1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHÒNG - LÊ THỊ KIM THOA NGHIÊN CỨU PHẢN ỨNG CỦA DẦM DƢỚI TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG ĐỘNG Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Công trình Dân dụng & Công nghiệp Mã số: 60.58.02.08 LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC TS ĐOÀN VĂN DUẨN Hải Phòng, 2015 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU LỜI CAM ĐOAN DANH MỤC KÝ HIỆU DANH MỤC HÌNH VẼ 10 CHƢƠNG BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH 11 1.1 Đặc trƣng toán động lực học: 11 Lực 1.1.1 cản: 11 Đặc 1.1.2 trưng động hệ dao động tuyến tính: 13 Dao 1.2 động tuần hoàn - Dao động điều hòa: 13 Dao 1.2.1 động tuần hoàn: .14 Dao 1.2.2 động điều hòa: 14 Các 1.3 phƣơng pháp để xây dựng phƣơng trình chuyển động: 15 1.3.1 Phương pháp tĩnh động học: 15 1.3.2 Phương pháp lượng: .16 1.3.3 Phương pháp ứng dụng nguyên lý công ảo: 17 1.3.4 Phương trình Lagrange (phương trình Lagrange loại 2): 17 1.3.5 Phương pháp ứng dụng nguyên lý Hamilton: 18 1.4 Dao động hệ hữu hạn bậc tự do: 19 Dao 1.4.1 động tự do: .19 Dao 1.4.2 động cưỡng hệ hữu hạn bậc tự do: 23 Dao 1.4.3 động hệ chiu tải trọng điều hòa 27 Các 1.5 phƣơng pháp tính gần động lực học công trình: 27 Phương 1.5.1 pháp lượng (phương pháp Rayleigh): .28 Phương 1.5.2 pháp Bupnop - Galoockin: 29 1.5.3 Phương pháp Lagrange - Ritz: 29 1.5.4 Phương pháp thay khối lượng: 30 1.5.5 Phương pháp khối lượng tương đương: 30 Các 1.5.6 phương pháp số động lực học công trình: 30 Một số 1.6 nhận xét: .32 CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP NGUYÊN LÝ CỰC TRỊ GAUSS ĐỐI VỚI CÁC BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC CỦA DẦM 34 2.1 Nguyên lý cực trị Gauss (nguyên lý cƣỡng nhỏ 2.2 nhất): .34 Sử dụng PP nguyên lý cực trị Gauss để giải 2.2 toán học kết cấu: 35 Bài toán dầm chịu uốn tuý: 35 Bài toán dầm 2.2 phẳng: 37 Sử dụng PP nguyên lý cực trị Gauss để giải toán động lực học: .38 Bài 2.3 toán dầm chịu uốn túy: 38 2.3.1 Bài toán dầm phẳng: 39 2.3.2 Sử dụng phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss thiết lập phƣơng trình vi 2.4 phân dao động cho thẳng: 39 2.5 Các bƣớc thực tìm tần số dao dộng riêng dạng dao động riêng phƣơng pháp nguyên lí cực trị Gauss .40 2.6 Xác định tần số dao động riêng thông qua dạng dao động riêng: 44 2.7 Một số kết luận nhận xét: 45 CHƢƠNG TÍNH TOÁN DẦM CHỊU TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG ĐỘN động riêng - dạng dao động riêng dầm hữu G hạn bậc tự 47 do: 47 3.1 Ví dụ 1: Dầm đơn giản có hai bậc tự Bài .47 Ví dụ 2: Dầm đơn giản có ba toán bậc tự 50 Ví dụ 4: Dầm liên tục hai xác định tần số dao động riêng dạng dao động riêng : 3.1.1 Bài toán xác định tần số dao nhịp 54 Ví dụ 5: Dầm siêu tĩnh bậc có bậc tự 56 3.1.2 Bài toán xác định tần số dao động riêng dầm vô hạn bậc tự do: .58 Ví dụ 6: Dầm đơn giản 58 3.2 Tìm tần số dao động riêng từ dạng dao động riêng: 60 Ví dụ 7: Dầm đơn giản có hai bậc tự .60 Ví dụ 8: Dầm