ∈ intP Với i ∈ J (λ0 ) từ ta có: f (ϕn (λ0 ) , ϕn (λ0 )) ∈ f ϕn (λ0 ) , ai0 (λ0 ) + P ⊂ intP + P ⊂ intP Điều mâu thuẫn giả thiết f (a, a) ∈ intP với a ∈ A / Khi đó, với λ ∈ ∆n , tồn i (λ) ∈ J (λ) cho R ϕn (λ) , ai(λ) Từ theo Hệ 4.2.1, tồn a∗ ∈ S1 (a∗ ) cho R (a∗ , b) với y ∈ S2 (a∗ ) tức tồn a∗ ∈ S1 (a∗ ) cho f (a∗ , b) ∈ intP với b ∈ S2 (a∗ ) / 50 Hệ 4.3.5 Cho A tập khác rỗng, compact không gian véctơ tôpô Hausdorff A có tính chất điểm bất động Ánh xạ đa trị f : A A → Y thỏa mãn điều kiện sau: (1) Mỗi điểm a ∈ A, a → f (a, b) P - liên tục; (2) Mỗi điểm a ∈ A, b → f (a, b) C − P - tựa lõm; (3) Mỗi điểm a ∈ A, f (a, a) ∈ intP / Khi tồn a∗ ∈ A cho f (a∗ , b) ∈ intP với b ∈ A / 4.3.4 Trò chơi đa mục tiêu tổng quát trò chơi n - người không hợp tác tổng quát Xét trò chơi đa muc tiêu n người tổng quát Γ I, Ai , F i , Gi Giả sử rằng: (i) I = {1, , n} tập hợp người chơi; (ii) Với i ∈ I , Xi = ∅ tập chiến lược thiết lập người chơi thứ i; i i (iii) Với i ∈ I , F i = f1 , , fk : A = i∈I Ai → Rk véctơ hàm chi phí người chơi thứ i; (iv) Với i ∈ I , Gi : A−i = J∈I\{i} Aj → 2Ai ánh xạ chấp nhận người chơi thứ i Ký hiệu A−i = i∈I\{i} Aj → 2Ai , a−i = (a1 , , ai−1 , ai+1 , , an ) ∈ A−i , a = (ai , a−i ) ∈ A Phần tử a∗ = a∗ , a∗ ∈ A gọi điểm cân yếu Pareto - Nash i −1 i, G Γ I, Ai , F i với i ∈ I ta có: k a∗ ∈ Gi a∗ ; F i ui , a∗ − F i a∗ , a∗ ∈ intR+ , ∀ui ∈ Gi a∗ −i i −i / −i −i i Nếu k = 1, Γ I, Ai , F i , Gi trò chơi tổng quát có n người không hợp tác mục tiêu Định nghĩa ánh xạ U : A × A → Rk G : A → 2A bởi: n U (a, b) = F i (ai , y−i ) − F i (ai , a−i ) , i=1 G (a) = Gi (a−i ) i∈I Ta chứng minh a điểm cân yếu Pareto - Nash k Γ I, Ai , F i , Gi a ∈ G (a) U (a, b) ∈ intR+ với b ∈ G (a) / Khi ta có kết sau Định lý 4.3.6 Giả sử rằng: (i) Với i ∈ I , Ai tập khác rỗng, compact A có tính chất điểm bất động; 51 (ii) Với i ∈ I , {a ∈ A : ∈ Gi (a−i )} tập đóng, G−1 (bi ) tập mở với i bi ∈ Ai ; k (iii) Với điểm b ∈ A, a → U (a, b) R+ liên tục; (iv) Với tập hữu hạn {a1 , , an } A, tồn ánh xạ liên tục ϕn : ∆n → A cho, với λ ∈ ∆n tồn i ∈ J (λ) cho k U (ϕn (λ) , ϕn (λ)) ∈ U ϕn (λ) , + R+ Nếu ∈ G (ϕn (λ)) với i ∈ J (λ) ϕn (λ) ∈ G (ϕn (λ)) Khi tồn điểm cân yếu Pareto - Nash a∗ ∈ A Γ I, Ai , F i , Gi Chứng minh Áp dụng Hệ 4.3.4 Nếu k = 1, ta có Định lý 4.3.7 Giả sử rằng: (i) Với i ∈ I , Ai tập khác rỗng, compact A có tính chất điểm bất động; (ii) Với i ∈ I , {a ∈ A : ∈ Gi (a−i )} đóng, G−1 (bi ) mở với bi ∈ Ai ; i (iii) Với điểm b ∈ A, a → U (a, b) nửa liên tục dưới; (iv) Với tập hữu hạn {a1 , , a2 } A, tồn ánh xạ đa trị ϕn : ∆n → A cho, với λ ∈ ∆n tồn i ∈ J (λ) cho U (ϕn (λ) , ϕn (λ)) ≥ U ϕn (λ) , i∈J(λ) Nếu ∈ G (ϕn (λ)) với i ∈ J (λ) ϕn (λ) ∈ G (ϕn (λ)) Khi tồn điểm cân Nash a∗ ∈ A Γ I, Ai , F i , Gi Chứng minh Áp dụng Hệ 4.3.4 4.4 Kết luận Chương trình bày phương pháp để nghiên cứu toán quan hệ biến phân tính chất KKM Từ ta có định lý tồn nghiệm toán bao hàm thức biến phân, bất đẳng thức minimax Ky Fan véctơ tổng quát , trò chơi n người không hợp tác tổng quát trò chơi đa mục tiêu tổng quát 52 KẾT LUẬN Dựa báo [3]-[5] kiến thức giải tích hàm ánh xạ đa trị, luận văn trình bày tồn nghiệm toán quan hệ biến phân trường hợp toán có tính chất KKM tính lồi Chúng cố gắng chứng minh chi tiết định lý kết báo nêu Bài toán quan hệ biến phân nhiều kết phong phú nhiều câu hỏi mở chưa trình bày luận văn Vì vậy, theo chúng tôi, toán quan hệ biến phân đề tài nhiều điều thú vị khai thác 53 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa học Tự nhiên Công nghệ [B] Tài liệu Tiếng Anh [3] D T Luc (2008), An Abstract Problem in Variational Analysis, J Optim Theory Appl 138, 65 - 76 [4] D T Luc, Ebrahim Sarabi, Antoine Soubeyran (2010), Existence of solutions in variational relation problems without convexity, J Math Anal Appl 138, 544 - 555 [5] Y.J Pu, Z Yang (2012), Variational relation problem without the KKM property with applications, J Math Anal Appl 393, 256 - 264 54