Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 04 PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P3 Thầy Đặng Việt Hùng VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN IV PHƯƠNG PHÁP LOGARITH HÓA GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ Khái niệm: Là phương trình có dạng a f ( x ) b g ( x ) = c, (1) a, b nguyên tố nhau, f(x) g(x) thường hàm bậc bậc hai Cách giải: Lấy logarith số a số b hai vế (1) ta (1) ⇔ log a a f ( x ) b g ( x ) = log a c ⇔ log a a f ( x ) + log a b g ( x ) = log a c ⇔ f ( x) + g ( x) log a b = log a c, ( ) ( 2) (2) thu phương trình bậc x, phương trình bậc hai giải đơn giản Chú ý: Những dạng phương trình kiểu cố gắng sử dụng tính chất hàm mũ để biến đổi cho c = Khi việc logarith hóa hai vế với c = cho phương trình thu đơn giản nhiều Ví dụ 1: [ĐVH] Giải phương trình sau b) 5x.3x = Hướng dẫn giải: a) 3x.2 x+1 = 72 c) 73 x + 9.52 x = 52 x + 9.73 x 3x.2 x +1 = ⇔ 3x − 2.2 x − = ⇔ x −2 =  → x = 9.8 Vậy phương trình có nghiệm x = a) 3x.2 x +1 = 72 ⇔ ( b) 5x.3x = ⇔ log x.3x 2 ) = log ⇔ log 3 x + log 3x = ⇔ x log + x = x = ⇔ x ( log + x ) =  →  x = − log Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = x = –log35 ( ) ( ) c) 73 x + 9.52 x = 52 x + 9.73 x ⇔ 8.73 x = 8.52 x ⇔ 73 x = 52 x ⇔ lg 73 x = lg 52 x ⇔ x.lg − x.lg =  → x ( 3lg − 2lg ) = ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ 2: [ĐVH] Giải phương trình sau: x +1 x = 500 x +1 x = 500, a) x a) x x +1 x x b) (1) x x −1 x +1 = 50 c) x −3 = x Hướng dẫn giải: −5 x + d) x 2lg x = 10 x Điều kiện: x ≠  x −3  x−3 = ⇔ = ⇔ log  x  = log 53− x ⇔ = ( − x ) log (1) ⇔   x   x = ⇔ ( log ) x − ( log − 1) x − =  →  x = log  2 x −1 b) x.2 x +1 = 50, x −1 ( ) x −3 x 3− x ( ) Điều kiện: x ≠ –1 x −1  −1  2x −1 = ⇔ log  x − 2.2 x +1  = log = ⇔ − + ( x − ) log =   x +1   x = x − =  (1 + log 5) ⇔ x − + ( x − )( x + 1) log =  → ⇔ x = − =− 1 + ( x + 1) log = log lg  ( ) ⇔ 5x.2 x +1 x −1 = 52.2 ⇔ x − 2.2 x +1 −1 Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Vậy phương trình có hai nghiệm x = ; x = − c) x −3 = x ( −5 x + ( ) ⇔ log 2 x −3 = log x Facebook: LyHung95 lg −5 x + ) ⇔ x −3 = (x ) − x + log x = x − =  ⇔ ( x − 3) 1 − ( x − ) log 5 =  → ⇔  x = log 50 = log 50  x log = + 2log  log Vậy phương trình có hai nghiệm x = ; x = log5 50 d) x 2lg x = 10 x, ( ) Điều kiện: x > ( ) ⇔ lg ( x lg x =  x = 10 = lg (10 x ) ⇔ 2lg x − lg x − = ⇔  ⇔ lg x =  x = 10  2lg x ) Vậy phương trình có hai nghiệm x = 10 ; x = 10 BÀI TẬP LUYỆN TÂP: Bài 1: [ĐVH] Giải phương trình x −1 x a) 5x.8 x b) = 500 x x +1 = 36 c) 34 = 43 x x Bài 2: [ĐVH] Giải phương trình sau : a) 53− log5 x = 25 x b) 9.x log9 x = x c) x log = x 3log x − x log2 d) x 3( log x ) − log x = 100 10 Bài 3: [ĐVH] Giải phương