Cựng hc Toỏn Sở giáo dục đào tạo HảI dơng Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên nguyễn trãi - Năm học 2009-2010 Môn thi : toán Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 08 tháng năm 2009 (Đề thi gồm: 01 trang) Đề thi thức Câu I (2.5 điểm): 1) Giải hệ phơng trình: x + y + xy = xy + 3x = 2) Tìm m nguyên để phơng trình sau có nghiệm nguyên: 4x + 4mx + 2m 5m + = Câu II (2.5 điểm): 1) Rút gọn biểu thức: A= + x2 ( + x) ( x) với x + x2 2) Cho trớc số hữu tỉ m cho m số vô tỉ Tìm số hữu tỉ a, b, c để: a m2 + b m + c = Câu III (2.0 điểm): 1) Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số x số nguyên dơng biết f(5) f(3) = 2010 Chứng minh rằng: f(7) f(1) hợp số 2) Tìm giá trị lớn biểu thức: P = x 4x + x + 6x + 13 Câu IV (2.0 điểm): Cho tam giác MNP có ba góc nhọn điểm A, B, C lần lợt hình chiếu vuông góc M, N, P NP, MP, MN Trên đoạn thẳng AC, AB lần l ợt lấy D, E ã ã cho DE song song với NP Trên tia AB lấy điểm K cho DMK = NMP Chứng minh rằng: 1) MD = ME 2) Tứ giác MDEK nội tiếp Từ suy điểm M tâm đ ờng tròn bàng tiếp góc DAK tam giác DAK Câu V (1.0 điểm): Trên đờng tròn (O) lấy hai điểm cố định A C phân biệt Tìm vị trí điểm B D thuộc đờng tròn để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn -Hết - ChuTieuThichHocToan hieuthh@gmail.com Cựng hc Toỏn Hớng dẫn chấm Câu Phần câu I 1) 2,5 điểm 1,5điểm nội dung Điểm x + y + xy = (1) (2) xy + 3x = 2 Từ (2) x Từ y = 3x , thay vào (1) ta có: x 0.25 3x 3x x2 + + x =3 ữ x x 7x 23x + 16 = 16 Giải ta đợc x = x = 0.25 0.25 0.25 16 7 x= y=m 7 7 7 Vậy hệ có nghiệm (x; y) (1; 1); (-1; -1); ; ữ; ; ữ ữ ữ Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x ' Từ x = x = y = ; x = 2) 0.25 0.25 0.25 câu II 2,5 điểm 1) 1,5điểm m 5m + (m 2)(m 3) Vì (m - 2) > (m - 3) nên: x ' m m m 3, mà m Z m = m = Khi m = x ' = x = -1 (thỏa mãn) Khi m = x ' = x = - 1,5 (loại) 0.25 Vậy m = 1,0điểm 0.25 Đặt a = + x; b = x (a, b 0) a + b = 4; a b = 2x + ab a b3 + ab ( a b ) a + b + ab A= = + ab + ab 2 ( 0.25 ) ChuTieuThichHocToan hieuthh@gmail.com ( 0.25 ) 0.25 Cựng hc Toỏn + ab ( a b ) ( + ab ) A= = + ab ( a b ) + ab A = + 2ab ( a b ) (a A 2= 0.25 0.25 ) + b + 2ab ( a b ) = ( a + b ) ( a b ) 0.25 A = a b = 2x A = x 2 2) 1,0điểm 0.25 a m + b m + c = (1) Giả sử có (1) b m + c m + am = (2) Từ (1), (2) (b ac) m = (a m bc) 0.25 a m bc số hữu tỉ Trái với giả thiết! b2 ac b ac = b3 = abc a m bc = bc = am b b3 = a m b = a m Nếu b m = số hữu tỉ Trái với giả thiết! a a = 0;b = Từ ta tìm đợc c = Ngợc lại a = b = c = (1) Vậy: a = b = c = Nếu a m bc m = câu III điểm 1) 1,0điểm 2) 1,0điểm Theo f(x) có dạng: f(x) = ax + bx + cx + d với a nguyên dơng 3 ( x 2) + 12 ( x + 3) OA = 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 + 22 0.25 