Đang tải... (xem toàn văn)
Nguyễn Minh Tiến – maths287 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm M(− − 2; 2) thuộc cạnh AB và điểm N thuộc đường thẳng AD sao cho đường thẳng CM là phân giác của góc BMN , phương trình đường thẳng (CN x y ) : 3 4 11 0 + − = . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết đỉnh B thuộc đường thẳng (d x y ) : 4 3 8 0 − − = và đỉnh C có tung độ âm. Nguyễn Minh Tiến – maths287 Ý tưởng và nhận xét: Chìa khóa của bài toán là MCN = 450 Định hướng lời giải: • Chứng minh MCN = 450 • Viết phương trình (CM) : ... Tọa độ C CM CN C = ∩ → ( ) ( ) (...) • Tham số điểm B d (?)∈( ) Ta có MB CB B ⊥ → (...)
Nguyễn Minh Tiến – maths287 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm M ( −2; −2 ) thuộc cạnh AB điểm N thuộc đường thẳng AD cho đường thẳng CM phân giác góc BMN , phương trình đường thẳng ( CN ) : x + y − 11 = Xác định tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết đỉnh B thuộc đường thẳng ( d ) : x − y − = đỉnh C có tung độ âm Nguyễn Minh Tiến – maths287 Ý tưởng nhận xét: Chìa khóa toán MCN = 450 Định hướng lời giải: • Chứng minh MCN = 450 • Viết phương trình (CM ) : Tọa độ C = (CM ) ∩ (CN ) → C ( ) • Tham số điểm B(?) ∈ (d) Ta có MB ⊥ CB → B( ) • E B đối xứng qua (CM ) → E • Viết phương trình ( MN ) : → N = (CN ) ∩ ( MN ) → N ( ) • Viết phương trình (CD) : ( AD) : → D = ( AD) ∩ (CD) → D ( ) Lời giải Hạ OE ⊥ MN ( E ∈ MN ) Dễ thấy ∆CBM = ∆CEM (c.h − g.n) → CE = CB → CE = CD → ∆CDN = ∆CEN (c.h − c.g.v) → DCN = ECN Mà BCM = ECM → MCN = ECM + ECN = 1 DCE + BCE = 450 2 Giả sử n = (a; b) vecto pháp tuyến đường thẳng (CM ) → cos MCN = 3a + 4b a2 + b2 = a = 7b ↔ a2 − 48 ab − b2 = ↔ b = −7 a Khi a = b chọn n = (7;1) → (CM ) : x + y + 16 = Nguyễn Minh Tiến – maths287 7 x + y − 16 = 53 29 Tọa độ C = (CM ) ∩ (CN ) → C : → C ; → loại 25 25 3x + y − 11 = Khi b = −7 a chọn n = (1; −7 ) → (CM ) : x − y − 12 = x − y − 12 = x = Tọa độ C = (CM ) ∩ (CN ) → C : ↔ → C (5; −1) 3 x + y − 11 = y = −1 Lấy điểm B(3a + 2; a) ∈ (d) Ta có AB ⊥ BC → MB.CB = a = −1 → (3a − 3)(3a + 4) + (4 a + 1)(4 a + 2) = ↔ 25a2 + 15a − 10 = ↔ a = / Do B nằm khác phía so với (CN ) so với (CM ) → a = −1 → B (−1; −4) Tọa độ E( x; y) đối xứng với điểm B qua đường (CM ) nghiệm hệ x−1 y−4 1 − − 12 = x − y + = ↔ → E− ; 5 (7 )( x + 1) + (1)( y + 4) = 7 x + y + 11 = Phương trình ( MN ) qua M E → ( MN ) : 11x − y + 18 = 11x − y + 18 = 7 Tọa độ N = ( MN ) ∩ (CN ) → N : → N −1; 3 x + y − 11 = 2 Phương trình ( BC ) qua B C → ( BC ) : x − y − = Phương trình (CD) qua C vuông góc ( BC ) → (CD) : x + y − = Phương trình ( AD) qua N vuông góc (CD) → ( AD) : x − y + = x − y + = x = Tọa độ D = ( AD) ∩ (CD) → D : ↔ → D (2; 5) 2 x + y − = y = Có ABCD hình vuông → AB = DC → A (−4; 2) Kết luận: Bài toán có nghiệm A (−4; 2) , B(−1; −4) , C (5; −1) , D (2; 5) Bài tập tương tự 01: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có đỉnh D ( 2; ) Đường thẳng ( d ) : x + y − = cắt cạnh BC AB I E cho EDI = 45o Xác định tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết đỉnh B thuộc đường thẳng ( ∆ ) : x + y = Nguyễn Minh Tiến – maths287 Bài tập tương tự 02: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD cạnh AB lấy điểm E ( 1; ) , điểm F thuộc cạnh BC cho AED = DEF Đường thẳng DF có phương trình ( DF ) : x − y − 10 = Xác định tọa độ đỉnh hình vuông biết đỉnh A thuộc trục Ox đỉnh D có tung độ âm Bài tập tương tự 03: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm E thuộc cạnh BC , phân giác góc BAE cắt cạnh BC điểm F ( 2; ) Đường thẳng qua F vuông góc với AE cắt cạnh CD điểm K , phương trình đường thẳng ( AK ) : x − y − 23 = điểm B thuộc trục Oy Xác định tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết đỉnh A có tung độ âm Bài tập tương tự 04: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm E thuộc cạnh BC Phân giác góc BAE cắt cạnh BC điểm F (−1; −2) , đường thẳng qua F vuông góc với AE cắt cạnh CD điểm K , phương trình đường thẳng ( AK ) : x + y − = Xác định tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết đường thẳng AE qua gốc tọa độ đỉnh A có hoành độ âm