Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/ TIẾP TUYẾN VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN Tài liệu Tổng Ơn Mơn Tốn Năm 2016 Tóm tắt lý thuyết Cho y  f  x   C  Tiếp tuyến điểm  y (C )  Tiếp tuyến với  C  M x0 ; f  x0  đường thẳng Δ  : y  f '  x0  x  x0   f  x0  Ta cũng nói rằng  tiếp xúc với  C  hay  C  tiếp xúc  , Mx0;fx0 hoặc   C  tiếp xúc O x Chú ý Khi nói đến tiếp tuyến  C  M , ta phải hiểu rằng M tḥc  C  M nơi xảy tiếp xúc Tiếp tuyến qua điểm Tiếp tuyến qua M  C  tiếp tuyến với  C  mợt điểm N đó Điểm M có thể tḥc  C  hoặc khơng, trường hợp tḥc  C  thì M lại có thể tiếp điểm hoặc khơng (xem các hình vẽ ở dưới) Tổng đài tư vấn: +84 (4) 3519-0591 - Trang | - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/ M M N N M≡N (C) (C) (C) Bài tốn Viết phương trình tiếp tuyến qua M  x1; y1   C  Phương pháp giải B1 Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh đợ x0  C  :  : y  f '  x0  x  x0   f  x0  B2  qua M y1  f '  x0  x1  x0   f  x0  Giải phương trình để tìm x0 B3 Thay x0 tìm được ở bước vào phương trình  , ta được mợt tiếp tuyến qua M  C  A Các ví dụ x2  x  Ví dụ Cho y   C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  điểm M có hồnh đợ 3x  bằng Giải Ta có y '  y ' 1   3x  x   3x  1 Lần lượt thay x  vào các biểu thức y y ' , ta được 1 y 1  Suy phương trình tiếp tuyến với  C  M là: : y   1  x  1   : y   x 8 Chú ý Ta có thể dùng ký hiệu y y ' thay cho f f ' trường hợp toán đề cập đến mợt hàm sớ Ví dụ Cho y  x  x  x   C  Viết phương trình các tiếp tuyến  C  giao điểm  C  với trục hồnh Giải Từ phương trình  C  , cho y  ta được: Tổng đài tư vấn: +84 (4) 3519-0591 - Trang | - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/ x3  x  x    x  2   x  2 x  12     x  1 Suy  C  có hai giao điểm với trục hồnh M1  2;0  M  1;0  Từ y '  3x  x  suy y '  2   , y '  1  Do đó phương trình tiếp tuyến với  C  điểm M , M lần lượt là: 1 : y   x     1 : y  x  ,  : y   x  1    : y  Ví dụ [ĐHB08] Cho y  x  x   C  Viết phương trình các tiếp tuyến qua điểm M  1; 9   C  Giải Phương trình tiếp tuyến  C  điểm có hồnh đợ x0 là:  : y  y '  x0  x  x0   f  x0    : y  12 x0  12 x0   x  x0   x0  x0  Điều kiện  qua M  1; 9  tương đương với 9  12 x  12 x0   1  x0   x  x   15   y '  x0     yx     16   x0   x0  1     y '  x0   24  y  x0   9   : y   8x  6x 12x0 10     x0    x0  1 15     : y  15 x  21 x  4   16   : y  24  x  1    : y  24 x  15 15 21 Vậy phương trình các tiếp tuyến qua điểm M  C   : y  x  ,  : y  24 x  15 4 B Bài tập Tổng đài tư vấn: +84 (4) 3519-0591 - Trang | - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/ Bài Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết rằng: 1)  C  đồ thị hàm sớ y  x  x  hồnh đợ tiếp điểm bằng ; 2)  C  đồ thị hàm sớ y  x  3x  tung đợ tiếp điểm bằng ; x  3x  3)  C  đồ thị hàm sớ y  tiếp điểm giao điểm  C  với trục tung; x 1  19  4)  C  đồ thị hàm sớ y  x  3x  tiếp tuyến qua A  ;  ;  12  5)  C  đồ thị hàm sớ y  x  3x  tiếp