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy điểm A(x-2; 1), B(x+3; 2) Ta chứng minh đợc: AB = 0.25 Ta có: 2010 = f(5) - f(3) = (5 - )a + (5 - )b + (5 - 3)c = 98a + 16b + 2c 16b + 2c = (2010- 98a) Ta có f(7) - f(1) = (73 - 13)a + (72 - 12)b + (7 - 1)c = 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c) = 342a + 3(2010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2010) M Vì a nguyên dơng nên 16a + 2010>1 Vậy f(7)-f(1) hợp số P= 0.25 ( x x 3) ( x 2) Mặt khác ta có: OA OB AB M 2 + ( ) = 25 + = 26 + 12 , OB = ( x 2) ( x + 3) + 12 + 22 ( x + 3) 0.25 + 2 26 0.25 Dấu = xảy A thuộc đoạn OB B thuộc đoạn OA x2 K = x = Thử lại x = A(5; 1); B(10; 2) nên A thuộc đoạn x+3 B C OB Vậy Max P = 26 x = D E ChuTieuThichHocToan hieuthh@gmail.com N A P 0.25 Cựng hc Toỏn câuIV điểm Ta dễ dàng chứng minh tứ giác ã ã MBAN nội tiếp MAB = MNB , 1) 0,75điểm ã ã MCAP nội tiếp CAM = CPM 0.25 ã ã Lại có BNM = CPM (cùng phụ góc NMP) ã ã CAM = BAM (1) 0.25 Do DE // NP mặt khác MA NP MA DE (2) Từ (1), (2) ADE cân A MA trung trực DE MD = ME 0.25 2) 1,25điể M m K B C D N E A P ã ã Do DE//NP nên DEK = NAB , mặt khác tứ giác MNAB nội tiếp nên: ã ã ã ã NMB + NAB = 1800 NMB + DEK = 1800 ã ã ã ã Theo giả thiết DMK = NMP DMK + DEK = 1800 Tứ giác MDEK nội tiếp Do MA trung trực DE MEA = MDA ã ã ã ã MEA = MDA MEK = MDC ã ã ã ã Vì MEK = MDK MDK = MDC DM phân giác góc CDK, kết hợp với AM phân giác DAB M tâm đờng tròn bàng tiếp góc DAK tam giác DAK ChuTieuThichHocToan hieuthh@gmail.com 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Sở giáo dục đào tạo kỳ thi tuyển Cựng hc Toỏn sinh vào lớp 10 thpt chuyên Hng yên Năm học 2009 2010 Môn thi: Toán câu V A' đề thức (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút điểm B' B O C A D' D ẳ Không tổng quát giả sử:AB AC Gọi B điểm cung ABC AB ' = CB ' Trên tia đối BC lấy điểm A cho BA = BA AB + BC = CA ' ã ã ã ã ã Ta có: B 'BC = B ' AC = B 'CA (1) ; B 'CA + B 'BA = 1800 (2) 0.25 ã ã (3);Từ (1), (2), (3) B 'BA = B 'BA ' Hai tam giác ABB ABB A 'B ' = B ' A Ta có B' A + B 'C = B 'A '+ B 'C A 'C = AB + BC ( BA + BC không đổi B, A, C cố định) Dấu = xảy B trùng với B ẳ Hoàn toàn tơng tự gọi D điểm cung ADC ta có AD + CD AD + CD Dấu = xảy D trùng với D Chu vi tứ giác ABCD lớn B, D điểm cung ằ AC đờng tròn (O) ã ã B 'BC + B 'BA ' = 1800 Bài 1: (1,5 điểm) a = 2: Cho +1 ữ +1 +1ữ Hãy lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên nhận a - nghiệm Bài 2: (2,5 điểm) x 16 xy y = a) Giải hệ phơng trình: xy y = x ( b) Tìm m để phơng trình x 2x ) 3x + 6x + m = có nghiệm phân biệt ChuTieuThichHocToan hieuthh@gmail.com 0.25 0.25 0.25 Cựng hc Toỏn Bài 3: (2,0 điểm) a) Chứng minh số nguyên k lớn thoả mãn k + k + 16 số nguyên tố k chia hết cho b) Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có