kỳ thi olympic khu vực duyên hải đồng bắc đề thức - Lần thứ - Năm học: 2007 - 2008 đề thi môn toán lớp 11 (Thời gian: 180 phút Không kể thời gian giao đề) Bài 1: Giải hệ phơng trình sau: log3 x + log y + y +1 x ( log3 y 1) + = + ( log3 x 1) +1 = Bài 2: Cho số thực dơng x, y, z thỏa mãn: thức: A = yz zx xy + + = Tìm giá trị lớn biểu x y z 1 + + x y z Bài 3: Cho K tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC B1, C1 theo thứ tự trung điểm AC AB Đờng thẳng C1K cắt đờng thẳng AC B2, đờng thẳng B1K cắt đờng thẳng AB C2 Giả sử diện tích tam giác ABC diện tích tam giác AB2C2 Tính góc BAC Bài 4: Tồn hay không hàm số: f : Ă Ă , f ( x ) không đồng 0, thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: f ( xy + x + y + 1) = yf ( x + 1) + xf ( y + 1) + f ( x + 1) + f ( y + 1) , x, y Ă i) ( ) ( ) 2008 f y 2008 , x, y R ii) f ( x y ) = f x Bài 5: Cho tập hợp S gồm 2008 phần tử Giả sử S 1, S2, , S50 l 50 tập S thỏa mãn điều kiện sau: i) Si = 100 i = 1;50 (kí hiệu Si l số phần tử Si) 50 ii) US i =S i =1 Chứng minh rằng: tồn hai tập Si, Sj (với i j) m Si S j Hết -Giám thị 1: Giám thị 2: Họ tên thí sinh: SBD: Đáp án biểu điểm toán lớp 11 y log3 x + ( log3 x 1) + = + Bài 1: Giải hệ pt : log y + ( log y 1) + = x + 3 Đặt log3 x - = a , log3 y - = b Đk: x> 0, y>0 1đ a + a + = 3b Ta có a + a + + 3a = b + b + + 3b a b + b + = Xét: (*) f (t ) = t + t + + 3t t f (t ) = + + 3t ln > (do t + t 0) t +1 1đ Vậy từ (* ) suyra: a = b, đó: a + a + = 3a a + a + = a 3a a 2a = (1) ln g (a) = 3a a 2a g '(a) = 3a ln + a > 0, suy (1) a = Vậy : log3 x - = x = y = 2đ Hệ phơng trình có nghiệm: x = y = Bài 2: yz zx xy ,b = ,c = Ta có a, b, c > a + b + c = Ta có: x y z 1 bc ca ab A= + + = 3+ + + Dễ có: bc ca ab bc ca ab Đặt a = ( b + c) ( b + c) b2 c2 = + ữ b2 + c 2 b2 + a + c + a 2 b + a c + a ca c2 a2 ab a2 b2 + + tơng tự có: ữ ữ ca c + b a + b ab a + c b + c từ đó: A + = Dấu xảy x = y = z =1/3 2 bc bc 1đ Bài 3: Đặt BC=a, CA=b, AB =c, AB2= x; AC2=y Phân giác BK cắt cạnh AC D Ta có : KB c a a+c = = = >1 KD AD CD b bc Suy : AD = D nằm A B2 a+c áp dụng định lý menelaus vào tam giác ABD đờng thẳng B2KC1, ta có : bc B2 D C1 A KB bc = suy x a + c a + c suy x = (1) =1 B2 A C1 B KD a+cb x b bc Tơng tự có : y = (2) a+bc Từ giả thiết: diện tich tam giác ABC = diện tích tam giác AB2C2 suy xy = bc (3) 2đ 1đ 1đ 1đ 1đ Từ (1), (2) (3) ta đợc a2 = b2+c2-bc (4) Ta có : a2 = b2+c2-2bc.cosA (5) Vậy (4) & (5) suy : cosA = Bài 4: hay góc BAC = 600 1đ i) f ( xy + x + y + 1) = yf ( x + 1) + xf ( y + 1) + f ( x + 1) + f ( y + 1) x, y Ă f ( xy ) = xf ( y ) + yf ( x ) cho x = y = f ( ) = ( ( 1) x, y Ă ) ii) Cho y = f ( x ) = f x 2008 Xét (1) : cho x = y f x 1đ = xf ( x ) ( ) = n.x Ta cm f x n ( ) n ( 2) f ( x ) (*) quy nạp n =1 có (*) ( ) = kx Giả sử (*) tới n = k tức f x ( 1đ k k f ( x) ) = ( k + 1) x f ( x ) x Ă Thật từ (1) suy f ( x ) = x f ( x ) + xf ( x ) Phải cm f x k +1 k k +1 k 2đ k = x k f ( x ) + kx k f ( x ) = ( k + 1) x k f ( x ) ( ) = n.x f ( x ) x Ă f ( x ) = 2008 x f ( x ) Vậy f x n n 2008 x Ă 2007 Từ (2) (3) suy f ( x ) = 2008.x f ( x ) x Ă suy Vậy không tồn hàm số thoả mãn yêu cầu 2007 ( 3) f ( x) Bài 5: +) Gi S = { a1;a ; ;a 2008 } 1đ Vi mi i = 1;2008 gi ki l s ca S cha a i s cp ca S cha a i l: 2008 v s cp ca S (k c lp) cú giao khỏc rng l: i =1 k i ( k i 1) k i ( k i 1) +) Gi s rng Si S j vi mi i, j v i j thỡ s cp giao khỏc rng (khụng k lp) 2008 k i ( k i 1) khụng nh hn i =1 ki 1đ 2008 ki ữ ữ 2008 k i ( k i 1) 2008 2008 i =1 2500.374 = ki ki ữ 5000 ữ = Ta cú: ữ 2 i =1 251 i =1 i =1 2008 ữ ữ 2008 k i ( k i 1) 2500.374 > 1241 i =1 ki 3.251 (1) +) Mt khỏc s cp ca S l: C50 = 1225 (2) So sỏnh (1) v (2) suy mõu thun v dn n iu phi chng minh 2đ