tuyến qua A  1;  Bài Cho y  x  3x  12 x   C  Tìm điểm tḥc  C  mà tiếp tuyến đó qua gớc tọa đợ C Hướng dẫn đáp số Bài 1) y  24 x  43 ; 2) y  , y  x  ; 3) y  x  ; 4) y  12 x  15 , y   y  ; 5) y  , y   21 645 , x 32 128 x  Bài M  1;12  4 Tổng đài tư vấn: +84 (4) 3519-0591 - Trang | - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/ §2 Điều kiện tồn tiếp tuyến A Tóm tắt lý thuyết Xét toán sau Bài tốn Cho đồ thị hàm sớ y  f  x   C  Tìm điều kiện tham sớ để  C  có tiếp tuyến thỏa mãn mợt điều kiện đó Phương pháp giải B1 Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh đợ x0  C  :  : y  f '  x0  x  x0   f  x0  B2 Áp điều kiện toán lên đường thẳng  để nhận được mợt phương trình ẩn x0 Tiếp tuyến tồn lại phương trình có nghiệm x0 B Các ví dụ Ví dụ Cho y  x   1 x x 1  C  Chứng minh qua điểm I  1; 1 khơng tồn tiếp tuyến C  Giải Xét tiếp tuyến điểm có hồnh đợ x0  C   : y  f '  x0  x  x0   f  x0    : y  2  x0  1  x  x0    x0 x0   qua I  1; 1 nghĩa 1  2  x0  1  1  1  x0     x0 x0   1   x0  x0  x0    x0  1   x0   x0    x0  x0   x0    Vậy khơng tồn x0 để  qua I Nói cách khác qua I khơng có tiếp tuyến  C  Ví dụ Cho y  x  3mx   C  Tìm m để  C  có tiếp tuyến qua A 1; 2  Giải Phương trình tiếp tuyến với  C  điểm có hồnh đợ x0 là: Tổng đài tư vấn: +84 (4) 3519-0591 - Trang | - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/  : y  y '  x0  x  x0   y  x0    : y  8x0  3m  x  x0   x0  3mx0   C  có tiếp tuyến qua A 1; 2 phương trình sau có nghiệm đới với x0 :  * 2  8x0  3m 1  x0   x0  3mx0  Ta có *  4x02  8x0  3m   (  '  12m  48 ) Do đó * có nghiệm  '   12m  48   m  4 Vậy  C  có tiếp tuyến qua A 1; 2  m  4 Ví dụ Cho y  2x 1 x2  C  Tìm đường thẳng x  các điểm mà qua đó có tiếp tuyến C  Giải Phương trình tiếp tuyến  C  điểm có hồnh đợ x0 ( x0  ) là:  : y  y '  x0  x  x0   y  x0    : y  Điểm A nằm đường thẳng x  5  x0    x  x0   x0  x0   tọa đợ A có dạng A  3; a  Qua A có tiếp tuyến tới  C  phương trình sau có nghiệm đới với x0 : :a  5  x0     x0   x0  x0  1 Ta thấy 1 a  x0  2  5   x0    x0  1 x0     x0        x0    Tổng đài tư vấn: +84 (4) 3519-0591 - Trang | - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/  a  x0  22  5   x0    x0  1 x0  2   a   x02   2a  1 x0  4a  17  Trường hợp a    a  Khi đó   trở thành 10 x0  21   x0  21 10  1 có nghiệm Trong trường hợp   có nghiệm Trường hợp a    2  a  Khi đó   phương trình bậc hai có   5a  35 Do đó, trường hợp 1 có nghiệm   có nghiệm, tức    5a  35   a  Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn u cầu toán  A  3; a  a  7 Ví dụ [ĐHD02] Cho  2m  1 x  m2 y x 1  C  d : y  x Tìm m để  C  tiếp xúc với d Giải Phương trình tiếp tuyến  C  điểm có hồnh đợ x0 ( x0  ) là:  m 1   2m  1 x0  m2 : y  x  x0      x0   x0    : y  y '  x0  x  x0   y  x0   m 1   m 1   2m  1 x0  m2  : y   x   x0  x0   x0   x0     C  tiếp xúc với d tồn x0 cho hai đường thẳng  d trùng Tức hệ sau có nghiệm đới với x0 Tổng đài tư vấn: +84 (4) 3519-0591 - Trang | - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/  m  2   1  x0    2m  1 x0  m  m 1    0  x0    x0    x0    * Ta có  *  1   m     1  x0     2m  1 x0  m    x0   x0    x0     x0   m   x    m   1  2  x0     x0  m x   m    m   m   m   1 vơ nghiệm  * vơ nghiệm   Thay x0  m vào vế trái   ta có m  1: 1    x0   m x m  2m  1 m  m2   x  m VT    m   C  tiếp xúc với m 1 m  * có nghiệm Vậy d m  Ví dụ Cho y  x  x  Với mợt nghiệm *  C  Tìm m để đường thẳng d : y  60 x  m tiếp xúc với  C  tìm được, hồnh đợ tiếp điểm d  C  Giải Phương trình tiếp tuyến  C  điểm có hồnh đợ x0 là:  : y  y '  x0  x  x0   y  x0    : y  y '  x0  x  x0 y '  x0   y  x0  Tổng đài tư vấn: +84 (4) 3519-0591 - Trang | - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/  C  tiếp xúc với d tồn x0 cho  d trùng nhau, điều đó có nghĩa hệ sau có nghiệm đới với x0  y '  x0   60  y '  x0   60      m  60 x0  y  x0   x0 y '  x0   y  x0   m   1  4x03 16x0  60  x0  Thay x0  vào   1  2 ta có m  164 Vậy d tiếp xúc với  C  m  164 Khi đó hồnh đợ tiếp điểm x0  C Bài tập x x 1 Bài Cho y   C  Chứng minh rằng qua I 1;1  C  , khơng tồn tiếp tuyến C  Bài Tìm m cho đồ thị hàm sớ y  Bài Cho y  x  x xm có tiếp tuyến qua điểm A  0; 2  x 1 m C  1) Tìm trục tung điểm mà qua đó có thể kẻ được tiếp tuyến tới  C  ; 2) Tìm điểm đường thẳng y  mà qua đó có thể kẻ được tiếp tuyến tới  C  D Hướng dẫn đáp số Bài 2  m  Bài 1) Những điểm cần tìm có dạng A  0; a  với a  ; 2) Những điểm cần tìm có dạng A  a;3 với a  ;     3;      §3 Hệ số góc tiếp tuyến A Giới thiệu Ta biết rằng f '  x0  hệ sớ góc tiếp tuyến đồ thị hàm sớ y  f  x  điểm có hồnh đợ x0 Trong học này, quan tâm nhiều đến hệ sớ góc tiếp tuyến B Các ví dụ Tổng đài tư vấn: +84 (4) 3519-0591 - Trang | - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/ Ví dụ Cho y  x  x  x   C  Viết phương trình các tiếp tuyến có hệ sớ góc bằng C  Giải Ta có x  1 2 y '  x0    x0  x0    x0  x0     x   Ta có y  1  , y     Suy các tiếp tuyến thỏa mãn u cầu toán là: 3 13 , 1 : y   x  1   1 : y  x  3   : y  x  14 2 : y   x  2  3 Ví dụ Cho y  x  3x  12 x   C  Viết phương trình tiếp tuyến có hệ sớ góc nhỏ C  Giải Hệ sớ góc tiếp tuyến điểm có hồnh đợ x0  C  là: k  f '  x0   3x0  x0  12   x0  1  15  15  k  15 Dấu “  ” xảy x0  Do đó k nhỏ bằng 15 , đạt được x0  Ta có f 1  9 , suy tiếp tuyến có hệ sớ góc nhỏ  C  là:  : y  15  x  1    : y  15 x  Ví dụ [ĐHD10] Cho y   x  x   C  Viết phương trình tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : y  x   C  Giải Gọi  tiếp tuyến với  C  điểm có hồnh đợ x0   có hệ sớ góc k  y '  x0    d   k  1  k  6  4 x0  x0  6  x0  x0   y  x0     : y  6  x  1    : y  6 x  10 Vậy tiếp tuyến vng góc với d  C   : y  6 x  10 Tổng đài tư vấn: +84 (4) 3519-0591 - Trang | 10 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/   Giải Ta có y '  x   4mx   6m  lượt y '  1  10m  1  x  hệ sớ góc các tiếp tuyến  Cm  A B lần 12  1 y '    44m  Do đó các tiếp tuyến  Cm  A B 12 vng góc với  1  y '  1  y '    1   10m   44m    