p nửa chu vi p a + p b + p c 3p Bài 4: (3,0 điểm) Cho đờng tròn tâm O dây AB không qua O Gọi M điểm cung AB nhỏ D điểm thay đổi cung AB lớn (D khác A B) DM cắt AB C Chứng minh rằng: a) MB.BD = MD.BC b) MB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD c) Tổng bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD ACD không đổi Bài 5: (1,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA cho hình - giác EFGHIJKM có góc Chứng minh độ dài cạnh hình - giác EFGHIJKM số hữu tỉ EF = IJ Hết -Hớng dẫn chấm thi Bài 1: (1,5 điểm) a = 2: +1 = a = 2: ữ= : +1 +1ữ +1 +1 7 +1 +1 0,5 đ 0,25 đ Đặt x = a x = x + = x + 2x + = 0,5 đ x + 2x = Vậy phơng trình x + 2x = nhận 0,25 đ làm nghiệm Bài 2: (2,5 điểm) ChuTieuThichHocToan hieuthh@gmail.com Cựng hc Toỏn x 16 x 16 (1) xy = xy y = y a) ĐK: x, y y x y xy = = (2) x y x Giải (2) 6y 6x = 5xy (2x + 3y)(3x 2y) = 3y 3y 16 y + = 2 0,25 đ 0,25 đ * Nếu 2x + 3y = x = Thay vào (1) ta đợc 0,25 đ 3y 23 (phơng trình vô nghiệm) = 2y * Nếu 3x 2y = x = Thay vào (1) ta đợc y = y = 0,25 đ 0,25 đ - Với y = x = (thoả mãn điều kiện) - Với y = x = (thoả mãn điều kiện) 0,25 đ Vậy hệ phơng trình có hai nghiệm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3) b) Đặt x 2x + = y ( x 1) = y x = y (y 0) (*) Phơng trình cho trở thành: ( y 1) ( y 1) + m = 0,25 đ y 5y + m + = (1) Từ (*) ta thấy, để phơng trình cho có nghiệm phân biệt phơng trình (1) 0,25 đ có nghiệm dơng phân biệt > 4m > S > > P > m + > 0,25 đ m < < m < m > Vậy với < m < phơng trình có nghiệm phân biệt 0,25 đ Bài 3: (2,0 điểm) ChuTieuThichHocToan hieuthh@gmail.com Cựng hc Toỏn a) Vì k > suy k + > 5; k + 16 > - Xét k = 5n + (với n  ) k = 25n + 10n + k + M5 0,25 đ k + không số nguyên tố - Xét k = 5n + (với n  ) k = 25n + 20n + k + 16 M5 k + 16 không số nguyên tố - Xét k = 5n + (với n  ) k = 25n + 30n + k + 16 M5 k + 16 không số nguyên tố 0,25 đ 0,25 đ - Xét k = 5n + (với n  ) k = 25n + 40n + 16 k + M5 0,25 đ k + không số nguyên tố Do k M ( ) 2 b) Ta chứng minh: Với a, b, c ( a + b + c ) a + b + c (*) Thật (*) a + b + c2 + 2ab + 2bc + 2ca 3a + 3b + 3c 0,5 đ (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 (luôn đúng) áp dụng (*) ta có: ( pa + pb + pc Suy ) ( 3p a b c ) = 3p 0,5 đ p a + p b + p c 3p (đpcm) Bài 4: (3,0 điểm) N D J I A O C B M a) Xét MBC MDB có: ã ã BDM = MBC (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) ã ã BMC = BMD ChuTieuThichHocToan hieuthh@gmail.com 0,5 đ Cựng hc Toỏn Do MBC MDB đồng dạng Suy 0,5 đ MB MD = MB.BD = MD.BC BC BD ã ã ã b) Gọi (J) đờng tròn ngoại tiếp BDC BJC = 2BDC = 2MBC ã hay MBC = ã BJC 0,5 đ ã 180 BJC ã BCJ cân J CBJ = ã ã BJC 180 O BJC ã ã Suy MBC + CBJ = + = 90 O MB BJ 2 0,5 đ Suy MB tiếp tuyến đờng tròn (J), suy J thuộc NB c) Kẻ đờng kính MN (O) NB MB Mà