đơn giản có ba bậc tự 63 3.3 Bài toán dao động cƣỡng hệ hữu hạn bậc tự do: 68 Ví dụ 9: Dầm đơn giản 68 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ …74 TÀI LIỆU THAM KHẢO .75 LỜI CẢM ƠN Trước hết với tình cảm chân thành lòng biết ơn sâu sắc, xin gửi lời cảm ơn đến thầy, cô giáo Khoa Sau đại học, Khoa Xây dựng toàn thể thầy cô giáo trường Đại học Dân Lập Hải Phòng tận tình giúp đỡ trình học tập nghiên cứu để hoàn thành luận văn tốt nghiệp Đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Đoàn Văn Duẩn dành nhiều thời gian tâm huyết, trực tiếp hướng dẫn tận tình, bảo tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình thực nghiên cứu đề tài hoàn thành luận văn Do hạn chế kiến thức, thời gian, kinh nghiệm tài liệu tham khảo nên tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý, bảo thầy cô giáo để hoàn thiện trình nghiên cứu công tác sau Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ, sẻ chia, giúp đỡ đồng hành sống trình học tập, nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn! Tác giả luận văn Lê Thị Kim Thoa M Ở ĐẦU Trong thực tế, phần lớn công trình xây dựng chịu tác dụng tải trọng động (đặc biệt công trình quân sự).Việc tính toán thiết kế công trình nói chung (nhất công trình cao tầng) phải đảm bảo điều kiện bền, cứng, ổn định mà không phần quan trọng phải phân tích phản ứng công trình chịu nguyên nhân tác dụng động (gió bão, động đất ) Ví dụ nhƣ công trình biển thƣờng xuyên chịu tác động sóng gió, tải trọng gây nên kết cấu ứng suất thay đổi theo thời gian Việc nghiên cứu động lực học công trình nghiên cứu phản ứng công trình chịu tải trọng động Bài toán động lực học công trình xác định tần số dao động riêng, dạng dao động riêng, chuyển vị động, nội lực động công trình Từ đó, kiểm tra điều kiện bền, điều kiện cứng khả xảy cộng hƣởng, nghiên cứu biện pháp giảm chấn biện pháp tránh cộng hƣởng Ngoài ra, toán động lực học công trình sở cho việc nghiên cứu nhiều lĩnh vực chuyên sâu khác nhƣ: + Đánh giá chất lƣợng công trình phƣơng pháp động lực học (ngay công trình chịu tải trọng tĩnh) + Bài toán đánh giá tuổi thọ công trình + Bài toán đánh giá khả chịu mỏi công trình + Bài toán ổn định động lực học công trình Có nhiều phƣơng pháp giải toán động lực học công trình Trong luận văn này, tác giả sử dụng phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss để giải phƣơng pháp có ƣu điểm là: Tìm lời giải toán sở so sánh cách có điều kiện với lời giải toán khác nên cách nhìn toán đơn giản Đặc biệt, phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss tỏ thuận tiện giải toán động lực học vật rắn biến dạng nguyên lý đề cập đến động thái Mặt khác, tác giả luận văn tìm hiểu nguyên lý cực trị Gauss vận dụng nhƣ phƣơng pháp hoàn toàn việc tìm lời giải toán động lực học công trình điều cần thiết Mục đích nghiên cứu đề tài: - Tìm hiểu phƣơng pháp giải toán động lực học biết - Tìm hiểu sở lý luận, đặc điểm phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss - Ứng dụng