Đang tải... (xem toàn văn)
RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 1) Thầy Đặng Việt Hùng Ví dụ 1: Giải hệ phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 4 1 6 2 1 7 1 x x y y x y y x y x y y + − + = + + + = + − + + Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ( ) ( ) 3 2 3 2 2 1 2 2 1 9 33 29 4 4 4 4 1 2 x x y x y y y y x x y x y + + + − + − = − + + + + = + + Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC, 3 1 ; 2 2 − N là điểm trên cạnh AC sao cho AN AC = 1 4 . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT HÌNH PHẲNG OXY (phần 1) Thầy Đặng Việt Hùng ( ) x ( x + y ) − y2 + x = y y + Ví dụ 1: Giải hệ phương trình x ( y + 1) + = ( x + y − 1) + y + x3 + ( x + y ) x + y − + 2 y − = y − 33 y + 29 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 2 4 x + x + y + = ( x + 1) y + Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC, 1 N − ; điểm cạnh AC cho AN = AC Xác định tọa độ đỉnh hình vuông ABCD 2 biết đường thẳng DM có phương trình x − = Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông A có M điểm thuộc cạnh AC cho AM = AB , đường tròn tâm I ( 0;3) đường kính CM cắt đường thẳng BM D (D khác M), biết đường thẳng CD: x + y − 13 = đường thẳng BC qua điểm K ( 7;14 ) Tìm toạ độ đỉnh A,B,C điểm C có hoành độ dương x + x − xy + y = xy + xy − y Ví dụ [Tham khảo]: Giải hệ phương trình x + y x + = 2x − y Lời giải: 2 ĐK: x − xy ≥ 0; xy − y ≥ 0; x ≥ 0; y ≥ Từ phương trình (1) ta có x + x − xy + y = xy + xy − y 2 ⇔ ( x − y ) 1 + x − xy + xy − y = ⇒ (x − y) = ⇒ x = y >0 Thay x = y vào phương trình (2) ta có x + y x + = x − y ⇔ x2 + x x + = x − x ⇔ ( x + x ) − ( x + x ) + = 2 −1 + −1 + x + x = x = −1 ± ⇔ ⇒ ⇒ x = ⇒ y = 2 x + x = x=4 y=4 x = −1; x = −1 + −1 + 2 , ( 4; ) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ; x − y + y2 + x − y + = y + Ví dụ [Tham khảo]: Giải hệ phương trình x − 16 y + = y x + y Lời giải: Từ phương trình (1) ta có x − y + y2 + x − y + = y + Tham gia khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn 1 ⇔ ( x − 2y) + = ⇔ x = 2y x − 2y + + x − 2y + y + y >0 Thay x = y vào phương trình (2) ta có x + = x x + ⇔ x2 + = 2x x + y 4 ⇔ x + − x + −8 = x x x t=2 Đặt t = x + (t > 0) ⇒ t − 2t = ⇔ x t = (loai ) = ⇔ x2 − x + = ⇔ x = ⇒ y = x Vậy nghiệm hệ phương trình là: ( x; y ) = (2;1) Với t = ⇒ x + Ví dụ [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, tia đối tia BA 12 29 cạnh BC lấy điểm E F cho BE = BF , gọi N ; giao điểm 5 đường thẳng CE AF, biết phương trình đường thẳng EF : y − = B ( 3; ) Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD Lời giải: Dễ thấy EF / / BD (vì tạo với AB góc 45 ) EF ⊥ AC Khi đó: ⇒ AF ⊥ CE ( F trực tâm ) CB ⊥ AB Phương trình BD : y − = , gọi I ( t ; ) ta có: IB = IN 2 29 12 Khi đó: ( t − 3) = − t + − ⇔ t = ⇒ I ( 0; ) Từ suy D ( −3; ) phương trình AC : x = u = ⇒ A ( 0;1) Gọi A ( 0; u ) ta có: AB AD = ⇔ −9 + ( − u ) = ⇔ u = ⇒ A ( 0;7 ) Vì A B phía với EF nên ta loại A ( 0;7 ) Khi đó: A ( 0;1) ; C ( 0;7 ) Vậy A ( 0;1) ; B ( 3; ) ; C ( 0;7 ) ; D ( −3; ) điểm cần tìm ( y − 2) 2 x y + 3y + x +1 = y + Ví dụ [Tham khảo]: Giải hệ phương trình y − y −1 xy + x + y − = ( x + ) x + Lời giải ĐK : y ≥ 1; x ≥ − ; y − y − ≠ Xét phương trình (1) ta có x y + y + x + = y + 2 ( y − 2) y − y −1 ⇔ x2 y + y − y2 + x2 + − y − = 2 ⇔ ( x2 + − y ) y + = 0⇒ x +2− y = ⇔ y = x +2 x +1 + y −1 >0 Tham gia khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Thay ⇔ y = x + vào phương trình ta có xy + x + y − = ( x + ) x + ⇔ x3 + x + x + = ( x + ) x + ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) + ( x + 1) = ( x + ) + ( x + ) + ( x + ) Xét hàm số f ( t ) = t + t + 5t với t > Ta có 3t + 2t + > với ∀t > Suy hàm số đồng biến f ( t ) với ∀t > x = ⇒ y = x + 1) ⇒ x + = 4x + ⇒ x2 − x = ⇔ x = ⇒ y = Đối chiếu điều kiện ban đầu thấy thỏa mãn, hệ phương trình cho có nghiệm (2; 6) (0; 2) Mà f ( x + 1) = f ( Ví dụ [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M trung điểm AB, N thuộc BD cho BN = 3ND, đường thẳng MC có phương trình x + y − 13 = N (2; 2) Xác định toạ độ đỉnh C hình vuông ABCD, biết điểm C có hoành độ lớn Lời giải: Gọi I tâm hình vuông G = BI ∩ CM suy G trọng tâm tam 2a giác ABC Đặt AB = 2a ta có: CG = CM = ; BD = 2a 3 Khi GI = a a 5a a 10 ; IN = ⇒ GN = ; CN = CI + IN = Do vâỵ cos GCN = GC + CN − GN = ⇒ MCN = 450 2GC.CN Ta có NC.sin GCN = d ( N ; CM ) = ⇒ NC = 10 t = ⇒ C ( 4;1) 2 Gọi C ( t ;13 − 3t ) ( t > 3) ta có NC = ⇔ ( t − ) + (11 − 3t ) = ⇔ t = ( loai ) Vậy C ( 4;1) điểm cần tìm Tham gia khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015