MB tiếp tuyến đờng tròn (J), suy J thuộc NB Gọi (I) đờng tròn ngoại tiếp ADC Chứng minh tơng tự I thuộc AN ã ã ã ã Ta có ANB = ADB = 2BDM = BJC CJ // IN 0,5 đ Chứng minh tơng tự: CI // JN Do tứ giác CINJ hình bình hành CI = NJ Suy tổng bán kính hai đờng tròn (I) (J) là: IC + JB = BN (không đổi) Bài 5: (1,0 điểm) A E 0,5 đ F a B b h c M K D G H g d f e J I C Gọi EF = a ; FG = b ; GH = c ; HI = d ; IJ = e ; JK = f ; KM = g ; ME = h (với a, b, c, d, e, f, g, h số hữu tỉ dơng) Do góc hình cạnh nên góc hình cạnh có số đo là: 0,25 đ (8 2).180O = 135O ChuTieuThichHocToan hieuthh@gmail.com Cựng hc Toỏn Suy góc hình cạnh là: 180O - 135O = 45O Do tam giác MAE ; FBG ; CIH ; DKJ tam giác vuông cân h b d f ; BF = BG = ; CH = CI = ; DK = DJ = 2 2 h b f d +a+ = +e+ Ta có AB = CD nên: 2 2 (e - a) = h + b - f - d h +bf d Ô (điều vô lý số vô tỉ) Nếu e - a = ea MA = AE = Vậy e - a = e = a hay EF = IJ (đpcm) 0,5 đ 0,25 đ S GIO DC BèNH NH K THI TUấN SINH VO LP 10 TRNG THPT CHUYấN Lấ QUí ễN NM HC 2009-2010 Mụn thi:Toỏn (chuyờn) Ngy thi:19/06/2009 Thi gian:150 phỳt chớnh thc Bi 1(1.5im) Cho a,b,c l di ba cnh ca mt tam giỏc.Chng minh rng: a b c 1< + + (*) Cõu 4: a) Ta cú : a.c = -1 < 0, phng trỡnh cú nghim phõn bit trỏi du vi b) Theo nh lý Viet ta cú ; vi Cõu 5: ChuTieuThichHocToan hieuthh@gmail.com 80 Cựng hc Toỏn a) Chng minh : Vỡ tớnh cht phng tớch ca tip tuyn nờn ta cú b) Chng minh: M, A, O, I, B cựng nm trờn ung trũn Vỡ nờn im B, A, I cựng nhỡn OM di mt gúc vuụng Vy im B, A, I, M, O cựng ni tip ng trũn ng kớnh OM c) T h thc lng tam giỏc vuụng ta cú: (c.g.c) ni tip Ta cú: (chng minh trờn) ( cựng chn cung DO) M (tam giỏc COD cõn ti O) l phõn giỏc ca gúc CHD d) K l trc tõm ca tam giỏc CDO thng hng ( chn na ng trũn ng kớnh KO) M D dng suy A, H, K thng hng suy A, B, K thng hng S GIO DC V O TO QUNG NAM K THI TUYN SINH LP 10 TRNG THPT Nm hc 2008 -2009 Mụn: TON Thi gian lm bi 120 phỳt (khụng k thi gian giao ) I Phn trc nghim (4, im) Chn ý ỳng mi cõu sau v ghi vo giy lm bi.Vớ d: Nu chn ý A cõu thỡ ghi 1A Cõu Giỏ tr ca biu thc (3 5) bng A B C D Cõu ng thng y = mx + song song vi ng thng y = 3x ChuTieuThichHocToan hieuthh@gmail.com 81 Cựng hc Toỏn A m = B m = C m = D m = Cõu x = x bng 46 A 10 B 52 C D 14 Cõu im thuc th hm s y = 2x l A ( 2; 8) B (3; 12) C ( 1; 2) D (3; 18) ct trc honh ti im cú to l Cõu ng thng y = x A (2; 0) B (0; 2) C (0; 2) D ( 2; 0) Cõu Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, ng cao AH Ta cú AC AH AB BH A sin B = B sin B = C sin B = D sin B = AB AB BC AB Cõu Mt hỡnh tr cú bỏn kớnh ỏy bng r v chiu cao bng h Din tớch xung quanh ca hỡnh tr ú bng A r2h B 2r2h C 2rh D rh Cõu Cho hỡnh v bờn, bit BC l ng kớnh ca ng trũn (O), im A nm trờn ng ã thng BC, AM l tip tuyn ca (O) ti M v MBC = 650 M S o