Đang tải... (xem toàn văn)
Tuyển tập bất đẳng thức hay Có thể nói đây là một tuyệt đỉnh của bất đẳng thức . Mình đã sưu tầm được trong khi tìm tài liệu ôn thi HSG. Chắc chắn một điều rằng tài liệu này sẽ giúp ích rất nhiều trong việc kiểm điểm tối đa trong mỗi kì thi , Cảm ơn thầy cô và các bạn đã đọc tài liệu này
Class : B2 Trường THPT Nông Cống I L.S Tuyệt đỉnh bất đẳng thức Lonely Star Học sinh khóa : 53 B2 Trường THPT Nông Cống I Lớp : 2 2 4 5 + 18y + = 8x + ÷+ 18y + ÷+ + ÷≥ + 12 + 23 = 43 x y x y x y 1 1 1 1 Dấu xảy ( x; y ) = ; ÷.Vậy Min B 43 ( x; y ) = ; ÷ 3 3 Bài 35 Cho x, y z ba số thực thuộc đoạn [1;2] có tổng không vượt Chứng minh x2 + y2 + z2 ≤ Gải: B = 8x + ≤ x ≤ ⇒ x − ≥ x − ≤ ⇒ ( x − 1)( x − 2) ≤ ⇒ x ≤ 3x − Tương tự y ≤ 3y − z ≤ 3z − ⇒ x2 + y2 + z2 ≤ 3( x + y +z) – ≤ – = Bài 36 Cho a,b,c số thuộc [ −1; 2] thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2 = Chứng minh a +b+c ≥ Giải: ( a + 1) ( a − ) ≤ ⇔ a − a − ≤ 0; b − b − ≤ 0; c − c − ≤ ⇒ a + b + c ≥ a + b2 + c − = Bài 37 Cho số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c ≤ Chứng minh rằng: a2 + 1 97 + b2 + + c + ≥ b c a Giải: 81 1.a + ÷ ≤ + ÷ a + ÷ ⇒ a + ≥ a + ÷; b 16 b b 4b 97 b + ≥ b + ÷; c + ≥ c + ÷ c 4c a 4a 97 97 cộng vế lại Bài 38 Cho tam giác có ba cạnh a,b,c chu vi 2p Chứng minh p p p + + ≥9 p−a p−b p−c Giải: p p p 1 9 + + ≥ hay + + ≥ = p−a p−b p−c p −a p −b p −c p −a + p −b + p −c p Bài 39 Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: 3(a + b + c ) + 2abc ≥ 52 Giải: abc ≥ (−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c) = (6 − 2a) ( − 2b ) ( − 2c ) ⇔ abc ≥ −24 + ⇔ 2abc ≥ −48 + ( ab + bc + ac ) 16 36 − (a + b + c ) 2 ⇔ (a + b + c ) + 2abc ≥ 48 (1) a + b2 + c2 ≥ (2) (1)and(2) ⇒ dpcm ( a − 2) + ( b − 2) + ( c − 2) ≥ ⇔ Có chứng minh 3(a + b2 + c ) + 2abc < 18 hay không? 2 Bài 40 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 4(a3 + b3 + c3 ) + 15abc Giải: Có a ≥ a − (b − c)2 = (a − b + c)(a + b − c ) (1) , b ≥ b − (c − a )2 = (b − c + a)(b + c − a ) (2) c ≥ c − (a − b) = (c − a + b)(c + a − b) (3) Dấu ‘=’ xảy ⇔ a = b = c Do a,b,c độ dài cạnh tam giác nên vế (1), (2), (3) dương Nhân vế với vế (1), (2), (3) ta có : abc ≥ (a + b − c)(b + c − a )(c + a − b) (*) Từ a + b + c = nên (*) ⇔ abc ≥ (2 − 2a)(2 − 2b)(2 − 2c) ⇔ − 8(a + b + c ) + 8(ab + bc + ca ) − 9abc ≤ ⇔ + 9abc − 8(ab + bc + ca ) ≥ ⇔ 9abc − 8(ab + bc + ca) ≥ −8 (*) Ta có a3 + b3 + c3 = (a + b + c)3 − 3(a + b + c )(ab + bc + ca ) + 3abc = − 6(ab + bc + ca ) + 3abc Từ 4(a + b3 + c3 ) + 15abc = 27 abc − 24( ab + bc + ca) + 32 = [ 9abc − 8(ab + bc + ca) ] + 32 (**) Áp dụng (*) vào (**) cho ta 4(a + b3 + c ) + 15abc ≥ 3.(−8) + 32 = Dấu “=” xảy a = b = c = Từ giá trị nhỏ P đạt a = b = c = Bài 41 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Chứng minh ≤ a + b3 + c3 + 3abc < Giải: *P = a3 + b3 + c + 3abc Ta có a3 + b3 + c − 3abc = (a + b + c )(a + b + c − ab − bc − ac ) ⇔ a + b3 + c − 3abc = (a + b + c − ab − bc − ac ) (1) có abc ≥ (− a + b + c )(a − b + c)(a + b − c ) = (1 − 2a)(1 − 2b)(1 − 2c) = −2 −1 + 4(ab + bc + ca ) − 8abc ⇔ 6abc ≥ + ( ab + bc + ca ) (2) 3 (1)and(2) ⇒ a3 + b3 + c + 3abc ≥ a + b + c − + ( ab + bc + ca ) 3 mà ab + bc + ca = ( − a + b2 + c 2 ) ⇒P≥1 (a ) + b2 + c + 1 1 1 1 1 2 a − ÷ + b − ÷ + c − ÷ ≥ ⇔ a + b + c ≥ ⇒ P ≥ + = 3 3 3 6 *P = a3 + b3 + c + 3abc abc ≥ (− a + b + c )(a − b + c)(a + b − c ) = (1 − 2a)(1 − 2b)(1 − 2c) = −1 + 4(ab + bc + ca ) − 8abc > ⇒ ab + bc + ca ) − 2abc > (3) P = a3 + b3 + c + 3abc = (a + b + c)(a + b + c − ab − bc − ac ) + 6abc = a + b + c − ab − bc − ac + 6abc = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) + 6abc 1 = − ( ab + bc + ca − 2abc ) < − = 4 Bài 42 Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 Chứng minh rằng: x + y + z − xy − yz − zx + xyz ≥ Giải: Chứng minh xyz ≥ ( − x + y + z ) ( x − y + z ) ( x + y − z ) = (6 − x)(6 − y )(6 − z ) = 216 − 72( x + y + z ) + 24( xy + yz + zx) − 8xyz ⇔ xyz ≥ −24 + ( xy + yz + zx) (1) mà ( x + y + z ) = ⇔ x + y + z + 2xy + yz + 2xz = ⇔ x + y + z − xy − yz − xz = 36 − 3xy − yz − 3xz (2) Bài 43 Nên xyz + x + y + z − xy − yz − xz + ≥ −24 + ( xy + yz + zx)+ 36 − 3xy − yz − 3xz ⇔ xyz + x + y + z − xy − yz − xz + ≥ 12 − ( xy + yz + zx) mà ( x + y + z ) ≥ 3( xy + yz + zx) ( x + y + z) 36 ⇒ xyz + x + y + z − xy − yz − xz + ≥ 12 − = 12 − =8 3 2 Cho a ≥ 1342; b ≥ 1342 Chứng minh a + b + ab ≥ 2013 ( a + b ) Dấu đẳng thức xảy 2 2 nào? Giải: Ta sử dụng ba kết sau: ( a − 1342 ) + ( b − 1342 ) ≥ 0; ( a − 1342 ) ( b − 1342 ) ≥ 0; a − 1342 + b − 1342 ≥ Thật vậy: (1) ( a − 1342 ) + ( b − 1342 ) ≥ ⇔ a + b − 2.1342 ( a + b ) + 2.13422 ≥ (2) ( a − 1342 ) ( b − 1342 ) ≥ ⇔ ab − 1342a − 1342b + 13422 ≥ ⇒ a + b − 2.1342 ( a + b ) + 2.13422 + ab − 1342a − 1342b + 13422 ≥ ⇔ a + b2 + ab ≥ 3.1342 ( a + b ) − 3.13422 = 2.2013 ( a + b ) − 3.13422 = 2013 ( a + b ) + 2013 ( a + b ) − 2.2013.1342 = 2013 ( a + b ) + 2013 ( a + b − 1342 − 1342 ) ≥ 2013 ( a + b ) 2 Bài 44 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = ( x − 1) + ( x − 3) + ( x − 1) Giải: Cách 1: ( x − 3) Cách : A = ( x − 1) + ( x − 3) + ( x − 1) 4 ( x − 3) 2 2 2 A = ( x − 1) + ( x − 3) + ( x − 1) ( x − 3) A = 2x − 8x + 10 + ( x − 4x + ) A = 2( x − 2) + + ( ( x − 2) − 1) 2 A = 4( x − 2) + 8( x − 2) + + 4( x − 2) − 8( x − 2) + A = 8( x − 2) + ≥ Bài 45: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng: ab bc ca + + ≤ c +1 a +1 b +1 Giải: Bài 46 Cho x,y,z ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz=1 Chứng minh rằng: 1+ x + y 3 + 1 + ≤1 3 + y + z + z + x3 Giải: x + y ≥ 2xy ⇒ ( x + y ) ( x + y ) ≥ 2xy ( x + y ) ⇒ x + y ≥ xy ( x + y ) ⇒ + x + y ≥ xy ( x + y + z ) ⇒ ⇒ 1+ x + y 3 ≤ 1+ x + y 3 ≤ xy ( x + y + z ) z x y ; ≤ ; ≤ ⇒ dpcm 3 3 x + y + z 1+ y + z x + y + z 1+ z + x x+ y+z Bài 47 Cho a,b số thực dương Chứng minh : ( a + b) + a+b ≥ 2a b + 2b a 2 + a+b 1 1 = ( a + b ) a + b + ÷ = ( a + b ) a + ÷+ b + ÷÷ ≥ ab ( a + b ) = 2a b + 2b a Bà 2 4 Giải: ( a + b) i 48 Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: 1 + 8a + 1 + + 8b + 8c3 ≥1 Giải: 1 + 8a ; = ≥ ≥ ( 2a + 1) ( 4a − 2a + 1) 1 ≥ 1 + 8c3 2c + 1 1 ⇒ VT ≥ + + ≥ =1 2a + 2b + 2c + 2a + + 2b + + 2c + 1 + 8b3 2b + ; = = 2 2a + + 4a − 2a + 4a + 2a + 2 Bài 49 Với a,b,c ba số thực dương Chứng minh : a b3 c + + ≥ a + b2 + c2 b c a Giải: Cách 1: 2 ( a + b2 + c ) ( a + b2 + c ) ≥ a + b2 + c a b3 c a b c ( a + b + c ) + + = + + ≥ = b c a ab bc ca ab + bc + ca ab + bc + ca Cách a3 b3 c3 + ab ≥ 2a ; + bc ≥ 2b ; + ca ≥ 2c ⇒ VT ≥ ( a + b + c ) − (ab + bc + ca ) ≥ a + b + c Bài b c a 50 Cho x,y,z ba số thực dương thỏa mãn xyz = Chứng minh rằng: x2 y2 z2 + + ≥ y +1 z +1 x +1 Giải: x2 y +1 y2 z +1 z2 x +1 3 3 + ≥ x; + ≥ y; + ≥ z ⇒ VT ≥ ( x + y + z ) − ≥ − = y +1 z +1 x +1 4 4