TI: HNG DN HC SINH TèM LI GII CHO BI TON CHNG MINH BNG PHNG PHP PHN TCH NGC TRONG MễN HèNH HC LP I T VN Lý chn chuyờn : Trong chng trỡnh hỡnh hc THCS cỏc bi yờu cu chng minh chim t l ln nờn yờu cu giỏo viờn ging dy cn hng dn hc sinh tỡm cỏch chng minh bi toỏn ch khụng n thun l giỳp hc sinh cú c li gii bi toỏn Thụng qua vic hng dn ca giỏo viờn giỳp hc sinh t ỳc kt c phng phỏp chng minh, tin ti cú c phng phỏp hc b mụn hỡnh hc Vi chng trỡnh hỡnh hc 6, hc sinh mi ch lm quen vi cỏc khỏi nim m u v hỡnh hc Hc sinh c tip cn kin thc bng ng quy np khụng hon ton, t quan sỏt, th nghim, o c, v hỡnh i dn n kin thc mi Hc sinh nhn thc cỏc hỡnh v mi liờn h gia chỳng bng mụ t trc quan vi s h tr ca trc giỏc, ca tng tng l ch yu Lờn lp hc sinh bc u lm quen vi cỏc mi quan h vuụng gúc, song song, bng Vi yờu cu v k nng t thp n cao ũi hi phi cú s suy lun lụgớc hp lý, kh nng s dng ngụn ng chớnh xỏc thụng qua cỏc bi chng minh Vic lm quen v tip cn vi bi toỏn chng minh i vi hc sinh lp cũn mi m nờn i a s hc sinh cha bit chng minh nh th no v bt u t õu Nu ny khụng c khc phc t lp thỡ HS s khụng th tip thu c kin thc hỡnh hc cỏc lp trờn Do vy vai trũ ca giỏo viờn ging dy lỳc ny rt quan trng Giỏo viờn l ngi hng dn, phõn tớch giỳp hc sinh tỡm cỏch chng minh bi toỏn hỡnh hc t ú hỡnh thnh k nng phõn tớch, tng hp kin thc v k nng trỡnh by li gii T ú hỡnh thnh phng phỏp hc toỏn cho HS Vi cỏc lý trờn nờn tụi chn ti Hng dn hc sinh tỡm li gii cho bi toỏn chng minh bng phng phỏp phõn tớch ngc mụn hỡnh hc lp C s lớ lun ca ti: Trong trng THCS mụn toỏn c coi l mụn khoa hc luụn c chỳ trng nht v cng l mụn cú nhiu khỏi nim tru tng c bit phi khng nh l phõn mụn hỡnh hc cú nhiu nim tru tng nht, kin thc bi li phong phỳ, rt nhiu so vi ni dung lý thuyt mi hc Bờn cnh ú yờu cu bi li cao, nhiu bi toỏn dng chng minh ũi hi phi suy din cht ch lụ gớc v cú trỡnh t SGK hỡnh hc 7, cỏc kin thc c trỡnh by theo ng kt hp trc quan v suy din, lp lun Bng o dc, v hỡnh, gp hỡnh, quan sỏt hc sinh d oỏn cỏc kt lun hỡnh hc v tip cn cỏc nh lý Nh ú giỳp HS cú hng thỳ hc tp, chu khú tỡm tũi khỏm phỏ kin thc Sỏch giỏo khoa hỡnh hc tip tc b sung kin thc m u ca hỡnh hc phng lp lm quen vi cỏc khỏi nim mi: Hai ng thng vuụng gúc, hai ng thng song song, quan h bng ca hai tam giỏc, tam giỏc cõn, tam giỏc u, nh lớ Pitago, quan h gia cỏc yu t tam giỏc, cỏc ng ng quy tam giỏc Chng trỡnh hỡnh hc l bc chuyn tip quan trng v t giỳp HS hc tt c chng trỡnh hỡnh hc v H thng cỏc bi a dng phong phỳ c th hin di nhiu hỡnh thc, phn ln l cỏc bi chng minh, t ú ũi hi HS phi cú phng phỏp