ca gúc MAC bng 650 A 150 B 250 C 350 D 400 A O B II Phn t lun (6,0 im) Bi (1,5 im) a) Rỳt gn cỏc biu thc: M =2 5- ổ 45 + 20 ; 5- ữ ì ữ ữ 3+ 5ứ 5- b) Tng ca hai s bng 59 Ba ln ca s th nht ln hn hai ln ca s th hai l Tỡm hai số ú N =ỗ ỗ ỗ3 ố - Bi (1,5 im) Cho phng trỡnh bc hai x2 - 5x + m = (1) vi x l n s a) Gii phng trỡnh (1) m = b) Tỡm m phng trỡnh (1) cú hai nghim dng x1, x2 tho x1 x + x x1 = Bi (3,0 im) Cho ng trũn (O) ng kớnh AB bng 6cm Gi H l im nm gia A v B cho AH = 1cm Qua H v ng thng vuụng gúc vi AB, ng thng ny ct ng trũn (O) ti C v D Hai ng thng BC v DA ct ti M T M h ng vuụng gúc MN vi ng thng AB (N thuc ng thng AB) a) Chng minh MNAC l t giỏc ni tip ã b) Tớnh di on thng CH v tớnh tg ABC c) Chng minh NC l tip tuyn ca ng trũn (O) d) Tip tuyn ti A ca ng trũn (O) ct NC E Chng minh ng thng EB i qua trung im ca on thng CH S GIO DC V O TO K THI TUYN SINH LP 10 TRNG THPT QUNG NAM Nm hc 2008 -2009 HNG DN CHM MễN TON I Hng dn chung ChuTieuThichHocToan hieuthh@gmail.com 82 C Cựng hc Toỏn 1) Nu thớ sinh lm bi khụng theo cỏch nờu ỏp ỏn m ỳng thỡ cho im tng phn nh hng dn quy nh 2) Vic chi tit húa thang im (nu cú) so vi thang im hng dn chm phi m bo khụng sai lch vi hng dn chm v c thng nht Hi ng chm thi 3) im ton bi ly im l n 0,25 II ỏp ỏn v thang im Phn trc nghim (4,0 im) - HS chn ỳng mi cõu cho 0,5 im - ỏp ỏn Cõu Cõu Cõu Cõu Cõu Cõu Cõu Cõu A C B D A B C D Phn t lun (6,0 im) Bi ỏp ỏn im a) Bin i 0,25 M = 5 +4 = (1,5) ổ ữ 5- 3+ N =ỗ ì = ỗ ữ ỗ3 - + ữ - ố ứ = - (3 9- 5) 1 ì = ì 5- 5( - 1) 0,25 0,25 b) Gi x l s th nht, y l s th hai ỡ x + y = 59 ù Theo bi ta cú: ù 0,25 Gii h phng trỡnh tỡm c x = 25, y = 34 Kt lun hai s cn tỡm l 25 v 34 0,25 0,25 a) Khi m = 6, ta cú PT x2 - 5x + = Lp = 52 - 4.6 = Tỡm c hai nghim: x1 = 2; x2 = b) Lp = 25 - 4m 0,25 0,5 ù 3x - 2y = ù ợ 25 Phng trỡnh cú nghim x1, x2 hay m (1,5) p dng h thc Viet, ta cú x1 + x2 = ; x1.x2 = m ỡ x1 + x > ù Hai nghim x1, x2 dng ù hay m > ù x1 x > ù ợ iu kin phng trỡnh cú nghim dng x1, x2 l 0 t = => m = (tho (*)) * 2t2 + 9t + 18 = : phng trỡnh vụ nghim Vy vi m = thỡ phng trỡnh ó cho cú hai nghim dng x1, x2 tho 0,25 x1 x + x x1 = Hỡnh v phc v a) Hỡnh v phc v b), c), d) M K 0,25 0,25 C E N I A H ã ã a) Lớ lun c ACM = 900 , ANM = 900 Kt lun ANMC l t giỏc ni tip (3,0) O B D b) p dng h thc lng tam giỏc vuụng ABC ta cú: CH2 = AH.HB CH = AH.HB = (cm) CH ã t gABC = = HB ã ã c) Lớ lun c: ACN=AMN ã ã ã ADC=ABC = BCO ã ã ADC=AMN ã ã Suy c ACN=BCO ã Lớ lun NCO=900 Kt lun NC l tip tuyn ca ng trũn (O) d) Gi I l giao im ca BE v CH v K l giao im ca tip tuyn AE v BM Lớ lun c OE//BM T ú lớ lun suy E l trung im ca AK IC IH BI = Lý lun c (cựng bng ) EK EA BE M EK = EA Do ú IC = IH Kt lun: ng thng BE i qua trung im ca on thng CH ChuTieuThichHocToan hieuthh@gmail.com 0.25 0.25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 84 Cựng hc Toỏn S GIO DC V O TO QUNG NAM K THI TUYN SINH LP 10 TRNG THPT CHUYấN Nm hc 2008-2009 Mụn TON Thi gian lm bi 150 phỳt ( khụng k thi gian giao ) Bi ( im ): a) Thc hin phộp tớnh: 10 + 20 12 b) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc x x 2008 Bi ( 1,5 im ): mx y = Cho h phng trỡnh: 3x + my = a) Gii h phng trỡnh m = b) Tỡm giỏ tr ca m h phng trỡnh ó cho cú nghim (x; y) tha h m2 thc x + y = m +3 Bi (1,5 im ): a) Cho hm s y = x , cú th l (P) Vit phng trỡnh ng thng i qua hai im M v N nm trờn (P) ln lt cú honh l v b) Gii phng trỡnh: 3x + 3x x + x = Bi ( im ): Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD), giao im hai ng chộo l O ng thng qua O song song vi AB ct AD v BC ln lt ti M v N MO MO + = a) Chng minh: CD AB 1 + = b) Chng minh: AB CD MN c) Bit S AOB = m ; S COD = n Tớnh S ABCD theo m v n (vi S AOB , S COD , S ABCD ln lt l din tớch tam giỏc AOB, din tớch tam giỏc COD, din tớch t giỏc ABCD) Bi ( im ): Cho ng trũn ( O; R ) v dõy cung AB c nh khụng i qua tõm O; C v D l hai im di ng trờn cung ln AB cho AD v BC luụn song song Gi M l giao im ca AC v BD Chng minh rng: a) T giỏc AOMB l t giỏc ni tip b) OM BC ChuTieuThichHocToan hieuthh@gmail.com 85 Cựng hc Toỏn nh c) ng thng d i qua M v song song vi AD luụn i qua mt im c Bi ( im ): x2 y2 + x+y a) Cho cỏc s thc dng x; y Chng minh rng: y x b) Cho n l s t nhiờn ln hn Chng minh rng n + n l hp s S GIO DC V O TO QUNG NAM K THI TUYN SINH LP 10 TRNG THPT CHUYấN Nm hc 2008-2009 Mụn TON Thi gian lm bi 150 phỳt ( khụng k thi gian giao ) HNG DN CHM MễN TON I Hng dn chung: 1) Nu thớ sinh lm bi khụng theo cỏch nờu ỏp ỏn m ỳng thỡ cho im tng phn nh hng dn quy nh 2) Vic chi tit húa thang im (nu cú) so vi thang im hng dn chm phi m bo khụng sai lch vi hng dn chm v c thng nht Hi ng chm thi 3) im ton bi ly im l n 0,25 II ỏp ỏn: Bi Ni dung im 0,25 ( )(3 + 2) a) Bin i c: 0,25 =3 2+2 b) iu kin x 2008 1 x x 2008 = ( x 2008 x 2008 + ) + 2008 4 8031 8031 = ( x 2008 ) + 0,25 4 8033 Du = xy x 2008 = x = (tha món) Vy giỏ tr 8031 8033 0,25 x = nh nht cn tỡm l 4 2x y = 0,25 a) Khi m = ta cú h phng trỡnh 3x + y = 2 +5 x y = 2 x = 0,25 3x + y = y = 2x ChuTieuThichHocToan hieuthh@gmail.com 86 Cựng hc Toỏn (1,5) 0,25 2 +5 x = y = b) Gii tỡm c: x = Thay vo h 2m + 5m ;y= 2 m +3 m +3 thc x + y = 0,25 m ; m2 + 2m + 5m m2 + = m2 + m2 + m +3 Gii tỡm c m = ta c 0,25 0,25 a) Tỡm c M(- 2; - 2); N (1 : ) 0,25 Phng trỡnh ng thng cú dng y = ax + b, ng thng i qua M v N nờn 2a + b = 0,25 a + b = (1,5) 0,25 Tỡm c a = ; b = Vy phng trỡnh ng thng cn tỡm l y = x b) Bin i phng trỡnh ó cho thnh 3( x + x ) x + x = t t = x + x ( iu kin t ), ta cú phng trỡnh 3t t = 0,25 Gii tỡm c t = hoc t = (loi) 0,25 Vi t = 1, ta