trình sau : a) x log + 9log x = b) 3log x + x log = 63log2 x c) 4log2 x − x log2 = 2.3log2 x d) 4lg(10 x ) − 6lg x = 2.3 ( lg 100 x 2 ) Bài 4: [ĐVH] Giải phương trình sau : a) ( log x −16 ) +2 ( ) log x −16 +1 = 24 b) 21+( log2 x ) + 224 = x 2log x c) xlgx −3lg x−4,5 = 10−2lg x Bài 5: [ĐVH] Giải phương trình sau : a) x + x −8 = 5x−2 b) x.2 x+1 = 392 x −1 d) 5x.2 x +1 = 50 e) x −2 x 3x = c) x.39− x = f) 3x −1 = 5x −1 HƯỚNG DẪN GIẢI: Bài 1: [ĐVH] Giải phương trình a) x.8 a) x.8 x −1 x x −1 x x = 500 = 500 ⇔ x.2 b) 3x.8 x+1 = 36 3( x −1) x = 53.2 ⇔ 3( x −1) x −2 = 53 − x ⇔ c) 34 = 43 x x−3 = ( − x ) log ⇔ x x x =  x = − log  Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG x b) 3x.8 x +1 = 36 ⇔ 3x x+1 3x −2 = 22.32 ⇔ x +1 = ⇔ Facebook: LyHung95  x ≠ −1 + log3 x−2 = log3 ⇔  ⇒x= x +1 − log3 (1 − log3 ) x = + log3 x x x  4 c) 34 = 43 ⇔ x = 3x.log3 ⇔   = log3 ⇒ x = log ( log3 )  3 Bài 2: [ĐVH] Giải phương trình sau : a) 53− log5 x = 25 x b) 9.x log9 x = x 3( log x ) − log x c) x log = x 3log x − x log2 3− log5 x a) d) x Lời giải: = 100 10 x > x >  = 25 x ⇔  53 ⇔ ⇔ x2 = → x = 2 = x 5 = x 25   log5 x 5 b) 9.x = x ⇔ Lấy loga số hai vế , ta có phương trình :  x >  x > x > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x=9>0  2 1 + ( log x ) − 2log x = ( log x − 1) = log x = log x c) x log = x 3log x − x log2 Sử dụng công thức : a logc b = blogc a Phương trình biến đổi thành : 3log2 x > ⇔ 9log2 x − x 3log2 x + 3log2 x = ⇔ 3log2 x ( 3log2 x − x + 1) = ⇔  log x ⇔ 3log2 x = x − 2 x − + =  t t Đặt : t = log x ⇒ x = ↔ x = Phương trình : t t 3 1 ⇔ 3log2 x = x − = 3t = 4t − ⇔   +   − = 4 4 t t t t 3 1 3 3 1 1 Xét hàm số f (t ) =   +   − → f '(t ) =   ln   +   ln   < 4 4 4 4 4 4 Chứng tỏ hàm số f(t) hàm số nghịch biến Do f(1) = với t = phương trình có nghiệm log x = → x = d) x 3( log x ) − log x 3 3( log x ) − log x x = 100 10 Lấy log hai vế , phương trình trở thành :  t = log x    = 100 10 ⇔  3( log x ) − log x  log x = + ⇔ 0 < x ≠ 3    3t − t − = 3      0 < x ≠  t = log x −  x = 10    ⇔ 0 < x ≠ ⇔ log x = − ⇔    x = 10  t = −     log x =   t =   Bài 3: [ĐVH] Giải phương trình sau : a) x log + 9log x = b) 3log x + x log = 63log2 x c) 4log2 x − x log2 = 2.3log2 x d) 4lg(10 x ) − 6lg x = 2.3 ( lg 100 x ) Lời giải: 0 < x ≠ 1 0 < x ≠ 0 < x ≠  < x ≠  a) x log + 9log x = ⇔  log x ⇔ ⇔ ⇔ ↔ x = 10 = 10  log x  2log x  log x = log x = 9 + = 9 = 3  Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG  3 b) 3log x + x log2 = 63log2 x ⇔ 3log2 x + 3log2 x = 63log2 x ⇔ 2.3log2 x = 63log2 x ⇔   6  Facebook: LyHung95 log x = log 1 ⇔ x = 72 ⇔ log x = log 72 c) log 2 x −x log ) − 6log2 x = 2.3( ⇔ 4.22 log x − 6log2 x = 18.32log2 x   log2 x x > >0 t =  log x ⇔   log2 x ⇔    3 = 18   