1 12  6   440m  16 71 m 0 72   m  24   m   71  1320   C Bài tập Bài Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết 1)  C  đồ thị hàm sớ y  x  3x  x  , tiếp tuyến có hệ sớ góc nhỏ 2)  C  đồ thị hàm sớ y   x  x  x  , tiếp tuyến có hệ sớ góc lớn Bài Cho y  x  mx  x  m   C  Tìm m để hệ sớ góc tiếp tuyến có hệ sớ góc nhỏ đồ thị 10 Viết phương trình các tiếp tuyến đó Bài Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết rằng 1) [ĐHB06]  C  đồ thị hàm sớ y  x2  x 1 tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x2 d : y  x  1 2x 2)  C  đồ thị hàm sớ y  tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x  y   2x 1 1 3)  C  đồ thị hàm sớ y  x  x  x  tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x  y   2 góc 45 Tổng đài tư vấn: +84 (4) 3519-0591 - Trang | 12 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/ Bài Tìm tất các điểm đồ thị  C  hàm sớ y  x  x  mà tiếp tuyến đó vng 3 góc với đường thẳng d : y   x  Bài Cho y  mx   m  1 x   3m   x   Cm  Tìm điều kiện m để  C m  có tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y  x  2012 D Hướng dẫn đáp số Bài 1) y  x  ; 2) y  x  Bài m  3 , m  tiếp tuyến d1 : y  10 x  11 , m  3 tiếp tuyến d : y  10 x  13 Bài 1) y   x  2  , y   x  2  ; 2) y  4 x  3) y  m 1 229 29 , y  2 x  , y  2 x  Bài x , y  x 2 54 27  2;0   4 3  2;  Bài hoặc m   hoctoancapba.com 240 48 Tổng đài tư vấn: +84 (4) 3519-0591 - Trang | 13 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/ §4 Một số tính chất hình học tiếp tuyến A Tóm tắt lý thuyết Phần sử dụng mợt sớ kiến thức sau: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho điểm M  x0 ; y0  đường thẳng  : ax  by  c  Ta có cơng thức tính khoảng cách từ M đến  : d  M ;   ax0  by0  c a  b2 Giao điểm hai đường thẳng Tọa đợ giao điểm hai đường thẳng nghiệm hệ gồm các phương trình đường thẳng B Một số ví dụ Ví dụ Cho y  x  x  x  C  Viết phương trình các tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến tạo với Ox góc 45 Giải Hệ sớ góc tiếp tuyến  điểm có hồnh đợ x0  C  là: k  y '  x0   x0  8x0  Ta có  , Ox   45   k   x  8x0    +) x0   y  x0    +) x0  k  k  tan 45    k  1  x0    x0    : y  x 28  y  x0    28   : y   x       27 Tổng đài tư vấn: +84 (4) 3519-0591   27 : y  x 64 27 - Trang | 14 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/   x0   x0    k  1  6x0  8x0   1   +) x0   y  x0   1   : y    x  1   +) x0   y  x0    27  : y  x 1   : y   x         27  : y  x  27 64 Các tiếp tuyến tạo với Ox góc 45  C  là: y  x , y  x  , y   x , y   x  27 Ví dụ Cho y  1 x 2x 1 C  Viết phương trình tiếp tuyến 27 C  biết tiếp tuyến cách  1 I   ;   mợt khoảng bằng 10  2 Giải Phương trình tiếp tuyến  C  điểm có hồnh đợ x0 ( x0   ) là:  : y  y '  x0  x  x0   y  x0   : y   d  I;   3  x0  1  x  x0    x0 x0    : 3x   x0  12 y  x02  x0   2    x0  1  x0  x0  2   x0  1  x0    x0  1 Do đó: d  A;     10 Tổng đài tư vấn: +84 (4) 3519-0591 x0    x0  1  10 - Trang | 15 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/   