SỐ 03 (11-2015) TẠP CHÍ NHÓM TOÁN Tạp chí định kỳ hàng tháng – Dành cho thành viên group Nhóm Toán Tổng hợp viết chuyên đề phục vụ cho kỳ thi THPT 2015-2016 Group Nhóm Toán Email : nhomtoan@yahoo.com | web : http://www.nhomtoan.com| MỤC LỤC • Đề kỳ • Phạm Anh Vũ-"Sự tương đương chứng minh bất đẳng thức." • Nguyễn Minh Tiến-"Hình chữ nhật dạng toán bản." • Hướng đến kỳ thi THPT 2015-2016 - Đề số - Hướng dẫn giải • Nguyễn Thành Hiển-"100 tính chất hình phẳng Oxy." ĐỀ RA KỲ NÀY (NT.01) Một hộ nông dân định trồng đậu cà diện tích 8hecta Nếu trồng đậu cần 20 công thu triệu đồng hecta, trồng cà cần 30 công thu triệu đồng hecta Hỏi cần trồng loại diện tích để thu nhiều tiền tổng số công không 180 ? (NT.02) Giải hệ phương trình √ √ − x + y − = x2 + y − 10x − 5y + 22 (x + y) (4y − 8y + 3) = (y − 1) (2x2 + 2y + 4xy − 2) (NT.03) Tìm m để phương trình √ − 2x − x2 = mx + có nghiệm (NT.04) Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông B có điểm I(6; −1) tâm đường tròn nội tiếp Đường tròn tâm I bán kính IB cắt AC E F cho EF = Biết điểm B có hoành độ nhỏ thuộc đường thẳng x + 5y + 11 = 0; điểm M (0; 6) thuộc đường thẳng AC Tìm toạ độ đỉnh A, B C (NT.05) Cho x, y, z ∈ [0; 1] Tìm giá trị lớn biểu thức P = x y z + + + xyz + yz + zx + xy Lưu ý : • Bài giải gõ Word Tex, trình bày rõ ràng gửi vào địa : nhomtoan@yahoo.com, inbox trực tiếp : https://www.facebook.com/HIEN.0905112810 • Cơ cấu giải thưởng công bố trao thưởng định kỳ số lần, số điểm tính số bạn hoàn thành, giải trọn vẹn tính điểm • Thời hạn nhận : trước ngày 25 hàng tháng NHÓM TOÁN | SỐ 03 (11-2015) 01 Sự tương đương chứng minh bất đẳng thức Phạm Anh Vũ Ngày 29 tháng năm 2015 Lý thuyết mở đầu Khi học mệnh đề biết rằng: P ⇔ Q P ⇔ P ∨ Q Vậy thiết nghĩ, đề chứng minh bất đẳng thức đúng, ta quy toán hoàn toàn tương đương, ta thử tìm cách chứng minh hai toán (mà ta gọi tên toán ban đầu toán tương đương ta thiết lập) đúng, hiển nhiên chứng minh toán ban đầu Ví dụ minh họa 2.1 Ví dụ Cho hai số thực a, b thỏa mãn (a + 1) (b + 1) (ab + 1) = Chứng minh rằng: 1 + ≥ ab + (a + 1) (b + 1) Giải 1 • Khi ab = ta có bất đẳng thức hiển nhiên do: + > = ab + (a + 1) (b + 1)  1 + a2   ≥  + b2 + ab + a2 (a + 1)2 + • Khi ab = 0, theo AM − GM thì: ⇒ 2 ≥ =  1+b + ab (a + 1) (b + 1)   ≥ (b + 1)  1  1 (1) + ≥  (a + 1)2 (b + 1)2 + ≥ + ab   (a + 1)2 (b + 1)2 + ab 1 ⇔ ⇔  (2)  a2 b2 ab + ≥  1 + ≥ 1+ + ab 1+ 1+ (a + 1) (b + 1) ab a b Nếu (1) ta có điều cần chứng minh Còn (2) đúng, cách đặt a = NHÓM TOÁN | SỐ 03 (11-2015) 02 1 + ≥ 1+ab (a + 1) (b + 1) 1 ,b = ta có: a b Đây bất đẳng thức cần chứng minh với số (a ; b ) Vậy bất đẳng thức cho với số thực (a; b) Đẳng thức xảy a = b = 2.2 Ví dụ Cho ba số thực dương x, y, z có tích Chứng minh rằng: x3 1 + + ≥ (y + z) y (z + x) z (x + y) IMO, 1995 Giải Ta thấy bất đẳng thức với ba số (x; y; z) với ba số 1 ; ; x y z Do ta có bất đẳng thức hoàn toàn tương đương là: Cho ba số thực dương x, y, z có tích Chứng minh rằng: y2 z2 x2 + + ≥ y+z z+x x+y Phần lại, ta chứng minh toán mới: Cho ba số thực dương x, y, z có tích Chứng minh rằng: P = 1 x2 y2 z2 + + + + + ≥ (∗) x2 (y + z) y (z + x) z (x + y) y + z z + x x + y x2 y2 z2 x+y+z + + ≥ y+z z+x x+y 1 x+y y+z z+x Do đó: P ≥ + + + + + x (y + z) y (z + x) z (x + y) 4 Theo AM − GM ta có:  1   + + ≥  x (y + z) y (z + x) z (x + y) (y + z) (z + x) (x + y)  x+y y+z z+x (y + z) (z + x) (x + y)   + + ≥ 4 4 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy − Schwarz ta có: ⇒P ≥ 4 (y + z) (z + x) (x + y) + (y + z) (z + x) (x + y) ≥ Vậy (∗) chứng minh Đẳng thức xảy x = y = z = Do vậy, bất đẳng thức ban đầu Và đẳng thức xảy x = y = z = 2.3 Ví dụ Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: NHÓM TOÁN | SỐ 03 (11-2015) 03 a b c + + ≥ 3a + b 3b + c 3c + a Giải Bằng cách thay số (a; b; c) số 1 ; ; a b c ta có toán tương đương với: c a b + + ≤ 3b + a 3c + b 3a + c b c b c a a + + + + + ≤ (∗∗) 3a + b 3b + c 3c + a 3b + a 3c + b 3a + c a b a2 + 6ab + b2 + ≤ Ta có (a − b) ≥ ⇒ ≤ ⇒ 3a + 10ab + 3b2 3a + b 3b + a Thiết lập hai bất đẳng thức tương tự cộng lại vế theo vế ta có bất đẳng thức (∗∗) chứng minh Vậy bất đẳng thức ban đầu chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c Nhận xét Bằng cách tương tự ta chứng minh bất đẳng thức sau: Cho a, b, c số thực dương, với số k > ta có: Vậy ta chứng minh: b c a + + ≤ ka + b kb + c kc + a k+1 Nhận xét Bất đẳng thức chứng minh cách trừ hạng tử cho (a + b + c)2 Hoặc quy đồng hai vế sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số thực dương sử dụng bất đẳng thức Cauchy − Schwarz kèm theo ý ab + bc + ca ≤ 2.4 Ví dụ Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: bc ca ab + + ≥ 2 +b 3b + c 3c + a 3a2 Dương Đức Lâm Giải Khi quen thuộc với phương pháp giải này, dễ dàng nhận thấy cần chứng ab ab minh bất đẳng thức đơn giản nhiều: + ≤ 2 3a + b 3b + a Quy đồng hai vế, bất đẳng thức tương đương với: (a − b)2 (3a2 − 2ab + 3b2 ) ≥ hiển nhiên Vậy bất đẳng thức ban đầu chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c 2.5 Ví dụ Cho ba số a, b, c thuộc đoạn [1; 3] thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ của: NHÓM TOÁN | SỐ 03 (11-2015) 04 P = a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 + 12abc + 72 − abc ab + bc + ca Trích Đề thi quốc gia chung năm 2015 Giải Ta có a ∈ [1; 3] nên ≤ − a ≤ Do ta nhận thấy số x = − a, y = − b, z = − c x, y, z ∈ [1; 3] thỏa mãn: x+y+z =6 Đặt f (a; b; c) = P Ta có 12abc = 2abc (a + b + c), đó: f (a; b; c) = ab + bc + ca + 72 − abc ab + bc + ca Mà ta thấy rằng: (4 − a) (4 − b) + (4 − b) (4 − c) + (4 − c) (4 − a) = ab + bc + ca nên: (4 − a) (4 − b) (4 − c) 72 − ab + bc + ca 144 + 16 (1) ⇒ f (a; b; c) + f (4 − a; − b; − c) = ab + bc + ca ⇒ f (4 − a; − b; − c) = ab + bc + ca + Đặt M = ab + bc + ca, ta tìm giá trị nhỏ M với a, b, c thỏa mãn hệ điều kiện ban đầu Không tính tổng quát, ta giả sử a ≥ b ≥ c Khi ta có ≥ a ≥ ≥ c ≥ • Nếu b ≥ ta có: ≥ a ≥ b ≥ ≥ c ≥    (a − 3) (b − 3) ≥  ab ≥ 3a + 3b − (b − 2) (c − 1) ≥ ⇒ bc ≥ b + 2c − ⇒ ab + bc + ca ≥ (a + b + c) − 13 = 11 ⇒   (c − 1) (a − 2) ≥ ca ≥ 2c + a − • Nếu b ≤ ta có: ≥ − c ≥ − b ≥ ≥ − a ≥ Do theo chứng minh thì: (4 − a) (4 − b) + (4 − b) (4 − c) + (4 − c) (4 − a) ≤ 11 ⇒ ab + bc + ca ≥ 11 Vậy ta có M ≥ 11∀ (a; b; c) Đẳng thức đạt (a; b; c) hoán vị (3; 2; 1) 320 Trở lại (1) ta có f (a; b; c) + f (4 − a; − b; − c) ≤ 11  160 160  f (a; b; c) ≤ 11 ⇒P ≤ ⇒ 160 11 f (4 − a; − b; − c) = f (x; y; z) ≤ 11 emphDo giá trị lớn P 2.6 160 đạt (a; b; c) hoán vị (3; 2; 1) 11 Ví dụ Cho x, y, z số thực thuộc khoảng (0; 1) thỏa mãn (1 − x) (1 − y) (1 − z) = xyz Chứng minh rằng: NHÓM TOÁN | SỐ 03 (11-2015) x2 + y y + z z + x4 15 + + ≥ y z x 05 Phân tích x y z = = = Ta dự đoán đẳng thức xảy x = y = z = Khi − x − y − z Từ ta có bất đẳng thức với (x; y; z) với (1 − x; − y; − z) Do ta tới lời giải Giải f (x; y; z) = f (x; y; z) + f (y; z; x) + f (z; x; y) tổng hoán vị đa thức Ta ký hiệu cyc ba biến số thực f (x; y; z)   x =1−x x , y , z ∈ (0; 1) y = − y thỏa mãn: Từ giả thiết, ta có số x y z = (1 − x ) (1 − y ) (1 − z )  z =1−z x2 + y 15 (1 − x)2 + (1 − y)4 Do ta chứng minh: + ≥ y 1−y cyc cyc 15 x2 (1 − y) + y (1 − x)2 x2 + (1 − x)3 ≥ + ⇔ y (1 − y) cyc ⇔ cyc ⇔ cyc x2 − 2xy + y −1 +3 y (1 − y) x (x − 1) + cyc ≥0⇔ cyc cyc x2 − 2xy + y +3 y (1 − y) (x − y)2 + y (1 − y) x (x − 1) ≥ cyc (2x − 1)2 ≥ cyc Bất đẳng thức x (1 − x) , y (1 − y) , z (1 − z) số dương Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy x = y = z = Kết luận Qua toàn viết này, hi vọng bạn đọc nắm bắt toàn tư tưởng chủ đạo phương pháp tương đương Chỉ bất đẳng thức AM −GM Cauchy−Schwarz, với phép biến đổi tương đương, xử lý phần toán bất đẳng thức đối xứng, hoán vị Để rèn luyện kĩ áp dụng phương pháp này, bạn thử sức với số tập sau: NHÓM TOÁN | SỐ 03 (11-2015) 06 4 Bài tập áp dụng Bài Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng: a a+b b+c c+a + + ≥2 c a b b a2 − bc b2 − ca c2 − ca + + ≤ 2a2 + ab + ac 2b + bc + ba 2c + ca + cb c bc ca a b c ab + + ≥ + + c (c + a) a (a + b) b (b + c) c+a a+b b+c 1 + 3+ 3 a b c a3 + b + c d (a + b + c) (ab + bc + ca) abc e + a + b + c + ≥ a+b b+c c+a + + c a b (a + 1) (b + 1) (c + 1) 1 a b c + + + + + ≥3 a b c b c a abc + Bài Cho số dương a, b, c có tích Chứng minh rằng: a + b a b c 1 + + ≥a+b+c+ + + b c a a b c 1 + + ≤ (1 + a) (1 + b) (1 + b) (1 + c) (1 + c) (1 + a) c x2 + y + z + ≥ d 3 (x + y + z) + 2 1 + + x y z 1 + + + ≥ (x + y + z) x y z Bài Cho số dương a, b, c có tích Tìm giá trị nhỏ của: P =√ 1 +√ +√ 3 1+a 1+b + c3 Bài Cho số dương a1 , a2 , · · · , an có tích Chứng minh rằng: a + a + · · · + an ≥ 2 + + ··· + a1 + a2 + an + Bài Cho số dương a, b, c có tổng Tìm giá trị lớn của: NHÓM TOÁN | SỐ 03 (11-2015) P = 07 a − bc b − ca c − ab + + a + bc b + ca c + ab Ta có y '   m  1 x   m  1 x  m Hàm số đồng biến  y '  0,  x   Với m  1  y  x  không thỏa mãn Với m  1 Hàm số đồng biến   m  1 m   m  1    m   '  1  3m  m   Vậy với m  hàm số đồng biến  a) Phương trình cho tương đương  2x  x  x x 16    24.2     x   2   x  1   Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  0; 1 b) Bất phương trình cho tương đương  log x  3    log x   log x      log x   16  x  256 Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S  16; 256 d x2     2ln x  dx Ta có I    2   x 1 x 1 1  2ln Vậy I  ln   Ta có AB   2; 2;   x   t x2 y2 z    hay  y   t  Phương trình đường thẳng AB : 1 1  z  t  Gọi I   t ;  t; t  giao điễm AB với  P    t   t  2t    t    1 5  I  ; ;   2 2  1 5 Vậy I   ;  ;  giao điễm AB với mặt phẳng  P   2 2 NHÓM TOÁN | SỐ 03 (11-2015) 18 a) Phương trình cho tương đương cos x   cos x  sin x  cos x  4sin x cos x    x   k sin x   loai    Vậy phương trình cho có nghiệm x   k  b) Gọi A : “trong đội bay có chiến đầu Mỹ”  A : “trong đối bay số chiến Mỹ chiến cơ” Ta có   C25 Trường hợp 1: Không có chiến Mỹ  có C15 C10 cách chọn Trường hợp 2: Có chiến Mỹ  có C15 C10 cách chọn Trường hợp 3: Có chiến Mỹ  có C15 C10 cách chọn 3 Trường hợp 3: Có chiến Mỹ  có C15 C10 cách chọn 3   A  C15 C10  C15 C10  C15 C10  C15 C10 3 C15 C10  C15 C10  C15 C10  C15 C10  PA  C25 3 C15 C10  C15 C10  C15 C10  C15 C10 689  PA    C25 1265 Ta có CH  BH  BC  a 13 SH  SC  CH  a 13 1  VSABCD  SA.S ABCD  a 13.9a  3a 13 3 Ta có d  A,  SBD    d  H ,  SBD   Kẻ HE  BD, HF  SE  BD  HE Ta có   BD   SHE   BD  HF  BD  SH Mà HF  SE  HF   SBD   HF  d  H ,  SBD   Ta có HE  AO  a Xét SHE : 1 15 a 390 a 390     HF   d  A,  SBD    2 2 15 10 HF HS HE 26a NHÓM TOÁN | SỐ 03 (11-2015) 19 Gọi A ' điễm đối xứng với A qua BD , M giao điễm AA ' với BD  A '  BC M trung điễm AA ' Qua D kẻ DI / / BF  I  CF  , E trung điễm BD  BFDI hình bình hành  E trung điễm FI Gọi N giao điễm BD với AI Do M trung điễm A A ' MN / / A ' I nên N trung điễm AI Xét tam giác FAI có EN đường trung bình nên EN / / FA , mà EN  BF  FA  BF Đường thẳng BF qua B  5;1 F  4;3 nên BF : x  y  11  Đường thẳng BD qua B  5;1 vuông góc với đường thẳng BF nên phương trình BD : x  y   Đường thẳng BF qua F  4;3 vuông góc với đường thẳng BF nên phương trình AF : x  y   Ta có A  AF   d  : x  y  18   A  8;5  Đường thẳng AA ' qua A  8;5  