4 −    2  4 18t + t − = = 2.3log2 x ⇔ 2 ⇔ 4.22 log2 x − 6log x = 18.32log2 x 2(1+ log x ) + 2log x t >   t = − <   log2 x   −2 ⇔  ⇒  = =   ↔ log x = −2 → x = 2 2    t=   ( ) ⇔ 41+ lg x − 6lg x = 2.32+ lg x ⇔ 4.22 lg x − 6lg x = 18.32 lg x d) 4lg(10 x ) − 6lg x = 2.3 Chia hai vế cho 22 lg x > ta t > lg x   3 lg x lg x  t = − <   log2 x   −2 t = >      −   = 18   ⇔    ⇔  ⇒  = =   ↔ log x = −2 → x = 2 4 2 2    18t + t − =  t=   Bài 4: [ĐVH] Giải phương trình sau : lg 100 x ( ( ) + 224 = x 2log x log x −16 ) +2 log x −16 +1 = 24 1+ ( log x ) lg2x −3lg x −4,5 + 224 = x log x c) x Lời giải: t > t = 2log3 ( x2 −16) > log3 ( x −16 ) log3 ( x −16 ) +1 log ( x −16 )  a) +2 = 24 ⇔  ⇔  t = −6 ⇔ = 22  t = t + 2t − 24 =  2 2 ⇒ log ( x − 16 ) = ⇔ x − 16 = = ⇔ x = 25 → x = a) 1+ ( log x ) b) 2 ⇔ 2.2 ( log x )2 b) + 224 = ( ) log x log x = 10−2lg x t = 2( log2 x ) > ⇔ t − 2t − 224 = t >  x = 2−2 =  log x = −2  ( log x )2  ⇔  t = −14 ⇔ = ⇔ ( log x ) = ⇔  ⇔   log x =  t = 16 = 24  x = =  c) x lg x − 3lg x − 4,5 = 10−2lg x Lấy lg hai vế ⇒ ( lg 2x − 3lg x − 4,5 )   lg x = x =   3− 10 − 10   lg x = −2 lg x ⇔ lg x ( lg x − 3lg x − 4,5 + ) = ⇔  lg x = ⇔ x = 10  3+ 10   + 10   x = 10  lg x =  V PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ Cơ sở phương pháp: Xét phương trình f(x) = g(x), (1) Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) f(x) hàm (1) có nghiệm x = xo Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) f(x) nghịch biến (hoặc đồng biến) (1) có nghiệm x = xo Các bước thực hiện: Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Biến đổi phương trình cho dạng (1), dự đoán x = xo nghiệm (1) Chứng minh tính đồng biến, nghịch biến hay số (1) Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến kết luận để chứng tỏ x > xo x < xo (1) vô nghiệm Từ ta x = xo nghiệm phương trình Chú ý: Hàm f(x) đồng biến x2 > x1  → f ( x2 ) > f ( x1 ) ; f(x) nghịch biến x2 > x1  → f ( x2 ) < f ( x1 ) Hàm f ( x ) = a u( x )  → f ′( x ) = u(′ x ) a u( x ) ln a Khi a > hàm số đồng biến, ngược lại hàm nghịch biến Tổng tích hai hàm đồng biến (hoặc nghịch biến) hàm đồng biến (hoặc nghịch biến), tính chất tương tự cho hiệu thương hai hàm ( ) Với phương trình có dạng f x;a u( x ) = 0, hay đơn giản phương trình có chứa x hệ số lũy thừa, ta coi phương trình ẩn hàm mũ giải bình thường Bài toán quy việc giải phương trình phương pháp hàm số để thu nghiệm cuối Dạng 1: Phương trình sử dụng biến thiên hàm số mũ Ví dụ 1: [ĐVH] Giải phương trình sau x c) ( + 2 ) + ( − 2 ) = x x b) x = + Lời giải: a) 3x = − x  f ( x) = 3x a) 3x = − x, (1) Đặt  → g ′( x) = −2 <  g ( x) = − x  Từ ta thấy f(x) đồng biến, g(x) nghịch biến Nhận thấy x = nghiệm (1)  f ( x) > f (1) = Khi x >   → (1) vô nghiệm  g ( x) < g (1) =  f ( x) < f (1) = Khi x <   → (1) vô nghiệm Vậy x = nghiệm phương trình (1)  g ( x) > g (1) = b) x x =3 +1 ⇔ = x ( 3) x x    x + ⇔   +   = 1,   2 x ( ) x x    x  3 1 Đặt f ( x) =  → f ′( x) =  +   ln <  → f(x) hàm nghịch biến  +     ln 2   2   Nhận thấy x = nghiệm (2) Khi x > f(x) < f(2) = → (2) vô nghiệm Khi x < f(x) > f(2) = → (2) vô nghiệm Vậy x = nghiệm phương trình cho c) ( + 2 ) + ( − 2 ) x x x x x  3+ 2   3−2  =6 ⇔  +  = 1, 6     x x x ( 3) x  3+ 2   3− 2   3+ 2  3+ 2  3− 2  3+ 2 Đặt f ( x) =  → f ′( x) =  + <  +    ln  ln 6 6 6         Do f(x) hàm nghịch biến Nhận thấy x = nghiệm (3) Khi x > f(x) < f(1) = → (3) vô nghiệm Khi x < f(x) > f(1) = → (3) vô nghiệm Vậy x = nghiệm phương trình cho x x 1 1 Ví dụ 2: [ĐVH] Giải phương trình   − ( x + 11)   + x + 10 = 4 2 Lời giải: x t = x + 10 1 Đặt t =   ⇒ t > Khi phương trình cho trở thành t − ( x + 11) t + 3x + 10 = ⇔  2 t = Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! x Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x 1 +) Với t = ⇔   = ⇔ x = 2 x 1 +) Với t = x + 10 ⇔   = x + 10 (*)  2 Ta có x = −2 thỏa mãn phương trình (*) nên nghiệm phương trình (*) x 1 Mà hàm số y =   nghịch biến R, hàm số y = 3x + 10 đồng biến R Do x = −2 nghiệm  2 phương trình (*) Vậy phương trình cho có nghiệm x = 0, x = −2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: [ĐVH] Giải phương trình sau : a) x + x = 10 x ( b) ) ( ) ( ) ( x 5+ + 5−2 x x )= x 10 x x 1 1 1 d) 3x −   + x −   −   = −2 x +   2 6 Lời giải: x x x x x x  6 8  6 8  6  6 8 8 a) x + x = 10 x ⇔   +   = ⇔ f ( x) =   +   − ⇔ f '( x) =   ln   +   ln   < 10 10 10 10 10 10 10                10  Vậy phương trình có nghiệm x = c) − b) ( x + 2+ 5+ ) +( x x = 2x 5−2 ) x x x  5+   5−2   +  =1 = 10 ⇔   10   10      x x x  5+   5−2   +  −1 = ⇔ f ( x) =   10   10      x x  5+2   5+   5−2   5−2   ln  +  ln  >0 ⇒ f '( x) =     10  10   10  10          Vậy phương trình có nghiệm x = ( c) − ) + (2 + ) x x x x x x 2−  2+ 3 2− 3 2+  = ⇔   +   = ⇔ f ( x) =   +   − =         x x x 2−  2−  2+  2+ 3 ⇒ f '( x) =   ln   +   ln   >         Vậy phương trình có nghiệm x = x x x x x x 1 1 1 1 1 1 d) −   + x −   −   = −2 x + ⇔ 3x + x + =   +   +   + 3 2 6 3  2  6 x x x x VT = f ( x) = + + → f '( x) = ln + ln > ; f (1) = x x x x 1  1 1 VP = g ( x) =   +   +   + Là hàm số nghịch biến, mặt khác g(1) = 3  2  6 Chứng tỏ x = nghiệm phương trình Bài 2: [ĐVH] Giải phương trình sau : a) x − 3x = c) 3x + x + 12 x = 13x b) x + 3x + x = 10 x d) 3x + x = x + Lời giải: x x x x 1 3 1 3 a) x − 3x = ⇔ + 3x = x ⇔   +   = ⇔ f ( x) =   +   − = 4 4 4 4 x x 1 1 3 3 Ta có f '( x) =   ln   +   ln   < ⇒ f ( x) hàm nghịch biến 4 4 4 4 Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Mặt khác