Khóa học LUYỆN/GIẢI BÀI TẬP mônTOÁN 2015 WWW.MOON.VN LUYỆN TẬP 01.BÀI TOÁN XỬ LÝ HÌNH OXY BẰNG VECTO Mod: Lê Văn Tuấn (Moon.vn) Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có A  1;3 , phương trình đường chéo BD trung trực cạnh CD d1 : 3x  y  14  d2 : 3x  y   Tìm tọa độ đỉnh hình bình hành ABCD Lời giải: Gọi M trung điểm CD , gọi G  AM  BD   trọng tâm tam giác ACD ta có: AG  2GM  14  3u  Gọi G  u;  ; M  v;3v   ta có:      u    v  u  u    G   ;      14  3u 14  3u         3v    v  1  M   ;         2 Phương trình đường thẳng CD qua M vuông góc với d là: x  y  13  Khi đó: D  BD  CD  D  2;5  C 1;4   B  2;2  Vậy B  2;2 ; C 1;4 ; D  2;5  điểm cần tìm Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn T  : x2  y  x  y  , phân  có phương trình  : x  y  trọng tâm tam giác ABC thuộc đường thẳng giác góc BAC d : x  y  13  Viết phương trình đường thẳng BC biết A có hoành độ dương Lời giải: Đường tròn  C  có tâm I  2;1 ; R   x2  y  x  y   x  3; y   Ta có: A     C  ta có:   x  0; y  x  y  Do A  3;3 , gọi K giao điểm thứ phân giác AK đường tròn (C) ta có K  0;0    CK   BK  CK Do AK phân giác nên ta có BK Mặt khác IB  IC  IK  BC IK BC cắt trung điểm M BC Phương trình đường thẳng IK là: x  y  Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH LUYỆN GIẢI ĐỀ Moon.vn để đạt kêt cao nhât kì thi TSĐH! Khóa học LUYỆN/GIẢI BÀI TẬP mônTOÁN 2015 WWW.MOON.VN  19 u    2v  u  u       13  4u  15 Gọi G  u;  ; M  2v; v  ta có: AG  2GM   8  4u  13  4u      2 v     v       1 Khi M  ;   BC : x  y    5 Vậy BC : 2x  y 1  đường thẳng cần tìm AB điểm B  2;5 ,gọi H chân đường cao hạ từ D xuống AC M trung điểm HC , biết phương trình đường thẳng DH : x  y   MD : x  y   Tìm tọa độ đỉnh hình thang ABCD Câu : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD có đáy lớn CD  Lời giải : Ta có : D  DH  DM  D 1; 2  Gọi I  x; y  giao điểm đường chéo AC BD IB AB   Theo Talet ta có:    ID   IB ID CD 3  1  x    x   11  Ta có:  I ;  5  2  y     y   Phương trình đường chéo AC qua I vuông góc với DH : 3x  y      2  11  Khi H   ;  ; M  ;   C  4;  Lại có: AB  DC   2;   A  0;1  5 5  Vậy A  0;1; B 2;5 ; C 4;4 ; D 1; 2  điểm cần tìm Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B  4;6  , gọi H điểm thuộc cạnh BC cho HB  2HC AH vuông góc với BC, E điểm thuộc cạnh AB cho AB  AE , đường thẳng CE cắt đường cao AH D  0;3 Biết trung điểm AC thuộc đường thẳng x  y   tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Lời giải: Gọi M trung điểm AB, D trung điểm AH Gọi N  t;1  2t  trung điểm AC ta có:    2  t     xM DN  MD    M  2t ; 4t    t    y    M  Khi A  4t  4;8t  8 t  1   Giải AD.DN    4t   t   8t   2t     1 t   Với t  1  A  0;0  , N  1;3 ; C  2;6    Với t    N   ;  ; A  2;  ; C 1;0    Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH LUYỆN GIẢI ĐỀ Moon.vn để đạt kêt cao nhât kì thi TSĐH! Khóa học LUYỆN/GIẢI BÀI TẬP mônTOÁN 2015 WWW.MOON.VN Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A có đường cao AH : x  y   , đường thẳng d : 5x  y   qua C cắt AB E  2;8 , biết đường cao xuất phát từ đỉnh B tam giác ABC qua điểm N  1;5 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết B có hoành độ dương Lời giải:   Gọi C  t;5t   H  u;8  u  ta có CH u AH    u  t   10  u  5t    