Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 03 HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH Thầy Đặng Việt Hùng VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Hàm số mũ y = ax (với a > 0, a ≠ 1) • Tập xác định: D = R • Tập giá trị: T = (0; +∞) • Khi a > hàm số đồng biến, < a < hàm số nghịch biến • Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang Hàm số logarit y = loga x (với a > 0, a ≠ 1) • Tập xác định: D = (0; +∞) • Tập giá trị: T = R • Khi a > hàm số đồng biến, < a < hàm số nghịch biến • Nhận trục tung làm tiệm cận đứng Giới hạn đặc biệt hàm mũ logarith x ln(1 + x) ln(1 + u ) =  → lim =1 x →0 u →0 x u  1 • lim (1 + x) x = lim 1 +  = e x →0 x →±∞  x • lim ex −1 eu − =  → lim =1 x →0 x u →0 u sin x sin u ( x) =  → lim =1 x →0 x x →0 u ( x ) • lim • lim Ví dụ 1: [ĐVH] Tính giới hạn sau: e2 x − 1) lim x →0 x ln(1 + x) 4) lim x →0 x − x −1 x →0 x ln(1 + x) 5) lim x →0 2x Hướng dẫn giải: 2) lim e e3 x − e x x →0 x e−4 x − 6) lim x →0 3x 3) lim  e2 x −  e2 x − = lim   = x →0 x →0 x  2x  1) lim 2) lim x →0 e −  −x   e −  −1   −1 = lim     = − x →0 x  −x      x e3 x − 1) − ( e x − 1) ( e3 x − e x e3 x − e2 x − 3) lim = lim = lim − lim = − = x →0 x →0 x →0 x →0 x x x x ln(1 + x)  ln(1 + x)  = lim  3 = x →0 x →0 x  3x  4) lim 5) lim x →0 ln(1 + x)  ln(1 + x)  = lim   = x → 2x  4x   e −4 x −  −4   e−4 x − = lim     = − x →0 x → 3x  −4 x    6) lim Đạo hàm hàm mũ logarith  y = a x  → y′ = a x ln a Hàm mũ:   y = au  → y ′ = u ′.au ln a Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  y = e x  → y′ = e x Đặc biệt, a = e ta có   y = eu  → y ′ = u ′.eu  → y′ =  y = log a x  x.ln a Hàm logarith:  u′  y = log u  → y′ = a  u.ln a  → y′ =  y = ln x  x Đặc biệt, a = e ta có  u′  y = ln u  → y′ =  u Chú ý: Bảng đạo hàm số hàm thường gặp: Hàm sơ cấp Hàm hợp y = k  → y′ = y = ku  → y ′ = k u ′ 1  → y′ = − x x y = x  → y′ = x y= y = x n  → y′ = n.x n −1 ⇒ u′  → y′ = − u u u′ y = u  → y′ = u y= y = u n  → y′ = n.u n −1 u ′ ⇒ → y′ = cos x  y = sin x   → y ′ = − sin x  y = cos x   → y′ =  y = tan x  cos x  −1  y = cot x  → y′ =  sin x → y′ = u ′.cos u  y = sin u   → y ′ = −u ′.sin u  y = cos u  u′  → y′ =  y = tan u  cos u  −u ′  y = cot u  → y′ =  sin u u uv′ − u ′v  → y′ =  y =  v v2   y = u.v  → y′ = uv′ + u ′v  Ví dụ 2: [ĐVH] Tính đạo hàm hàm số sau: 1) y = x3 − x + 2) y = ( 1) y = x − x + = x − 3x + 3 ) x2 − x + y = x3 − x + x+3 Hướng dẫn giải: ( )(  → y ′ = x − x3 − x + 2) y = ) 3) y = sin ( x − 1) −3 − ′ x2 − x +  x2 − x + 3  x2 − x +   x2 − x +  ′ =  → y =      = x+3  x+3   x+3   x+3  3 − − ′  x − x +   (2 x − 1)( x + 3) − x + x −   x − x +  x + x − =     =    x+3   ( x + 3) ( x + 3)   x+3  2 3) y = sin ( x − 1) = sin ( x − 1)   → y′ = ( sin ( x − 1) )′ = cos ( x − 1) 3 sin ( x − 1) 3 sin ( x − 1) BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH] Tính giới hạn sau: ln (1 + x ) 1) lim x →0 x sin 2 2) lim x →0 e x − cos x x2 eax − ebx x x →0 3) lim Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG esin x − esin x 4) lim x x →0  x  5) lim   x →+∞  + x  x  1 6) lim  +  x →+∞  x x +1 x −1  x +1   3x −  7) lim  8) lim    x →+∞  x −  x →+∞  x +  Bài 2: [ĐVH] Tính đạo hàm hàm số sau: + + 5x 11 1) y = 2) y = + x9 + 2x ( ) ( x− 7) y = x.e 8) y = 3) y = sin ) 13) y = ecos x ln ( cos x ) 14) y = ln x + x + ) 17) y = ln ( x − cot x 4x ( 11) y = x.ecos x ( x+4 9) y = esin x − 10) y = cos x.ecot x 16) y = log x − cos x x 6) y = e−3 x sin x e2 x + e x e2 x − e x ( x +1 x  2x +  9) lim   x →+∞  x −  5) y = x5 − x e −2 x 4) y = x − x + e x Facebook: LyHung95 12) y = ln x + x − sinx ) 15) y = ) ln ( x + 1) x +1 18) y = (2 x − 1) ln(3x + x) 3x − Bài 3: [ĐVH] Chứng minh hàm số sau thỏa mãn hệ thức tương ứng? 1) y = x.e − x2 ( ) 2) y = ( x + 1) e x  → y '− y = e x  → xy ' = − x y 3) y = e x + 2e − x  → y '''− 13 y '− 12 y = 5) y = e − x sin x  → y ''+ y '+ y = 7) y = x e x  → y ''− y '+ y = e x ( )( ) → y' = 8) y = x + e x + 2011  10) y = 6) y = esin x  → y '.cos x − y.sin x − y '' = ( ) xy + e x x2 + x2 + 1  → xy ' = y ( y.ln x − 1) + x + ln x  → xy '+ = e y 1+ x + ln x 11) y =  → 2x2 y ' = x2 y + x (1 − ln x ) 9) y = ln ( Bài 4: [ĐVH] Giải phương trình bất phương trình sau, với hàm số cho đây? ( ) 1) f '( x) = f ( x); f ( x) = e x x + x + 1 f ( x) = 0; f ( x) = x3 ln x x 3) f '( x) = 0; f ( x) = e x −1 + 2.e1−2 x + x − 4) f '( x) > g '( x); f ( x) = x + ln( x − 5); g ( x) = ln( x − 1) 5) f '( x) < g '( x); f ( x) = 52 x +1; g ( x) = x + x ln 2) f '( x) + Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! ) )