phõn tớch hp lớ tỡm c li gii cho bi toỏn Vỡ vy vic hng dn hc sinh cỏch phõn tớch tỡm li gii cho bi toỏn l ht sc quan trng dy hng thỳ hc tp, giỳp hc sinh hc toỏn nh nhng ho hng, t kt qu tt hn C s thc tin ca chuyờn a) i vi giỏo viờn: C bn l cú tinh thn t bi dng thng xuyờn, liờn tc nõng cao trnh chuyờn mụn nghp v Cú trỏch nhim i vi hc sinh, i vi trng lp Phng phỏp ging dy ú cú s i mi hn theo hng tớch cc húa hot ng ca ngi hc, tng bc ỏp dng cụng ngh thụng tin vo ging dy Tuy nhiờn mt b phn khụng nh giỏo viờn cũn lỳng tỳng vic phõn tớch, hng dn cho HS tỡm li gii cho bi toỏn GV thng phõn tớch xuụi chiu t gi thit n kt lun, khin HS khụng hiu ti v nguyờn nhõn no a n li gii ca bi toỏn vỡ th khụng dng c vo gii cỏc bi toỏn khỏc, ú HS khụng bit cỏch hc toỏn, c th l cỏch suy ngh tỡm li gii cho mt bi toỏn c bit l cỏc bi toỏn chng minh mụn hỡnh hc, khin HS tip thu mt cỏch th ng, thiu t nhiờn, thiu tớnh sỏng to, dn n kt qu hc thp b) i vi hc sinh: Mt b phn hc sinh, khong 20% rt tớch cc hc tp, rốn luyn, cú ng c hc ỳng n nờn ú c kt qu hc tt Mt b phn ln hc sinh, khong 35% cỳ kt qu hc trung bỡnh, s ny cú khong 15% nu cú phng phỏp hc phự hp thỡ s t mc khỏ S cũn li (45%) hc yu, trờn lp hu nh khụng tip thu c bi hc, ú phn ln l cỏc em khụng cú phng phỏp hc toỏn phự hp, khụng cú k nng phõn tớch, tỡm li gii cho bi toỏn Qua tỡm hiu tụi thy nguyờn nhõn quỏ trỡnh dy hc thy cụ giỏo cha hng dn hc sinh phng phỏp hc ỳng n, cỏc hỡnh thc t chc cỏc hot ng dy hc gi hc cha phong phỳ nờn cha kớch thớch c hc sinh hng thỳ hc II Mc tiờu, phm vi v i tng ca chuyờn : Mc tiờu Thụng qua chuyờn tụi mun trao i thờm v phng phỏp ging dy hỡnh hc cú hiu qu ging dy cao nht Giỳp cho hc sinh cú hng suy ngh tỡm tũi li gii cho mt bi toỏn chng minh hỡnh hc, nhm dn hỡnh thnh k nng phõn tớch, tng hp kin thc, Giỳp phỏt trin t v rốn kh nng t hc cho HS, ỏp ng yờu cu i mi giỏo dc Phm vi Cú rt nhiu ng, nhiu phng phỏp tỡm li gii cho mt bi toỏn hỡnh hc, nhng vỡ iu kin thi gian chuyờn ch cp n mt phng phỏp quan trng v ph bin vic tỡm cỏch chng minh bi toỏn hỡnh hc: Phng phỏp phõn tớch ngc mụn hỡnh hc i tng HS 7, mụn hỡnh hc III NI DUNG Cỏc bi toỏn chng minh hỡnh hc thng gm: - Chng minh bng nhau: on thng bng nhau, gúc bng nhau, tam giỏc bng nhaung dng : So sỏnh gúc, on thng, CM trung im ca on thng, tia phõn giỏc ca gúc - Chng minh song song: - Chng minh vuụng gúc - Chng minh thng hng - Chng minh cỏc ng thng ng quy - Chng minh cỏc yu t c nh, Phng phỏp chung tỡm li gii bi toỏn a) Tỡm hiu ni dung bi toỏn + Gi thit l gỡ? Kt lun l gỡ? Hỡnh v minh sao? S dng kớ hiu