x0  1  10  x0  1    2x 1       x0  1     y '  x0   3 x0        y '  x0   3 x0  1     : y  3  x  1     y  x0     x0 x   x0   x0 0  1 1  2  : y  3 x   y  x0   2   : y  3 x     y '  x0      : y    x  1   : y   x  x0    3  y  x0       y '  x0      : y    x  2 1   : y   x  x0  2   3  y  x0   1  3 Vậy có bớn tiếp tuyến thỏa mãn u cầu toán là: y  3 x  , y  3 x  , y   x  , y x 3 Ví dụ Cho y   2x x 1  C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến cách đều các điểm A  7;6  B  3;10  Giải Phương trình tiếp tuyến  C  điểm có hồnh đợ x0 ( x0  1 ) là:  : y  y '  x0  x  x0   y  x0    : y    x0  1  x  x0    x0 x0    : 5x   x0  12 y  x02  x0   Tổng đài tư vấn: +84 (4) 3519-0591 - Trang | 16 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/  cách đều các điểm A B khi: 35   x0  1  x0  x0  d  A;    d  B;    25   x0  1 15  10  x0  1  x0  x0   25   x0  1  8x02  x0  32  12 x02  14 x0   x02  3x0  16  x02  x0   2  x0  3x0  16  x0  x0   2  x0  3x0  16    x0  x0       y '  x0      yx     2  x0  x0     '  5   vô nghiệm     x0  x0     x0   x  2   x0     y '  x   5 x0  2     : y  5  x       : y    x  1    y  x0   7  : y   x 4  : y  5 x  17 Vậy phương trình các tiếp tuyến cách đều A B  C  y   x  , y  5 x  17 Ví dụ Cho y  2x 1 C   Tìm tọa đợ điểm M   C  cho khoảng cách từ điểm I 1;  tới x 1 tiếp tuyến  C  M đạt giá trị lớn Giải Giả sử x0 hồnh đợ M  tiếp tuyến M  : y  y '  x0  x  x0   y  x0    : y    x0  1 (C ) có phương trình:  x  x0    x0   3x   x0  12 y  x02  x0   Tổng đài tư vấn: +84 (4) 3519-0591 - Trang | 17 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/   x0  1  x0  x0   d  I;     x0  1 Theo bất đẳng thức Cơ-si:  x0    x0  1   x0  1   x0  1   x0  1   , suy d  I ,    Đẳng thức xảy  x0  1  x0  1   x0  1   x0  12   x0  1  Vậy khoảng cách d  I ;   lớn bằng  M 1  3;    hoặc M 1  3;  , đạt được x0  1    2x C   Tìm tọa đợ điểm M tḥc  C  biết tiếp tuyến  C  x 1 M cắt hai trục Ox , Oy A , B cho tam giác OAB có diện tích bằng Ví dụ [ĐHD07] Cho y  Giải Ta có y '  với  C  M :  x  1 Xét điểm M   C  , M có hồnh đợ x0 Ta có phương trình tiếp tuyến hoctoancapba.com  : y  f   x0  x  x0   f  x0    : y   A    Ox  B    Oy  : y  2x  x0  1 2  x0  1   x  x0   2 x0  x0  1 2 x0 x0   x0 2x  y  2 A:  x0  1  x0  1  y   A   x02 ;0 ,  x0 2x y   2 B:  x0  1  x0  1  x   x0    B  0;   x  12    Tổng đài tư vấn: +84 (4) 3519-0591 - Trang | 18 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/ Ta có OA  x0 , OB  2 x0 SOAB    x0  1 x0  x0  1   S ABC  x0 OA.OB   x0  1  4x   x0  1 2  x0  x0     x0    x0  1   M 1;1  x0  x0    x0           M  ; 2  x0  x0      7   vô nghiệm   x0          C Bài tập 1 2   Bài Cho y  mx    2m  x   Cm  Tìm m để tiếp tuyến  Cm  các điểm có hồnh đợ bằng tạo với mợt góc có cơ-sin bằng Bài Cho y  3 x x4 mợt khoảng bằng Bài Cho y  13  C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến cách A  4; 1 x 1 3x   C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết khoảng