Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tổng hợp Bài Giải phương trình x  x    x    x tập số thực Lời giải Điều kiện: x  1  x  1 1  Ta có:  x    x  x  x     x x  x 1   Mặt khác:  1 x  1 1 x  1 1 x  1 1 x   x    x       x  2x   x    x  1    A, B  0; x     Đặt A    x    x ; B   x    x Phương trình cho tương đương với: x2  x   x   x    x   x2  x   A  x2  x    A x  1 x B    x   x    x  2x   x    x  1 x   1 1 x  A    x  1 1  0 Bx  B  x      1  1  1 x  Vì A, B  0; x  nên phương trình     x nghiệm 2  x2  x    phương trình ban đầu  Bài Giải phương trình Điều kiện:  x  x x   x x    x tập số thực Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có: 3x    x    x  1 3x    3x    x  1  x 2 Dấu đẳng thức xảy khi: 3x    3x  x   3  x  1  3  x  x  x  3x     x 3 1  x   x   3x   x  1  x    Vậy phương trình cho có nghiệm x   1 Bài Giải bất phương trình Điều kiện: x   x  x3  x    x  x    x tập số thực Lời giải   Bất phương trình cho tương đương với:  x  x  x   x  x3  x   x  x   x  x    x  x3  x  x   x2  x    x2  x  x3  x 2 i  Vì   x  x    0; x   nên từ phương trình  i  suy ra: x  x  x  x   x  x  x3  x  x  x  x   x  x  1     x   x  x  1  Từ đó, bất phương trình ban đầu trở thành   x   x  x  1   Vậy bất phương trình cho có hai nghiệm x  0; x   1  x 1  y   x3  y  Bài Giải hệ phương trình   x, y    1  x 1  y   x  y   Lời giải Điều kiện: x  y; x  y  Hệ phương trình cho viết lại thành: 1  xy  x3  y  x  y  1  xy    x  y   x3  y     3 1  xy    x  y   x  y    x  y  x  y  x  y 1 1  2  1  xy  x  y   x3  y  x  y    x  y  1  x  y  x  y  1  i  Lấy 1   theo vế ta có: 1  xy  x  y    x3  y  x  y   x3  y3  x  y   x  y Với   x  y  x  y   , suy  i   y   x vào phương trình thứ hai hệ, ta được: x  y  x   y  1  x 1   x    x  x  1    x   y  Đối chiếu với điều kiện ban đầu, hệ phương trình có nghiệm  x; y   1;   4 xy  x    x  y    14  Bài Giải hệ phương trình   x; y    2  x  y  2x    Lời giải Điều kiện:   x  y    Cách Phương trình thứ hai hệ tương đương với:  x  1   y   1   x  1  2  x      x  1  y     y     y   y    x  1    Do đó, áp dụng bất đẳng thức AM – GM, có:   x  y    2  x y    x   y    y  x  10 Nên từ phương trình suy ra: 14  xy  x    x  y    xy  x  y  x  10  xy  y  10  y  x  1  Mặt khác, ta lại có:  x  1  y    x   y    x  1 y  2    x  1 y   x   y    y  x  1   ii  i   y  x  1    x  2  Từ  i  ;  ii  suy hệ phương trình có nghiệm   x  y     y  1 x   y    Cách Phương trình thứ hai hệ tương đương với:  x  1   y   1   x  1  2  x      x  1  y     y     y   y    x  1    Khi hệ phương trình cho viết lại thành:  xy  x   4 xy  x    x  y  2    x  2     2x 2 y2 0    y  1 1  xy  y   x  y  12 x  y       Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    2; 1 