nh th no? + Phỏt biu bi toỏn di nhng dng khỏc hiu rừ bi toỏn + Dng toỏn no? + Kin thc c bn cn cú l gỡ? b) Xõy dng chng trỡnh gii: Ch rừ cỏc bc gii theo mt trỡnh t thớch hp c) Thc hin chng trỡnh gii: Trỡnh by bi lm theo cỏc bc ó c ch Chỳ ý cỏc sai lm thng gp tớnh toỏn, bin i d) Kim tra v nghiờn cu li gii + Xem xột cú sai lm khụng, cú phi bin lun kt qu khụng + Nghiờn cu bi toỏn tng t, m rng hay lt ngc , Phng phỏp chng minh bi toỏn hỡnh hc theo hng phõn tớch i lờn * Ngoi vic tuõn th theo bn bc chung, ta i sõu vo hai bc: Tỡm hiu v xõy dng chng trỡnh gii - Bi toỏn yờu cu phi chng minh iu gỡ? (Kt lun A) - chng c kt lun A ta phi chng minh c iu gỡ? (Kt Lun X) - chng minh c kt lun X ta da vo du hiu no, chng minh iu gỡ? (Kt luõn Y) - Quỏ trỡnh phõn tớch trờn dng li ó s dng c gi thit ca bi toỏn v cỏc kin thc ó hc trc ú S phõn tớch bi toỏn nh sau: chng minh A Phi cm X Phi cm Y Phi cm Phi cm Z (CM c t GT) Lu ý: Khi trỡnh by li gii, hc sinh phi tin hnh theo hng ngc li Kt qu t c sau thc hin chuyờn Trc xõy dng chuyờn ny tụi tin hnh kho sỏt hc sinh v chng minh bi toỏn hỡnh hc, kt qu l: S lng hc sinh c kim T l hc sinh bit chng minh (mc tra chun KTKN) 67 35 HS chim 52,2% Sau thc hin chuyờn kt qu t c nh sau: S lng hc sinh c kim T l hc sinh bit chng minh (mc tra chun KTKN) 67 47 HS chim 70,1% Cỏc vớ d c th: Vớ d 1: Cho tam giỏc ABC, M l trung im ca BC Trờn tia i ca tia MA ly im E cho ME = MA Chng minh rng a) AB = CE b) AC // BE Hng dn tỡm li gii: Sau hng dn hc sinh v hỡnh v ghi gt, kl giỏo viờn yờu cu hc sinh tr li cỏc cõu hi sau: a) chng minh AB = CE ta phi chng minh iu gỡ? (GV gi ý: Da vo cỏc tam giỏc bng cú cha hai cnh l hai on thng trờn) () ABM = ECM - T GT ta ó CM c hai tam giỏc trờn bng cha? Ti sao? ( (c g c)) ABM = ECM - Sau ú giỏo viờn cho hc sinh trỡnh by theo hng ngc li b) chng minh hai ng thng song song ta da vo cỏc du hiu no? (Hc sinh nờu cỏc du hiu giỏo viờn hng cho hc sinh nờn s dng cp gúc so le bng nhau) chng minh AC//BE: Ta chng minh cp gúc no bng nhau? (gúc CAE bng gúc BEA hoc gúc ACB bng gúc CBE) AMC = EMB - Mun chng minh ACB bng gúc CBE ta chng minh hai tam giỏc no bng nhau? () gúc AMC = EMB - T GT ta ó CM c hai tam giỏc trờn bng cha? Ti sao? ( (c g - c)) Sau ú hc sinh trỡnh by cỏch chng minh theo hng ngc li S phõn tớch: AC // BE AMC = EMB c/m gúc ACB bng gúc CBEc/m Vớ d 2: Cho tam giỏc ABC, K l trung im ca BC Trờn na mt phng b AC khụng cha im B k Ax vuụng gúc vi AC v ly M Ax cho AM = AC Trờn na mt phng b l ng thng AB khụng cha im C k Ay vuụng gúc vi AB v ly N thuc Ay cho AN = AB