Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 04 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN 1) Véc tơ phương, dạng phương trình đường thẳng u = ( a; b; c ) , A2 + B + C > có phương song song trùng với (d) gọi véc tơ phương (d) (d) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ phương u = ( a; b; c ) có phương trình  x = x0 + at  +) Phương trình tham số ( d ) :  y = y0 + bt  z = z + ct  +) Phương trình tắc ( d ) : x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c  Ax + By + Cz + D = +) Phương trình tổng quát đường thẳng: d = ( P) ∩ (Q) ⇒ d :  A' x + B ' y + C ' z + D ' = Trong véc tơ phương d xác định ud =  nP ; nQ  (d) qua điểm A song song với đường thẳng (∆) ta chọn cho ud = u∆ ud ⊥ ud (d) qua điểm A vuông góc với hai đường thẳng (d1), (d2)   → ud = ud ; ud  u ⊥ u  d d2 ud ⊥ nα (d) qua điểm A song song với hai mặt phẳng (α), (β)   → ud =  nα ; nβ  ud ⊥ nβ ud ⊥ u∆ (d) qua điểm A vuông góc với đường thẳng ∆; song song mặt phẳng (P)   → ud = u∆ ; nP  u ⊥ n  d P Ví dụ 1: [ĐVH] Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm M có VTCP ud cho trước: a) M (1;2; −3), ud = (−1;3;5) b) M (0; −2;5), ud = (0;1;4) c) M (1;3; −1), ud = (1;2; −1) d) M (3; −1; −3), ud = (1; −2;0) Ví dụ 2: [ĐVH] Viết phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm A, B cho trước: a) A ( 2; 3; −1) , B (1; 2; ) b) A (1; −1; ) , B ( 0;1; ) c) A ( 3;1; −5 ) , B ( 2;1; −1) d) A ( 2;1; ) , B ( 0;1; ) Ví dụ 3: [ĐVH] Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A song song với đường thẳng ∆ cho trước: a) A ( 3; 2; −4 ) , ∆ ≡ Ox  x = − 3t  c) A(2; −5; 3), ∆ :  y = + 4t  z = − 2t Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG d) A(4; −2; 2), ∆ : x +2 y −5 z−2 = = Facebook: LyHung95  x = + 4t  e) A(1; −3; 2), ∆ :  y = − 2t  z = 3t − Ví dụ 4: [ĐVH] Viết phương trình tham số đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước: ( P ) : x + y + z + = a)  (Q) : 3x − y − z − = ( P ) : x − 3y + 3z − = b)  (Q) : x + y − z + = ( P ) : 3x + 3y − z + = c)  (Q) : x + y + z − = ( P ) : x + y − z + = d)  (Q) : x + y + z − = Ví dụ 5: [ĐVH] Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A vuông góc với hai đường thẳng d1, d2 cho trước:  x = + 2t x = − t   a) A(1; 0; 5), d1 :  y = − 2t , d2 :  y = + t  z = + t  z = − 3t x = + t  x = + 3t   b) A(2; −1;1), d1 :  y = −2 + t , d2 :  y = −2 + t  z =  z = + t x = − t x =   c) A(1; −2; 3), d1 :  y = −2 − 2t , d2 :  y = −2 + t  z = − 3t  z = + t  x = −7 + 3t x = + t   d) A(4;1; 4), d1 :  y = − 2t , d2 :  y = −9 + 2t  z = + 3t  z = −12 − t Ví dụ 6: [ĐVH] Viết phương trình tham số, tắc đường thẳng a) qua A(1; 2; –1) có vectơ phương u = (1; −2;1) b) qua hai điểm I(–1; 2; 1), J(1; –4; 3) c) qua M(1; 2; 4) vuông góc với mặt phẳng (P): 3x – y + z – = d) qua M(1; 2; 0) song song với mặt phẳng (P): 2x – 5y – z + = (Q): 3x + 4z – = Ví dụ 7: [ĐVH] Tìm phương trình tắc đường thẳng:  x = − 2t  a) qua A(3; –1; 2) song song với đường thẳng ( ∆ ) :  y = + t  z = −t  b) qua A(4; 4; 1) song song với hai mặt phẳng (P): x + 2z – = 0, (Q): x + y – z + =  x = − 2t x −1 y − z +1  c) qua M(1; 1; 4) vuông