cú x + x = x + x = Gii c x= 1+ 5 hoc x = 2 0,25 Hỡnh v 0,25 ChuTieuThichHocToan hieuthh@gmail.com 87 Cựng hc Toỏn A B M O N D C MO AM MO MD = ; = CD AD AB AD MO MO AM + MD AD + = = = (1) Suy CD AB AD AD NO NO + = (2) b) Tng t cõu a) ta cú CD AB MO + NO MO + NO MN MN + = hay + =2 (1) v (2) suy CD AB CD AB 1 + = Suy CD AB MN S AOB OB S AOD OA OB OA S S = ; = ; = AOB = AOD S AOD S COD c) S AOD OD S COD OC OD OC a) Chng minh c S = m n S AOD = m.n AOD 2 Tng t S BOC = m.n Vy S ABCD = m + n + 2mn = (m + n ) Hỡnh v (phc v cõu a) 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 A D I O M (3) B C a) Chng minh c: - hai cung AB v CD bng - s gúc AMB bng s cung AB Suy c hai gúc AOB v AMB bng O v M cựng phớa vi AB Do ú t giỏc AOMB ni tip b) Chng minh c: - O nm trờn ng trung trc ca BC (1) - M nm trờn ng trung trc ca BC (2) T (1) v (2) suy OM l ng trung trc ca BC, suy ChuTieuThichHocToan hieuthh@gmail.com 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 88 Cựng hc Toỏn OM BC c) T gi thit suy d OM Gi I l giao im ca ng thng d vi ng trũn ngoi tip t giỏc AOMB, suy gúc OMI bng 90 , ú OI l ng kớnh ca ng trũn ny Khi C v D di ng tha bi thỡ A, O, B c nh, nờn ng trũn ngoi tip t giỏc AOMB c nh, suy I c nh Vy d luụn i qua im I c nh x2 y2 + x+y (1) y x x + y xy( x + y) ( x + y)( x y) (2) (2) luụn ỳng vi mi x > 0, y > Vy (1) luụn ỳng vi mi x > 0, y > b) n l s t nhiờn ln hn nờn n cú dng n = 2k hoc n = 2k + 1, vi k l s t nhiờn ln hn - Vi n = 2k, ta cú n + n = ( 2k ) + k ln hn v chia ht cho Do ú n + n l hp s -Vi n = 2k+1, tacú n + n = n + k = n + (2.4 k ) = (n + 2.4 k ) (2.n.2 k ) = (n2 + 22k+1 + n.2k+1)(n2 + 22k+1 n.2k+1) = [( n+2k)2 + 22k ][(n 2k)2 + 22k ] Mi tha s u ln hn hoc bng Vy n4 + 4n l hp s 0,25 0,25 0,25 0,25 a) Vi x v y u dng, ta cú (1) 0,25 0,25 0,25 0,25 ======================= Ht ======================= S GIO DC V O TO QUNG NAM K THI TUYN SINH LP 10 TRNG THPT CHUYấN Nm hc 2008-2009 Mụn TON ( Dnh cho hc sinh chuyờn Tin) Thi gian lm bi 150 phỳt ( khụng k thi gian giao ) Bi (1,5 im ): a) Thc hin phộp tớnh: 10 + 20 12 b) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc x x 2008 ChuTieuThichHocToan hieuthh@gmail.com 89 Cựng hc Toỏn Bi (2 im ): mx y = Cho h phng trỡnh: 3x + my = a) Gii h phng trỡnh m = b) Tỡm giỏ tr ca m h phng trỡnh ó cho cú nghim (x; y) tha h m2 thc x + y = m +3 Bi (2 im ): a) Cho hm s y = x , cú th l (P) Vit phng trỡnh ng thng i qua hai im M v N nm trờn (P) ln lt cú honh l v b) Gii phng trỡnh: 3x + 3x x + x = Bi ( 1,5 im ): Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD), giao im hai ng chộo l O ng thng qua O song song vi AB ct AD v BC ln lt ti M v N a) Chng minh: MO MO + = CD AB b) Chng minh: 1 + = AB CD MN Bi ( im ): Cho ng trũn ( O; R ) v dõy cung AB c nh khụng i qua