vuông góc với đường thẳng BD  AA ' : x  y  21  Ta có M  AA ' BD  M  9;3 , M trung điễm AA '  A ' 10;1 Đường thẳng BC qua B  5;1 A ' 10;1 nên phương trình đường thẳng BC : y  NHÓM TOÁN | SỐ 03 (11-2015) 20 Gọi x số Su-25 y số Su-34 Ta công x  y sở huy x  y kho xăng Theo giả thiết, x y phải thỏa mãn điều kiện  x  28  y  10 x  y  48 hay x  y  24 x  y  32 hay x  y  16 Tổng số tiền mua nguyên liệu T  x; y   x  13 y Bài toán trở thành: Tìm số x y thỏa mãn hệ bất phương trình 0  x  28 0  y  10  cho T  x; y   x  13 y có giá trị nhỏ   x  y  24  x  y  16  Ta có T  x; y  đạt giá trị nhỏ giá trị đạt đỉnh tứ giác ABCDE Tại A  28;10   T  326 Tại B  6;10   T  172 Tại C  8;8  T  160 Tại D  25;   T  175 Tại E  28;   T  196 Ta thấy T đạt giá trị nhỏ x  8, y  Vậy có Su-25 Su-34 Ta có P  a  2b    a  b  c  c  a  b  c  c  12 NHÓM TOÁN | SỐ 03 (11-2015) 21 Do a, b, c độ dài cạnh tam giác nên a  b  c  Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có a  2b  a   2b   2a  2b  1    a  b  c  c  a  b  c  c   a  b 2 4  a  b  c  c  1  8 27    2a  2b  2c  c  1 c  1  2a  2b    a  b  13 27  P   a  b   27 a  b a  b  c Đặt t  a  b  t   P  2t  1 t  t  t 1 27 27   t t   1          432   3 t  t  13     t  1   2 t    Vậy giá trị nhỏ P , dấu "  " xảy a  b  c  NHÓM TOÁN | SỐ 03 (11-2015) 22                        NHÓM TOÁN | SỐ 03 (11-2015) 23                                                                                                                                                    NHÓM TOÁN | SỐ 03 (11-2015) 24                                                                                                                                                                   NHÓM TOÁN | SỐ 03 (11-2015) 25                                                                                                                  NHÓM TOÁN | SỐ 03 (11-2015) 26                                                                                                                                                                                     NHÓM TOÁN | SỐ 03 (11-2015) 27                                                                                                                                                                                                                                                             NHÓM TOÁN | SỐ 03 (11-2015) 28                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              NHÓM TOÁN | SỐ 03 (11-2015) 29                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      NHÓM TOÁN | SỐ 03 (11-2015) 30                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       NHÓM TOÁN | SỐ 03 (11-2015) 01                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             