Ly P trờn tia i ca tia KA cho AK = KP CMR: a) AC//BP AMN = BPA c) AK MN b) Hng dn tỡm li gii Giỏo viờn cho hc sinh v hỡnh ghi GT, KL a) Hng dn nh VD 1: b) GV: Hai tam giỏc ó cú nhng yu t no bng nhau? (c-c) ã Ta s CM hai tam giỏc bng MAN = ã ABP theo trng hp no? Khi ú cn CM thờm iu kin gỡ? () - Gúc MAN v gúc BAC cú quan h gỡ vi nhau? (bự nhau) ã Vy CM: ta phi CM u gỡ? MAN = ã ABP (Gúc ABP v gúc BAC bự nhau) - Ta CM c gúc ABP v gúc BAC bự da vo yu t no? (AC//BP) - S phõn tớch: CM MAN=BPA ta cm ta cm ã ã ã (CM c MAP = ABP MAN + BAC = ã ã ã ABP + BAC t AC//BP c) Giỏo viờn hng dõn hc sinh chng minh bng h thng cõu hi nh sau: - Mun chng minh hai ng thng vuụng gúc ta da vo cỏc du hiu no (Hc sinh nh li cỏc du hiu ó hc) - Giỏo viờn hng cho hc sinh s dng du hiu hai ng thng ct to thnh mt gúc vuụng) - Nu gi H l giao im ca AK v MN thỡ chng minh AK MN ta phi ch iu gỡ? ãã AHM = 9000 AHN ( hoc ) ã+ HNAã900 ã ã A1 AHN==AHN AHM = 90 + HNA = 900 A1 ã - Tớnh ( = 900) - Hóy ch cỏc cỏch chng minh (HS nờu: hoc ) Giỏo viờn hng cho hc sinh chng minh +ả A1 A2 AMN = BPA à - Vy chng t ta phi ch c gúc N v gúc A2 cos quan h gớ vi nhau? (bng nhau) CM c vỡ: A1 + N = 90 - S phõn tớch: ta cm BPA AMN ta cm ta cm ã AHN = 900 = + à1 = 900 N = à2 N A A CM AKMN( CM c vỡ ) - Sau ú giỏo viờn hng dn hc sinh trỡnh by li gii bi toỏn trờn theo hng ngc li Vớ d Cho tam giỏc ABC, cỏc im D, E ln lt l trung im ca cỏc cnh AB, AC Trờn ng thng DE ly im F cho E l trung im ca DF CMR: a) BD=CF b) DE//BC S phõn tớch cm cm a) CM BD=CF CF = AD ADE = CFE (CM c t GT) cm cm cm ã ã b) Cỏch1: CDF = BCD BDC = FCD BDC = DCF ã ã CM DE//BC cm cm cm ã ã Cỏch 2: DFB = FBC BDF = FCD DBF = BFC ã ã CM DE//BC (CM c t GT v phn a.) Vớ d 4: Cho hai on thng AB v CD ct ti trung im O ca mi on Trờn cỏc cnh AC v BD ln lt ly cỏc im E, F cho AE=BF CMR cỏc im E, O, F thng hng S phõn tớch: CM: E, O, F thng hng ta cm ta cm ta cm à O1 + O + O = 1800 O1 = O AOE = BOF à (CM c vỡ GT) Vớ d 5: Tam giỏc ABC cõn ti A Phõn giỏc ca gúc A ct cnh BC ti D M l mt im nm gia A, D CMR: BMD = CMD S phõn tớch: ta cm ta cm ả ả CM MB = MC , M = M ABM = ACM BMD=CMD (CM t GT) Vớ d Cho Tam giỏc ABC, ng cao AH V phớa ngoi ca tam giỏc cỏc tam giỏc vuụng ã ABD = ã ACE = 900 cõn ABD, ACE () Qua im C vó ng thng vuụng gúc vi BE, ct ng thng HA ti K CMR cỏc ng thng AH, BE, CD ng quy S phõn tớch CM: AH, BE, CD ng quy taCM: CD cha ng cao ca BKC ta cm ta cm ta cm cm à BK DC KBC + C = 900 C = K BAK = DBC ã cm cm cm ã KA = BC KAC = BCE KAC = BCE ã Vớ d Tam giỏc ABC cú gúc A bng 900 v AB=AC Qua A k ng thng