phƣơng pháp cho toán động lực học công trình Giới hạn nghiên cứu: Áp dụng phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss để giải số toán động lực học công trình (bài toán đàn hồi tuyến tính, tải trọng tác động tải trọng điều hoà) Phƣơng pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu mặt lý thuyết - Sử dụng kiến thức lý thuyết phần mềm tin học để tính toán ví dụ LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng hƣớng dẫn khoa học TS Đoàn Văn Duẩn Các nội dung nghiên cứu, kết đề tài trung thực chƣa công bố dƣới hình thức trƣớc Những số liệu phục vụ cho việc phân tích luận văn đƣợc tác giả thu thập từ nguồn khác có ghi rõ phần tài liệu tham khảo Nếu phát có gian lận xin hoàn toàn chịu trách nhiệm nội dung luận văn Tác giả luận văn Lê Thị Kim Thoa DANH MỤC KÝ HIỆU Ký hiệu Đại lƣợng T Động П Thế E Môdun đàn hồi C(x) Phiếm hàm mở rộng G Môdun trƣợt 2G Độ cứng biến dạng J Mô men quán tính tiết diện EJ Độ cứng uốn tiết diện dầm M Mômen uốn N Lực dọc P Lực tập trung Q Lực cắt q Ngoại lực phân bố tác dụng lên dầm m Khối lƣợng chất điểm  Ứng suất tiếp  Ứng suất pháp  Biến dạng trƣợt  ( x) Độ võng dầm � Biến dạng vật liệu � Biến phân ri Véc tơ tọa độ � Đại lƣợng Ten xơ G Modun trƣợt � Biến dạng thể tích ᵡ Biến dạng uốn (độ cong đƣờng đàn hồi) �, λ Hệ số Lamé � Hệ số Poisson u Chuyển vị theo trục x Z Lƣợng cƣỡng D Độ cứng uốn D(1- �) Độ cứng xoắn trình bày mục (1.4.2.2) Trong đó, tần số dao động riêng dạng dao động riêng đƣợc xác định dựa vào nguyên lý cực trị Gauss với bƣớc thực nhƣ mục (2.6) (2.7) Ví dụ 9: Dầm đơn giản Cho dầm đàn hồi mang hai khối lƣợng tập trung ( Các điều kiện ràng buộc : g1 m1 = m = 1800kg ; m2 = 2m (bỏ qua khối y3( lƣợng dầm) Dầm có EJ = 150.106 Nm2, chiều dài l  = 12(m) 0; Tác dụng lên khối lƣợng m1 lực điều hoà có biên độ g2 y1( Hình 3.18 P=18KN, tần số vòng r=108 (s ) Hãy xác  định -1 y2 chuyển vị nội lực động dầm  0; g3 L ời giải:  * Xác định tần số riêng dạng dao động riêng:  Viết biểu thức đƣờng độ vòng cho đoạn dƣới dạng đa thức nhƣ sau:   a z sin t ; y   c z sin t y1  y3 i i  b z  j j sint ; n n     i      j       4 z z 0 69  g4  y2(z1)  y3(z0)  0; g5  y z1 2 y3 z z z  (3.3.2)  ; g6  y1(z1) 1  Chọn hệ so sánh giống dầm cho nhƣng liên kết Lƣợng cƣỡng đƣợc viết nhƣ sau: Z= 1/  2 1/ y1  EJ x   dz  1/  2   y3  y2    EJ x   dz  z     EJ x   dz  2F1qt y1(1/ 4't)2F2qt y2(1/ 2't)   k gk   z      z  k 1 (3.3.3)  Cho Z  , ta có hệ phƣơng trình: Z  ; ai  Z0; bj  Z0; cn  Z0 k (i   ; j   ; n   ; k  1 6) Sau tìm cực trị phím Z theo hệ số bj, ta thay: F1qt  m12 y1(1/ 4,y)  m2 y1(1/4,t) ; F2qt  m22 y2(1/ 2,t)  2m2 y2(1/ 2,t) vào phƣơng trình (3.3.3) (3.3.4) Giải hệ phƣơng trình tuyến tính (3.3.4), xác định đƣợc hệ số chƣa biết ai, bj, cn phân tử Lagrange k Từ kết tính toán ta có đƣợc, cho 6  , có kết nhƣ sau: 1  6mlEJ(272- 473)  5,613 EJ3 ml ml 1  6mlEJ(27  473)  17,102 EJ3 ml ml Thay giá trị ai, bj, cn tìm đƣợc vào (3.3.1) ta có: khối lƣợng m1 dao động với 70  -108EJ   biên độ khối lƣợng m2 dao động với biên độ 1 24EJ - m l2  23  T    Vecto tần số dao động riêng: 38,98 (s-  a 1, 891 m ) 118,7 6  + Dạ ng chu ẩn đƣ ợc xác địn h:      Ma trận dạng chính:  1,099  0,455    ch Chuẩn hoá dạng dao động riêng theo (1.4.1.5): + Tính hệ số a1: a1 = 1 M1   1,099 m T 0 1 1   2m    1,099 =  3,4156 m  a1 1,8481 m a   M2 = T 1  0,455  m   1 0 2m  0,455 1,41405m   =  ,5411    2,ch  11  0,8946 1  Ma trận dạng chuẩn: 0,8409  ch  0,5 411   0,3826   , m  71 * Xác định tải trọng khai triển theo dạng riêng : Dựa vào ( 1.4.2.3), ta có: P1=1T,ch PM1,ch = 0,5411 0,5946  P m  0,5411  0,707 P m 0  0 2m 0,5946 m P2=T,chPM2,ch 0,644        = 0,5411 0,5946  Pm  0,8409  = 0,707 P m 0 0 2m  0,3826 0,644       Vậy Pkh= 0,293 0,707 P  0,64  0,644    m    Tải trọng khai triển theo dạng riêng đƣợc thể hình (3.19) Hình 3.19 * Xác định chuyển vị động hệ: Các phần tử ma trận hệ số ảnh hƣởng động học đƣợc tính theo (1.17): t Kai (t) = sin r.sin sin (t  )d  s in i i (3.66) rt2 i i  r Thay giá trị i r vào (3.66) nhận đƣợc ma trận hệ số ảnh hƣởng động học nhƣ sau: Kai (t) =  9,8575105 sin rt 40,9846    72 Chuyển vị hệ đƣợc tính theo (1.18): Y(t)=M PkhKai(t) = m    -1   0,293 0,707    0,644   0,644   P  9,8575105 sin rt 40,9846      = 26,0879 mP.105 sin rt 8,453 sin rt (mm)      16,3712  5,304  * Xác định lực đàn hồi: Theo (1.20) ta có: Ki(t) = i sin r.sin i (t  )d   i2sin rt ( 3.67) t i  r2 Thay giá trị  i r vào ( 3.67) nhận đƣợc ma trận: Ki(t) =   14,98 10 2 sin rt 578,04    Lực đàn hồi đƣợc tính theo (1.21):  Pđ = PkhKi(t) = 0,293  0,64 0,707  14,98 2  0,644   10 P 578,04   sin rt =   3,819 P sin rt  4,043  * Xác định nội lực động:    Từ biểu đồ hình ( 3.20), MA P = đặt lần lƣợt A B gây là: MA,1 = 31/16 MA,2 = 1/16 Mômen uốn A:    MA(t) = 31  4,043 P sin rt  16 16  3,819     = 112,185 sin rt (KNm) Hình 3.20 73 Mômen uốn B: MB(t) =   4,043 P sin rt  16 16  3,819    31   = - 100,089 sin rt ( KNm) Biểu đồ mônmen động nhƣ hình (3.21) Hình 3.21 74 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ * Kết luận: 1) Nguyên lý cực trị Gauss đƣợc K.F.Gauss phát biểu cho hệ chất điểm Dựa nguyên lý này, GS.TSKH Hà Huy Cƣơng đề xuất phƣơng pháp giải toán học vật rắn biến dạng Khi sử dụng phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss vào toán động lực học, giải đƣợc vấn đề quan trọng toán dao động, tìm tần số riêng dạng dao động riêng 2) Các phƣơng pháp biết lại xuất phát từ nguyên lý lƣợng Còn phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss thoát khỏi nguyên lý lƣợng 3) Tác giả xây dựng đƣợc bƣớc tiến hành để xác định tần số dao động riêng dạng dao động riêng hệ dao động 4) Bằng việc tìm hiểu áp dụng tính toán cho toán cụ thể hệ dầm, có số bậc tự vô hạn bậc tự có liên kết khác nhau, tác giả chứng tỏ đƣợc đắn hiệu phƣơng pháp Các kết nhận đƣợc phù hợp với kết có giải phƣơng pháp khác 5) Phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss xây dựng đƣa lời giải cho toán động nhƣ toán tĩnh, có cách nhìn đơn