u  2t  Gọi F điểm đối xứng E qua phân giác AH ta có Phương trình EF : x  y  , trung điểm EF K  AH  EF  1;7   F  0;6  , B  2u  t;16  2u  5t   B  2u  t;18  2u  5t   10  5t;8  t  t    Khi ta có : CF BN   t  11  5t   8  5t  t  3    12 t   Với t   u  C 1;3 ; B  5;7   A  1;9 điểm cần tìm Với t  12 28   12    C  ;10  ; B  2;   loai  5  5   Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD , gọi K điểm đối xứng D qua C,  1  đường thẳng AK cắt đường chéo BD E  ; 3  , biết điểm C thuộc đường thẳng x  y     trung điểm CD M  2;0  Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD biết C có tung độ âm Lời giải: Chứng minh E trọng tâm tam giác ACB CE cắt AB trung điểm N AB ta   có: CE  2EN , gọi C 1  2t; t  Khi đó:  1     xN   2t   xN   3 CN  3EN     y  t   y  3 N  N  xN  1  t     t      t  Khi lại có MN MC  đó: MN  3  t;  ; MC  1  2t; t  y    N   t  1 t 9 Do  t  3 2t 1  t   5t  t     t  loai   Với t  1  C  3; 1  D 1;1 ; N  2; 4 Phương trình đường thẳng CD : x  y   , AB : x  y   ; AD : x  y  0; BC : x  y   Từ suy A  3; 3 ; B  1; 5 tọa độ điểm cần tìm Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH LUYỆN GIẢI ĐỀ Moon.vn để đạt kêt cao nhât kì thi TSĐH! Khóa học LUYỆN/GIẢI BÀI TẬP mônTOÁN 2015 WWW.MOON.VN Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AD x  y   Lấy điểm M đối xứng với D qua BC , biết trọng tâm tam giác ABC thuộc đường thẳng x  y   đường thẳng BM có phương trình x  y   Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Lời giải: +) Gọi D  u;  u  B  v; 2v   Do G trọng tâm tam   giác ABC nên ta có DB  3GB vậy:  v  u  3 v  xG   2v  u 4v  u    G ;   3 v  u   v   y      G  2v  u  4v  u       2v  u   1 3 Gọi K  BM  AD  K  2;0  B  BM ta có:  u  2u  Khi ta có A trung điểm KD nên A  ;      2u   u2  Lại có: AB.u AD    v     2v      2     u    D  0;  Từ (1) (2) suy    A 1;1 ; C  3;5  điểm cần tìm v    B  4;  Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A nội tiếp đường tròn  C  tâm E , gọi 26   F  1;  trung điểm AB , H 1;0  chân đường cao hạ từ A xuống BC, tia EF cắt đường tròn    C  K Biết phương trình đường thẳng CK là: x  y   tìm tọa độ đỉnh A tam giác ABC Lời giải:   KB   CK phân giác ( ý Chứng minh KA tìm A ta loại trường hợp CK phân giác loại TH A H phía với CK ) Ta có: A  x; y   HF  AF  AB 2 26  1000    x  1   y     81  52  x2  x  y  y  1 Lấy M điểm đối xứng qua phân giác CK ta có Phương trình MH x  y    trung điểm MH là:  2;1  M  3;    44 25 26   Lại có: AM AF  ta có:  x  3 x  1   y    y     x  x  y  y  2 9   52 x  13 Từ (1) (2) ta có: x  y   x  y  13  y  9 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH LUYỆN GIẢI ĐỀ Moon.vn để đạt kêt cao nhât kì thi TSĐH! Khóa học LUYỆN/GIẢI BÀI TẬP mônTOÁN 2015 WWW.MOON.VN  x  y4   x  13  52 x  13 Khi đó: x  x   3       x  79  loai   51 7  Vậy A  ;  điểm cần tìm 3    Ở giả thiết 1  AH  HB bạn đưa đk vecto AH HB  sử dụng điều kiện tương đương trung tuyến ứng với cạnh huyền cạnh    AH HB  Như toán giải hệ Vecto :     AM AF  Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm M thuộc cạnh BC cho BC  3BM , phương trình đường thẳng DM x  y   , biết đỉnh C 1;  đỉnh A thuộc đường thẳng d : x  y   Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD Lời giải : BK BM   CD