xy cho xy khụng ct on Thng BC K BD v CE vuụng gúc vi xy CMR: DE=BD+CE S phõn tớch CM: DE=BD+CE Ta CM: cm cm cm DA = BD, AE = EC ABD = CAE = ACE ACE + = + A ã ã A A A (CM c t GT) Bng cỏch lm tng t giỏo viờn cú th hng dn hc sinh chng minh nhiu bi chng minh khỏc bng cỏch phõn tớch ngc nh trờn Cỏc vớ d c th c minh hoa tit dy nh sau: 10 TIT 33: LUYN TP V BA TRNG HP BNG NHAU CA TAM GIC Ni dung bi dy c th hin nh sau: Dng 1: Chng minh on thng bng nhau, gúc bng Bi Cho ABC cú AB=AC Chng minh rng gúc B bng gúc C Giỏo viờn cho hc sinh v hỡnh ghi GT,KL v tỡm hng chng minh ca bi toỏn A Theo h thng cõu hi - Gúc B v Gúc C cựng tam gớac, li cha bit s o B C D à ta nờn lm th B = C no? (HS To hai tam giỏc cha hai gúc ú bng cỏch k thờm ng ph) Vy mun c/m - GV: Yờu cu hc sinh chng minh hai tam giỏc ú bng theo nhúm Bi Cho gúc xOy khỏc gúc bt Ot l tia phõn giỏc ca gúc xOy, trờn tia Ot ly im H K ng thng vuụng gúc vi Ot ti x H, ng thng ny ct tia Ox, Oy ln lt ti A A v B a) CMR: OA = OB O b) Trờn tia Ot ly im C Chmg minh Ot l ng phõngiỏc ca gúc ACB C H B y GV: cho hc sinh ghi GT; KL v chng minh phõn phn a b) GV: Hng dn bng h thng cõu hi: - C/m Ot l ng phõn giỏc ca gúc ACB ta phi chng iu gỡ? (HS: gúc ACH bng gúc BCH) -Mun ch gúc ACH bng gúc BCH Ta lm nh th no? AOC = BOC AHC BHC HS: hoc Hai tam giỏc trờn bng cha? tai sao? GV: Trỡnh chiu li gii chi tit ca bi toỏn Giỏo viờn cht li s tỡm hng chng minh phn b) nh sau: 11 t ABC N2 = ã ã AOC = BOC AHC = BCO ACO ã BHC Ot l phõn giỏc ca gúc ACB - hoc Dng2: Chng minh quan h vuụng gúc, song song ca hai ng thng Bi Cho hỡnh v, Bit AB=CD, BC=AD Chng minh rng AB//CD Giỏo viờn hng dn hc sinh tỡm cỏch chng minh tng t nh vớ du 1: ca chuyờn Bi Cho ABC nhn cú AB=AC, D l trung im ca BC a) CMR: ADBC b) K BMAC, CNAB (MAC, NAB) Chng minh b1) AN=AM 12 PH LC Ti liu tham kho - Ti liu v i mi phng phỏp dy hc, i mi cỏch kim tra ỏnh giỏ - NXBGD - Sỏch giỏo viờn toỏn 7, sỏch giỏo khoa túan 7, sỏch bi toỏn 7, sỏch nõng cao v phỏt trin toỏn7, sỏch bi nõng cao v mt s chuyờn toỏn v mt s loi sỏch tham kho khỏc Cỏc t vit tt - Giỏo viờn: GV - Hc sinh: HS - Chng minh: CM -Trung hc c s: THCS MC LC Trang I t Lớ chn chuyờn C s lớ lun C s thc tin 4 II Mc tiờu, phm vi v i tng ca chuyờn : Mc tiờu Phm vi i tng III Ni dung Cỏc bi toỏn chng minh hỡnh hc thng gm Phng phỏp chung tỡm li gii bi toỏn Phng phỏp chng minh bi toỏn hỡnh hc theo hng phõn tớch i lờn Kt qu t c sau thc hin chuyờn Cỏc vớ d c th Cỏc bi toỏn ỏp dng 7 14 IV Kt lun Bin phỏp thc hin Kt lun 15 15 5 6 6 Xỏc nhn, ỏnh giỏ ca trng THCS Hng Thun 13