f(1) = nên phương trình có nghiệm x = x x x  2  3  5 b) x + 3x + x = 10 x ⇔   +   +   =  10   10   10  x x x x x x x x  2  3  5  2  2  3  3 5 5 Đặt f ( x) =   +   +   − ⇒ f '( x) =   ln   +   ln   +   ln   <  10   10   10   10   10   10   10   10   10  Suy f(x) hàm nghịch biến, nên phương trình có nghiệm Mặt khác f(1) = 0, phương trình có nghiệm x = x x x      12  c) + + 12 = 13 ⇔   +   +   =  13   13   13  x x x x x x x x      12           12   12  Đặt f ( x) =   +   +   − ⇒ f '( x) =   ln   +   ln   +   ln   < 13 13 13        13   13   13   13   13   13  Vậy f(x) hàm số nghịch biến Mặt khác f(2) = nên phương trình có nghiệm x = d) 3x + x = x + ⇔ f ( x) = 3x + x − x − Rõ ràng phương trình có hai nghiệm x = x = Ta có f '( x) = 3x.ln + x ln − 6; f ''( x) = 3x (ln 3)2 + x (ln 2)2 > lim f ( x) = +∞; lim f ( x) = −6 x →+∞ x →−∞ Suy f '( x) hàm số liên tục , đồng biến nhận giá trị dương lẫn giá trị âm R, nên phương trình f '( x) = có nghiệm x0 Ta lập bảng biến thiên suy hai nghiệm phương trình, không nghiệm khác Dạng 2: Phương trình sử dụng phép đặt ẩn phụ không hoàn toàn Ví dụ: [ĐVH] Giải phương trình sau a) 25x − 2(3 − x).5x + x − = b) 3.25x −2 + (3x − 10).5x −2 + − x = 2 c) x + ( x − 7).2 x + 12 − x = d) x + x.3 x + 31+ x = 2.3 x x + x + Lời giải: a) 25x − 2(3 − x).5x + x − = ⇔ 52 x − 2(3 − x).5x + x − = 0, (1) Ta coi (1) phương trình bậc hai ẩn 5x 2 Ta có ∆′ = ( − x ) − ( x − ) = x − x + − x + = x − x + 10 = ( x − ) 5 x = − x + ( x − ) 5 x = −1 < Khi đó, (1) ⇔  ⇔  → x = − x , ( *)  x x 5 = − x − ( x − ) 5 = − x (*) phương trình quen thuộc ví dụ xét đến, ta dễ dàng tìm nghiệm x = nghiệm (*) Vậy phương trình cho có nghiệm x = ( b) 3.25x −2 + (3x − 10).5x −2 + − x = ⇔ 5x −2 ) + (3x − 10).5x − + − x = 0, ( 2) Ta có ∆ = ( 3x − 10 ) − 12 ( − x ) = x − 60 x + 100 − 36 + 12 x = x − 48 x + 64 = ( x − ) 2  x −1 10 − x + ( 3x − )  x−2 5 = = , (*)  Khi đó, ( ) ⇔  ⇔  x−2  x − 10 − 3x − ( x − ) 5 = − x, (**) 5 =  1 25 Xét phương trình (*) ⇔ x − = ⇔ x − = log ⇔ x = + log5 = log 3 3 x−2 x −2  f ( x) =  f ′( x) = ln > Xét phương trình (**) ⇔ 5x −2 = − x Đặt   →  g ( x) = − x  g ′( x) = −1 < Từ ta f(x) đồng biến g(x) nghịch biến Nhận thấy x = nghiệm (**)  f ( x) > f (2) = Khi x >  →  → (**) vô nghiệm  g ( x) < g (2) = Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  f ( x) < f (2) = Khi x <  →  → (**) vô nghiệm  g ( x) > g (2) = →x = nghiệm (**), phương trình cho có hai nghiệm x = log5 ( 2 c) x + ( x − 7).2 x + 12 − x = ⇔ 4t + (t − 7).2t + 12 − 4t = 0, t = x ≥ Ta có ∆ = ( t − ) − (12 − 4t ) = t − 14t + 49 − 48 + 16t = t + 2t + = ( t + 1) ) 25 ; x = ( 3)  t − t + ( t + 1) 2 =  2t =  → t = 2 Khi đó, ( 3) ⇔  ⇔ t  t − t − ( t + 1)  = − t , (*) 2 =  Với t = ⇔ x = ± Với 2t = − t  → t = ⇔ x = ±1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = ±1; x = ± d) x + x.3 x + 31+ x Điều kiện: x ≥ ( ) ⇔ x ( − 2.3 ( ⇔ 2−3 x )(2x x = 2.3 x x + x + 6, ) + x (3 x ) − + − 31+ ( 4) x ( = ⇔ x2 − x ) − x ( − ) + 3( − ) = x x 2 − x = − x + =  →  → x = log ⇔ x = ( log3 )  x − x + = ( vno ) ) BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: [ĐVH] Giải phương trình sau : a) 32 x −1 + 3x −1 ( x − ) + − x = b) 255− x − 2.55− x ( x − ) + − x = c) x + ( x − ) 3x + x − = Bài 2: [ĐVH] Giải phương trình sau : a) 32 x − + ( x − 10 ) 3x − + − x = b) 3.4 x + ( x − 10 ) x + − x = ( c) + ) log x ( + x − ) log x = + x2 HƯỚNG DẪN GIẢI: Bài 1: [ĐVH] Giải phương trình sau : a) 32 x −1 + 3x −1 ( x − ) + − x = b) 255− x − 2.55− x ( x − ) + − x = c) x + ( x − ) 3x + x − = Lời giải: a) 32 x −1 + 3x −1 ( x − ) + − x = x t = > Ta nhân hai vế phương trình với ta 32 x + 3x ( x − ) + ( − x ) = ⇔  t + ( x − ) t + ( − x ) = t >  3x = x =  ⇔ ⇔  t = − x ⇔  x x  f ( x) = + x − =  f '( x) = ln + >  t =  Suy phương trình f(x) = có nghiệm x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = 0, x = Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 t > t = 55− x >  b) 25 − 2.5 ( x − ) + − x = ⇔  ⇔  t = −1 t − ( x − ) t + − x =  t = x −  5− x 5− x 5− x ⇒ = x − ⇔ f ( x) = − x + = ⇒ f '( x) = −5 ln − < Mặt khác f(4) = nên phương trình có nghiệm x = t > t = 3x >  x x c) + ( x − ) + x − = ⇔  ⇔  t = −1 ⇔ 3x = − x t + ( x − ) t + x − =  t = − x  x x ⇔ f ( x) = + x − = → f '( x) = ln + > Chứng tỏ f(x) đồng biến Mặt khác f(1) = nên phương trình có nghiệm x = 5− x 5− x Bài 2: [ĐVH] Giải phương trình sau : a) 32 x − + ( x − 10 ) 3x − + − x = b) 3.4 x + ( x − 10 ) x + − x = ( ) c) + log x ( + x − ) log x = + x2 Lời giải: t = 3x − > a) 32 x − + ( x − 10 ) 3x − + − x = ⇔ 3.32( x − ) + ( x − 10 ) 3x − + − x = ⇔  3t + ( x − 10 ) t + − x = t >  3x − = 3−1 x =1  ⇔  t = ⇔  x−2 ⇔ ⇒ f '( x) = 3x − ln + > x−2   f ( x) = + x − = 3 = − x  t = − x  Chứng tỏ f(x) đồng biến Mặt khác f(2) = nên phương trình cho có hai nghiệm x = x = t > x  t = >  x = 3−1  b) 3.4 x + ( x − 10 ) x + − x = ⇔  ⇔  t = ⇔ x   = − x 3t + ( x − 10 ) t + − x =  t = − x   x = − log ⇔ ⇒ f '( x) = x ln + > x  f ( x) = + x − = Chứng tỏ f(x) đồng biến Mặt khác f(1) = nên f(x) = có nghiệm x = Vậy chứng tỏ phương trình cho có hai nghiệm x = x = − log ( c) + Vì ) log2 x (2 + ) ( + x − log x ( 2− ) ) log2 x log x =1+ x2 ( = 2log2 x = x ⇒ − ( ) ) log x = x (2 + ) log x ( ( t = + log2 x >  2+  t = t >  Khi đó, phương trình cho trở thành :  ⇔ ⇔ ⇔ 2 2 x t − + x t + x = ( ) t = x t + − (1 + x2 ) =   +  t  log x = x =1 ⇒ ⇔ ↔ x =1  log x + = log x  log x = ( ) ) log2 x =1 log2 x = x2 ) Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!