MC IA AK Khi gọi I  AC  DM ta có:   IC CD  3  Do IA  IC Gọi A  2t  3; t  ; I   5u; u    A 1; 2  t  2 2t  12  5u   1  5u          8 t  u     u  u   I 1;      Gọi K  AB  DM ta có: Tâm hình vuông K 1;1 , phương trình đường thẳng BD y  Khi : D  DM  BD  D  4;1  B  2;1 Vậy A 1; 2 ; B  2;1 ; C 1;4 ; D 4;1  Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có B  2;0  , đường thẳng qua B vuông góc với đường chéo AC có phương trình d : x  y  14  , trung tuyến AM tam giác ABC có phương trình là: AM : x  y   Tìm tọa độ đỉnh A,C,D biết A có hoành độ âm Lời giải: Gọi A   2t; t  M   2v; v  suy C 12  4v; 2v     AB.BM  Giải hệ điều kiện:     BN AC  t    2t  5 2v    tv    ta có:  v   2t  4v    2v  t      Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH LUYỆN GIẢI ĐỀ Moon.vn để đạt kêt cao nhât kì thi TSĐH! Khóa học LUYỆN/GIẢI BÀI TẬP mônTOÁN 2015 WWW.MOON.VN  3 Từ suy A  1;  ; C  6;3 ; M  4;   D  3;7   2 Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có phương trình đường chéo AC : x  y   , điểm G 1;  trọng tâm tam giác ABC Điểm E  0; 3 thuộc đường cao kẻ từ D xuống đường thẳng AC Biết diện tích tứ giác ABCD 48 điểm A có hoành độ dương Tìm tọa độ đỉnh hình bình hành ABCD Lời giải: Phương trình đường thẳng DE qua E vuông góc với AC là: x  y     Gọi D  t; t  3 ; I  u; u  1 ta có: DI  3IG  u  u  t  1  u  Do đó:   t   u  t     u  Vậy D 1; 4 ; I 1;2   B 1;8  Mặt khác S ABCD  2S ABC  2d  B; AC  AC  AC   AI  2 v  Khi gọi A  v; v  1  IA2   v  1    v  1 Vậy A  3;4 ; C  1; 0  ngược lại Câu 12: [ ĐH_A_2014] : [ ĐH_A_2014] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có M trung điểm cạnh AB N điểm thuộc cạnh AC cho AN  3NC Viết phương trình đường thẳng CD biết M 1;  ; N  2; 1 Lời giải:  IA  IB Gọi I  a; b  tâm hình vuông ta sử dụng yếu tố vuông góc là:   IM  AB    a  x A    a   A  3a  4;3b   Khi tìm A ta có: AI  IN    b  y A   1  b  Điểm M trung điểm AB nên M   3a;2  3b     IA.IB  Giải Hệ ĐK vuông góc:     IM AB    2a    4a    2b    4b      a  1 6a  10    b   6b  2a  2b2  7a  b  5 6a  6b2  21a  3b  15 a  3b       2 2 6a  6b  16a  12b  10 6a  6b  16a  12b  10 2a  2b  7a  b  5   Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH LUYỆN GIẢI ĐỀ Moon.vn để đạt kêt cao nhât kì thi TSĐH! Khóa học LUYỆN/GIẢI BÀI TẬP mônTOÁN 2015 WWW.MOON.VN b  0; a   a  3b    2 b  ; a  11 b   b  21 b   b       5  Với a  1; b   I 1;0 ; A  1; 2 ; C  3; 2 ; CD : y  2 11 ; b  , tương tự ta có: CD : 3x  y 15  5 Câu 12 + :[ ĐH_B_2014] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD Điểm M  3;0  Với a  4  trung điểm AB, điểm H  0; 1 hình chiếu B lên AD điểm G  ;3  trọng tâm tam giác 3  BCD Tìm tọa độ đỉnh B,D Lời giải : ý : yếu tố vuông góc AH  BC; AH  AD giải hệ PT đường tròn Gọi B  x; y   A  6  x;  y   4    6  x   2  xC   3 +) Mặt khác ta có: GA  2GC     y   2  y  3 C  x 9 y    C 5  ;  2      x y 9  +) Ta có: HB  x; y  1 , CB   5;   2     2 x  y  1  x  0; y  1  HB.CB   x  10 x   y  1 y    +) Giải:         HB.HA   x  x  y   x  2; y   6  x  x  1  y  y  1    +) Với B  0; 1  H  loai  +) Với B  2;3  A  4; 3 , C  4;6  D  2;0 Kết luận : Vậy B  2;3 , D 2;0  điểm cần tìm Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH LUYỆN GIẢI ĐỀ Moon.vn để đạt kêt cao nhât kì thi TSĐH!