góc với hai đường thẳng d1 :  y = + t d : = = −1  z = −t  d) qua M(2; 1; 0) song song với (P): x + 2z = đồng thời vuông góc với ( ∆ ) : x −1 y z + = = −3 2) Ứng dụng phương trình tham số  x = x0 + at  Cho đường thẳng ( d ) :  y = y0 + bt , điểm M thuộc d M ( x0 + at; y0 + bt ; z0 + ct )  z = z + ct  Phương trình tham số giúp cho toán tìm điểm đường thẳng quy ẩn t giải dễ dàng x = + t  Ví dụ 1: [ĐVH] Cho đường thẳng d :  y = −2t Tìm điểm M thuộc d cho  z = + 2t  a) MA = 13; A ( 2; −1;0 ) Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 b) MI ⊥ IA; I ( 0;1;2 ) , A (1;2; −2 ) c) ∆MAB cân A, với A(2; 1; 3), B(0; −2; 1) d) S∆MAB = , với A(2; 1; 3), B(0; −2; 1) Hướng dẫn giải: Ta có, M ∈ ( d ) ⇒ M (1 + t; −2t;2 + 2t ) a) MA = 13 ⇔ MA = 13 ⇔ ( t − 1) + (1 − 2t ) + ( + 2t ) 2 2 t = −1 ⇒ M ( 0;2;0 )  = 13 ⇔ 9t + 2t − = ⇔   16 14 23  t = ⇒ M  ;− ;   9  9 Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán b) Ta có MI = ( −1 − t ;1 + 2t ; −2t ) , IA = (1;1; −4 ) MI ⊥ IA ⇔ MI IA = ⇔ −1 − t + + 2t + 8t = ⇔ t = ⇒ M (1;0;2 ) c) Ta có MA = (1 − t;1 + 2t ;1 − 2t ) , MB = ( −1 − t; −2 + 2t;1 − 2t ) Theo bài, MA = MB ⇔ MA2 = MB ⇔ (1 − t )2 + (1 + 2t ) + (1 − 2t )2 = (−1 − t ) + (−2 + 2t )2 + (1 − 2t ) ⇔ 9t − 2t + = 9t − 10t + ⇔ 8t = ⇔ t =  11 11  ⇒ M  ; − ;  8 4 d) Ta có MA = (1 − t;1 + 2t ;1 − 2t ) , MB = ( −1 − t; −2 + 2t;1 − 2t )  →  MA; MB  = ( − 6t ; −2 + 4t; −1 + 7t ) Khi S MAB = 1  MA; MB  = (3 − 6t ) + (−2 + 4t ) + (−1 + 7t ) = 101t − 66t + 14   2 t = ⇒ M ( 2; −2; )  2 101t − 66t + 14 = ⇔ 101t − 66t − 35 = ⇔  ⇔ 35  136 70 272  2 t= ⇒M ;− ;   101  101 101 101  Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm điểm M đường thẳng d : x y + z −1 = = thỏa mãn −1 a) thuộc mặt phẳng (P): x – y + 2z + = Đ/s: M(2; 2; –1) b) tam giác MAB vuông A với A(3; 1; 0), B(2; –1; –3) c) tam giác MAB cân M với A(1; 0; –1), B(4; –2; 3) d) S MAB = 30 , với A(2; 3; 1) B(1; –1; –2) Đ/s: M(1; 0; 0)  x = + 2t  Ví dụ 3: [ĐVH] Tìm điểm M đường thẳng d :  y = t thỏa mãn z = − t  a) thuộc mặt phẳng (P): 2x + y – z – = Đ/s: M(3; 1; 1) b) xM2 + yM2 + zM2 = Đ/s: M(1; 0; 2) c) MA = 14, với A(0; 2; 1) Đ/s: M(–1; –1; 3) d) IM ⊥ d, với I(3; 0; –4) Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x = 1+ t  Ví dụ 4: [ĐVH] Tìm điểm M đường thẳng d :  y = − 3t thỏa mãn z = t  a) thuộc mặt phẳng (P): x + 2y – z + = Đ/s: M(2; –1; 1) b) xM2 + yM2 − zM2 = 37 Đ/s: M(2; –4; 2) c) tam giác MAB vuông M với A(2; 1; 1), B(1; 1; –10) Đ/s: M(0; 5; –1) d) MA = 3, với A(3; 0; –2) Đ/s: M(2; –1; 1) BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH] Tìm điểm M đường thẳng d : x − y −1 z = = thỏa mãn −1 a) MI = 30, với I(2; 0; –3) Đ/s: M(1; 1; 2) b) tam giác MAB cân M với A(1; 1; –3), B(–2; 1; –2) Đ/s: M(2; 1; 0) c) xM2 + yM2 − zM2 = 13 Đ/s: M(–1; 4; 6) Bài 2: [ĐVH] Cho hai điểm A(3; 1; –2), B(2; 3; –4) đường thẳng ∆ : x + y −1 z + = = 1 Tìm điểm C ∆ cho: a) tam giác ABC b) tam giác ABC cân A c) diện tích tam giác ABC 9/2 d) tam giác ABC có diện tích nhỏ e) F = xM2 − yM2 + zM2 đạt giá trị lớn nhỏ f) CA2 + CB2 đạt giá trị nhỏ Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!