Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 09 BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG ĐƯỜNG THẲNG CẮT HAI ĐƯỜNG THẲNG KHÁC Cách giải: Giả sử cần lập phương trình đường thẳng d, biết d qua A cắt hai đường thẳng d1; d2 +) Chuyển đường d1 d2 dạng tham số t1 t2 (hoặc t với t’) +) Gọi B = d ∩ d1 ⇒ B ∈ d1 ⇒ B (t1 ); C = d ∩ d ⇒ C ∈ d ⇒ C (t2 ) uuur uuur t1 +) Do A, B, C ∈ d ⇒ AB = k AC ⇒  t2 Chú ý: Ngoài cách giải ta viết phương trình đường d dạng tổng quát (là giao tuyến hai mặt phẳng) uur uur uuuuur + Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A chứa d1, suy nP = ud ; AM  ; M ∈ d1 uur uuur uuuuur + Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A chứa d2, suy nQ = ud ; AM  ; M ∈ d uur uur uur Khi d = ( P ) ∩ (Q ) ⇒ ud =  nP ; nQ    Ví dụ 1: [ĐVH] Lập phương trình đường thẳng d qua A(1; –1; 1) biết d cắt hai đường d1 : x = − t  d :  y = t  z = 3t  x −1 y + z +1 = = −2 Hướng dẫn giải: x = + 2t '   +) Đường thẳng d1 có phương trình tham số  y = −3 + t '  z = −1 − 2t '  +) Gọi B = d ∩ d1 ⇒ B ∈ d1 ⇒ B (1 + 2t '; −3 + t '; −1 − 2t ') C = d ∩ d ⇒ C ∈ d ⇒ C (t2 ) ⇒ C (2 − t; t ;3t ) uuur uuur +) Do A, B, C ∈ d ⇒ AB = k AC ⇔ ( 2t '; −2 + t '; −2 − 2t ') = k (1 − t ; t + 1;3t − 1) ⇔  2tt '+ 2t ' = −2 − tt '+ 2t + t ' 3tt '+ t '− 2t = −2 t = 2t ' −2 + t ' −2 − 2t ' = = ⇔ ⇔ ⇒ tt '− t ' = ⇔  1− t t +1 3t − 6tt '− 2t ' = 2tt '+ 2t − 2t '−  4tt '− 2t = −2 t ' = x = uuur uur  +) Với t = ⇒ t ' = ⇒ AB = (0; −2; −2) ⇒ ud = (0;1;1)  → d :  y = −1 + t z = + t  x = uuur uur  +) Với t ' = ⇒ t = ⇒ AB = (0;2;2) ⇒ ud = (0;1;1)  → d :  y = −1 + t z = + t  Ví dụ 2: [ĐVH] Viết phương trình đường thẳng ∆ qua gốc toạ độ cắt hai đường thẳng:  x = + 2t1  x = + t2   , ( d ) :  y = −3 + 2t2 ( d1 ) :  y = + t1  z = −3 + 3t  z = + 3t   Ví dụ 3: [ĐVH] Lập phương trình đường thẳng d qua điểm A(–4; –5; 3) cắt hai đường thẳng x +1 y + z − x − y +1 z −1 d1 : = = , d2 : = = −2 −1 −5 Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Ví dụ 4: [ĐVH] Lập phương trình đường thẳng d qua điểm A(–1; 0; 14) cắt hai đường thẳng x +1 y z +1 x−3 y +3 z + d1 : = = , d2 : = = −1 −2 x + y y − 14 Đ/s: d : = = −1 −9 Ví dụ 5: [ĐVH] Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng (P): x – y + 2z = cắt đường thẳng x = − t x = 1− t '   ∆1 :  y = + 2t , ∆ :  y = + 2t '  z = −1 + 3t z =t '   x = t x y z+2  = Ví dụ 6: [ĐVH] Cho mặt phẳng (P): 2x + y + z + = hai đường thẳng ∆1 :  y = + t , ∆ : = −1  z = −1 + 2t  a) Xét vị trí tương đối ∆1 ∆2 với (P) b) Tính khoảng cách hai đường thẳng ∆1 ∆2 c) Lập phương trình đường thẳng d qua A(0; 1; 2) đồng thời cắt đường ∆1 và vuông góc với ∆2 d) Lập phương trình đường thẳng d’ nằm (P) cắt hai đường ∆1 ∆2 Ví dụ 7: [ĐVH] Lập phương trình đường thẳng d // ∆ cắt hai đường thẳng d1, d2 biết z −5 x −1 y − z − x y −1 z , d1 : , d2 : = ∆ : x = y −1 = = = = 3 −1 Ví dụ 8: [ĐVH] Lập phương trình đường thẳng d // ∆ cắt hai đường thẳng d1, d2 biết x = − t x y + z −1 x+2 y z−4  ∆ :  y = + 2t , d1 : = = , d2 : = = − −2 1 z = t  Ví dụ 9: [ĐVH] Viết phương trình đường thẳng ∆ biết ∆ vuông góc với mặt phẳng (P): x – 2y + 3z + = cắt x = − t x −1 y + z −  đường thẳng ∆1 : = = , ∆ :  y = + 4t  z = − 5t   x = − 3t x +1 y z +  = = Ví dụ 10: [ĐVH] Cho hai đường thẳng ∆1 :  y = + 3t , ∆ : −1  z = −1 + 2t  a) Xét vị trí đương đối hai đường thẳng, tính góc khoảng cách chúng b) Lập phường trình đường thẳng d qua A(0; 1; 1) đồng thời vuông góc với d1 cắt d2 c) Lập phương trình đường thẳng d’ cho d’ cắt hai đường thẳng d1; d2 đồng thời song song với mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = vuông góc với d1  x = 1− t x y + z −1  , ∆2 : = = Ví dụ 11: [ĐVH] Cho hai đường thẳng ∆1 :  y = 2t −1  z = −1 − 3t  Lập phương trình đường thẳng d’ cho d’ cắt hai đường thẳng d1; d2 đồng thời song song với hai mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = (Q) : 3x − y + z + = Ví dụ 12: [ĐVH] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua điểm M ( −4; −5;3) x − y +1 z −1 2 x + 3y + 11 = cắt hai đường thẳng: d1 :  d2 : = = y − z + = −5  Hướng dẫn giải:  x = − 3t1  x = + 2t2   Viết lại phương trình đường thẳng: d1 :  y = −7 + 2t1 , d2 :  y = −1 + 3t2 z = t  z = − 5t   Gọi A = d ∩ d1 , B = d ∩ d2 ⇒ A(5 − 3t1; −7 + 2t1; t1 ) , B(2 + 2t2 ; −1 + 3t2 ;1 − 5t2 ) uuur uuur MA = (−3t1 + 9;2t1 − 2; t1 − 3) , MB = (2t2 + 6;3t2 + 4; −5t2 − 2) Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 uuur uuur  MA, MB  = (−13t t − 8t + 13t + 16; −13t t + 39t ; −13t t − 24t + 31t + 48) 12 12 12 uuur uuur uuur uuur r t = M, A, B thẳng hàng ⇔ MA, MB phương ⇔  MA, MB  = ⇔  t2 = uuur ⇒ A(−1; −3;2), B(2; −1;1) ⇒ AB = (3;2; −1)  x = −4 + 3t uuur  Đường thẳng d qua M(–4; –5; 3) có VTCP AB = (3;2; −1) ⇒ d :  y = −5 + 2t  z = − t Ví dụ 13: [ĐVH] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 3y + 11z = hai đường thẳng d 1: x−4 x y −3 z +1 y z−3 = = , d2 : = = Chứng minh d1 d2 chéo Viết phương trình đường −1 1 thẳng ∆ nằm (P), đồng thời ∆ cắt d1 d2 Hướng dẫn giải: Toạ độ giao điểm d1 (P): A(–2;7;5) Toạ độ giao điểm d2 (P): B(3;–1;1) x +2 y−7 z−5 Phương trình đường thẳng ∆: = = −8 −4 Ví dụ 14: [ĐVH] Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d1 ),(d2 ) mặt phẳng (P) có phương x +1 y + z x − y −1 z −1 = = , ( d2 ) : = = ; (P ) : x + y − z + = Lập phương trình đường thẳng (d) 2 1 song song với mặt phẳng (P) cắt (d1 ),(d2 ) A, B cho độ dài đoạn AB nhỏ trình: (d1 ) : Hướng dẫn giải: uuur Giả sử: A(−1 + a; −2 + 2a; a), B(2 + 2b;1 + b;1 + b) ⇒ AB = (−a + 2b + 3; −2a + b + 3; − a + b + 1) uuur uuur r Do AB // (P) nên: AB ⊥ nP = (1;1; −2) ⇔ b = a − Suy ra: AB = (a − 5; − a − 1; −3) AB = (a − 5)2 + (− a − 1)2 + (−3)2 = 2a2 − 8a + 35 = 2(a − 2)2 + 27 ≥ 3 uuur a = Suy ra: ABmin = 3 ⇔  , A(1;2;2), AB = (−3; −3; −3) b = −2 x −1 y − z − = = Vậy d : 1 Ví dụ 15: [ĐVH] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1 ) : x + y − z − 10 = = −1 x = t  (d2 ) :  y = − t Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Ox cắt (d1) A, cắt (d2) B Viết  z = −4 + 2t phương trình đường thẳng AB Hướng dẫn giải: Giả sử: A(−8 + 2t1;6 + t1;10 − t1 ) ∈ d1, B(t2 ;2 − t2 ; −4 + 2t2 ) ∈ d2 uuur ⇒ AB = (t2 − 2t1 + 8; −t2 − t1 − 4);2t2 + t1 − 14) uuur r −t − t − = t = −22 AB, i = (1; 0;0) phương ⇔  ⇔ 1 t + t − 14 =  t2 = 18 ⇒ A(−52; −16;32), B(18; −16;32)  x = −52 + t  ⇒ Phương trình đường thẳng d:  y = −16  z = 32  x = −23 + 8t  Ví dụ 16: [ĐVH] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1):  y = −10 + 4t (d2):  z = t Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x −3 y +2 z = = Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Oz cắt hai đường thẳng (d1), (d2) −2 Hướng dẫn giải: Giả sử A(−23 + 8t1; −10 + 4t1; t1 ) ∈ d1, B(3 + 2t2 ; −2 − 2t2 ; t2 ) ∈ d2 uuur ⇒ AB = (2t2 − 8t1 + 26; −2t2 − 4t1 + 8; t2 − t1 )  17 t1 = 2t2 − 8t1 + 26 = ⇒ A  − ; ; 17  AB // Oz ⇔ AB, k cuøng phöông ⇔  ⇔  − t − t + =  3 6  t = −   x = −  ⇒ Phương trình đường thẳng AB:  y =   z = 17 + t  uuur r x +1 y −1 z −1 x −1 y − z +1 = = d2 : = = mặt phẳng −1 1 (P ) : x − y − z + = Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng d1 , d2 Ví dụ 17: [ĐVH] Trong không gian cho hai đường d1: Hướng dẫn giải: Gọi A = d1 ∩ ∆, B = d2 ∩ ∆ Vì ∆ ⊂ (P) nên A = d1 ∩ (P), B = d2 ∩ (P) ⇒ A(1; 0; 2), B(2; 3; 1) x −1 y z − ⇒ ∆ đường thẳng AB ⇒ Phương trình ∆: = = −1 Ví dụ 18: [ĐVH] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng  x = −1 + t  x −1 y +1 z (P): x + y + z − = đồng thời cắt hai đường thẳng (d1 ) : = = (d2 ) :  y = −1 , với t ∈ R −1  z = −t ( ) ( ) ( Lấy M ∈ d1 ⇒ M (1 + 2t1; −1 − t1; t1 ) ; N ∈ d2 ⇒ N −1 + t; −1; −t uuuur Suy MN = ( t − 2t1 − 2; t1; −t − t1 ) )  t=  r  ⇒ M =  ;− 3;−  (d ) ⊥ ( P ) ⇔ MN = k n; k ∈ R* ⇔ t − 2t1 − = t1 = −t − t1 ⇔    5 5 t = −2  ⇒ d: x − = y + = z + 5 Ví dụ 19: [ĐVH] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng: (P): x – y + z + = , (Q): uuuur x − y +1 z = = Gọi ∆2 giao tuyến (P) −2 (Q) Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (R) cắt hai đường thẳng ∆1, ∆2 Hướng dẫn giải: x – y + z + = , (R): x + y –3z + = đường thẳng ∆1:  x = − 2t x = + s   ∆1 có PTTS:  y = −1 + t ; ∆2 có PTTS:  y = + 3s  z = s  z = 3t Giả sử d ∩ ∆1 = A; d ∩ ∆2 = B ⇒ A(2 − 2t; −1 + t;3t ), B(2 + s;5 + 3s; s) uuur r AB = (s + 2t;3s − t + 6; s − 3t ) , (R) có VTPT n = (1;2; −3) uuur r s + 2t 3s − t + s − 3t d ⊥ ( R) ⇔ AB, n phương ⇔ = = −3 ⇒t=  1 23  23 ⇒ A ; ;  24  12 12  Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 23 1 z− y− 12 = 12 = −3 x− Vậy phương trình d: DẠNG ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Cách giải: Giả sử cần lập phương trình đường vuông góc chung hai đường thẳng d1; d2 Ta thực sau: +) Chuyển đường d1 d2 dạng tham số t1 t2 (hoặc t với t’) uur uuur +) Gọi A = d ∩ d1 ⇒ A ∈ d1 ⇒ A(t1 ); B = d ∩ d ⇒ B ∈ d ⇒ B (t2 ) Khi d ≡ ( AB ) ⇒ ud = AB uur uur uuur uur d ⊥ d1 t ud ⊥ ud  AB.ud +) Do d đường vuông góc chung nên  ⇔  uur uuur ⇔  uuur uuur  → ⇒ d d ⊥ d t2 ud ⊥ ud  AB.ud Ví dụ 1: [ĐVH] Chứng minh cặp đường thẳng sau chéo viết đường vuông góc chung chúng x − y +1 z x y −1 z +1 a) d1 : = = , d2 : = = −2 2 x−7 y −3 z −9 x − y −1 z −1 b) d1 : = = , d2 : = = −1 −7 2 Ví dụ 2: [ĐVH] Viết phương trình đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo d1 d2 biết x = + t x y −4 z −5  d1 :  y = , d2 : = = −2  z = −5 + t  Đ/s: d : x−4 y z+2 = = −3 −2 Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!