giản tỏ có hiệu toán động lực học * Kiến nghị: 1) Có thể sử dụng phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss nhƣ phƣơng pháp giảng dạy học tập, nghiên cứu 2) Phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss mở hƣớng thực nghiệm, thay thí nghiệm cấu kiện (hệ cho) tiến hành thí nghiệm cấu kiện khác (hệ so sánh) Việc cực tiểu hoá lƣợng cƣỡng cho phép đến kết thí nghiệm cấu kiện phải xét 75 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Đình Ba, Nguyễn Văn Hội, Giáo trình động lực học công trình, Học viện kỹ thuật quân sự, Hà Nội, 1994 [2] Hà Huy Cƣơng, Phƣơng pháp nguyên lý cực Gauss, Tạp chí Khoa học kỹ thuật, IV/2005 Tr 112-118 [3] Ninh Quang Hải, Cơ học lý thuyếtNhà xuất Xây dựng, Hà Nội, 1999 [4] Trần Thị Kim Huế, Phƣơng pháp nguyên lí cực trị Gauss toán học kết cấu, Luận văn thạc sĩ kỹ thuật, Hà Nội, 2005 [5] Nguyên Văn Khang, Dao động kỹ thuật, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 1998 [6] Nguyễn Xuân Hùng, Động lực học công trình biển, Nhà xuất khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 1999 [7] Vũ Đình Lai, Nguyễn Xuân Lựu, Bùi Đình Nghi, Sức bền vật Nhà xuất Giao thông vận tải, Hà Nội, 2002 [8] Nguyễn Văn Liên, Đinh Trọng Bằng, Nguyễn Phƣơng Thành, Sức bền vật liệu, Nhà xuất Xây dựng, Hà Nội, 2003 [9] Nguyên Văn Liên, Nguyễn Phƣơng Thành, xử lý động để xác định dao động công trình, Tạp chí Xây dựng, 11/2001 Tr 48 - 56 [10] Nguyễn Văn Phƣợng, Động lực học công trình, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật [11] Hoàng Nhƣ Sáu, Tính toán kết cấu xây dựng phƣơng pháp sai phân hữu hạn, biến phân hỗn hợp sai phân hữu hạn biến phân, Nhà xuất Xây dựng, Hà Nội, 1982 76 [12] Nguyễn Phƣơng Thành, Nghiên cứu trạng thái ứng suất biến dạng nhiều lớp chịu tải trọng động có xét lực ma sát mặt tiếp xúc, Luận án tiến sĩ khoa học, Hà Nội, 2002 [13] Nguyễn Phƣơng Thành, Nghiên cứu phản ứng động nhiều lớp có xét lực ma sát mặt tiếp xúc, Tạp chí Khoa học Công nghệ, Trung tâm Khoa học tự nhiên Công nghệ Quốc gia, Tập XXXI - 2001 - 2, Tr 48 - 56 [14] Lều Thọ Trình, Cơ học kết cấu, Tập I - Hệ tĩnh định, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 2003 [15] Lều Thọ Trình, Cơ học kết cấu, Tập II- Hệ siêu tĩnh, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 2003 [16] Lều Thọ Trình, Ổn định động lực học công trình, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật [17] Nguyễn Văn Vƣợng, Lý thuyết đàn hồi ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội, 1999 [18] Bath K.J, Numerical methods in finite elements analysis, Prentice Hall, INC, Englewood Cliffs, New Jersey, 1976 [19] William T.Thomson, Theory of Vibratỉon with Applications, Stanley Thornes [20] Ray W.Clough, Joseph Penzien, Dynamics of structures [21] Ha Huy Cuong, Nguyen Phuong Thanh, Application du principe d' obligation minimale dans la résolution des problèmes de la mécanique des fluỉds, Structures and Interactions, Nha Trang, Vietnam August 14 - 18 2000, p 693 - 702