cách từ điểm  1 I   ;  tới tiếp tuyến đạt giá trị lớn  3 Bài [ĐHA09] Cho y  x2 2x  C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến cắt các trục tọa đợ các điểm A , B cho tam giác OAB cân O x3 Bài Cho y   C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến cắt các trục  x  1 tọa đợ các điểm A , B cho trung trực đoạn thẳng AB qua gớc tọa đợ O Bài Cho y  2x x2 C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết rằng tiếp tuyến cắt các trục tọa đợ Ox , Oy lần lượt hai điểm A , B phân biệt cho AB  OA D Hướng dẫn đáp số Tổng đài tư vấn: +84 (4) 3519-0591 - Trang | 19 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/ hoặc m   Bài Các tiếp tuyến thỏa mãn u cầu toán là: y  7 x  15 , 240 48 1 25 Bài Các tiếp tuyến thỏa mãn u cầu toán là: y  7 x  43 , y   x  , y   x  7 7 y  x  , y  x  Bài Đồ thị có đúng mợt tiếp tuyến thỏa mãn u cầu toán y   x  3 Bài Các tiếp tuyến thõa mãn u cầu toán y   x  , y   x  Bài Đồ thị có 2 Bài m  đúng mợt tiếp tuyến thỏa mãn u cầu toán y   x  Tổng đài tư vấn: +84 (4) 3519-0591 - Trang | 20 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/ §5 Điều kiện tiếp xúc A Tóm tắt lý thuyết y Định nghĩa (Hình 1) Cho y  f  x   C  y  g  x   C '  C   C ' tiếp xúc với điểm M  x0 ; y0  hai điều kiện sau thỏa mãn:  M mợt điểm chung  C   C ' ; y0 M  Tiếp tuyến hai đường cong M trùng Điểm M được gọi gọi tiếp điểm hai đường cong cho O x0 x Hình Điều kiện tiếp xúc Để xét tiếp xúc hai đồ thị hàm sớ y  f  x   C  y  g  x   C ' , ta xét hệ:  f  x  g  x    f ' x  g ' x   * Ta có:   C   C ' tiếp xúc  hệ *  Nghiệm * hồnh đợ tiếp điểm;  x0 hồnh đợ tiếp điểm  tiếp tuyến chung  C   C ' điểm có hồnh đợ x0 có nghiệm đới với x ; là: y  f '  x0  x  x0   f  x0  Hệ Đường thẳng y  kx  m tiếp tuyến đồ thị hàm sớ y  f  x   C  hệ  f  x   kx  m  có nghiệm đới với x  f ' x  k   B Một số ví dụ Tổng đài tư vấn: +84 (4) 3519-0591 - Trang | 21 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/ Ví dụ [SGKNC] Cho y  x  x2 C  y  x  x   C ' Chứng minh  C   C ' tiếp xúc viết phương trình tiếp tuyến chung Giải Ký hiệu f  x   x  x  g  x   x  x  Xét hệ:  f  x  g  x    f ' x  g ' x  Ta có  I  I   x  x3  x   x  x   x  x         x1 '  x3  x     x  x  ' 3x   x        Vậy  C   C ' tiếp xúc điểm có hồnh đợ bằng  1 g         g '    2    1   phương trình tiếp tuyến chung là: y   x    hay  Ví dụ [SGK] Chứng minh rằng đường thẳng y  ax  bx  c ( a  ) phương trình y  kx  m 2 y  2x  tiếp tuyến parabol ax  bx  c  kx  m 1 có nghiệm kép Giải Ta có 1  ax   b  k  x  c  m  (    b  k 2  4a  c  m  ) Do đó: 1 có nghiệm kép      b  k 2  4a  c  m   Đường thẳng parabol cho tiếp xúc hệ sau có nghiệm đới với I  Tổng đài tư vấn: +84 (4) 3519-0591 x ax  bx  c  kx  m  2ax  b  k - Trang | 22 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/ ax   b  k  x   c  m      k b x  2a  Ta có  I  I   có nghiệm  x 1  2 k b nghiệm 1 2a k b  k b  a  c  m    b  k   2a  2a  b  k   4a b  k   2a   c  m    b  k 2  4a  c  m    1 có nghiệm