tõm O; C v D l hai im di ng trờn cung ln AB cho AD v BC luụn song song Gi M l giao im ca AC v BD Chng minh rng: a) T giỏc AOMB l t giỏc ni tip b) OM BC c) ng thng d i qua M v song song vi AD luụn i qua mt im c nh ======================= Ht ======================= S GIO DC V O TO QUNG NAM K THI TUYN SINH LP 10 TRNG THPT CHUYấN Nm hc 2008-2009 Mụn TON (Dnh cho hc sinh chuyờn Tin) Thi gian lm bi 150 phỳt ( khụng k thi gian giao ) HNG DN CHM MễN TON I Hng dn chung: ChuTieuThichHocToan hieuthh@gmail.com 90 Cựng hc Toỏn 1) Nu thớ sinh lm bi khụng theo cỏch nờu ỏp ỏn m ỳng thỡ cho im tng phn nh hng dn quy nh 2) Vic chi tit húa thang im (nu cú) so vi thang im hng dn chm phi m bo khụng sai lch vi hng dn chm v c thng nht Hi ng chm thi 3) im ton bi ly im l n 0,25 II ỏp ỏn: Bi Ni dung im 0,50 ( )(3 + 2) a) Bin i c: 0,25 =3 2+2 b) iu kin x 2008 1 x x 2008 = ( x 2008 x 2008 + ) + 2008 4 8031 8031 = ( x 2008 ) + 0,50 4 8033 Du = xy x 2008 = x = (tha món) Vy giỏ tr 8031 8033 0,25 x = nh nht cn tỡm l 4 2x y = 0,25 a) Khi m = ta cú h phng trỡnh 3x + y = x y = 2 3x + y = 0,25 (2) 2 +5 x = y = 2x 0,25 2 +5 x = y = 0,25 b) Gii tỡm c: x = Thay vo h 2m + 5m ;y= 2 m +3 m +3 thc x + y = 0,50 m2 ; m2 + 2m + 5m m2 + = m2 + m + m +3 Gii tỡm c m = ChuTieuThichHocToan hieuthh@gmail.com ta c 0,25 0,25 91 Cựng hc Toỏn (2) a) Tỡm c M(- 2; - 2); N (1 : ) Phng trỡnh ng thng cú dng y = ax + b, ng thng i qua M v N nờn 2a + b = a + b = Tỡm c a = ; b = Vy phng trỡnh ng thng cn tỡm l y = x b) Bin i phng trỡnh ó cho thnh 3( x + x ) x + x = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 t t = x + x ( iu kin t ), ta cú phng trỡnh 3t t = 0,25 Gii tỡm c t = hoc t = (loi) 0,25 2 Vi t = 1, ta cú x + x = x + x = Gii c 1+ 5 hoc x = 2 Hỡnh v x= 0,25 A M B O D N 0,25 C MO AM MO MD = ; = CD AD AB AD MO MO AM + MD AD + = = = (1) (1,5) Suy CD AB AD AD NO NO + = (2) b) Tng t cõu a) ta cú CD AB MO + NO MO + NO MN MN + = hay + =2 (1) v (2) suy CD AB CD AB 1 + = Suy CD AB MN Hỡnh v (phc v cõu a) a) Chng minh c ChuTieuThichHocToan hieuthh@gmail.com 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 92 Cựng hc Toỏn A D I O M (3) B C a) Chng minh c: - hai cung AB v CD bng - s gúc AMB bng s cung AB Suy c hai gúc AOB v AMB bng O v M cựng phớa vi AB Do ú t giỏc AOMB ni tip b) Chng minh c: - O nm trờn ng trung trc ca BC (1) - M nm trờn ng trung trc ca BC (2) T (1) v (2) suy OM l ng trung trc ca BC, suy OM BC c) T gi thit suy d OM Gi I l giao im ca ng thng d vi ng trũn ngoi tip t giỏc AOMB, suy gúc OMI bng 90 , ú OI l ng kớnh ca ng trũn ny Khi C v D di ng tha bi thỡ A, O, B c nh, nờn ng trũn ngoi tip t giỏc AOMB c nh, suy I c nh Vy d luụn i qua im I c nh ChuTieuThichHocToan hieuthh@gmail.com 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 93