kép (ĐPCM) hoctoancapba.com Ví dụ [SGKNC] Viết phương trình đường thẳng qua điểm A 1; 2  tiếp xúc với parabol y  x2  2x Giải Phương trình đường thẳng qua A 1; 2  có hệ sớ góc k có dạng  : y  k  x  1    : y  kx  k  Xét phương trình x  x  kx  k  hay x   k   x  k  1 (    k  2   k   )  k  2  tiếp xúc với parabol cho  1 có nghiệm kép      k   k  2   : y  2  x  1    : y  2 x  k    : y   x  1    : y  x  Vậy qua điểm A có hai đường thẳng tiếp xúc với parabol là: y  2 x y  x  Ví dụ [ĐHB08] Cho y  x  x  C  Viết phương trình các tiếp tuyến qua điểm M  1; 9   C  Giải Đường thẳng qua M , hệ sớ góc k có phương trình dạng  : y  k  x  1   tiếp tuyến  C  hệ sau có nghiệm Tổng đài tư vấn: +84 (4) 3519-0591 - Trang | 23 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/ I  4 x3  x   k  x  1    12 x  12 x  k  1  2 Thế   vào 1 ta có: x  x   12 x  12 x   x  1  2 Do đó:  I  có nghiệm   x  3x  x    x    x  1  x  nghiệm   hoặc x  1 nghiệm   15 vào   ta có k  4   Thay x   Thay x  1 vào   ta có k  24 : y  15  x  1   : y    : y  24  x  1   15 21 x 4  : y  24 x  15 15 21 Vậy phương trình các tiếp tuyến qua điểm M  C  y  x  , y  24 x  15 Ví dụ [ĐHD02] Cho  2m  1 x  m2 y x 1  C  d : y  x Tìm m để  C  tiếp xúc với d Giải  C  tiếp xúc với d hệ sau có nghiệm đới với I  Ta có  I     2m  1 x  m2 x  x 1    m     x     Do đó  I  có nghiệm x  f  x  x    f ' x     2m  1 x  m  x  x  1   x  m   x   m x   1 Tổng đài tư vấn: +84 (4) 3519-0591 - Trang | 24 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/  m     m nghiệm 1  2m 1    2  m nghiệm 1   Vậy  C  tiếp xúc với d   m      2m  1 m  m  m  m  1    2m 1     2m  1  m   m    m 1  m     m    m   m   m    m    m  C Bài tập Bài [SGK] Chứng minh các đồ thị sau tiếp xúc viết phương trình tiếp tuyến chung  x2  x  1) y  x  3x  y  x 1 x2  x y  x 2) y  2 x2 2 3) y  f  x    x  3x  , y  g  x   x  x  y  h  x   x  x  3 2 5 2 Bài [SGK] Chứng minh có hai tiếp tuyến parabol y  x  3x qua điểm A  ;   chúng vng góc với Bài Viết phương trình tiếp tuyến qua A đồ thị  C  các trường hợp sau:  23  ; 2  ,  C  đồ thị hàm sớ y  x  3x    1) A  x2 2) A  6;5 ,  C  đồ thị hàm sớ y  x2 Bài Chứng minh rằng qua A 1;0  có hai tiếp tuyến vng góc với đồ thị hàm sớ x2  x  y x 1 Bài Tìm m để đường thẳng y  mx  tiếp xúc với đồ thị y  x  x  D Hướng dẫn đáp số Tổng đài tư vấn: +84 (4) 3519-0591 - Trang | 25 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/ Bài 1) y  x  ; 2) y  x ; 3) y  x  Chú ý Ba đồ thị hàm sớ y  f  x  , y  g  x  ,  f  x  g  x  h  x  y  h  x  tiếp xúc hệ  có nghiệm đới với x f ' x  g ' x  h ' x   Bài 3 2 5 2 Đường thẳng  qua A  ;   có hệ sớ góc k 3    : y  k  x    Ta chứng minh  2   3 có nghiệm 2 2 tồn hai giá trị k có tích bằng 1 cho phương trình x  3x  k  x    kép Bài 1) y   x  61 , y  x  25 , y  2 ; 2) y   x  , y   x  27  x2  x   x   k  x  1  Bài Chứng minh tồn hai giá trị k có tích bằng 1 cho hệ  '  x  x    k  x     có nghiệm Bài m  Tổng đài tư vấn: +84 (4) 3519-0591 - Trang | 26 -